Bài tập nguyên hàm tích phân

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e ∫ ( x + x + 1)dx 3 ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx π ∫ ∫ (3sin x + 2cosx + x )dx π ∫ (e ∫ ( x + x x + x )dx ∫( 12 ∫ (x 14 x + 1)( x − x + 1)dx ∫ (e + x + 1)dx 11 ∫( + 1).dx 13 7x − x − dx ∫ x x x.dx +2 ∫x -1 15 x − 1)( x + x + 1)dx −1 e + x )dx 3 x 10 x + 1dx ∫ ( x + x x )dx π + x )dx 1 2 x − dx π 1 ∫ ∫ (x + x + x ∫ dx x+2 + x−2 π 2 16 ( x + 1).dx ∫ x + x ln x π 18 tgx dx cos2 x ∫ 20 ∫ e x + e− x ∫ dx ex + e− x II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 19 e x − e− x ∫ ex + e− x dx e x dx ln 22 17 cos3 x.dx ∫ sin x π 21 ∫ π 22 dx 4x + 8x dx ∫ + sin x π ∫ sin π ∫ sin xcos xdx π π sin x ∫ + 3cosx dx ∫ tgxdx ∫ ∫x x + 1dx ∫ x x + 1dx 0 − x dx ∫x x2 ∫ ∫ x − x dx 11 12 ∫ + x dx 14 π ∫e 16 x2 + sin x 18 20 22 +2 21 +2 23 25 xcos xdx cosx sin xdx xcos xdx π π 2 ∫ sin xcos xdx sin xdx ∫ sin xdx dx π π 2 ) π ∫e cosxdx 2 π π π 24 cosx ∫ sin xdx 19 sin x x ∫e π ∫e cosxdx π 15 dx dx + 2x + ∫ (1 + 3x π 2 −1 π ∫e 13 17 x ∫e π dx π x3 + 1 ∫x dx ∫x 1 ∫ x3 + 1 10 + 4sin xcosxdx 1 π π ∫ cot gxdx xcos xdx π π π sin x ∫ + 3cosx dx π π 26 27 π 28 ∫ cot gxdx ∫ tgxdx ∫ + 4sin xcosxdx 29 30 ∫ x − x dx x2 ∫ x +1 34 ∫x 31 x3 + 33 dx 35 e 2ln x +1 dx ∫ 38 x 37 ∫ cos (1 + ln x) dx e 42 x dx 2x +1 44 dx x +1 + x ∫ 46 x +1 dx x ∫ x + 1dx ∫x − x dx + ln x dx x 39 e 2ln x +1 dx ∫ 49 x ∫ 1 + 3ln x ln x dx x ∫ 1 + ln x ∫ x ln x dx e 41 ∫ 1+ x dx x −1 43 ∫x 45 dx x +1 − x ∫ e ∫ 46 e 48 x + 1dx e sin(ln x) ∫ x dx 47 e2 ∫ ∫x e e 1 dx sin(ln x) ∫ x dx 36 40 x + 1dx e e ∫x e 32 π ∫ 1 + ln x dx x + 3ln x ln x dx x e2 e 50 + ln x ∫ x ln x dx e e 51 ∫ cos (1 + ln x) dx e 52 ∫ x x + 5dx π 53 ∫ ( sin x + 1) cos xdx ∫ 54 − x dx ∫ 55 dx + x2 ∫ 56 − x dx II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b ∫ u( x)v'(x)dx = u( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b Công thức tích phân phần : a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv β ∫ @ Dạng α a sin ax    f ( x) cosax dx e ax    u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax        β @ Dạng 2: ∫ f ( x) ln(ax)dx α dx  u = ln(ax) du = x ⇒   dv = f ( x)dx v = f ( x )dx  ∫ Đặt β sin ax  e ax  ∫ cosax dx  α @ Dạng 3: Ví du 1: tính các tích phân sau u = x e x  x 2e x dx  ∫ ( x + 1)2 dx dv = ( x + 1)2 a/ đặt  u = x   x 3dx  dv = ( x − 1)3  x8 dx ∫ b/ ( x − 1) đặt c/ 1 dx + x2 − x2 dx x dx =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I ∫ (1 + x )2 (1 + x2 )2 + x (1 + x ) 0 Tính I1 dx + x2 =∫ bằng phương pháp đổi biến sô u = x  x dx x  ∫ (1 + x )2  dv = (1 + x ) dx Tính I2 = bằng phương pháp phần : đặt  Bài tập e e ln x dx x3 1 ∫ ∫ x ln( x e ∫ x ln( x + 1)dx π ∫ ( x + cosx) s inxdx ∫x ∫ x ln xdx e ∫x e ( x + ) ln xdx ∫ x 10 ∫ x tan π 2 11 ∫ 13 ln x dx x5 12 ∫ xdx π ∫ x cos xdx 14 π 15 ln xdx π ∫ ln( x + x)dx ln xdx e ln x ∫ x3 dx 1 e + 1)dx ∫ x ln xdx xe x dx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 16 ∫ e x cos xdx 2x −1 ∫ x − 3x + dx b x3 + x + ∫ x + dx − x 2008 ∫ x(1 + x 2008 ) dx x4 ∫ ( x − 1) dx 2 x2 − ∫ x( x + 3x + 2) dx 11 ∫ + x dx 13 ∫ x − x + 2dx 15 ∫ x − x + x dx 17 2 1− x2 ∫ + x dx 19 1 x6 + x5 + x4 + dx ∫ x6 + 21 a x3 + x + ∫ x + dx x ∫ (3x + 1) dx ∫ ( x + a)( x + b) dx ∫ ( x + 2) 0 2x − 6x + 9x + ∫ x − 3x + dx −1 x n −3 ∫ (1 + x ) n dx 10 ∫ x(1 + x ) dx 12 1 14 25 27 29 31 33 35 37 ∫ dx x2 + x + dx x ∫ (1 + x ) dx 3x + x + ∫ x − 3x + dx 18 1 ∫ + x dx 20 − x4 ∫ + x dx 22 23 16 x ∫1+ x 1+ x4 ∫ + x dx dx ( x + 3) 2 24 26 28 30 32 34 36 38 ∫ x + 11 dx x2 + 5x + 39 40 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π ∫ sin x cos xdx π ∫ sin 4 ∫ cos x(sin π ∫ (sin ∫ (2 sin ∫ (sin 10 x + cos10 x − cos x sin x)dx ∫ + sin x dx π π 11 x − sin x cos x − cos x) dx 10 sin x ∫ + cos x dx π dx ∫ − cos x x + cos ) dx π x cos xdx π ∫ sin x dx π π x + cos x)dx ∫ sin π x cos xdx π π ∫ π sin 12 dx x cos x π 13 π 15 cos x ∫ − cos x dx cos x ∫ + cos x dx π 16 19 18 21 0 sin x ∫ sin x + cos x + dx π sin x − cos x + ∫π sin x + cos x + dx 20 − π π ∫ tg xdx cos x ∫ + cos x dx ∫ + sin x dx π cos xdx ∫ π (1 − cos x ) 14 π π 17 π dx ∫ sin x + sin x cos x − cos x ∫ cot g π 22 xdx π π 4 ∫ tg xdx 23 π 24 π ∫ 25 2π 27 ∫ π ) sin x + cos x + ∫ sin x + cos x + dx π 28 dx ∫ sin x + cos x + sin x dx x π + cos x + sin x dx sin x + cos x ∫ 30 π π 31 sin 3x ∫ + cos x dx sin x ∫ cos x dx 32 π ∫ sin x(1 + sin 34 35 ∫ 37 sin x dx π 36 π 38 π ∫ cos x sin xdx 39 ∫ π π dx ∫ sin x + π sin xdx x ∫ + cos 40 π 41 dx ∫ sin x + π π ∫ π sin π sin x sin( x + ) 43 ∫ π 4 dx x cos x π dx x) dx sin x − sin x dx sin xtgx π dx ∫ + sin x + cos x π 3 π ∫ cos x dx ∫ π sin x − sin x π 33 13 ∫ + cos 26 + sin x dx π 29 cos x cos( x + π dx ∫ + tgx dx dx sin x cos( x + π ) π π sin xdx ∫ π cos x 45 46 π 47 ∫ sin 48 − x dx 50 ∫ sin x.e x +1 ∫x 52 54 55 57 56 π ∫ (2 x − 1) cos xdx 58 61 sin x ∫ sin 62 dx ∫ (sin x + cos x) 64 π sin xdx x − sin x + ln(sin x ) dx cos x ∫ x sin x cos xdx ∫e 2x sin xdx ∫ ln(1 + tgx)dx (1 − sin x ) cos x ∫ (1 + sin x)(2 − cos x) dx π ∫ sin x sin xdx − ∫ π π π 65 π sin x cos xdx π 63 60 ∫e dx π ∫ xtg xdx π x π π 59 + sin x ∫ + cos x e π ∫ cos(ln x)dx cos xdx π sin x sin x ∫ tgx + cot g x dx π π dx 2 π π 53 sin x ∫π (2 + sin x) sin xdx ∫ (sin x + cos x) π 51 π 49 π ∫ tgxtg ( x + )dx π 66 ∫ cos x(sin x + cos x) dx π 4sin x dx + cos x ∫ 67 69 71 73 75 77 79 68 70 72 74 76 78 80 V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong R(x, f(x)) có dạng: a ax [0; ] a + x ) Đặt x = a cos2t, t a sin t a cos t a2 x2 +) R(x, +) R(x, ) Đặt x = n +) R(x, ax + b cx + d ) Đặt t = n x = ax + b cx + d 2 +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx + βx + γ Víi ( αx + βx + γ )’ = k(ax+b) x + x + , đặt t = ax + b Khi đặt t = π 2 a tgt ∈ [− ; ] +) R(x, a + x ) Đặt x = ,t π ∈ [0; π ] \ { } x a ) Đặt x = cos x , t a +) R(x, ( +) R n1 2 n n x ; x ; ; i x §Ỉt x = tk ) Gäi k = BCNH(n ; n ; ; n ) 2 ∫ x x2 + ∫ (2 x + 3) − ∫ dx dx x + 12 x + x x2 −1 2 dx ∫x dx x3 + i 2 ∫ x + 2008dx 2 ∫ x + x dx ∫x x + 2008 1 ∫ (1 − x ) dx 2 x +1 2 11 dx ∫ x2 +1 10 2 dx ∫ (1 + x ) ∫ 12 2 15 + cos x π 17 + cos x 19 ∫ ∫ 25 20 ∫ sin x + sin x ∫x ∫ 10 − x dx x dx ∫ 22 x + x + 1 24 ∫x ∫ 26 ln dx 27 −11 + x + x + 15 + x dx − cos x sin x cos xdx dx ln + cos x 2x + + ∫ dx ∫ cos x − cos x dx 2x + π 18 xdx 23 1+ x ∫ sin x π x dx 21 16 cos xdx ∫ 1− x2 π cos xdx ∫ x dx ∫ 14 π (1 − x ) + x dx dx ∫ 13 1+ x dx 1− x ∫ dx ∫ 28 dx ex +1 e x dx ex +1 ∫ 29 e ∫ 30 31 12 x − x − 8dx ∫ x5 + x3 1+ x + ln x ln x dx x dx 32 ∫ x − x + x dx 33 cos x + 3tgx cos x dx cos x ∫ π 37 ∫ ∫ x+2 x+3 x ln x + 36 38 (e x + 1) ∫ dx e x dx ∫ π 2 + cos x ∫ ln ln x ln cos xdx 39 34 −1 π 35 ln 2x ∫ x(e + x + 1)dx cos xdx + cos x 2a dx 40 ∫ x + a dx VI MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], ®ã: a a −a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 3π 3π ; VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- 2 ] tháa m·n f(x) + f(-x) = − cos x , 3π TÝnh: − ∫π f ( x)dx +) TÝnh x + sin x dx ∫ −1 + x a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], ®ã: π VÝ dô: TÝnh: ∫ ln( x + −1 + x )dx ∫π cos x ln( x + − ∫ f ( x)dx −a = + x )dx a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: a f ( x)dx ∫ f ( x)dx −a =2 π ∫x ∫ x dx π x + cos x dx − sin x VÝ dô: TÝnh −1 x + Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], ®ã: a − a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx − (1 ≠ b>0, ∀ a) π ∫π x2 +1 ∫31 + x dx − VÝ dô: TÝnh: − sin x sin x cos x dx 1+ ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0; ], ∫ sin VÝ dô: TÝnh π π 0 ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx π 2009 sin x dx x + cos 2009 x ∫ 2009 sin x sin x + cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: b Bài to¸n 6: ∫ a π x ∫ + sin x dx VÝ dô: TÝnh b ⇒ a π ∫ b f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx π x sin x ∫ + cos x sin x ∫ + cos x dx b f (a + b − x )dx = ∫ f ( x)dx ππ ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 0 x ∫ sin x ln(1 + tgx)dx dx Ví dụ: Tính Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T thì: a +T ∫ a T nT f ( x )dx = ∫ f ( x)dx 2008π VÝ dô: TÝnh ⇒ ∫ − cos x dx Các tập áp dụng: 1 −1 1− x dx 1+ 2x 2 ∫π − x7 − x5 + x3 − x + dx cos x ∫ T f ( x) dx = n ∫ f ( x)dx π dx ∫1 (1 + e x )(1 + x ) − π 1− x ∫ cos x ln(1 + x )dx − ∫ −π − 2π ∫ sin(sin x + nx)dx tga sin x x + cos x dx x ∫π − sin 1 + cos x dx cot ga e e xdx ∫ 1+ x2 + ∫ dx =1 x(1 + x ) (tga>0) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ∫ x − 1dx −3 ∫x − x + dx π 2 ∫ ∫ x x − m dx ∫ − sin x dx −π 3π ∫ sin x dx π − ∫ π ∫ ( x + − x − )dx −2 π 11 ∫π cos x − tg x + cot g x − 2dx 2π ∫ + cos x dx π π ∫π sin x dx x − x dx 10 cos x − cos x dx 12 ∫2 x − dx ... + x2 ∫ 56 − x dx II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b ∫ u( x)v''(x)dx = u( x)v( x) a − ∫ v( x)u ''( x)dx b Cơng thức tích phân phần : a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv β ∫... v = f ( x )dx  ∫ Đặt β sin ax  e ax  ∫ cosax dx  α @ Dạng 3: Ví du 1: tính các tích phân sau u = x e x  x 2e x dx  ∫ ( x + 1)2 dx dv = ( x + 1)2 a/ đặt  u = x   x 3dx  dv... xdx 14 π 15 ln xdx π ∫ ln( x + x)dx ln xdx e ln x ∫ x3 dx 1 e + 1)dx ∫ x ln xdx xe x dx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 16 ∫ e x cos xdx 2x −1 ∫ x − 3x + dx b x3 + x + ∫ x + dx − x 2008 ∫ x(1 + x 2008