KĨ THUẬT áp DỤNG NGUYÊN tắc DIRICLET

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LÀ MỘT CHUYÊN ĐỀ BỔ ÍCH VÀ MỚI LẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨnG MINH BDT NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY ĐỀ THI CỦA MỘT Ố TỈNH ĐẪ HƯỚNG TỚI DẠNG TAOSN NÀY VÌ VẬY TÀI LIỆU NÀY GIÚP CÁC BẠN ÔN THI HSG CHUYÊn ĐỀ BDT LÀ RẤt HIỆu QUẢ

KĨ THUẬT ÁP DỤNG NGUYÊN TẮC DIRICLET ĐỂ GIẢI BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Cơ sở phương pháp dựa nguyên lí DIRICHLET nhà tốn học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) nêu định lí mà sau người ta gọi Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý phát biểu sau: “Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (m,n Ỵ N ,n>m) ta tìm lồng mà én ù khơng ê ú+1 thỏ” ê ëm ú û Từ nguyên lí Dirichlet có mệnh đề có ý nghĩa ứng dụng quan trọng Đó là: Mệnh đề: Trong số thực x, y , z phải có số có tích khơng âm Đây mệnh đề quan trọng, ta chọn “điểm rơi” (tức đẳng thức tốn) ta áp dụng mệnh đề để chứng minh BĐT Chẳng hạn đẳng thức xảy a = b = c = k ta giả sử số a - k ; b - k ; c - k có số có tích khơng âm Giả sử số (a - k ) , (b - k ) có tích khơng âm (a - k )(b - k ) ³ A Các ví dụ : I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải tập chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a + b + c + 2abc +1 ³ 2(ab + bc + ca ) Lời giải Nếu a = b = c a + b + c + 2abc +1 = 2(ab + bc + ca ) Þ 3a + 2a +1 = 6a Û 2a - 3a +1 = Û 2a - 2a - a + a - a +1 = Û ( a - 1) ( 2a - a - 1) = Û ( a - 1) ( 2a +1) = Û a = Nên dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ 2c ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ 2abc ³ 2bc + 2ca - 2c Ta có a + b2 + c + 2abc +1 ³ a + b + c +1 + 2bc + 2ac - 2c = ( a + b ) +( c +1) + 2bc + 2ac - 2c Û a + b + c + 2abc +1 ³ ( a + b ) +( c +1) + 2bc + 2ac - 2c Û a + b + c + 2abc +1 ³ 2ab + 2c + 2bc + 2ac - 2c = 2(ab + bc + ca) ïìï ( a - 1) ( b - 1) = ï Û a = b = c =1 Đẳng thức xảy ïí a = b ïï ïï c = ỵ Ví dụ Cho x; y; z dương thỏa mãn xyz = 2 Chứng minh rằng: x + y + z + x + y + z ³ ( xy + yz + zx ) Lời giải Nếu x = y = z x + y + z + x + y + z = ( xy + yz + zx ) Þ 3x + 3x = x Þ 3x ( 1- x ) = Û x = 1;( vi x > 0) Dự đoán điểm rơi x = y = z = Theo ngun lí Dirichlet số ( x - 1) , ( y - 1) , ( z - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( x - 1) ( y - 1) ³ Nên ( x - 1) ( y - 1) ³ Þ xy - x - y +1 ³ Þ xyz ³ xz + yz - z Theo BĐT Cauchy : x + y + z ³ 3 xyz = BĐT (1) chứng minh ta chứng minh được: x + y + z + x + y + z ³ x + y + z + ³ ( xy + yz + zx ) Ta có x + y + z + = x + y + z + xyz +1 ³ x + y + z + ( xz + yz - z ) +1 Û ( x + y ) + ( z +1) + ( xz + yz - z ) ³ xy + z + ( xz + yz ) - z = ( xy + yz + zx ) 2 Nên x + y + z + x + y + z ³ ( xy + yz + zx ) Dấu “=’ xảy ìï ( x - 1) ( y - 1) = ïï ïí x = y = z Û x = y = z =1 ïï ïï z = ỵ Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh ( a + 2) (b + 2)(c2 + 2) ³ Lời giải Nếu a = b = c 9( ab + bc + ca ) ( a + 2) (b + 2)(c + 2) = 9(ab + bc + ca) Û ( a + 2) = 27a Û a + 6a +12a + = 27 a 2 a + 6a - 15a + = Û ( a - 1) ( a + 8) = Þ a = 1;(vi a > 0) Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số a - 1; b - 1; c - có số có tích khơng âm sử số a - 1; b - nên (a - 1)(b - 1) ³ Û a 2b - a - b +1 ³ Û a 2b + 2a + 2b + ³ 3a + 3b + Û ( a + 2) ( b + 2) ³ 3( a + b +1) Û ( a + 2) ( b + 2) ( c + 2) ³ 3( a + b +1) ( +1 + c ) Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy Dãy a , b ,1 dãy : , , c ta có 3( a + b +1) ( +1 + c ) ³ 3( a + b + c) ³ 9(ab + bc + ca) nên ( a + 2) (b + 2)(c + 2) ³ 9( ab + bc + ca ) ìï ( a - 1)(b - 1) = Û a = b = c = a=b=c=1 Dấu “=” xảy ïí ïïỵ a = b = c Ví dụ Cho a,b,c khơng âm Chứng minh ( a + b + c ) + abc + ³ 5(a + b + c ) Lời giải Nếu a = b = c ( a + b + c ) + abc + = 5(a + b + c) Û a + a + = 15a Û a + a - 15a + = Û ( a - 1) ( a + 8) = Þ a = ;(vi a > 0) điểm rơi a=b=c=1 Theo ngun lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ abc ³ bc + ac - c 2 2 2 Nên ( a + b + c ) + abc + ³ ( a + b + c ) + bc + ac - c + (*) Ta cần chứng minh ( a + b + c ) + bc + ac - c + ³ 5(a + b + c) Û ( a + b + c ) + bc + ac + ³ 5(a + b) + 6c (**) Ta có ( a + b + c ) + 2bc + 2ac +16 Dự đoán = ( b + c) +( a + c ) + 3( a +1) + 3( b +1) + ( c +1) + = P 2 ù+ é( a + c ) + 4ù+ 3( a +1) + 3( b +1) + ( c +1) Þ P=é ê( b + c ) + 4û ú ë ê ú ë û Þ P ³ 4(b+ c) + 4(a + c) + a + b+ 4c = 10a +10b +12c Þ ( a + b + c ) + bc + ac + ³ 5(a + b) + 6c 2 Vậy BĐT (**) chứng minh Từ (*) & (*) ta có ( a + b + c ) + abc + ³ 5(a + b + c ) ìï ( a - 1) ( b - 1) = ïï Dấu “=” xảy ïí b + c = a + c = Û a = b = c = ïï ïï a = b = c = ỵ Ví dụ Cho a, b, c dương abc=1 Chứng minh 1 + + + ³ 2(a + b + c ) a b c Lời giải Nếu a = b = c 1 + + + = 2(a + b + c) Û + = 6a Û 6a - 3a - = Û 2a - a - = a b c a Dự đoán Û ( a - 1) ( 2a + a +1) = Þ a = điểm rơi a = b = c = Theo nguyên lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ ab +1 ³ b + a Û 2ab + 2c + ³ ( a + b + c ) (1) Ta cần chứng minh 1 + + + ³ 2ab + 2c + 2 a b c Ta có 1 a 2b + b c + c a + + + = + = a 2b + b c + c a + a b2 c2 a 2b c Từ 2 2 2 2 2 2 Û a b + b c + c a + = ( a b +1) + c ( a + b ) + ³ 2ab + 2c ab + = 2ab + 2c + (2) 1 + + + ³ 2(a + b + c ) dấu “=” xảy a b c ìï ( a - 1) ( b - 1) = ïï ïï ab = Û a = b = c =1 í ïï abc = ïï ïïỵ a = b (1) & (2) ta có Ví dụ Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 9abc +1 ³ 4(ab + bc + ca ) Lời giải Nếu a = b = c 9abc +1 = 4( ab + bc + ca) Þ a +1 =12a Û a - 12 a +1 = Þ ( 3a - 1) ( 3a - 3a - 1) = Þ a = ;(do a + b + c = 1) Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo nguyên lí Dirichlet số ( 3a - 1) , ( 3b - 1) , ( 3c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( 3a - 1) ( 3b - 1) ³ Û 9ab - 3a - 3b +1 ³ Û 9abc +1 ³ 3(ac + bc) - c +1 Ta phải chứng minh 3(ac + bc) - c +1 ³ 4(ab + bc + ca) (1) Vì = a + b + c Þ = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca Nên 3(ac + bc) - c +1 = 3(ac + bc) - c + a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca Û 3(ac + bc) - c +1 = 4(ab + bc + ca ) + c(a + b + c) - c+( a - b) ³ 4(ab + bc + ca ) Û 3(ac + bc) - c +1 ³ 4(ab + bc + ca) (2) Từ (1) & (2) ta có 9abc +1 ³ 4(ab + bc + ca ) Dấu “=” xảy ìï ( 3a - 1) ( 3b - 1) = ïï ïí a + b + c = Û a =b =c = ïï ïï a = b ỵ II Áp dụng ngun tắc DIRICHLET giải tốn tìm cực trị đại số Ví dụ Cho số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm GTNN biểu thức A = ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) Lời giải éx = Nếu x = y = z xy + yz + zx = Þ 3x = Þ ê ê ëx =- Dự đoán điểm rơi x = y = z = 4 Theo nguyên lý Dirichlet số ( x - 1) ; ( y - 1) ( z - 1) tồn số có tích khơng âm 4 Khơng tính tổng quát giả sử ( x - 1) ( y - 1) 4 4 4 4 4 4 Suy ra: ( x - 1) ( y - 1) ³ Þ x y ³ x + y - Þ x y + x + y + ³ 3x + y + Þ ( x + 2) ( y + 2) ³ 3( x + y +1) Þ ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) ³ 3( x + y +1) ( z + 2) Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có: ( x + y +1) ( +1 + z ) ³ ( x + y + z ) 4 Suy ra: A = ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) ³ 27 2 ³ ( xy + yz + zx ) = ìï ïï ïï xy + yz + zx = ï Û x = y = z = ±1 Dấu “=” xảy Û í x = y = ïï ïï 4 ïï x = y = z ỵ Vậy MinA = 27 Û x = y = z = ±1 Ví dụ Cho ba số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 18 B = a + b + c + 2abc + ab + bc + ca Lời giải Dự đoán điểm rơi a = b = c = Xét ba số a - 1, b - 1, c - Theo ngun tắc Dirichlet có số có tích khơng âm Giả sử : a - 1; b - nên ( a - 1)(b - 1) ³ Þ ab ³ a + b - Þ abc ³ ( a + b - 1)c Þ 2abc ³ 2ac + 2bc - 2c Þ a + b + c + 2abc ³ a + b2 + c + 2ac + 2bc - 2c Þ a + b + c + 2abc ³ (a - b)2 + (c - 1) + 2(ab + bc + ca) - Þ a + b + c + 2abc ³ 2(ab + bc + ca ) - ổ 18 ữ - = 2ỗ ab + bc + ca + Do đó: B ³ 2(ab + bc + ca ) + ữ ỗ ữ- ỗ ố ab + bc + ca ab + bc + ca ø Với x, y > ta ln có x + y ³ xy nên: 9 ³ (ab + bc + ca ) =6 ab + bc + ca ab + bc + ca ìï ïï ïï ( a - 1)(b - 1) = ï Û a = b = c =1 Do B ³ 2.6 - =11 Vậy Min( B ) = 11 Khi í a = b; c = ïï ïï ïï ab + bc + ca = ab + bc + ca ïỵ Ví dụ Cho số thực dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = a + b + c + abc Lời giải a = b = c thi a + b + c = Þ a = Þ a =1 Nếu ab + bc + ca + Dự đoán điểm rơi a = b = c = Xét ba số a - 1, b - 1, c - Theo ngun tắc Dirichlet có số có tích khơng âm Giả sử số a - 1, b - Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ Û ab - a - b +1 ³ Û abc ³ ac + bc - c Nên C = a + b + c + abc ³ a + b + c + ac + bc - c = C ' C ³ C '³ ( a + b) + c + c ( a + b) - c = 2 ( - c) 2 + c + c ( - c) - c = ( c - 1) + ³ ïìï a - = b - ïï a =b Min(C) = Û ïí Û a = b = c =1 ïï a + b + c = ïï ïỵ c = Ví dụ Cho số khơng âm x, y , z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = x + y + z + xyz Lời giải Nếu x = y = z thi x + y + z = Þ 3x = Þ x = Dự đoán điểm rơi x = y = z = Theo nguyên tắc Dirichlet số 1- x;1- y;1- z có hai số có tích khơng âm giả sử 1- x;1- y nên ( 1- x ) ( 1- y ) ³ Û xy - x - y +1 ³ Û xyz ³ xz + yz - z Nên xz yz z D = x + y + z + xyz ³ x + y + z + + 2 2 ³ ( x + y) Mà 3z z ( x + y) - + z = D / 2 x + y = 1- z / + Þ D³ D = ( 1- z ) 2 + 3z z 1- z + z z z z + + z2 - = ( 1- z ) + z - = 2 2 2 ìï 1- x = ïï ïï 1- y = Min(D) = Û í Û x=y=z= ïï x = y ïï ïỵ x + y + z = Ví dụ Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức E = 3( ab + bc + ca ) - abc Lời giải Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số ( a - 2) , ( b - 2) , ( c - 2) có tích khơng âm.Khơng tính tổng qt, giả sử ( a - 2) ( b - 2) ³ Û ab - 2a - 2b + ³ Û abc ³ 2ac + 2bc - 4c Û E = 3( ab + bc + ca ) - abc £ 3(ab + bc + ca ) - 2ac - 2bc + 4c = 3ab + ac + bc - 4c 3( a + b) Û E = 3( ab + bc + ca ) - abc £ + c ( a + b) + 4c 3( - c ) Û E = ab + bc + ca - 2abc £ + c ( - c ) + 4c = 28 ổc ỗ ỗ ỗ è2 1÷ ÷ ÷ £ 28 ø ìï ( a - 2) ( b - 2) = ïï Û a =b =c =2 Max(E)=28 ïí a = b ïï ïï c = ỵ Ví dụ Cho a,b,c số không âm a + b +c =1 Tìm giá trị lớn : F = ab + bc + ca - 3abc Lời giải Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo nguyên tắc Dirichlet ba số 2a - 1; 2b - 1; 2c - có số có tích khơng âm Giả sử £ c £ b £ a a + b + c = nên c < 2 a 1; b Giả sử cùng dấu ta có ( 2a - 1) ( 2b - 1) ³ Û 4ab - 2a - 2b +1 ³ Û 4abc ³ 2ac + 2bc - c ac + bc c æac + bc c ỉ ỉa + b 1 ổ 1ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ F Ê ab + bc + ca - 3ỗ - ÷ = ab c a + b £ c a + b ữ ữ ữ= P ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ è ø è ø è ø 2 2 2÷ Û abc ³ ỉ 1- c ổ ữ ữ ỗ F Ê P =ỗ c c ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗ2 ố ứ ứ ổ ổ 1- c ữ ỗ cỗ Do > c 0; nờn ỗ Ê 1; ữ ỗ ç ÷ ç è2 è ø ïìï é2a - = ïï ê ïê ë2a - = ïï Max (F) = Û í c = Û ïï ïï a + b + c = ïï ïỵ a = b ö æ ö 1- c ö æ ữ ỗ cữ ữ Suy P = ç - cç - c÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ữÊ ỗ ỗ ứ ố ứ ố2 ø ïìï ïí a = b = ïï ïỵ c = Do vai trò a,b,c nên Max (F) = 1 có số số B Bài tập áp dụng I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải toán chứng minh bất đẳng thức Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a + b + c + abc + ³ 2(ab + bc + ca ) Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số ( a - 2) , ( b - 2) , ( c - 2) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( a - 2) ( b - 2) ³ c ( a - 2) ( b - 2) ³ Û abc ³ 2bc + 2ca - 4c Ta có a + b2 + c + abc + ³ a + b + c + + 2bc + 2ac - 4c = ( a + b ) +( c + 4) + 2bc + 2ac - 4c Û a + b + c + 2abc +1 ³ ( a + b ) +( c + 4) + 2bc + 2ac - 4c Û a + b + c + 2abc +1 ³ 2ab + 4c + 2bc + 2ac - 4c = 2(ab + bc + ca ) Đẳng thức xảy a = b = c = Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh ( a + 4) (b + 4)(c + 4) ³ 36( ab + bc + ca ) Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số a - 2; b - 2; c - có số có tích khơng âm sử số a - 2; b - nên (a - 2)(b - 2) ³ Û a 2b - 4a - 4b +16 ³ Û a 2b + 4a + 4b + ³ 6a + 6b +12 Û ( a + 4) ( b + 4) ³ ( a + b + 2) Û ( a + 4) ( b + 4) ( c + 4) ³ ( a + b + 2) ( + + c ) Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy Dãy a , b , dãy : , , c ta có ( a + b + 2) ( + + c ) ³ 12 ( a + b + c ) ³ 36(ab + bc + ca ) nên ( a + 4) (b + 4)(c + 4) ³ 36(ab + bc + ca ) Dấu “=” xảy a = b = c = Bài tập Cho số thực dương a , b , c Chứng minh a + b + c + 2abc + ³ (a +1)(b +1)(c +1) Hướng dẫn a + b2 + c + 2abc + ³ (a +1)(b +1)(c +1) Û a + b + c + 2abc + ³ ( ab + a + b +1) (c +1) Û a + b + c + 2abc + ³ abc + ab + bc + ca + a + b + c +1 Û ( a + b + c ) + 2abc + ³ ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) (*) Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo nguyên lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ abc ³ bc + ac - c 2 2 2 Nên ( a + b + c ) + 2abc + ³ ( a + b + c ) + ( bc + ca - c ) + (1) 2 Ta chứng minh ( a + b + c ) + ( bc + ca - c ) + ³ ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) Ta có ( a + b + c ) + ( bc + ca - c ) + = ( a + b ) +( a +1) +( b +1) + ( c +1) + ( bc + ca - c ) ( a + b2 ) +( a +1) +( b2 +1) + ( c +1) + ( bc + ca - c) ³ 2ab + 2a + 2b + 4c + 2bc + 2ac - 2c Û ( a + b + c ) + ( bc + ca - c ) + ³ ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) (2) Từ (1) &(2) suy BĐT (*) chứng minh hay a + b + c + 2abc + ³ (a +1)(b +1)(c +1) Dấu “=” xảy a = b = c = Bài tập Cho số thực dương a, b, c Chứng minh ỉ ỉ ỉ ỉ ÷ ổ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ a + - 1÷ b + + b + c + +ỗ c+ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç ç ÷ç ÷ è ÷è ç ç c ứ ỗ a ữ ỗ a ố b ứ ố c ứ ứ ố ửổ ỗ 1ữ a+ ữ ç ÷è ç b ø 1÷ ÷ ÷³ ø Hướng dẫn 1 Đặt x = a + , y = b + , z = c + BĐT viết lại thành b c a ( x - 1) ( y - 1) +( y - 1) ( z - 1) +( z - 1) ( x - 1) ³ Û xy - x - y +1 + yz - y - z +1 + xz - x - z +1 ³ Û xy + yz + zx ³ ( x + y + z ) Dự đoán điểm rơi x = y = z = Theo ngun lí Dirichlet số ( x - 2) , ( y - 2) , ( z - 2) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( x - 2) ( y - 2) ³ Þ xy + ³ x + y Þ ( x + y + z ) £ z + xy + Û z + xy + ³ ( x + y + z ) (1) 10 Ta phải chứng minh xy + yz + zx ³ z + xy + æ 1ư ỉ 1÷ ưỉ ÷ 1 1 ỗ ỗ xyz = ỗ a+ ữ b+ ữ c+ ÷ = abc + + a +b +c + + + ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ç è b øè c øè a ø abc a b c Û xyz = abc + + x + y + z ³ + x + y + z ³ + xy + z abc Û z ( xy - 1) ³ ( ) ( xy - Þ z ) xy - ³ Û z xy ³ + z xy + yz + zx = xy + z ( x + y ) ³ xy + z xy = xy + ( z + 2) = z + xy + Û xy + yz + zx ³ z + xy + Từ ( 1) ( 2) ta suy xy + yz + zx ³ ( x + y + z ) hay ( x - 1) ( y - 1) +( y - 1) ( z - 1) +( z - 1) ( x - 1) ³ æ a+ suy ỗ ỗ ỗ ố b ửổ çb + 1÷ ÷ ÷ç ç ø è c ổ ỗ 1ữ b+ ữ ỗ ữ+ố ỗ c ứ ửổ ỗ 1ữ c+ ữ ỗ ữố ỗ a ứ ổ 1ữ +ỗ c+ ữ ỗ ữ ỗ a ứ ố ửổ ỗ 1ữ a+ ữ ỗ ữố ỗ b ứ 1ữ ữ ữ ø Đẳng thức xảy x = y = z = , hay a = b = c = Bài tập Cho số thực a,b,c Chứng minh a + b + c + a 2b 2c + ³ 2(ab + bc + ca ) Hướng dẫn 2 Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo nguyên lí Dirichlet số a - 1; b - 1; c - có số có tích khơng âm giả sử số a - 1; b - nên c ( a - 1) (b - 1) ³ Þ a 2b c + c ³ b c + c a Thay vào ta có a + b + c + a 2b c + ³ a + b + + b c + c a Û a + b + c + a 2b c + ³ ( a + b ) +( + b 2c ) +( + a 2c ) ³ 2(ab + bc + ca ) Dấu “=” xảy a = b = c = ±1 Bài tập Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh ( a + b + ab) ( b + c + cb) ( a + c + ca ) ³ 27abc Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo nguyên lí Dirichlet số ( bc - a ) , ( ac - b) , ( ab - c ) có tích khơng âm 2 Khơng tính tổng qt, giả sử ( ac - b) ( cb - a ) ³ Û ab - a c - bc + abc ( b + c + cb) ( a + c + ca ) = ( - a + cb) ( - b + ca ) = - 3b - 3ca - 3a + ab - a c + 3bc - b 2c + abc = P P = 3(3 - b - a + ac + cb) + (ab- a c - b 2c + abc ) P ³ 3( - b - a + ab + ac ) = 3( c + cb + ac ) 11 Ta chứng minh ( Áp dụng Bunhicopsky ta có ( c + ac + bc ) ( ab + b + a ) ³ abc + abc + abc ) = 9abc nên ( a + b + ab) ( b + c + cb) ( a + c + ca ) ³ 27abc ïì a + b + c = Þ a = b = c =1 Dấu “=” xảy ïí ïïỵ ab = bc = ca = a = b = c Bài tập Cho số thực dương a,b,c Chứng minh 16 ( a +1) ( b +1) ( c +1) ³ ( a + b + c +1) Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = ỉ2 ỉ2 ỉ2 ữ ỗ ỗ a - ữ ; b ; c - ÷ Theo ngun lí Dirichlet s ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữố ữố ữ cú tớch khụng õm Gi s ỗ ỗ ỗ è 4ø 4ø 4ø ỉ2 ỉ2 1 ỗ a - ữ ;ỗ b - ÷ ³ Û a 2b - a - b + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 4ứ ố 4ứ 4 16 15 Û a 2b + a + b +1 ³ ( a + b ) + 16 15 16 ( a +1) ( b2 +1) ³ ( a + b2 ) + 16 Û ( a +1) ( b2 +1) ( c +1) ³ ( 4a + 4b + 3) ( c +1) 2 Ta chứng minh ( 4a + 4b + 3) ( c +1) ³ ( a + b + c +1) Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có ỉ 1 ( 4a + 4b2 + 3) ( c +1) = ( 4a + 4b +1 + 2) ỗỗỗố4 + + c + ø÷ ÷ ÷³ ( a + b + c +1) 2 Vậy 16 ( a +1) ( b +1) ( c +1) ³ ( a + b + c +1) Dấu”=” xảy a = b = c = Bài tập Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: abc + + [(a - 1) + (b - 1) + (c - 1) ] ³ a + b + c Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , (c - 1) có tích khơng âm 12 Khơng tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ Û ab ³ a + b - Û abc ³ ac + bc - c abc + + [(a - 1) + (b - 1) + (c - 1) ] ³ ac + bc - c + + [(a - 1) + (b - 1) + (c - 1) ] ³ a +b +c Û [(a - 1) + (b - 1) + (c - 1) ] ³ (a + b - 2)(1- c) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: (a - 1) + (b - 1) + (c - 1) ³ ³ ( a + b - 2) + (c - 1) ³ 2 (a + b - 2)(1- c) 2(a + b - 2)(1- c) Dấu “=” xảy a = b = c = II Áp dụng ngun tắc DIRICHLET giải tốn tìm cực trị đại số Bài tập Cho số thực dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: G = 2(ab + bc + ca ) - abc Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Xét ba số a - 1, b - 1, c - Theo nguyên tắc Dirichlet có số có tích khơng âm Giả sử số a - 1, b - Þ ( a - 1) ( b - 1) ³ Û ab - a - b +1 ³ Û - abc £ c - c(a + b) Nên G = 2(ab + bc + ca ) - abc £ 2ab + 2bc + 2ca + c - c (a + b) = 2ab + c (b + a ) + c = Q ( a + b) (3 - c ) - c + 2c + 10 - (c - 1) G£ Q£ + c (a + b) + c = + c (3 - c ) + c = = £5 2 2 ìï a - = b - ïï ï a =b Max(G) = Û ïí Û a = b = c =1 ïï c = ïï ïỵ a + b + c = Bài tập Cho số a, b, c ³ cho a + b2 + c + abc = Tìm giá trị lớn biểu thức H = ab + bc + ca - abc Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo nguyên lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ c ( a - 1) ( b - 1) ³ Þ abc ³ bc + ca - c Nên ab + bc + ca - abc £ ab + c Mà 13 = a + b + c + abc ³ 2ab + c + abc Þ - c ³ ab ( c + 2) Þ - c ³ ab Þ ab + c £ Từ hai BĐT ta suy Max(H)=2 a = b = c = Bài tập 3.Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a2 b2 c2 + + a - 2a + b - 2b + c - 2c + Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử ( b - 1) ( c - 1) ³ 2 Nên b + c £ b2 + c + ( b - 1) ( c - 1) = +( b + c - 1) = +( - a ) Ta có 2 ( b + c) ( - a) ( - a) b2 c2 + ³ ³ = b - 2b + c - 2c + b + c - 2(b + c) + +( - a ) - 2(3 - a) + a - 2a + Ta chứng minh ( - a) a2 M³ + ³ Û ( a - 1) ( a - 4a + 8) ³ với a a - 2a + a - 2a + Vậy Min(M)=1 a = b = c = Bài tập Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn biểu thức N = a + b + c + ( ab + bc + ca ) Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo ngun lí Dirichlet số ( a - 1) , ( b - 1) , ( c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử ( a - 1) ( b - 1) ³ Û ab ³ - c N = a + b3 + c + ( ab + bc + ca ) = ( a + b) + c - 3ab(a + b) + ( ab + bc + ca ) N £ ( - c ) + c - 3( - c ) ( - c ) + ( - c) + 8c ( - c ) = N ' N £ N ' = 27 - 27c + 9c - c + c - 18 + 6c + 9c - 3c +18 - 12c + 2c + 24c - 8c = 27 N £ 27 ìï ( a - 1) ( b - 1) = ïï Û Û a = b = c =1 Max(N)=27 ïí a + b + c = ïï ïï a = b ỵ Bài tập Cho a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q = ab + bc + ca - 2abc 14 Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi a = b = c = Theo nguyên lí Dirichlet số ( 3a - 1) , ( 3b - 1) , ( 3c - 1) có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử ( 3a - 1) ( 3b - 1) ³ Û 9ab - 3a - 3b +1 ³ Û 9abc ³ 3ac + 3bc - c 2ac 2bc 2c 2ac 2bc 2c + Þ ab + bc + ca - 2abc £ ab + bc + ca + 3 3 Û 2abc ³ 2c ( a + b) 2c Û ab + bc + ca - 2abc £ ab + c ( a + b) + £ + c ( a + b) + 9 ( 1- c ) 2c + c ( 1- c ) + 1 1ổ 1ử ỗ ab + bc + ca - 2abc £ c + c + =c - 2c + ữ ữ ỗ ữ+ 27 ố 12 18 12 ỗ 9ứ ab + bc + ca - 2abc £ 1ỉ 1ư ç = c- ÷ £ ÷ ç ÷ ç 27 12 è ø 27 Max ( Q ) = a = b = c = 27 Bài tập Cho a,b,c dương , abc = Tìm giá trị nhỏ P= ( 1+ a) + ( + b) + ( 1+ c) Hướng dẫn 1 1 2 P= + + ³ + = + 2 2 ( + a) ( + b) ( + c) ( + a ) ( + b) ( + c) ( + a ) bc + b + c +1 Theo nguyên tắc Dirihlet ba số a - 1; b - 1; c - có số có tích khơng âm Giả sử ( b - 1) ( c - 1) ³ Û bc - b - c +1 ³ Û b + c £ bc +1 P³ = ( 1+ a) ( 1+ a) Ta có 2 + + 2 abc ³ + = + 2 bc + b + c +1 ( + a ) 2(bc +1) ( + a ) bc + abc a a + a +1 = 1+ a (a +1) a + a +1 a + 2a +1- (a +1) +1 1 = = 1+ 2 (a +1) (a +1) a +1 ( a +1) 2 æ 1ư 1 3 Đặt = x Þ 1+ = x - x +1 = ỗ x- ữ + ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ 4 a +1 a +1 ( a +1) 15 dấu “=” x = Þ a = ìï 1 ïï = ïï b +1 c +1 ïï Nên Min(P) = Û í ( b - 1) ( c - 1) = Û a = b = c = ïï ïï abc = ïï ïỵ a = Trong q trình giảng dạy thân tơi tích lũy số kinh nghiệm học hỏi thêm từ đồng nghiệp biên tập lại làm tài liệu giảng dạy Tuy nhiên phần nội dung cách trình bày lời giải khơng tránh khỏi sai sót Tơi kính mong thầy giáo cô giáo bạn đồng nghiệp cho nhận xét quý báu để bổ xung sửa chữa để nâng cao thêm chất lượng chuyên đề , để chuyên đề có tác dụng hiệu Tôi xin trân trọng cảm ơn! 16 ... è2 ø ïìï ïí a = b = ïï ïỵ c = Do vai trò a,b,c nên Max (F) = 1 có số số B Bài tập áp dụng I Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải toán chứng minh bất đẳng thức Bài tập Cho số thực dương a, b, c... b - 2)(1- c) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: (a - 1) + (b - 1) + (c - 1) ³ ³ ( a + b - 2) + (c - 1) ³ 2 (a + b - 2)(1- c) 2(a + b - 2)(1- c) Dấu “=” xảy a = b = c = II Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET... ca ) Dấu “=” xảy ìï ( 3a - 1) ( 3b - 1) = ïï ïí a + b + c = Û a =b =c = ïï ïï a = b î II Áp dụng nguyên tắc DIRICHLET giải toán tìm cực trị đại số Ví dụ Cho số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện xy