cac ky thuat su dung BDT Cosi

TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II.Nhiệm vụ, mục đích đề tài III Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành B NỘI DUNG Phần 1: Cơ sở lý thuyết Phần 2: kĩ thuật sử dụng I Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân II Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng III Kĩ thuật chọn điểm rơi IV Kĩ thuật cân hệ số GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 A.MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán THCS, dạng toán bất đẳng thức chưa đưa vào liền mạch mà xuất rời rạc,do chương trình học, học sinh có hội làm quen với dạng toán bất đẳng thức cách giải dạng toán đó.Mặt khác bất đẳng thức dạng toán có nhiều toán khó ,thậm chí khó đưa vào dạy đại trà cho học sinh gặp nhiều khó khăn.Tuy nhiên,khi làm toán kì thi học sinh giỏi hay thi vào trường chuyên,lớp chọn toán bất đẳng thức lại thường xuyên xuất hiện.Nhưng chưa trang bị đầy đủ kiến thức học sinh gặp khó khăn không giải gặp toán bất đẳng thức Do để tránh phần lúng túng hay khó khăn cho em gặp dạng toán đưa vào giới thiệu cho em số kiến thức bất đẳng thức.Tuy hiểu biết hạn chế mạnh dạn đưa vấn đề để trao đổi để đưa phương pháp dạy đưa dạng toán phù hợp nhằm đưa lại hiệu cao việc dạy học bất đẳng thức II.NHIỆM VỤ,MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI: Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương,phương pháp làm trội làm giảm,phương pháp miền giá trị Tuy nhiên khuôn khổ đề tài có hạn nên đưa cách giải toán nhờ sử dụng bất đẳng thức Cô si Do nên nhiệm vụ đề tài tập trung nghiên cứu phân tích kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cô si,đồng thời phân tích sai lầm mà học sinh thường mắc phải nguyên nhân sai lầm đó.Như giúp học sinh hiểu vấn đề sâu sắc chủ động việc lựa chọn phương pháp giải III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Đề tài áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi lớp 8,9 tiến hành giảng dạy ôn thi HSG,thi vào trường chuyên,lớp chọn thi vào THPT GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 B.NỘI DUNG I.PHẦN 1:CƠ SỞ LÝ THUYẾT BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI 1.Dạng tổng quát:Với ∀ x1, x2, x3, .,xn ≥ ta có: x1 + x2 + + xn n ≥ x1 x2 xn n *Dạng 1: * Dạng 2: x1 + x2 + + xn ≥ n n x1 x2 xn n  x + x2 + + xn  *Dạng 3:  ÷ ≥ x1 x2 xn n   Dấu xảy ⇔ x1= x2= = xn *Một vài hệ quan trọng: 1 1 + ( x1 + x2 + + xn )  + + + ÷ ≥ n với ∀ xi > 0, i = 1, n xn   x1 x2 1 n2 + + + ≥ + với ∀ xi > 0, i = 1, n x1 x2 xn x1 + x2 + + xn n S + Nếu x1+ x2 + x3 + + xn = S = const Max( P=x1x2 xn)=  ÷ n Khi x1= x2= = xn= +Nếu x1x2x3 xn = P =const Min ( S = x1+x2+ +xn)= S n nn P Khi x1= x2= = xn= n P 2.Dạng cụ thể: *n = 2: ∀x, y ≥ đó: a, x+ y ≥ xy 2  x+ y b,  ÷ ≥ xy   GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN c, ( x + y) d, 1 + ≥ x y x+ y NĂM HỌC: 2010 - 2011 ≥ xy *n = ∀x, y ≥ đó: a, x+y+z ≥ xyz b, x + y + z ≥ 3 xyz  x + y +z  ÷ ≥ xyz   c,  d, ( x + y + z ) ≥ 27 xyz GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 PHẦN CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG I.ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN Đánh giá từ TBC sang TBN kỹ thuật để đánh giá bất đẳng thức theo chiều " ≥ ",đánh giá từ tổng sang tích Bài 1:Cho x,y,z > 0.Chứng minh rằng: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:  x + y ≥ xy   y + z ≥ yz ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ xyz   z + x ≥ zx Bài 2:Chứng minh : ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ x y z với ∀x, y, z Giải Sai lầm thường gặp:  x + y ≥ xy  2 2 2 2 2 Ta có :  y + z ≥ yz ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ x y z ; ∀x, y, z  z + x ≥ zx  (sai) Ở cách làm ta nhân BĐT chiều chưa biết giá trị vế âm hay dương Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Côsi, ta có:  x + y ≥ xy ≥  2 2 2 2 2 2 2  y + z ≥ yz ≥ ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ x y z = x y z ; ∀x, y, z  2  z + x ≥ zx ≥ GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 Bài 3: Chứng minh (1+ a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab với ∀ a,b ≥ Giải Ta có (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 3 1.a.b 3 a.b.ab = 9ab *Ở toán số 9=3.3 gợi ý cho ta sử dụng BĐT Côsi cho số,2 cặp Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực x x2 + x + x2 + x + ≥2 Giải 1  x + x + =  x + ÷ + > với x 2  ⇒ x + x + = ( x + x + 1) + ≥ x + x + ⇒ x2 + x + x2 + x + ≥2 II.KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪ TBN SANG TBC Bài 1.Chứng minh rằng: ab + cd ≤ ( a + c) ( b + d ) ∀a, b, c, d > (1) Giải (1) ⇔ ab + ( a + c) ( b + d ) ab + ( a + c) ( b + d ) cd ≤1 ( a + c ) ( b + d ) Theo BĐT Côsi,ta có: cd 1 a b ≤  + ( a + c) ( b + d )  a + c b + d d   1 c + ÷+  ÷  2a+c b+d  1a+c b+d  =  + ÷ = ( + 1) = (đpcm) 2a+c b+d  Bài 2.Tìm giá trị lớn biểu thức sau: F= x − 18 x − + 2x +1 3x + Giải ĐK: x ≥ Ta có: F = x − 18 x − 2(4 x − 1) 3(6 x − 2) + = + 2x +1 3x + 2x +1 3x + GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 Với x ≥ theo BĐT Côsi ta có: x = 2 x ≤ + x x = 3x ≤ x + Suy F = 2(4 x − 1) 3(6 x − 2) 2(2 x + − 1) 3(3 x + − 2) + ≤ + 2x +1 3x + 2x +1 3x + = 2(2 x + 1) 3(3 x + 1) + = 2+3= 2x +1 3x + Vậy GTLN F=5 x =1 Ở toán ta thấy để khử mẫu việc chuyển thức tử biểu thức không chứa việc làm cần thiết,do ta sử dụng BĐT Côsi chuyển từ TBN sang TBC.Việc chuyển từ TBN sang TBC mặt mạnh BĐT Côsi a, b, c > Bài 3: Cho  Chứng minh rằng: abc( a + b)(b + c)(c + a ) ≤ 729 a + b + c = Giải Theo BĐT Côsi ta có: 3 3  a + b + c   (a + b) + (b + c ) + (c + a )      abc(a + b)(b + c )(c + a ) ≤  = =  ÷  ÷        729 3  III.KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI Bài toán mở đầu: Cho a,b > 0.Ta có a b + ≥ Khi ta có hệ với a >0 a + ≥ b a a Dấu "=" xảy a= Bài toán kết bất đẳng thức Côsi Nhưng ta thử đặt câu hỏi thay điều kiều kiện a > a ≥ hay a ≥ hay a ≥ lời giải toán nào??? Bài 1:Cho a ≥ Tìm Min S = a + a + Sai lầm thường gặp: GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN S =a+ NĂM HỌC: 2010 - 2011 1 ≥ a = a a + Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Min S=2 a = 1 ⇔ a = ⇔ a = mâu thuẫn với giả thiết a ≥ a a + Xác định điểm rơi: Ta biết giá trị cực trị thường xảy giá trị biên giá trị trung tâm.Ở toán ta thấy a tăng giá trị S tăng,mặt khác ta có giá trị biên nên ta có dự đoán a=3 S nhận giá trị nhỏ Ta phải tách hạng tử a hạng tử để cho áp dụng BĐT Côsi dấu "=" xảy a khhi a = 2.Có hình thức tách sau:  a   α ; a ÷(1)    1  α a; ÷(2) a    a , ⇒  ÷  a      a; ÷(3) α a     α   a; ÷(4)  a  Chẳng hạn ta chọn sơ đồ (1), với điểm rơi a = 3,ta có: a  α = α ⇒ = ⇒α =  α 1 =  a   + Lời giải đúng: S = a + =  + ÷+ ≥ + = a 9 a 9 a Suy Min S= a 8a a 8.3 10 10 ⇔a=3 Bài 3: Cho a ≥ Tìm Min S = a + a2 + Sai lầm: GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN S =a+ NĂM HỌC: 2010 - 2011  a  7a a 7a 7a 7.2 =  + ÷+ ≥2 + = + ≥ + = a 8 a  8 a 8a 8.2 Vậy Min S = a=2 + Nguyên nhân: Mặc dù chọn điểm rơi a = Min S = đáp số cách giải mác sai lầm việc đánh giá mẫu số: "Nếu a ≥ 2 ≥ = đánh giá sai" 8a 8.2 Ta phải để sử dụng BĐT Côsi khử hết biến số a mẫu tử + Xác định điểm rơi: a  α = α ⇒ = ⇔α =8 a = cho cặp số  1 =1 α  a + Lời giải đúng: S =a+  a a  6a a a 6.2 =  + + ÷+ ≥ 33 + = a 8 a 8 a Vậy Min S = a=2 Bài 4: Cho a,b,c >0 a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm S = a+b+c+ + + a 2b c +Tìm điểm rơi: Với a + 2b + 3c ≥ 20 ta dự đoán điểm rơi a=2, b=3, c=4,ta có sơ đồ điểm rơi với biến a,b,c sau: α a = 2α 3   3 ⇒ 2α = ⇔ α =  a = GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011  β b = 3β   9 ⇒ 3β = ⇔ β =  2b = γ c = 4γ  ⇒ 4γ = ⇔ γ = 4 4  c = = Giải S = a+b+c+  3a   b   c  a b 3c + + =  + ÷+  + ÷+  + ÷+ + + a 2b c  a   2b   c  4 Theo BĐT Côsi ta có:  3a   b   c  (1)  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ + + =  a   2b   c  a b Mà a + 2b + 3c ≥ 20 ⇒ + + 3c a + 2b + 3c 20 = ≥ = (2) 4 Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: S ≥ 13 ⇒ Min S = 13 Đẳng thức xảy ⇔ a=2, b=3, c=4 IV.KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ: Bài toán mở đầu: Cho số thực không âm x,y,z thoã mãn điều kiện xy + yz + zx = 1,chứng minh bất đẳng thức: 10 x + 10 y + z ≥ Giải Theo BĐT Côsi ta có: x + y ≥ xy 8x2 + z ≥ xz y2 + z ≥ yz Cộng vế bất đẳng thức ta được: GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG 10 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 10 x + 10 y + z ≥ ( xy + yz + zx ) = Đẳng thức xảy khi:  x = y x= y=    4 x = z ⇔  4 y = z z =   Đây lời giải đẹp,ngắn gọn thiếu tự nhiên.Chúng ta tự hỏi lại tách 10=2 + ngẫu nhiên hay may mắn?Và tách theo cách khác, chẳng hạn 10 = + liệu có giải không?Tất nhiên,mọi cách tách khác không dẫn đến kết quả,và tách 10=2+8 may mắn Bài 1: Chứng minh xy + yz +zx = x + y + z ≥ 10 + Phân tích tìm lời giải: Ta cần tách hạng tử 3x2, 3y2, z2 cho áp dụng BĐT Côsi xuất tích xy, yz, zx mà có phần hệ số để ta sử dụng giả thiết xy + yz +zx = Ta tách = l + (3 − l ) với (0 ≤ l ≤ 3) áp dụng BĐT Côsi cho cặp số (x,y),(y,z),(x,z) ta có: lx + ly ≥ 2lxy ( − l ) x2 + z ≥ 2(3 − l ) xz ( − l ) y2 + z ≥ ( − l ) yz Do 3x + y + z ≥ 2lxy + 2(3 − l )( xz + yz ) ,vậy ta phải tìm số l dương cho 2l = 2(3 − l ) ⇒ l = Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: x + y ≥ xy GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG 11 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN y2 + z ≥ yz 2 x2 + z ≥ xz NĂM HỌC: 2010 - 2011 Cộng vế theo vế BĐT ta được: x + y + z ≥ 2( xy + yz + zx) = 2.5 = 10 (đpcm) Bây ta xét toán tổng quát sau: Bài 2: Tìm giá trị nhỏ k ( x2 + y2 ) + z Trong số thực x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = k số dương Giải Ta tách k = l + (k − l ) với (0 ≤ l ≤ k ) áp dụng BĐT Côsi theo phương pháp tương tự lx + ly ≥ 2lxy ( k − l ) x2 + z ≥ 2(k − l ) xz (k − l ) y + z ≥ 2(k − l ) yz Do k ( x + y ) + z ≥ 2lxy + 2(k − l )( xz + yz ) Trong trường hợp này, ta cân điều kiện đẳng thức mà ta phải cân điều kiện giả thiết, tức cần tìm số số dương l cho 2l = 2(k − l ) Khi k ( x + y ) + z ≥ 2l ( xy + yz + zx) = 2l Số l chọn thỏa mãn phương trình 2l = k − l ⇔ 2l + l = k ⇔ l = −1 + + 8k Và ta suy kết k ( x2 + y ) + z ≥ GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG 12 −1 + + 8k CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 C.KẾT LUẬN Nội dung chuyên đề tập trung vào việc cung cấp cho học sinh kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô si để chứng minh bất đẳng thức.Chuyên đề trình bày theo cấu trúc : cung cấp, hệ thống cho học sinh kiến thức bản, đưa qui tắc chung việc chứng minh bất đẳng thức,nêu sai lầm mà học sinh thường mắc phải đồng thời sai lầm đó, phân tích tìm tòi đưa lời giải Cách trình bày chắn lảm cho học sinh hiểu vấn đề cách sâu sắc chủ động việc suy nghĩ tránh tình trạng bị động không định hướng phương pháp giải Khi thực chuyên đề mong muốn giúp học sinh nâng cao lực chứng minh bất đẳng thức giúp em tự tin hào hứng với bất đẳng thức Tuy nhiên bất đẳng thức có phạm vi rộng nên chuyên đề tập trung vào số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô si Mặt khác trình độ hạn chế nên chắn tránh khỏi nhiều thiếu sót nên mong người góp ý để chuyên đề hoàn thiện Nghi công tháng năm 2011 Người viết Nguyễn Quốc Hùng GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG 13 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC [...]... + yz + zx) = 2l Số l được chọn ở trên thỏa mãn phương trình 2l 2 = k − l ⇔ 2l 2 + l = k ⇔ l = −1 + 1 + 8k 4 Và ta suy ra kết quả k ( x2 + y 2 ) + z 2 ≥ GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG 12 −1 + 1 + 8k 2 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 C.KẾT LUẬN Nội dung của chuyên đề tập trung vào việc cung cấp cho học sinh các kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô si để chứng minh bất... thường mắc phải và đồng thời chỉ ra những sai lầm đó, phân tích và tìm tòi đưa ra lời giải Cách trình bày trên chắc chắn sẽ lảm cho học sinh hiểu vấn đề một cách sâu sắc hơn và chủ động hơn trong việc suy nghĩ tránh tình trạng bị động không định hướng được trong phương pháp giải Khi thực hiện chuyên đề này tôi mong muốn giúp học sinh nâng cao năng lực chứng minh bất đẳng thức cũng như giúp các em tự ... = −1 + + 8k Và ta suy kết k ( x2 + y ) + z ≥ GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG 12 −1 + + 8k CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRƯỜNG THCS NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 C.KẾT LUẬN Nội dung chuyên đề tập... NGHI CÔNG TỔ:TỰ NHIÊN NĂM HỌC: 2010 - 2011 Với x ≥ theo BĐT Côsi ta có: x = 2 x ≤ + x x = 3x ≤ x + Suy F = 2(4 x − 1) 3(6 x − 2) 2(2 x + − 1) 3(3 x + − 2) + ≤ + 2x +1 3x + 2x +1 3x + = 2(2 x + 1)... có: a  α = α ⇒ = ⇒α =  α 1 =  a   + Lời giải đúng: S = a + =  + ÷+ ≥ + = a 9 a 9 a Suy Min S= a 8a a 8.3 10 10 ⇔a=3 Bài 3: Cho a ≥ Tìm Min S = a + a2 + Sai lầm: GV: NGUYỄN QUỐC HÙNG