Kĩ thuật áp dụng bđt côsi

KĨ THUẬT ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ( AM – GM) A LÍ THUYẾT I BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ( AM – GM) Với a, b ≥ a+b ≥ ab dấu “=” xẩy a = b Với a, b, c ≥ a+b+c ≥ abc dấu “=” xẩy a = b = c II BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI CƠ BẢN   ( a + b )  + ÷ ≥ ⇔ + ≥ dấu “=” xẩy a = b a b a b a +b 1  1    ( a + b + c )  + + ÷ ≥ ⇔ + + ≥ dấu “=” xẩy a = b =c a b c a b c a +b+c  1 1  B KĨ THUẬT SỬ LÍ CÔ SI CƠ BẢN Tức ta sử dụng bđt cô si Sau số ví dụ x y z VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Max P = x + + y + + z + Để áp dụng bđt cô si ta sử lí biểu thức sau : P=  x +1 −1 y +1−1 z +1 −1 1  + + = 3− + + ÷ x +1 y +1 z +1  x +1 y +1 z +1  1 Áp dụng bđt cô si cho số dương x + , y + , z + ta có  1  + + ÷≥  x +1 y +1 z +1  [ ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1)]   1  ⇔ ( x + y + z + 3)  + + ÷≥  x +1 y +1 z +1  1 ⇔ + + ≥ x +1 y +1 z +1 Dấu ‘=’ xẩy x=y=z =   P ≤ − ⇒  P = : x = y = z = Vậy Max P =  1 1 1 VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Max P = x + y + z + x + y + z + x + y + z Áp dụng bđt cô si cho cặp số dương (x+y, x+z), (x+y, y+z), (x+z, y+z) ta có 1 1 1  1 1 1 = ≤  + ÷ ≤  + + + ÷ dấu ‘=’ xảy x=y=z= x + y + z ( x + y ) + ( x + z )  x + y x + z  16  x y x z  1 ≤ ( + + ) x + y + z 16 x y z Tương tự dấu ‘=’ xảy x=y=z= 1 1 ≤ ( + + ) x + y + z 16 x y z 1 1 4 1 1 1 Cộng bđt ta có P = x + y + z + x + y + z + x + y + z ≤ 16 ( x + y + z ) = ( x + y + z ) = P ≤  ⇒ Vậy Max P =  P = 1, : x = y = z = VD : Cho x, y, z > x + y + x ≤ Tìm Min P = + xy + + yz + + zx Đây lại ví dụ minh họa cho việc vận dụng bđt cô si , ta có lời giải sau : Áp dụng bđt cô si cho số dương (1+xy), (1+yz), (1+zx) 1 ( + xy ) + ( + yz ) + ( + zx )  ( + + )≥9 + xy + yz + zx 1 ⇔ ( xy + yz + zx + 3)( + + )≥9 + xy + yz + zx dấu ‘=’ xảy x=y=z Mặt khác ta có ( xy + yz + zx) ≤ x + y + z ≤ dấu ‘=’ xảy x=y=z ⇒ (3 + xy + yz + zx) ≤ 1 ⇒ + + ≥ = + xy + yz + zx 2   P ≥ ⇒ P =  3 Vậy Min P = , : x = y = z = x y z VD : Cho x, y, z > x + y + z = 3xyz Tìm Min P = x + + y + + z + Nhận xét với điều kiện x + y + z = 3xyz ta làm ví dụ Để áp dụng bđt cô si ta biến đổi điều kiện biểu thức P sau : 1 x y z P= + + 1 Từ (gt) x + y + z = 3xyz ⇔ yz + zx + xy = 1+ 1+ 1+ x y z 2 Đến ta đặt a = ⇒ P= 1+ x + 1+ y + x ,b = yz 1+ z = y ,c = zx  a , b, c > 1 z với  2 ab = z , bc = x , ac = y xy a + b + c = 1  a , b, c > + + toán trở VD + bc + ac + ab với  2 a + b + c =  VD : Cho x,y > x + y < Tìm Min P = x2 y2 + + + x+ y 1− x 1− y x + y Nhận xét với điều kiện để áp dụng bđt cô si ta biến đổi biểu thức P sau : P=  x2 y2 x2   y2  1 1 + + + x + y = (1 + x ) + + (1 + y ) + −2= + + −2   + 1− x 1− y x + y 1− x   1− y  x + y 1− x 1− y x + y  Đến ta lại áp dụng bđt cô si cho số dương ( − x ) , ( − y ) , ( x + y ) ta có :  1  ( − x ) + ( − y ) + ( x + y )   + + ÷≥  1− x 1− y x + y  dấu ‘ = ‘ xảy − x = − y = x + y ⇔ x = y = 1 ⇒ + + ≥ 1− x 1− y x + y   P ≥ − = ⇒ Vậy Min P =  P = , : x = y =  3x − y − 3z − VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Max P = x − + y − + z − Với toán để vận dụng bđt cô si ta biến đổi biểu thức P ví dụ 3x − (2 x − 2) + ( x + 1) 2 Ta có : x − = x − x + = x + + x − = x + − − x ( )( ) y −1 3z − − Tương tự y − = y + − − y , = Cộng đẳng thức ta có : z −1 z +1 1− z P = 2(   1 1 1  1 1  + + )− + + + + )− + + ÷ = 2( ÷ x + y + z +  1− x 1− y 1− z  2x + y + z x + y + z x + y + 2z  x + y y + z z + x  Áp dụng bđt cô si cho cặp số dương (x + y), (y +z), (z + x) ta có : 1 1 1  = ≤  + ÷ tương tự x + y + z ( x + y) + ( z + x )  x + y z + x  1 1  1 1  ≤  + ≤  + ÷, ÷ dấu ‘=’ xảy x=y=z x + y + z  x + y y + z  x + y + 2z  z + x y + z  ⇒ 1 1 1  + + ≤  + + ÷ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z  x + y y + z z + x  ⇒ P = 2(  1 1 1  + + )− + + ÷ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z  x + y y + z z + x  1 1   1  ≤  + + + + ÷−  ÷= 2 x+ y y+z z+x  x+ y y+z z+x P ≤  Vậy Max P =   P = 0, : x = y = z = Các ví dụ minh họa cho việc vận dụng bđt cô si C ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ SI Với a, b ≥ a+b ≥ ab dấu “=” xẩy a = b Với a, b, c ≥ a+b+c ≥ abc dấu “=” xẩy a = b = c Nhận xét Việc sử dụng trực tiếp bđt cô si nhằm mục đích hạ bậc triệt tiêu mẫu Nhưng áp dụng dẫn đến trường hợp dấu ‘ = ‘ xảy thỏa mãn điều kiện có trường hợp không thỏa mãn điều kiện ( dấu ‘ = ‘ xảy ta gọi điểm rơi cô si) Ta xét trường hợp thứ nhất: I ĐIỂM RƠI CỦA CÔ SI LUÔN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN: VD : Cho x > Tìm Min P = x + x Ta có lời giải sau: Áp dụng bđt cô si cho số dương x 1 1 ta có P = x + ≥ x = dấu ‘ = ‘ xảy x = x x x x hay x = Vậy Min P = Nhận xét : Ví dụ cho thấy điểm rơi sử dụng bđt cô si thỏa mãn điều kiện x > Sau ta xét số ví dụ trường hợp 1 VD : Cho x, y, z > x + + y + + z + = Tìm Max P = xyz Từ (gt) ta có :  1 1    y z = 2−( + ) = 1 − + ÷+ 1 − ÷= x +1 y +1 z +1  y +1   z +1  y +1 z +1 Áp dụng bđt cô si cho số dương ta có : Tương tự y z y z yz = + ≥2 =2 (1) x +1 y +1 z +1 y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) x z xz = + ≥2 (2) y +1 x +1 z +1 ( x + 1)( z + 1) x y xy = + ≥2 (3) z +1 x +1 y +1 ( x + 1)( y + 1) dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z = 1 1 xyz Từ (1), (2) (3) ta có x + y + z + ≥ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ⇒ xyz ≤   P ≤  Vậy Max P =  P = , : x = y = z =  VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Max P = x + yz + y + zx + z + xy Xét biểu thức : x + yz = x ( x + y + z ) + yz = ( x + y ) ( x + z ) Áp dụng bđt cô si cho số dương (x + y) (x + z) ta có : x + yz = ( x + y ) ( x + z ) ≤ 2x + y + z Tương tự : y + zx = ( x + y) ( y + z) ≤ x + 2y + z z + xy = ( z + x) ( z + y) ≤ x + y + 2z Dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z Cộng vế với vế bđt ta có : P = x + yz + y + zx + z + xy ≤ 4( x + y + z) =2 P ≤  ⇒ Vậy Max P =  P = 2khi : x = y = z = x+ y y+z z+x VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Min P = xy + z + yz + x + zx + y Xét biểu thức : Tương tự : x+ y = xy + z x+ y x+ y 1− z = = xy + − x − y (1 − x )(1 − y ) (1 − x)(1 − y ) y+z 1− x = yz + x (1 − y )(1 − z ) z+x 1− y = zx + y (1 − x)(1 − z ) ⇒ x+ y y+z z+x + + = xy + z yz + x zx + y 1− z ( 1− x) ( 1− y) + 1− x ( 1− y ) ( 1− z ) + 1− y ( 1− z ) ( 1− x) ≥ 33 ( 1− x) ( 1− y) ( 1− z ) ( 1− x) ( 1− y) ( 1− z ) Dấu ‘ = ‘ xảy 1- x = 1- y = 1- z hay x = y = z P ≥  ⇒ Vậy Min P =  P = 3khi : x = y = z = VD 4: Cho x, y, z > x + y + z = xyz Tìm Max P = 1 Từ (gt) x + y + z = xyz ⇔ xy + yz + zx = 1 + x2 + 1+ y2 + 1+ z2 =3 1  a, b, c > Đặt a = x , b = y , c = z với   ab + bc + ca = ⇒P= 1+ a2 + 1+ b2 + 1+ c2 = a2 a2 + + b2 b2 + c2 + c2 + Thay ab + bc + ca = ⇒P= a2 a + ab + bc + ca + b2 b + ab + bc + ca + c2 c + ab + bc + ca = a2 b2 c2 + + (a + b)(a + c ) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) = a a b b c c + + a+b a+c a+b b+c b+c a+c 1 a a b b c c  + + + + + Áp dụng bđt co si cho số dương ta có : P ≤  ÷ = dấu 2 a+b a+c a+b b+c a+a b+c  a  a a + b = a + c  b  b ⇒a=b=c= = ‘ = ‘ xảy  a + b b + c c  c a + c = b + c    P ≤ ⇒ P =  3 Vậy Max P = , : x = y = z = 1 VD : Cho x, y > x + y = Tìm Min P = x3 + y + xy Từ (gt) x + y = ⇔ = ( x + y ) = x3 + y + 3xy ( x + y ) = x + y + 3xy Thay vào P ta có: P= 1 x + y + 3xy x + y + xy xy x3 + y + = + = + + Áp dụng bđt cô si cho số x + y xy x3 + y xy x3 + y xy dương ta có:  3xy x3 + y =  x + y3 xy  3 3  3xy x +y xy x + y P = 4+ + ≥ 4+2 = + dấu “ = “ xảy  x + y = x + y3 xy x + y3 xy  x > 0, y >    3xy x3 + y =  3 xy  x + y  P ≥ +  x + y =   P = +  x > 0, y >   Vậy Min P = + II KĨ THUẬT CÔ SI ĐIỂM RƠI x Ta xét ví dụ sau: Cho x ≥ Tìm Min a) P = x + , b) P = x + x2 *Cách giải sai : Áp dụng bđt cô si cho số dương x P = x+ ta có : x 1 ⇒ x = ∉ D = { x ≥ 2} Như Min P ≠ ≥ x = dấu ‘ = ‘ xảy x = x x x Nhận xét : Với cách áp dụng trực tiếp bđt cô si ta thấy điểm rơi cô si không thỏa mãn điều kiện toán lời giải sai *Cách giải : *Dự đoán : Điểm rơi bđt x=2 ⇒ = x  x   ⇒ Ta có phương trình điểm rơi : x2 = ⇒ = x  Từ phương trình điểm rơi ta biến đổi biểu thức P sau : P = x+ P= x 3x x = + + Áp dụng bđt cô si cho số dương ta có : x x 4 x x x 3x x 3x 3.2 + + ≥ + ≥ + = dấu ‘ = ‘ xảy = ⇒ x=2 x x 4 x 4   P ≥ ⇒ Vậy Min P =  P = , : x =  Như việc tìm phương trình điểm rơi mấu chốt để giải toán Với cách giải ta gọi kĩ thuật sử lí cô si điểm rơi phương pháp tách hạng tử Làm tương tự câu b Kĩ thuật cô si điểm rơi phương pháp thêm bớt hạng tử VD 1: Cho x, y, z > xyz = Tìm Min P = x3 (1+ y) (1+ z) + y3 z3 + ( 1+ x) ( 1+ z) ( 1+ x) ( 1+ y ) Để triệt tiêu mẫu hạ bậc tử ta cần thêm bớt hạng tử vào biểu thức P Ta biến đổi sau : x = y = z =1   *Dự đoán : Điểm rơi bđt + y + z  ⇒ Hệ pt cân điểm rơi ⇒x= = 2   x3 1+ y =   (1 + y )(1 + z ) Áp dụng bđt cô si cho số dương  x3 1+ z  =  (1 + y )(1 + z ) Ta có : 1+ y 1+ z x3 + y + z 3x + + ≥ 3 = dấu ‘ = ‘ ( 1+ y ) ( 1+ z ) (1+ y) (1+ z) 8 x3 ( 1+ y ) = ( 1+ z ) ⇒ 2x = + y = 1+ z x3 = 8 ( + y ) (1 + z ) y3 1+ x 1+ z y3 1+ x 1+ z 3y + + ≥ 3 = Tương tự : dấu ‘ = ‘ y = + x = + z ( 1+ x) ( 1+ z ) (1+ x) ( 1+ z ) 8 1+ y 1+ x z3 + y + x 3z + + ≥ 3 = dấu ‘ = ‘ z = + y = + x ( 1+ y ) ( 1+ x) ( 1+ y ) ( 1+ x) 8 z3 Cộng vế với vế bđt ta : x3 y3 z3  + x + y + z  3x y z + + + + + + + ÷≥ (1 + y )(1 + z) (1 + x)(1 + z) (1 + x)(1 + y )  4  4 x3 y3 z3 3 ⇔ + + ≥ ( x + y + z ) − ≥ 3 xyz − = (1 + y )(1 + z) (1 + x)(1 + z) (1 + x)(1 + y ) 4 dấu ‘ = ‘ xảy : x =y = z =   P ≥ ⇒ P =  3 Vậy Min P = , : x = y = z = x3 y3 VD 2: Cho x, y > xy = Tìm Min P = y + + x + ( ) ( )  x3 = x = y =1     y +1 *Dự đoán điểm rơi: y +  ⇒ Ta có hệ pt điểm rơi là:  ⇒x= = 1  x =   y + y +1 Áp dụng bđt co si x3 y +1 x3 y + 1 3x + + ≥ = cho số dương ta có: dấu “ = “ xảy y +1 y +1 2 x3 y +1 = = ⇒ x = y =1 y +1 Tương tự y3 x +1 y3 x + 1 y + + ≥ 3 = dấu “ = “ xảy x = y = x +1 x +1 2 Cộng vế với vế bđt ta được: x3 y3 3 + + ( x + y) + ≥ ( x + y) y +1 x +1 2 x3 y3 3 5 ⇒ + ≥ ( x + y ) − ( x + y ) − = ( x + y ) − ≥ xy − = y +1 x +1 4 dấu “ = “ xảy x = y = P ≥ ⇒ Vậy Min P =  P = 1, : x = y = VD 3: Cho x, y, z > xy + yz + zx ≥ Tìm Min P = 10 x3 y2 + + y3 z2 + + z3 x2 + Tương tự: y5 y5 y5 y3 = yz ⇒ y = z + yz ≥ yz = dấu “ = “ xảy z3 z3 z3 z z5 z5 z5 2z3 = zx ⇒ z = x + zx ≥ zx = dấu “ = “ xảy x3 x3 x3 x  x3 y z  x5 y z + + + xy + yz + zx ≥ ( )  + + ÷ y z x3 z x  y dấu “ = “ xảy x = y = z  x3 y z  x5 y z ⇔ + + ≥  + + ÷− ( xy + yz + zx ) y z x z x  y ⇒ x3 x3 x3 + xy ≥ xy = x Lại có: dấu “ = “ xảy = xy ⇒ x = y y y y y3 y3 y3 = yz ⇒ y = z + yz ≥ yz = y dấu “ = “ xảy z z z z3 z3 z3 = zx ⇒ z = x + zx ≥ z x = z dấu “ = “ xảy x x x x3 y3 z ⇒ + + + ( xy + yz + zx ) ≥ x + y + z y z x ( ) x3 y3 z ⇔ + + ≥ x + y + z − ( xy + yz + zx ) ≥ ( xy + yz + zx ) − ( xy + yz + zx ) = ( xy + yz + zx ) y z x ( ) dấu “ = “ xảy x = y = z  P ≥ ( xy + yz + xz ) = ⇒ Vậy Min P =  P = 9, : x = y = z = VD 7: Cho a, b, c > Tìm Min P = a 3c b3 a + bc + b3 a c 3b + ac + c 3b a 3c + ab Chia tử mẫu hạng tử P cho bc, ac, ab ta có : P= Đặt a 3c b3a + bc + b3 a c 3b + ac + c 3b a 3c + ab = a3 b2c + ab +1 c2 u , v, w > a b c = u , = v, = w ⇒  P = b c a u.v.w = b3 c2a + cb +1 a2 c3 a 2b ac +1 b2 a3 b3 c3 u v w b c + c a + a 2b = + + ab cb ac v+ w w+ u u+ v +1 +1 +1 2 c a b 14  x, y , z > u v w x2 y2 z2 + + = + + P = v+ w w+ u u + v y+ z x+ z x+ y  xyz = Đặt u = x, v = y, w = z ⇒  *Đự đoán điểm rơi bđt x = y = z = ⇒ pt điểm rơi dương ta có : Tương tự : x2 y+z = Áp dụng bđt cô si cho số y+z x2 y+z x2 y + z + ≥2 = x dấu ‘ = ‘ xảy 2x = y + z y+z y+z y2 z+x y2 z + x + ≥2 = y dấu ‘ = ‘ xảy y = z + x z+x z+x z2 x+ y z2 x + y + ≥2 = z dấu ‘ = ‘ xảy 2z = y + x x+ y x+ y Cộng bđt ta : x2 y2 z2 + + + ( x + y + z) ≥ ( x + y + z) y+ z x+ z x+ y x2 y2 z2 3 ⇔ + + ≥ ( x + y + z ) ≥ x y.z = y+ z x+ z x+ y 2 dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z =1   P ≥ ⇒ P =  3 Vậy Min P = : x = y = z = ⇒ a = b = c = 2 Kĩ thuật cô si điểm rơi phương pháp thêm, bớt số VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Max P = x + y + y + 3z + z + 3x   *Dự đoán : điểm rơi bđt  ⇒ Pt điểm rơi x + y = = Áp dụng bđt cô si 3 ⇒ x = ,3 y = 4  x= y=z= cho số dương ta có : ( x + y).1.1 ≤ x + 3y +1+1 x + 3y + = dấu ‘ = ‘ xảy x + y = 3 ( y + z ).1.1 ≤ y + 3z + + y + 3z + = dấu ‘ = ‘ xảy y + 3z = 3 ( z + x).1.1 ≤ z + 3x + + z + 3x + = dấu ‘ = ‘ xảy z + 3x = 3 15 ⇒ x + y + y + z + z + 3x ≤ ( x + y + z ) + = dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z = P ≤  ⇒ Vậy Max P =  P = 3, : x = y = z = VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Max P = − x + − y + − z 1 x= y=z=  3 *Dự đoán : điểm rơi bđt  ⇒ Áp dụng bđt cô si cho số dương ta có :  ⇒ 1− x =  + (1 − x) −x 3 3 dấu ‘ = ‘ xảy − x = ⇔ x = (1 − x) ≤ = 3 2 2 Tương tự : + (1 − y ) −y 3 3 1− y = ⇔ y = dấu ‘ = ‘ xảy (1 − y ) ≤ = 3 2 2 + (1 − z ) −z 3 3 dấu ‘ = ‘ xảy − z = ⇔ z = (1 − z ) ≤ = 3 2 2 Cộng bđt ta x = y = z = ( ) 3 5 − ( x + y + z )  = = dấu ‘ = ‘ xảy 1− x + 1− y + 1− z ≤ 2 2 P ≤  ⇒ Vậy Max P =  P = 6, : x = y = z =  1 VD 3: Cho x, y, z > x + y + z = 3xyz Tìm Min P = x3 + y + z 1 Từ (gt) x + y + z = 3xyz ⇔ xy + yz + zx = 16 x = y = z =1  1  *Dự đoán : điểm rơi bđt ⇒ = 1, = 1, = 1 ⇒ pt điểm rơi : x3 = y = z = Áp dụng  x3 y3 z3  bđt cô si cho số dương : Tương tự : 1 1 1 + + ≥ 3 = dấu ‘ = ‘ xảy x3 = y = ⇒ x = y = x y x y xy 1 1 1 = =1⇒ y = z =1 + + ≥ = dấu ‘ = ‘ xảy y z3 y3 z3 y3 z yz 1 1 1 + + ≥ 3 = dấu ‘ = ‘ xảy = = ⇒ z = x = z x z x z x zx  1 1 1  + + ) + ≥  + + ÷ = x y z  xy yz zx  Cộng bđt ta : dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z = 1 1 ⇔ + + ≥3 x y z 2.( P ≥ ⇒ Vậy Min P =  P = 3.khi : x = y = z = VD 4: Cho x, y, z > Tìm Min P = xy yz zx + + = 3 ( y + z )(z + x) ( z + x )( x + y ) ( x + y )( y + z ) x3 y3 z3 + + y+z z+x x+ y *Dự đoán: điểm rơi bđt x = y = z = ⇒ hpt điểm rơi là: x3 y3 z3 = = = Áp dụng bđt y+z z+x x+ y x3 y3 x3 y3 xy + + ≥ = cô si cho số dương ta có: y + z z + x dấu “ = “ xảy y + z z + x 2( y + z) ( z + x) x3 y3  y = z + x = = ⇒ khi: y + z z + x  x = y + z y3 z3 y3 z3 yz + + ≥ = Tương tự: z + x x + y dấu “ = “ xảy khi: z + x x + y 2( z + x) ( x + y )  y = z + x   z = x + y x3 z3 x3 z3 xz + + ≥ 33 = dấu “ = “ xảy khi: y+z x+ y y + z x + y 2( y + z) ( x + y)  z = x + y   x = y + z 17 Cộng bđt ta được:  x3 y3 z3  3  xy  + + + ≥ + ÷  ( y + z) ( z + x)  y+z z+x x+ y  3  x y z  3 ⇔  + + ÷≥ − =  y+z z+x x+ y ⇔ yz ( z + x) ( x + z ) + zx ( x + y) (  ÷ y + z) ÷  dấu “ = “ xảy x3 y3 z3 + + ≥ y+z z+x x+ y khi: x = y = z =   P ≥ ⇒ P =  3 Vậy Min P = : x = y = z = VD 5: Cho x, y > x y xy + + = Tìm Min P = 27 x + y 3 *Dự đoán: điểm rơi bđt cho số dương ta có: x = 2, y =  x3 y3 ⇒ = 1, = Áp dụng bđt cô si  pt điểm rơi ⇒ x = 8, y = 27  27 x3 x3 x3 3x + + ≥ 3 1.1 = dấu ‘ = ‘ xảy = = ⇒ x = 8 y3 y3 y3 =1=1⇒ y = +1+1 ≥ 33 1.1 = y dấu ‘ = ‘ xảy 27 27 27 x3 y x3 y x3 y xy + + ≥ 3 = dấu ‘ = ‘ xảy = = ⇒ x = 2, y = 27 27 27  x3 y3  3x xy  + ÷+ ≥ + y+ 2  27  x y 3  x y xy  5 Cộng bđt ta được: dấu ‘ = ‘ xảy x = 2, y = ⇔ + ≥  + + ÷− = − = 27   2 3 ⇔ 27 x + y ≥ 432  P ≥ 432 ⇒ Vậy Min P = 432  P = 432.khi : x = 2, y = 18 Kĩ thuật cô si điểm rơi phương pháp tách, nhóm hạng tử  1     VD 1: Cho x, y > x + y = Tìm Min P = (1 + x) 1 + ÷+ ( + y ) 1 + ÷ y x  1     Biến đổi biểu thức P = (1 + x) 1 + ÷+ ( + y ) 1 + ÷ = + x + y + + + + y x y y x  x  1 x y   1 ,y= *Dự đoán điểm rơi bđt  ⇒ pt cân điểm rơi x = 2x 2y 1 ⇒ x2 = , y =  2  x= y= Áp dụng bđt cô si cho số dương ta có: 1 x y P = 2+ x+ y+ + + + x y y x     x y 11 1 1 x y 11 1 11 1  = +  x + ÷+  y + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ x + y + +  + ÷ = 2 + +  + ÷ 2x   2y   y x   x y  2x 2y y x 2 x y 2 x y  11 1 P ≥ 2 + +  + ÷≥ 2 + + ≥ 2 +4+ = 4+3 2 2 x y x+ y x +y ( Dấu “ = “ xảy x = y = ) P ≥ +  ⇒ Vậy Min P = +  P = + 2.khi : x = y =  VD 2: Cho x, y, z > x + y + 3z ≥ 20 Tìm Min P = x + y + z + x + y + z  3x 4 =x  x = 2, y = 3, z =  y *Dự đoán dấu điểm rơi bđt  ⇒ hpt cân điểm rơi  = 2 ⇒ x = 4, y = 9, z = 16   2y z  = 4 z x Ta biến đổi biểu thức P = x + y + z + +  3x   y   z   x y z  + =  + ÷+  + ÷+  + ÷+  + + ÷ Áp 2y z  x   2y   z   4  dụng bđt cô si cho cặp số dương ta có: 19 3x y z  3x   y   z   x y 3z  P =  + ÷+  + +2 + + ( x + y + 3z ) ÷+  + ÷+  + + ÷ ≥ x 2y z  x   2y   z   4  dấu “ ⇒ P ≥ + + + ( x + y + 3z ) ≥ + = 13  3x 4 =x  x = y  ⇔ y = = “ xảy  =  2y z =  z =  4 z  P ≥ 13 ⇒ Vậy Min P = 13  P = 13.khi : x = 2, y = 3, z = 1 2 VD 3: Cho x, y, z > x + y + z ≤ Tìm Min P = x + y + z + x + y + z  1 x = =  8x 8x   x= y=z=    2 = *Dự đoán điểm rơi bđt  ⇒ hpt điểm rơi  y = 1 8y 8y  x3 = , y = , z =    8 8 = z = 8z 8z        2 2 Ta có: P = x + y + z + + + =  x + + ÷+  y + + ÷+  z + + ÷+ ( x + y + z ) x y z 8x 8x 8y 8y 8z 8z 1 1    1    Áp dụng bđt cô si cho số dương ta có: 1   1   1  31 1 3 31 1  P =  x + + ÷+  y + + ÷+  z + + ÷+  + + ÷ ≥ + + +  + + ÷ 8x 8x   8y 8y   8z 8z   x y z  4 4  x y z   ⇒P≥ 31 1 +  + + ÷ 4 x y z 1 1 1 ≥ ( x + y + z )  + + ÷≥ ⇔ + + ≥ Mặt khác theo bđt cô si x y z x+ y+z x y z ⇒P≥ 31 1 27 +  + + ÷ ≥ + = 4 x y z 4 20 =6  1  x = 8x = 8x  1  Dấu “ = “ xảy  y = = ⇒ x = y = z = 8y 8y   1 = z = 8z 8z    P ≥ ⇒ P =  27 27 : x = y = z = 3 VD 4: Cho x, y, z > x + y + z = 3xyz Tìm Min P = x + y + z  a , b, c > 1 1 1  Từ giả thiết x + y + z = 3xyz ⇒ xy + yz + zx = Đặt = a, = b, = c ⇒ ab + bc + ca = x y z  MinP = 3a + b + 3c  *Dự đoán điểm rơi bđt b = 2a = 2c ⇒ pt điểm rơi : b2 b2 = 2a , = 2c , a = c Áp dụng bđt cô 2 si cho cặp số dương ta có :  b2   b2  P = 3a + b + 3c =  2a + ÷+  2c + ÷+ a + c ≥ ( ab + bc + ca ) = 2.3 = Dấu ‘ = ‘ xảy 2  2  ( ) b = 2a    15 15 x=z= a=c= b = 2c  a = c =  P ≥     5 ⇔ ⇒ ⇒  Vậy Min P =  P = a = c b = 15 b = 15 y =  ab + bc + ca =    5 D KĨ THUẬT CÔ SI NGƯỢC DẤU Nếu A ≥ B ≤ α ⇒ Ngược dấu (Nghĩa ta áp dụng bđt cô si chiều bđt lại ngược với chiều bđt cho) Để giải chiều bđt ta cần biến đổi biểu thức xuất dấu (-) Dưới số ví dụ minh họa cho việc sử lí cô si ngược dấu x y z VD 1: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Min P = + y + + z + + x Nhận xét : Nếu ta áp dụng bđt cô si dẫn đến ngược dấu Chẳng hạn áp dụng bđt cô si cho số dương mẫu ta có : 21 P= x y z x y z x y z + + ≤ + + ≥ = Lời giải sai A ≤ B ≥ α 2 1+ y 1+ z 1+ x y 2z 2x y z x *Cách giải : x x(1 + y ) − xy xy xy = = x − ≥ x− Ta có : (Áp dụng bđt cô si cho số dương 1+x2) 2 1+ y 1+ y 1+ y Tương tự : y y (1 + z ) − yz yz yz = = y − ≥ y− 2 1+ z 1+ z 1+ z z z (1 + x ) − zx zx zx = = z − ≥ z− dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z = 2 1+ x 1+ x 1+ x x y z Cộng bđt ta có : P = + y + + z + + x ≥ ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) dấu ‘ = ‘ xảy x=y=z=1 ( xy + yz + zx ) ≤ x + y + z ⇔ ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) Lại có : ⇒P= ⇒ − ( xy + yz + zx ) ( x + y + z) ≥ dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z = =3 x y z 3 + + ≥ ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx) ≥ − = dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z = 2 1+ y 1+ z 1+ x 2   P ≥ ⇒ P =  3 Vậy Min P = x = y = z = x +1 y +1 z +1 VD 2: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Min P = + y + + z + + x (Làm tương tự ví dụ 1) VD 3: Cho x, y, z > ( 1 1 x3 y3 z3 t3 + + + = Tìm Min P = + + + x y z t x + y2 y2 + z z + t t + x2 ) x x + y − xy x3 xy y Ta có : 2 = = x − ≥ x − dấu ‘ =’ xảy x = y 2 2 x +y x +y x +y ( ) y y + z − yz y3 yz z Tương tự : 2 = = y − ≥ y − dấu ‘ =’ xảy y = z 2 2 y +z y +z y +z ( ) z z + t − zt z3 zt t = = z− ≥ z − dấu ‘ =’ xảy z = t 2 2 z +t z +t z +z 22 ( ) t t + x − tx t3 tx x = = t − ≥ t − dấu ‘ =’ xảy t = x 2 2 2 t +x t +x t +x Công bđt ta : x3 y3 z3 t3 1 P= + + 2+ ≥ ( x + y + z + t ) − ( x + y + z + t ) = ( x + y + z + t ) dấu ‘ = ‘ xảy 2 x +y y +z z +t t +x 2 x = y = z = t = 1 1 1 Mặt khác theo bđt cô si ta có : ( x + y + z + t )  + + + ÷ ≥ 16 ⇒ ( x + y + z + t ) ≥ dấu ‘ = x y z t   ‘ xảy x = y = z = t P ≥ ⇒ Vậy Min P =  P = 4.khi x = y = z = t = VD 4: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Min P = ( x2 y2 z2 + + x + y3 y + z z + x3 ) x x + y − xy x2 xy xy Ta có : = = x − ≥ x − = x − x y dấu ‘ = ‘ xảy 3 3 23 x + 2y x + 2y x+ y + y 3y x x = y3 y2 yz yz = y − ≥ y − = y − y z dấu ‘ = ‘ xảy y = z Tương tự : y + z 3 23 y+z +z 3z y z2 zx zx = z − ≥ z − = z − z x dấu ‘ = ‘ xảy z = x 3 3 23 z + 2x z+x +x 3x z Cộng bđt ta : P = x2 y2 z2 + + ≥ ( x + y + z) − 3 x + 2y y + 2z z + 2x Dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z x + xz + xz ≥ 3 x3 z = 3x z y + yx + yx ≥ 3 x z = y x Mặt khác z + yz + yz ≥ 3 y z = 3z y ( ⇒ ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) ≥ x z + y x + z y ( ) − x z + y x2 + z y2 ≥ − ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) 23 ) ( x y + y z + z x ) ) ( x y + y z + z x  ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx )   + ( xy + yz + zx )  ≥ ( x + y + z) −   = 3−   = − ( xy + yz + zx ) 3 3    P ≥ ( x + y + z) − ( x + y + z) ≥ − = − =1 3 P ≥ ⇒ Vậy Min P =  P = 1.khi x = y = z = 1 1 VD 5: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Min P = x + + y + + z + Ta có : x2 + − x2 x2 x = = − ≥ − dấu ‘ = ‘ xảy x = 2 x +1 x +1 x +1 y2 y = − ≥ − dấu ‘ = ‘ xảy y = Tương tự : 2 y +1 y +1 z2 z = − ≥ − dấu ‘ = ‘ xảy z = 2 z +1 z +1 1 1 Công bđt ta : P = x + + y + + z + ≥ − ( x + y + z ) = dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z =   P ≥ ⇒ P =  3 Vậy Min P = : x = y = z = 27 x y2 8z 2 P = + + VD 6: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Min x(4 x + y ) y y + z z z + x2 ( 27 x y 8z Ta có P = z z + x + x(4 x + y ) + y y + z ( ) ( ) c 3x a y b ) y x = + + 2 x z   y   + ÷ (4 y + 1)  + ÷ x   z  z Đặt x = a, y = b, z = c ⇒ a = z , b = x , c = y 24 z ( )   a , b, c >  ⇒ a + b + c = (Tương tự ví dụ 3)  3  MinP = c + a + b a +c a +b b +c  E BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hai số dương x y có tổng 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = (1 − x )(1 − y ) ( Hải Phòng 15-16) a2 b2 c2 Bài 2: Cho a, b, c số lớn Chứng minh: + + ≥ 12 b −1 c −1 a −1 Bài 3: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ Chứng minh rằng: x+y+ + ≥ Đẳng thức xảy ? 2x y 26 Bài 4: Cho hai số dương x, y thỏa xy=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x + y − 3x + y Bài 5: Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab Bài 6: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn : x + 2y £ Tìm giá trị lớn biểu thức S = x + + y + Bài 7: Cho x; y hai số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 x + y) x + y) ( ( S = + x + y2 xy x , y , z Bài 8: Cho ba số thực dương thỏa mãn x + y ≤ z Chứng minh rằng: 25 (x  1  27 + y2 + z )  + + ÷≥ y z  x Bài 9: Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh: 1 + + ≥3 a b2 c2 Bài 10: Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a 4b 9c + + b+c −a c+ a −b a+b−c Bài 11: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ a+b b+c c+a Bài 12: Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: + ≥3 x y 1 + = Tìm giá trị lớn biểu thức a b 1 Q= + 2 a + b + 2ab b + a + 2ba Bài 14: Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y , tìm giá trị nhỏ biểu Bài 13: Cho số dương a, b thỏa mãn thức: M = x + y2 xy Bài 15: Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b ≥ a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức 8a + b + b2 A= 4a Bài 16: Cho a,b,c số dương không âm thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : a b c + + ≤ a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Bài 17: Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a ≥ 1; b ≥ 4;c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức : P = bc a − + ca b − + ab c − abc Bài 18: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh xy + xz ≥ Bài 19: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:  a b+c c+a a+b b c  + + ≥ 4 + + ÷ a b c b + c c + a a + b −2 xy Bài 20: Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = + xy Bài 21: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh r»ng : 26 25a 16b c + + >8 b+c a+c a+b Bài 22: Cho a, b hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ Chứng minh: + a − 2b + ≥ + a + 2b Bài 23: Cho x, y, z ba số thực dương thỏa: x + y + z = Chứng minh rằng: 1 x + y3 + z + + ≤ + x + y2 y2 + z2 z2 + x 2xyz Đẳng thức xảy nào? Bài 24: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b + 3c c + 3a a + 3b Bài 25: Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z + + ≤ x + x + yz y + y + zx z + 3z + xy Bài 26: Cho số a, b, c lớn 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c + + b−5 c−5 a−5 67 Bài 5: ( điểm ) Q= Bài 27: Cho số dương x, y , z Chứng minh bất đẳng thức: x + y+z Bài 28: Với x > 0, Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 4x − 3x + y + x+z z >2 x+ y + 2011 4x     Bài 29: Chứng minh : Với x > 1, ta có  x − ÷<  x − ÷ x  x    Bài 30: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn ab bc ca + + c + ab a + bc b + ca Bài 31: Cho ba số x, y, z thoả mãn < x, y, z ≤ x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) + + thức: A= z x y biểu thức: P = Bài 32: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = x + y + 12 xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x+ y 27 Bài 33: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x + y = 33 2 Tìm Min : P = x + y + xy Bài 34:: Cho số dương x y thay đổi thoả mãn điều kiện : x – y ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x − y 28 ...  ab + bc + ca =    5 D KĨ THUẬT CÔ SI NGƯỢC DẤU Nếu A ≥ B ≤ α ⇒ Ngược dấu (Nghĩa ta áp dụng bđt cô si chiều bđt lại ngược với chiều bđt cho) Để giải chiều bđt ta cần biến đổi biểu thức... c = 2 Kĩ thuật cô si điểm rơi phương pháp thêm, bớt số VD : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm Max P = x + y + y + 3z + z + 3x   *Dự đoán : điểm rơi bđt  ⇒ Pt điểm rơi x + y = = Áp dụng bđt cô... họa cho việc vận dụng bđt cô si C ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ SI Với a, b ≥ a+b ≥ ab dấu “=” xẩy a = b Với a, b, c ≥ a+b+c ≥ abc dấu “=” xẩy a = b = c Nhận xét Việc sử dụng trực tiếp bđt cô si nhằm