CAC KI THUAT SU DUNG BDT COSI VA BUNHIA

CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Phn mt BT NG THC Cễ SI (AM-GM) V K THUT S DNG I-CC DNG BT NG THC a1 + a2 + + an n a1.a2 an n 1).Dng c bn: vi 0, i = 1, n m 2).Dng lu tha: a1m + a2m + + anm a1 + a2 + + an ữ n n 3).Dng cng mu s: vi 0, i = 1, n 1 n2 + + vi > 0, i = 1, n a1 a2 an a1 + a2 + + an 4).Dng trung bỡnh a).Trung bỡnh nhõn: n a1.a2 an + n b1.b2 bn n ( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) (an + bn ) (Bt ng thc MinCụpxki) H qu: ( 1+ a1 ) ( 1+ a2 ) ( 1+ an ) ( 1+ n a1a2 an ) b).Trung bỡnh cn: n i =1 n 2 n n a + b ữ + bi ữ i =1 i = c) Trung bỡnh iu ho: i i (Bt ng thc MinCụpxki) n n ữ bi ữ n bi i =1 i =1 vi > 0, bi > 0; i = 1, n n n a + b i =1 i i + bi i =1 i =1 2ab a+ b a2 + b2 ab a+ b 2 1 n + + + a > 0, i = 1, n 1+ a1 1+ a2 1+ an 1+ n a1.a2 an vi i Mi quan h gia cỏc dng trung bỡnh: 5).Dng phõn thc: (Bt ng thc Jen sen) II-K THUT S DNG BT NG THC Cễ SI Phơng pháp cân tổng (ỏnh giỏ t trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn) Phơng pháp xuất phát từ nhận xét sâu sắc sách giáo khoa, tức Nếu hai số dơng có tích không đổi tổng chúng nhỏ chúng Mở rộng cách tự nhiên để chứng minh tổng S= S1 + S2+ + Sn m , ta biến đổi S = A1+A2+ +An số không âm mà có tích A1A2 An = C không đổi, sau ta áp dụng bất đẳng thức Côsi Vi du Tìm giá trị nhỏ f(x) = x + x > x Giải: Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - > 1 > ta có x CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki x 1+ x ( x 1) 1 x + x+ x x x Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ x = Vi du Chứng minh x > -1 x + 1 ( x + 1) Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thấy cha kết quả, nhng tách 2x thành x+1+x+1-2 có điều phải chứng minh Vi du Chứng minh x x + 27 ( x + 3) Phân tích: Biến đổi vế trái thành tổng số hạng có tích không đổi, phải phân tích x thành số hạng x+ 3 Giải: Bất đẳng thức cho tơng đơng x+3 x+3 x+3 27 x+3 x+3 x+3 27 + + + 31 + + + 3 3 3 ( x + 3) ( x + 3) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng gồm ba số 27 x+3 ( x + 3) 3 ta có điều phải chứng minh Dấu xảy x=0 Để luyện tập ta cho em áp dụng tơng tự sau: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + với x > 2x + 2) Chứng minh nếu x > - 2x + ( x + 3) 3) Chứng minh a > b > a+ b (a b)(b + 1) 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > thoả mãn: + =1 x y Hớng dẫn: từ biểu thức ta có y = 3x = 3+ x2 x2 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Q = x + y = x +3+ 6 = x2+ +5 x2 x2 5) Tìm giá trị nhỏ biểu thức R = ab a2 + b2 với a > 0, b > + ab a2 + b2 ab a + b2 a + b sau dùng bất đẳng thức Côsi + + a + b2 4ab ab HD: R = Chứng minh ( x + 2) + (a > 0) x+2 Chng minh rng 1) ( a + b) 64ab( a + b) , a, b 2) ( 1+ a + b) ( a + b + ab) 9ab, a, b 3) 3a3 + 7b3 9ab2, a, b HD: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 33 27a3b6 = 9ab2, a, b a, b, c, d > Cho Chng minh rng: abcd 1 81 + + + 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d HD: 1+ a = 1+ b ữ+ 1+ c ữ+ 1+ d ữ = 1+ b + 1+ c + 1+ d 33 1+ b 1+ c 1+ d ( )( )( ) 1 1 a, b, c > Chng minh rng: a + b + c = Cho a HD: = b c d bcd a 1ữ b 1ữ c 1ữ a b + c = a a Chỳ ý: Tỏch nghch o k thut ỏnh giỏ trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn l k tỏch phn nguyờn theo mu s chuyn sang trung bỡnh nhõn thỡ cỏc phn cha bin s b trit tiờu 10 Chng minh rng: 1) a2 + a2 + 2, a Ă 3) a + b( a b) 3, a > b > 5) a + b a b 2, a > b > ( ) 2) a > b a2 + b2 2, a b ab = 4) a + a b b + 3, a > b ( )( ) a 2a + 3, 6) 4b( a b) a>1 b x3 y3 z3 + + x + y+ z 11 Vi mi x, y, z dng, hóy chng minh yz zx xy 12 Vi x, y, z l cỏc s dng cú tớch bng 1, hóy chng minh bt ng thc sau CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki x3 y3 z3 + + ( 1+ y) ( 1+ z) ( 1+ z) ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ y) Phơng pháp cân tích ( ỏnh giỏ t trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cng) Từ hệ quan trọng sách giáo khoa: Nếu hai số dơng có tổng không đổi tích chúng lớn chúng Mở rộng ta có: để chứng minh biểu thức có dạng P= P1P2 Pn Ê M ta phân tích P = B1B2 Bn số không âm mà tổng B1 + B2+ + Bn = C số không đổi Vi du Cho a > 0, b > a + b = Chứng minh ab2 Ê 27 Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành tích có tổng không đổi mà tổng chắn phải liên quan đến a + b = Giải: ab2 = 4a b b mà theo bất đẳng thức Côsi cho số dơng a, 2 b/2,b/2 ta có: b b a 2 a+ b b + 2 = a b b 4a b b đpcm 3 2 27 2 27 Dấu xảy a = 1/3; b = 2/3 Bai tõp t luyn Bai Chng minh rng: 1) ab + cd ( a + c) ( b + d) , a, b, c, d > a > c > 2) c( a c) + c( b c) ab, b > c > 3) 16ab( a b) ( a + b) , a, b 4) ( a + b) ( ab) 1+ a2 1+ b2 ( )( ) Bai Chng minh rng: abc + ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) , a, b, c Tng quỏt: n a1.a2 an + n b1.b2 bn n ( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) (an + bn ) (Bt ng thc MinCụpxki) Bai Chng minh rng: CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 1 + n1 1, n Ơ n! n 1 1 1 n HDG: Bin i: n1 + n1 = n1 + n1 n n n! n n1 a, b, c Bai Cho Chng minh rng: a + b + c = 1) 16abc a + b 2 C ôsi a+ b a + b+ c HDG: 16abc 16 c = a + b a + b c 4( a + b) = a+ b ( ) ( ) ữ ữ 2) ab + bc + ca abc 27 HDG: 3 C ôsi a + b + c VT = 1+ ab + bc + ca a b c abc = ( a) ( b) ( c) = = ữ ữ 27 3) abc( a + b) ( b + c) ( c + a) 729 4) ab + bc + ca 2abc (IMO-1984) 27 Gii: Theo gi thit suy ra: a, b, c [ 0;1] ú: C ô si ab + bc + ca 2abc 33 ( abc) 2abc = 3( abc) 2abc 3abc 2abc = abc 2 (vỡ abc [ 0;1] ( abc) abc ) Ta s chng minh: ( a + b c) ( b + c a) ( c + a b) abc a, b, c [ 0;1] Nu cú hai tha s VT , chng hn: a + b c 2b vô lí b+ c a Nu cú ỳng mt tha s VT Đ PCM Nu c ba tha s VT u dng thỡ ta cú: VT = ( a + b c) ( b + c a) ( b + c a) ( c + a b) ( c + a b) ( a + b c) a + b c + b+ c a b+ c a + c + a b c + a b + a + b c = abc 2 Ma a + b+ c = suy ra: ( 2c) ( 2a) ( 2b) abc 2a 2b 2c + 4( ab + bc + ca) 8abc abc 1 a + b+ c ab + bc + ca 2abc ( 1+ abc) 1+ = 4 ữ 27 Võy ta cú iu phi chng minh Chỳ ý: Nhõn thờm hng s k thut ỏnh giỏ trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cng CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Bai Chng minh rng: a b + b a ab, a, b a, b, c Bai Cho Chng minh rng: a + b + b + c + c + a a + b + c = a ab c + bc a + ca b Bai Cho b Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 2 c x Bai Cho Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: A = ( x) ( y) ( 2x + 3y) y Bai a) Cho x, y > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: f ( x; y) ( x + y) = xy2 b) Cho x, y, z > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: f ( x; y; z) Tng quỏt: Cho x1, x2, , xn > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: f ( x1; x2; ; xn ) ( x + x + + xn ) = Bai 10 Chng minh rng; A = sin2 x.cos x m n Tng quỏt: A = sin x.cos x 1+ 2+ + n x1x22 xnn mm.nn ( m+ n) m+ n , m, n  Bai 11 ( THI HSG Tnh Ngh An-Bng A-1992-1993) Cho a1, a2, a3, , a10 la cỏc s dng Tỡm giỏ tr nh nht ca a12 + a22 + + a10 P= a10 ( a1 + a2 + + a9 ) Gii Nhn xột vai trũ ca a1, a2, , a9 bỡnh ng nờn ta phõn phi a10 u cho s p dng bt ng thc Cụ si : 2 a1 + a10 3a1a10 a2 + a2 3a a 10 10 a2 + a2 3a a 10 9 10 Cng v theo v cỏc BT trờn ta c: ( x + y + z) = xy2z3 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki a12 + a22 + + a10 3a10 ( a1 + a2 + + a9 ) Suy ra: P = a12 + a22 + + a10 a10 ( a1 + a2 + + a9 ) 1 ng thc xy a1 = a2 = = a9 = a10 Vy: MinP = a1 = a2 = = a9 = a10 3 Kĩ thuật dùng hoán vị vòng Đây kĩ thuật phổ biến dùng bất đẳng thức Côsi , đơn giản hiệu dùng tạo nhiều hứng thú cho học sinh Vi du 1: Chứng minh a, b, c > ab bc ac + + a+b+c c a b Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số hạng ta thấy khó làm đợc, ta cần linh hoạt vận dụng cho hai số Giải: Vì a > 0, b > 0, c > nên ab bc > 0, > 0, c a ac > áp dụng bất đẳng thức Côsi b cho cặp: ab bc ab bc ab bc + + 2b c a c a c a bc ac bc ac bc ac ab bc ac + + 2c 2( + + ) 2(a + b + c) đpcm a b a b a b c a b ac ba ac ba ac ba + + 2a b c b c b c Dấu xảy a = b = c Chỳ ý: Ghộp i xng 2( x + y + z) = x + y + y + z + z + x Phộp cng: x + y y+ z z+ x + + x + y+ z = 2 2 2 x y z = ( xy) ( yz) ( zx) ( x, y, z 0) Phộp nhõn: xyz = xy yz zx Vi du Chng minh rng: bc ca ab + + a + b+ c, a, b, c > 1) a b c a2 b2 c2 a b c 2) + + + + abc b c a c a b 3) a3 + b3 + c3 a2 bc + b2 ca + c2 ab a, b, c CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Vi du Cho tam giỏc ABC Chng minh rng: 1) ( p a) ( p b) ( p c) abc 1 1 + + + + ữ 2) p p b p c a b c 3) ( b + c a) ( c + a b) ( a + b c) abc 4) R 2r 5) a2 + b2 + c2 3S 6) ma2 + mb2 + mc2 3S ( )( ) 2 2 2 7) ma + mb + mc + hb + hc 27S Vi du 3.Cỏc s thc dng x, y, z tho iu kin: x2 + y2 + z2 = Hóy chng minh rng: xy yz zx + + z x y HD: Bỡnh phng v BT cn chng minh ri ghộp i xng 4.Ghộp cp nghch o 1 ( x1 + x2 + + xn ) + + + ữ n2 xi > ,i = 1, n xn x1 x2 Vi du Chng minh rng: b+ c c + a a + b + + a, b, c > 1) a b c 2 + + a, b, c > 2) b+ c c + a a + b a + b+ c a b c + + a, b, c > 3) b+ c c + a a + b a2 b2 c2 a+ b+ c a, b, c > 4) + + b+ c c + a a + b a, b,c 1 + + Chng minh rng: b+ c c + a a + b a + b + c = a, b,c > 1 + + Vi du Cho Chng minh rng: a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + b + c Vi du Cho ỏnh giỏ mu s Vi du Chng minh rng: 1 a + b+ c + + a, b, c > 1) a + bc b + ca c + ab 2abc 1 1 + 3 + 3 a, b, c > 2) 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 3) 1 1 + 4 + + 4 4 4 a + b + c + abcd b + c + d + abcd c + d + a + abcd d + a + b + abcd abcd 4 Tng quỏt: Cho a1, a2, , an > ( n 3) Chng minh rng: 1 1 + n + + n n > 0, i = n n n n a1 + + an1 + a1a2 an a2 + + an + a1a2 an an + a1 + + an2 + a1a2 an a1a2 an Vi du 2.Cho a, b, c [ 0;1] Chng minh rng: a b c + + + ( a) ( b) ( c) b+ c + c + a + a + b+ Tng quỏt: Chng minh rng: an a1 a2 + + + + ( a1 ) ( a2 ) ( an ) (1) a2 + a3 + + an + a1 + a3 + + an + a1 + a2 + + an1 + vi mi a1, a2, , an [ 0;1] Gii: Gi s a1 = max ( a1, a2, , an ) Khi ú ta cú: a1 a1 a + a + + a + = a + a + + a + n n a2 a2 a1 + a3 + + an + a2 + a3 + + an + an an a + a + + a + a + + a + a + n1 n1 n Cng v theo v ta c: an a + a + + an a1 a2 + + + (2) a2 + a3 + + an + a1 + a3 + + an + a1 + a2 + + an1 + a2 + a3 + + an + Ta s chng minh: a + a + + an a1 = ( a1 ) ( a2 ) ( an ) 1 (3) a2 + + an + a2 + + an + Nu a1 = thỡ (3) ỳng Nu a1 thỡ a1 > Do ú ( 3) ( a2 + a3 + + an + 1) ( a2 ) ( a3 ) ( an ) p dng BT Cauchy cho VT ta cú: n a + a + + an + 1+ a2 + a3 + + an ( a2 + a3 + + an + 1) ( a2 ) ( a3 ) ( an ) =1 n Vy (3) ỳng Cng v theo v ca (2) v (3) ta cú iu phi chng minh CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki a, b, c > a b c 3 Vi du Cho 2 Chng minh rng: 2 + 2 + 2 b +c a +c a +b a + b + c = a1, a2, , an > Tng quỏt: Cho 2k va k, m, n  2k 2k a1 + a2 + an = ( 2m+ 1) 2m 2m+ a 2k1 a 2k1 a 2k1 Chng minh rng: 2m + 2m + + n 2m a1 a2 an 2m Gii: Ta cú: ( 2m+ 1) 2m 2m+ an2k1 a12k1 a22k1 + + + a12m a22m an2m 2m 2m+ 1) 2m 2m+ ( an2k a12k a22k + + + 2m a1 a12m a2 a22m an an2m ( ) ( ) ( Ta s chng minh: 2m+ 1) 2m 2m+ 2k ( a12k a1 2m a1 a12m ( (1) ) ( ) a1 a12m a 2m ( a1 ) 2m ) 2m 2m+ 12m 2m+ ( 2m) 2m ( 2m+ 1) 2m+1 p dng BT Cụ si ta cú: ( a12m a12m ) 2m = 2ma12m a12m 2m ( )( ) ( ) ( ) ( 2ma12m + a12m + a12m + + a12m 4 4 42 4 4 43 2m 2m 2m 2m+ 2m+1 2m = 2m 2m+ 1ữ = ( 2m) ) 2m+1 2m ( 2m+ 1) 2m+1 Tng t ta cú: ( a22k a2 a22m ) 2m+ 1) 2m 2m+ 2k ( a (2) 2m ( an2k an an2m ) ( 2m+ 1) 2m 2m+ a 2k (n) n 2m Cng v theo (1), (2),,(n) ta c: ( 2m+ 1) 2m 2m+ a 2k + a 2k + + a 2k = ( 2m+ 1) 2m 2m+ an2k a12k a22k + + + n 2m 2m a1 a12m a2 a22m an an2m ( ) ( ) ( ( ) 10 ) CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki y2 x2 + xy xy 2 y2 zy yz Bc 2: p dng BT Cụ si ta cú: z + 2 x2 + z2 zx zx Cng v theov cỏc BT trờn ta c: 3+1 ( x + y + 2z) x2 + y2 + z2 S = 31 x = z = 3+ Võy: MaxS = 31 y = Chc cỏc bn phi thy rng nu khụng cú nh hng cỏch gii rừ rng thỡ bi toỏn tr nờn khú vi kt qu khỏ phc v y bt ng ch nh? ( ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) x, y, z Bai toỏn Cho n n n x + y + z = M Tỡm giỏ tr ln nht ca: a) P = x + y + az b) Q = a( x + y) + z (Vi n la s t nhiờn; n , M la s khụng õm cho trc; a la hng s dng) Phõn tich va tỡm li gii: a).Do vai trũ bỡnh ng ca x, y nờn cú th d oỏn giỏ tr ln nht t c x = y v cỏc thao tỏc i vi x v y l ging xut hin biu thc: P = x + y + az thỡ ỏp dng BT Cụ si n xn + ( n 1) = xn + +442+ +43 n ( n 1) x ; yn + ( n 1) nn ( n 1) y va n1 số zn + ( n 1) nn ( n 1) z an = n Ta cn chn cỏc s , cho : + = M Ta cú: xn + yn + zn + ( n 1) ( + ) nn n ( n ) x + n y+ n z M + ( n 1) M nn ( n 1) [ x + y + az] P = x + y + az Suy ra: MaxP = M n ( n 1) 26 M n ( n 1) CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki n = an b).Tng t xut hin biu thc Q = a( x + y) + z ta chn cỏc s , cho : + = M x, y, z p dung: Cho 2 x + y + z = 18 Tỡm giỏ tr ln nht ca: a) P = x + y + 2z b) Q = 2x + 2y + z Gii a).Ta ỏp dng cho trng hp: n = 2, M = 18 a = 2 = = = Bc 1: Tỡm , cho : + = 18 + = 18 = 12 x2 + 3x Bc 2: p dng BT Cụ si ta cú: y + 3y z + 12 12z = 3z Cng v theo v cỏc BT trờn ta cú: x2 + y2 + z2 + 18 3( x + y + 2z) 36 3( x + y + 2z) Suy ra: P = x + y + 2z Võy: MaxP = x = y = ; z = b).Ta ỏp dng cho trng hp: n = 2, M = 18 a = = = = Bc 1: Tỡm , cho : + = 18 + = 18 = x2 + Bc 2: p dng BT Cụ si ta cú: y + z + Cng v theo v cỏc BT trờn ta cú: x2 + y2 + z2 + 18 2 ( 2x + 2y + z) 36 8x = 2x 8y = 2y 2z ( 2x + 2y + z) Suy ra: Q = 2x + 2y + z Võy: MaxP = x = y = 2 ; z = Bai toỏn Cho x, y, z tho xy + yz + zx = M (M la s khụng õm cho trc) 2 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S = n x + y + kz (k la s dng) ( ) Phõn tich va tỡm li gii: Do vai trũ bỡnh ng ca x, y nờn cú th d oỏn giỏ tr ln nht t c x = y v cỏc thao tỏc i vi 2 2 2 x v y l ging nhau. Ta tỏch x = mx + ( n m) x y = ny + ( n m) y ( m n) ng thi chia u kz = k k z + z cho c x v y 2 27 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 2 ( n m) x + ( n m) y 2( n m) xy k p dng BT Cụ si ta cú: mx + z 2mkxz k my + z mkyz xut hin biu thc xy + yz + zx ta cn chn m cho 2( n m) = 2mk 4( n m) = 2mk 2m2 ( 4n + k) m+ 2n2 = m= m n ) ( 4n+ k) k2 + 8kn (vỡ x, y, z cù ng dấu x = y Khi ú cng v theo ba BT trờn ta c: S 2( n m) M v ch k mx = z xy + yz + zx = 1 2 p dung: 1) Cho x, y, z tho xy + yz + zx = 15.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S = x + y + z Ta ỏp dng cho trng hp: n = 1, M = 15 k = 1 + .1 = Bc 1: Tỡm m= 4.1+ ữ 2 2 x + y xy xy 2 2 Bc 2: p dng BT Cụ si ta cú: x + z xz xz 3 2 2 y + z yz yz 2 Cng v theo cỏc BT trờn ta c: S ( xy + yz + zx) = 15 = 10 3 x = y = 3; z = Võy MinS = 10 x = y = 3; z = 1+ 17 2) Cho x, y, z tho xy + yz + zx = 1.Chng minh rng: x2 + 2y2 + 2z2 (Tng t bai toỏn thi hc sinh gii Tnh 12-Nm 1999-2000) HDG: Ta ỏp dng cho trng hp: n = 2, M = k = Bc 1: Tỡm m= 17 ( 4.2+ 1) 1+ 8.1.2 = 4 28 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 17 1+ 17 2 Bc 2: Kim nghim kt qu: S = x + 2y + 2z 2( n m) = 2 ữ= ữ Phn hai BT NG THC BUNHIACễPXKI (CAUCHY- SCHWARZ) I-CC DNG BT NG THC Dng c bn: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) ( a12 + a22 + + an2 ) ( b12 + b22 + + bn2 ) vi ;bi Ă , i = 1, n ng thc xy v ch ( a1, a2, , an ) ( b1, b2, , bn ) l hai b s t l, ngha l tn ti s k cho bi = kai i = 1, n H qu: 1) Vi hai dóy s ( a1, a2, , an ) ( b1, b2, , bn ) vi bi > 0, i = 1, n ta cú: a2 ( a + a + + an ) a12 a22 + + + n b1 b2 bn b1 + b2 + + bn (Bt ng thc Schwarz ) 2) Vi hai dóy s thc ( a1, a2, , an ) ( b1, b2, , bn ) ta cú: a12 + b12 + a22 + b22 + + an2 + bn2 ( a1 + a2 + + an ) + ( b1 + b2 + + bn ) (Bt ng thc Mincụpxki) ng thc xy v ch ( a1, a2, , an ) ( b1, b2, , bn ) l hai b s t l II-MT S DNG BI TP 1) S dung trc tip BT Bunhiacụpxki a).ỏnh giỏ v sang v ln Vi du Cho a2 + b2 + c2 = Chng minh rng: a + 3b + 5c 35 Gii: Theo Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: a + 3b + 5c (1 +3 +5 ) ( a 2 2 ) + b2 + c2 = 35 pcm Vi du Cho x2 + y2 = Chng minh rng: x 1+ y + y 1+ x + Gii: Theo Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: x 1+ y + y 1+ x (x ) ( Vi du Cho 36x2 + 16y2 = Chng minh rng: y 2x Gii: Theo Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: 1 25 25 16 = ( y 2x) = 4y + ữ.6xữ + ữ 16y2 + 36x2 = 16.9 16 ) + y2 ( 1+ x + 1+ y) = + x + y + x2 + y2 = 2+ ( ) 29 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Suy ra: y 2x (pcm) Vi du Cho a( a 1) + b( b 1) + c( c 1) Chng minh rng: a + b + c Gii: Theo gi thit ta cú: 2 25 a( a 1) + b( b 1) + c( c 1) = a ữ + b ữ + c ữ + = 12 p dng Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: 2 25 a + b + c = a ữ+ b ữ+ c ữ+ a ữ + b ữ + c ữ + = + = 2 2 Ta cú pcm Vi du ( thi hc sinh gii Tnh 10-Bng A-Nm 1992-1993) ( ) ( ) ( ) Chng minh: x2 + ax + b + x2 + cx + d 2x2 + vi mi a, b, c, d tho iu kin: a2 + b2 + c2 + d2 = Gii: Theo Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: (x (x 2 + ax + b) ( x2 + a2 + b2 ) ( x2 + x2 + 1) = ( x2 + a2 + b2 ) ( 2x2 + 1) ) ( )( ) ( )( ) + cx + d x2 + c2 + d2 x2 + x2 + = x2 + c2 + d2 2x2 + Cng v theo v ta c: (x + ax + b) + ( x2 + cx + d) ( 2x2 + 1) ( 2x2 + a2 + b2 + c2 + d2 ) = ( 2x2 + 1) (pcm) 2 (Vỡ a2 + b2 + c2 + d2 = 1) Vi du ( thi hc sinh gii Tnh 10-Bng A-Nm 1995-1996) Cho a, b, c Ă + a + b + c = Chng minh rng: a + b + b+ c + c + a Gii: Theo Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: ( ) a + b + b + c + c + a ( 1+ 1+ 1) ( a + b) + ( b+ c) + ( c + a) = 3.2( a + b + c) = a + b + b+ c + c + a Suy Vi du ( thi hc sinh gii Tnh 10-Bng A-Nm 1998-1999) 2 Cho bit phng trỡnh ( x + a) + ( y + b) + ( x + y) = c2 cú nghim Chng minh rng: ( a + b) 3c2 Gii: Theo Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: ( a + b) 2 2 ( x + a) + ( y + b) + ( x y) ( 1+ 1+ 1) ( x + a) + ( y + b) + ( x + y) = 3c2 Vy ( a + b) 3c2 b).ỏnh giỏ v v ln sang v Vi du ( THI HSG Tnh Ngh An-Lp 10-Bng A-1999-200) 30 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Cho , bi Ă ( i = 1,2,3) ( )( ) 2 2 2 a).Chng minh rng: a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3 ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) 4 b).Gi s a1a2 + a2a3 + a3a1 = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = a1 + a2 + a3 Gii: a) Xột hm s 2 f ( x) = a12 + a22 + a32 x2 + 2( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) x + b12 + b22 + b32 = ( a1x + b1 ) + ( a2x + b2 ) + ( a3x + b3 ) 0,x Ă ( ) ( ) Nu a + a + a = a1 = a2 = a3 = thay vo BT ỳng 2 2 ( )( ) 2 2 2 2 Nu a1 + a2 + a3 > ta cú: f ( x) 0,x Ă ' = ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3 ( )( ) 2 2 2 Suy ra: a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3 ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) pcm b) Ta cú: 1 1 16 P = ( 1+ 1+ 1) a14 + a24 + a34 a12 + a22 + a32 = a12 + a22 + a32 a22 + a32 + a12 ( a1a2 + a2a3 + a3a1 ) = 3 3 16 x = y = z = Vy MinP = 3 Vi du Cho a + b + c = Chng minh rng: a2 + b2 + c2 12 Gii: Theo Bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: 1 a2 + b2 + c2 = ( 1+ 1+ 1) a2 + b2 + c2 ( 1.a + 1.b + 1.c) = 62 = 12 3 Vi du 3.Chng minh rng: Nu phng trỡnh x + bx + cx2 + bx + 1= cú nghim thỡ: b2 + ( c 2) > ( ) ( ( ) ( )( ) ) Gii: Gi s x0 l nghim ca phng trỡnh x4 + bx3 + cx2 + bx + 1= thỡ x0 Ta cú: x4 + bx3 + cx2 + bx + 1= x02 + t t = x0 + 1 + b x0 + ữ+ c = x0 x0 t x0 ( ) 2 2 2 Khi ú ta cú: t + bt + c = t = ( bt + c 2) t = ( bt + c 2) b + ( c 2) t + t4 Suy ra: b2 + ( c 2) = t2 1+ > 1+ = (pcm) t +1 t +1 2 Vi du Tỡm giỏ tr nh nht ca ham s f = ( x 2y + 1) + ( 2x + ay + 5) Gii p dung BT Bunhiacụpxki ta cú: 2 1 2 f = ( 2) + 12 ( x 2y + 1) + ( 2x + ay + 5) ( 2) ( x 2y + 1) + 1.( 2x + ay + 5) = ( a + 4) y + 5 y = a+ Nu a thỡ f v du bng xy x = 2y 11 x 2y = Nu a = thỡ f v du bng xy y Ă Vy: Vi a thỡ M inf = 31 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Vi du ( THI HSG Tnh Ngh An-Lp 10-Bng A-2002-20030 a2 + b2 + c2 = 25 2 Cho a, b, c, x, y, z la cỏc s thc tho x + y + z = 36 ax + by + cz = 30 a + b+ c Hóy tinh giỏ tr ca biu thc P = x + y+ z Gii p dng BT Bunhiacụpxki ta cú: a2 + b2 + c2 x2 + y2 + z2 ( ax + by + cz) Nu a = thỡ M inf = ( )( ) ( )( ) 2 2 2 Theo bi ta cú: a + b + c x + y + z = 25.36 = 30 = ( ax + by + cz) 2 a b c a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 25 Do ú ng thc xy khi: = = = = = 2 = = x y z x y z x + y + z 36 ữ a b c a + b+ c = Suy ra: = = = x y z x+ y+ z a + b+ c Vy: P = = x + y+ z 2) S dung k thuõt nghch o Dng a12 ( b1 + b2 + + bn ) b1 + a2 a22 + + n ữ ( a1 + a2 + + an ) b2 bn a2 ( a + a + + an ) a2 a2 + + + n b1 b2 bn b1 + b2 + + bn a1 Dng ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) b1 + bi > a2 a + + n ữ ( a1 + a2 + + an ) , bi > b2 bn Vi du Chng minh rng: a2 b2 c2 a + b+ c + + a, b, c > b+ c c + a a + b Gii Theo BT Bunhiacụpxki ta cú: a2 b2 c2 ( a + b + c) a + b+ c ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) + + = pcm b + c c + a a + b 2( a + b + c) Vi du Chng minh rng: a b c + + a, b, c > b+ c c + a a + b a b c a2 b2 c2 Gii Ta cú: + + + + b+ c c + a a + b ab + ac bc + ba ca + cb Theo BT Bunhiacụpxki ta cú: 32 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki a2 b2 c2 ( ab + ac) + ( bc + ba) + ( ca + cb) + + ( a + b + c) ab + ac bc + ba ca + cb ( a + b+ c) a2 b2 c2 + + ab + ac bc + ba ca + cb 2( ab + bc + ca) M: ( a + b + c) 3( ab + bc + ca) Do ú: a2 b2 c2 + + Suy pcm ab + ac bc + ba ca + cb Vi du Chng minh rng: a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + a, b, c > b+ c c + a a + b a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 a4 b4 c4 + + + + b+ c c + a a + b ab + ac bc + ba ca + cb Theo BT Bunhiacụpxki ta cú: Gii Ta cú: M: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ( ) a2 + b2 + c2 ( ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 a4 b4 c4 Do ú: + + = ab + ac bc + ba ca + cb 2( ab+ bc + ca) Suy pcm Vi du 4.(M MO-1993) Chng minh rng: a b c d + + + a, b, c, d > b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c Gii Ta cú: a b c d + + + b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c a2 b2 c2 d2 + + + a( b + 2c + 3d) b( c + 2d + 3a) c( d + 2a + 3b) d ( a + 2b + 3c) p dng BT Svacx ta cú: ( a + b + c + d) a2 b2 c2 d2 + + + a( b + 2c + 3d) b( c + 2d + 3a) c( d + 2a + 3b) d( a + 2b + 3c) 4( ab + bc + cd + da + ac + bd) M ( a + b+ c + d) = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2ac + 2bd = a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + d2 + d2 + a2 + a2 + c2 + b2 + d2 + 2( ab + bc + cd + da + ac + bd) + 2ữ( ab + bc + cd + da + ac + bd) = ( ab + bc + cd + da + ac + bd) 3 Do ú: ( ab + bc + cd + da + ac + bd) a2 b2 c2 d2 + + + = a( b + 2c + 3d) b( c + 2d + 3a) c( d + 2a + 3b) d( a + 2b + 3c) 4( ab + bc + cd + da + ac + bd) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 33 ) CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Suy pcm Vi du (IRAN MO 1998) Gi s x, y, z 1 + + = Chng minh x y z x + y + z x + y 1+ z 1 1 x y z + + =1 Gii Vỡ + + = x y z x y z Theo BT Bunhiacụpxki ta cú: x y z + + ữ y z x ( x + y + z) = ( x + y + z) ( ) x 1+ y 1+ z x + y + z x + y 1+ z ng thc xy v ch x = y = z = Vi du Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 3a 4b 5c P= + + vi a, b, c la cỏc s thc dng tu ý b+ c c + a a + b Gii S dng BT Bunhiacụpxki ta cú: Suy ra: 3a 4b 5c + 3+ + 4+ + = ( a + b + c) + + ữ b+ c c+ a a+ b b+ c c + a a + b = ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) + + b + c c + a a + b ( ) ( ) 3+ + 2 3+ 4+ Suy ra: P = 3a + 4b + 5c 12 b+ c c + a a + b b+ c c + a a + b = = ng thc xy v ch Vy MinP = ( ) 3+ 4+ 12 b+ c = c + a a+ b = Vi du Chng minh rng nu a, b, c abc = thỡ 1 + + 2+ a 2+ b 2+ c 1 2 a b c + + 1 + + + + Gii.Ta cú: 2+ a 2+ b 2+ c 2+ a 2+ b 2+ c 2+ a 2+ b 2+ c x y z Tn ti cỏc s thc x, y, z cho a = ; b = ; c = Ta cn chng minh: y z x x y z x y z x2 y2 z2 y + z + x = + + + + 2 x y z 2y + x 2z + y 2x + z xy + x yz + y zx + z 2+ 2+ 2+ y z x 34 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki ( x + y + z) ( x + y + z) = x2 y2 z2 + + = Theo BT Svacx ta cú: 2 2 2 2xy + x 2yz + y 2zx + z 2xy + x + 2yz + y + 2zx + z ( x + y + z) ng thc xy x = y = z hay a = b = c = T ú suy pcm Vi du 8.(IMO-2001) Vi mi s dng a, b, c dng ta cú: a b c + + a2 + 8bc b2 + 8ac c2 + 8ab Gii a b c a2 b2 c2 + + + + Ta cú: a2 + 8bc b2 + 8ac c2 + 8ab a a2 + 8bc b b2 + 8ac c c2 + 8ab Theo BT Svacx ta cú: a2 + b2 + c2 ( a + b + c) 2 ( a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab) Ta cú ( a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab) = ( a a + 8abc + b b + 8abc + a a2 + 8bc b b2 + 8ac c c2 + 8ab 2 ) a a3 + 8abc + b b3 + 8abc + c c3 + 8abc Do ú: a2 a a2 + 8bc + b2 b b2 + 8ac + p dng BT Bunhiacụpxki ta cú: ( c2 c c2 + 8ab c c3 + 8abc ) ( a + b+ c) ( a3 + b3 + c3 + 24abc) ( a + b + c) ( a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab) 2 Ta cn chng minh: a3 + b3 + c3 + 24abc ( a + b + c) a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 6abc Bt ng thc cui cựng ỳng theo BT Cụ si T ú suy pcm Phn ba TèM THấM PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC I-MT PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC chng minh A B mt s trng hp ta cú th ngh n mt phng phỏp sau: Tỡm C sau ú chng minh A C C B Vn quan trng õy l phi tỡm C? tỡm C ta cú th theo cỏc cỏch sau Cỏch 1-Da trờn hai b sau: B Trong ba s bt kỡ x1, x2, x3 luụn tn ti hai s xi ; xj (i, j thuc tõp {1; 2; 3} cho: xi a xi a hoặ c (a l s thc bt k) xj a xj a Chng minh: Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s x1 x2 x3 Nu x2 a thỡ x1 a x2 a ta cú iu phi chng minh Nu x2 a thỡ x2 a x3 a ta cú iu phi chng minh x a x a hoặ c B Nu thỡ xy a( x + y) a y a y a 35 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Chng minh: T gi thit ta cú: ( x a) ( y a) xy a( x + y) a (pcm) II-VN DNG B CHNG MINH MT S BT NG THC Vi du Cho x, y, z la cỏc s thc dng Chng minh rng ta luụn cú bt ng thc: ( ) x2 + y2 + z2 + xyz + 5( x + y + z) (Chao IMO 2007-Tp chi THTT s 357 thỏng nm 2007) Chng minh: Theo B v vai trũ x, y, z bi toỏn bỡnh ng nờn khụng mt tớnh tng quỏt x x hoặ c Khi ú theo B ta cú: xy x + y xyz xz + yz z (vìz > 0) y y ta cú th gi s ( ) ( ) 2 2 2 Suy ra: x + y + z + xyz + x + y + z + xz + yz z + (1) ( ) 2 Ta s chng minh: x + y + z + xz + yz z + 5( x + y + z) Tht vy: ( 2) ( y + z 2) ( (2) + ( x + z 2) + 3( x 1) + 3( y 1) + 2( z 1) 0, ( ỳng) 2 2 ) 2 T (1) v (2) suy ra: x + y + z + xyz + 5( x + y + z) (pcm) ng thc xy x = y = z = Nhn xột: 1).Ta cú th s dng nh lớ v du õm thc bc hai chng minh (2) 2).Tng t ta cú th chng minh: a) Cho x, y, z l cỏc s thc dng Chng minh rng ta luụn cú bt ng thc: ( ) m x2 + y2 + z2 + xyz + 3m+ ( 2m+ 1) ( x + y + z) b). Cho x, y, z l cỏc s thc dng Chng minh rng ta luụn cú bt ng thc: ( 2n 1) x2 + y2 + z2 + 2xyz + 2n( xy + yz+ zx) Trong ú m l s thc cho trc m ( ) Trong ú m l s thc cho trc n 2 c). Nu x, y, z l ba s thc khụng õm thỡ: xyz + x + y + z + x + y + z + xy + yz + zx 4 d). Nu x, y, z l cỏc s thc dng thỡ: 2xyz+ x + y + z + 13 6( x + y + z) Vi du Cho x, y, z la cỏc s thc khụng õm Chng minh rng ta luụn cú bt ng thc: ( ) x3 + y3 + z3 + 3xyz + 9( xy + yz + zx) Chng minh: Theo B v vai trũ x, y, z bi toỏn bỡnh ng nờn khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s x x hoặ c Khi ú theo B ta cú: xy x + y 3xyz 3xz + 3yz 3z (vìz 0) y y 3 3 3 Suy ra: x + y + z + 3xyz + x + y + z + 3xz + 3yz 3z + (1) ( ) ( ) Ta s chng minh: ( ) ( ) x3 + y3 + z3 + 3xz + 3yz 3z + 9( xy + yz + zx) x3 + y3 + z3 + 9xy + 6yz + 6zx + 3z M theo Bt ng thc Cụ si ta cú: 3z = 33 z.1.1 z3 + 1+ 3xz = 33 x.z.1 x3 + z3 + 6xz 2x3 + 2z3 + 6yz 2y3 + 2z3 + 3xy = 33 x.y.1 x3 + y3 + 9xy 3x3 + 3y3 + Cng v theo v cỏc Bt ng thc trờn ta c: 36 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki ( ) x3 + y3 + z3 + 9xy + 6yz + 6zx + 3z (2) ( ) 3 T (1) v (2) suy ra: x + y + z + 3xyz + 9( xy + yz + zx) (pcm) Vi du Cho x, y, z la cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = Chng minh rng ta luụn cú bt ng thc: 9xyz + 4( xy + yz + zx) ng thc xy nao? Chng minh: Theo B v vai trũ x, y, z bi toỏn bỡnh ng nờn khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s 1 x x hoặ c Khi ú theo B ta cú: 9xy 3x + 3y 9xyz 3xz + 3yz z (vìz 0) y y Suy ra: 1+ 9xyz 1+ 3xz+ 3yz z (1) Ta s chng minh: 1+ 3xz + 3yz z 4( xy + yz + zx) (2) Thật vậy, ( 2) z + z( x + y) + 4xy z + z( z) + 4xy (vìx + y + z = 1) ( z) 4xy ( x + y) 4xy (Vìx + y + z = 1) 2 ( x y) 0, T (1) v (2) suy ra: 9xyz + 4( xy + yz + zx) (pcm) ng thc xy x = y = z = 1 1 hoặ c x = y = ; z = hoặ c x = z = ; y = hoặ c y = z = ; x = 2 Nhn xột: Tng t ta cú th chng minh: Cho x, y, z la cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = k Chng minh rng ta luụn cú bt ng thc: 9xyz + k3 4k( xy + yz + zx) ng thc xy nao? Vi du Cho x, y, z la cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht va giỏ tr nh nht ca biu thc A = xy + yz + zx + mxyz xyz 4 9 Suy ra: A = xy + yz + zx xyz + m+ ữxyz 4 9 9 x + y + z m Nu m+ hay m thỡ m+ ữxyz m+ ữ = + ữ 4 4 27 12 m+ Do ú: A ng thc xy chng hn x = y = z = 27 9 Nu m+ < hay m< thỡ m+ ữxyz Do ú: A 4 4 ng thc xy chng hn x = y = ; z = Gii * Theo vớ d ta cú: xy + yz + zx *) Theo bt ng thc Cụ si ta cú: xy + yz + zx = ( x + y + z) ( xy + yz + zx) 33 xyz.33 xy.yzzx = 9xyz Suy ra: xy + yz + zx 9xyz A = xy + yz + zx 9xyz + ( m+ 9) xyz 37 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Nu m+ hay m thỡ ( m+ 9) xyz Do ú: A ng thc xy chng hn x = y = v z = x + y + z m+ = ữ 27 m+ Do ú: A ng thc xy chng hn x = y = z = 27 m+ Kt luõn: Nu m< thỡ giỏ tr ln nht ca A l , giỏ tr nh nht ca A l 27 Nu m< thỡ giỏ tr ln nht ca A l , giỏ tr nh nht ca A l 4 Nu m+ < hay m< thỡ ( m+ 9) xyz ( m+ 9) Nu m m+ thỡ giỏ tr ln nht ca A l , giỏ tr nh nht ca A l 27 Võy ta cú cỏc bt ng thc: Nu x, y, z la cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = thỡ m+ xy + yz + zx + mxyz (trong ú m la s thc cho trc va m < -9) 27 a) xy + yz + zx + mxyz (trong ú m la s thc cho trc va m< ) 4 m+ 9 a) xy + yz + zx + mxyz (trong ú m la s thc cho trc va m ) 27 a) Chng hn vi m = -2 ta cú bi toỏn: Bai toỏn 1.Cho x, y, z la cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = Chng minh rng: xy + yz + zx 2xyz ( thi IMO 1984) 27 Vi nhõn xột rng : *) Nu x, y, z l cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = thỡ x2 + y2 + z2 = 2( xy + yz + zx) x2 + y2 + z2 + 4xyz = 2( xy + yz + zx 2xyz) Do ú ta cú bai toỏn sau: Bai toỏn 2.Cho x, y, z la cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = Chng minh rng: 13 x2 + y2 + z2 + 4xyz 27 *) Nu x, y, z l cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = thỡ ( ) x3 + y3 + z3 3xyz = ( x + y + z) x2 + y2 + z2 xy yz zx = 3( xy + yz + zx) x + y + z + 3xyz = 3( xy + yz + zx 2xyz) 3 Do ú ta cú: Bai toỏn Cho x, y, z la cỏc s thc khụng õm tho món: x + y + z = Chng minh rng: 3 x + y + z + 3xyz Bõy gi nu chỳng ta thay i gi thit: Nu x, y ,z l di ba cnh ca mt tam giỏc cú chu vi bng thỡ ( x + y z) ( x + z y) ( y + z x) > ( 2z) ( 2y) ( 2x) > (Vìx + y + z = 1) 38 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki xy + yz + zx 2xyz > T ú ta cú cỏc bai toỏn sau: Bai toỏn 1.1 Cho a, b, c la dai ba cnh ca tam giỏc cú chu vi bng Chng minh rng: < ab + bc + ca 2abc 27 13 2 a + b + c + 4abc < b) 27 2 3 c) a + b + c + 3abc < a) Bai toỏn 2.2.Cho a, b, c la dai ba cnh ca tam giỏc cú chu vi bng Chng minh rng: 52 2 a + b + c + 2abc < ( thi HSG Tnh lp 10-Nm hc 2005-2006) 27 PH LC 39 CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 40 ... DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 17 1+ 17 2 Bc 2: Kim nghim kt qu: S = x + 2y + 2z 2( n m) = 2 ữ= ữ Phn hai BT NG THC BUNHIACễPXKI (CAUCHY- SCHWARZ) I-CC DNG BT NG THC... Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki ( ) 2 Bai toỏn Cho x, y, z tho n x + y + kz = M (k la hng s dng; M la s khụng õm cho trc) Tỡm GTLN ca S = xy + yz + zx Phõn tich va tỡm li gii: Do vai trũ bỡnh ng... ( b1 + b2 + + bn ) (Bt ng thc Mincụpxki) ng thc xy v ch ( a1, a2, , an ) ( b1, b2, , bn ) l hai b s t l II-MT S DNG BI TP 1) S dung trc tip BT Bunhiacụpxki a).ỏnh giỏ v sang v ln Vi du Cho a2