Dạy học tổ hợp xác suất theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông

Cùng với những thay đổi về nội dung giảng dạy, cần cónhững đổi mới về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học bộ môn, trong đóphương pháp dạy học bộ môn Toán là một trong những yếu tố qua

HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2018

I I

HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Ngành: Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

THÁI NGUYÊN - 2018

I I

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu: “Dạy học Tổ hợp - Xác suất theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông” dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi, kết quả nghiên cứu trong Luận văn làtrung thực chưa được công bố

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018

Tác giả luận văn

Vũ Thị Thúy Hằng

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành

và sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người đã nhiệt tình và tận tâmchỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thày cô giáo trong tổ bộ mônPhương pháp giảng dạy môn Toán của Khoa Toán và các thày cô đã hết lòngdạy bảo chúng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học,Khoa Toán của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điềukiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khoá học

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thày cô giáo, các emhọc sinh lớp 11 của trường THPT Đại Từ nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điềukiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình

Xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các anh chị là học viênnhóm chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán đã luônđộng viên khích lệ, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu

Do khả năng và thời gian có hạn, mặc dù đã cố gắng rất nhiều song bảnLuận văn này chắc chắn không tránh khỏi sai sót Tôi rất mong tiếp tục nhậnđược sự chỉ dẫn, góp ý của các nhà khoa học, các thày cô giáo

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018

Tác giả luận văn

Vũ Thị Thúy Hằng

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv

DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Giả thuyết khoa học 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Cấu trúc của luận văn 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

6 1.1 Một số vấn đề về nguyên cứu lý luận

6 1.1.1 Một số công trình nghiên cứu về dạy học toán theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn 6

1.1.2 Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn 8

1.1.3 Thưc tiễn, bài toán có nội dung thực tiễn

9 1.1.4 Mô hình hóa toán học 11

1.1.5 Quy trình giải bài toán có nội dung thực tiễn

13 1.1.6 Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn 16

1.2 Tình hình dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình phổ thông theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn 25

iii1.2.1 Nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường THPT (Đại số và Giải tích 11

chương trình chuẩn) 25

1.2.2 Thực trạng của việc dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường

phổ thông theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vàothực tiễn 261.2.3 Những thuận lợi và khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy học

Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông theo hướng phát triển nănglực vận dụng Toán học vào thực tiễn 311.2.4 Những biểu hiện của năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn thể

hiện ở nội dung Tổ hợp - Xác suất 341.3 Kết luận chương 1 36

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN THÔNG QUA

DẠY HỌC NỘI DUNG TỔ HỢP - XÁC SUẤT CHO HỌC SINH THPT 372.1 Một số định hướng đề xuất biện pháp sư phạm 372.1.1 Định hướng 1: Đảm bảo học sinh đạt chuẩn kiến thức, kỹ năng nội

dung Tổ hợp - Xác suất để phát triển năng lực vận dụng Toán họcvào bài toán thực tiễn 372.1.2 Định hướng 2: Đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả của việc khai

thác nội dung thực tế trong dạy học 372.1.3 Định hướng 3: Góp phần đổi mới phương pháp dạy học gần với

thực tiễn; tạo hứng thú cho học sinh tích cực, sáng tạo khi học nộidung Tổ hợp - Xác suất 382.2 Một số biện pháp dạy học Tổ hợp - Xác suất góp phần phát triển năng

lực vận dụng Toán học vào thực tiễn 392.2.1 Biện pháp 1: Củng cố kiến thức và kỹ năng cơ bản về Tổ hợp - Xác

suất làm cơ sở cho HS vận dụng vào thực tiễn 392.2.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn HS thực hiện quy trình giải bài toán có nội

dung thực tiễn về Tổ hợp - Xác suất 472.2.3 Biện pháp 3: Sưu tầm, bổ sung những bài toán Tổ hợp - Xác suất có

nội dung thực tiễn 51

2.2.4 Biện pháp 4: Sử dụng bài toán có nội dung thực tiễn để gợi động cơ

trong quá trình dạy học Tổ hợp - Xác suất 58

2.2.5 Biện pháp 5: Sử dụng câu hỏi và bài tập có nội dung thực tiễn trong kiểm tra, đánh giá kết quả học tập Tổ hợp - Xác suất của HS 62

2.3 Kết luận chương 2 65

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 67

3.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 67

3.2 Kế hoạch, nội dung, đối tượng và phương pháp thực nghiệm sư phạm 67

3.2.1 Kế hoạch, đối tượng và phương pháp thực nghiệm 67

3.2.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 69

3.3 Kết quả thực nghiệm và đánh giá 81

3.3.1 Phân tích định tính 82

3.3.2 Phân tích định lượng 82

3.4 Kết luận chương 3 85

KẾT LUẬN CHUNG 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

Bảng

DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1 Thống kê về mức độ ứng dụng của Tổ hợp - Xác suất trong

thực tiễn 28Bảng 2.1: Ma trận đề kiểm tra Đại số và giải tích 11 Chương II Tổ

hợp - Xác suất 64Bảng 3.1: Bảng phân bố tần số điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp TN

(11A1, 11A3) và lớp ĐC (11A2, 11A4) 83Bảng 3.2 Bảng phân bố về điểm bài kiểm tra 45 phút lớp TN (11A1,

11A3) và lớp ĐC (11A2, 11A4) 83

Sơ đồ

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa toán học của Frank Swetz và J.S

Hartzler (1991) 13

Biểu đồ

Biểu đồ 1.1 Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc vận dụng Tổ hợp

-Xác suất vào thực tiễn của HS 28Biểu đồ 1.2 Đánh giá mức độ khó của việc phát triển năng lực vận dụng

Toán học vào thực tiễn cho HS 29Biểu đồ 2.1 Số lượng viên kẹo màu trong

túi 53

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp

TN (11A1) và lớp ĐC (11A2) 84Biểu đồ 3.2: Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp

TN (11A3) và lớp ĐC (11A4) 84

và xu thế toàn cầu hoá là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước tahiện nay HS phổ thông là những thế hệ tương lai chuẩn bị tham gia trực tiếpvào lao động sản xuất, phát triển xã hội Việc trang bị cho HS những kỹ năng,những phẩm chất của người lao động ngay khi ngồi trên ghế nhà trường là rấtquan trọng Để thực hiện được nhiệm vụ cấp bách đó sự nghiệp giáo dục và đàotạo cần được đổi mới Cùng với những thay đổi về nội dung giảng dạy, cần cónhững đổi mới về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học bộ môn, trong đóphương pháp dạy học bộ môn Toán là một trong những yếu tố quan trọng.

Luật Giáo dục nước ta quy định [11]: “Phương pháp giáo dục phổ thôngphải phát huy tính tích cực tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của HS, phù hợpvới đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rènluyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho HS” Lý luận vận dụng vào thực tiễn là mộtyêu cầu cơ bản trong dạy học môn Toán được rút ra từ luận điểm của giáo trìnhTriết học Mác - Lênin [2]: ''Thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức, là tiêu chuẩncủa chân lí'' Nói về giáo dục, Chủ tịch Hồ Chí Minh là người có quan điểm vàchiến lược vượt tầm thời đại Về mục đích việc học Bác xác định rõ học để làmviệc Còn về phương pháp học tập Người xác định học phải đi đôi với hành,học tập suốt đời, học ở mọi nơi, mọi lúc Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là

"chìa khoá" trong hầu hết các hoạt động của con người Mặc dù là ngành khoahọc có tính trừu tượng cao với các con số nhưng Toán học có mối liên hệ chặtchẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực trong cuộc sống,

là công cụ để học tập nhiều môn học khác nhau trong trường phổ thông, là công

cụ để lao động trong sản xuất và đời sống thực tiễn xã hội

Mặc dù có vai trò quan trọng như vậy nhưng có nhiều lý do khác nhau

mà SGK môn Toán phổ thông nói chung chưa thực sự quan tâm đúng mức, chútrọng tới việc làm rõ mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn, nhằm bồi dưỡngcho HS ý thức và năng lực vận dụng Toán học vào việc học tập các môn họckhác, giải quyết nhiều tình huống gặp phải trong đời sống Bên cạnh đó, thựctrạng dạy học Toán ở trường THPT hiện nay có nhiều GV chỉ quan tâm tới việctruyền thụ lý thuyết, thiếu thực hành và vận dụng kiến thức môn học vào thựctiễn Nhiều HS thụ động trong việc học, thậm chí còn chưa nắm chắc kiến thức

cơ bản chứ chưa nói đến vận dụng kiến thức môn học vào thực tiễn

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung SGK của Bộ giáodục và đào tạo [3] đã xác định rõ: “Cần dạy học theo cách sao cho HS có thểnắm vững tri thức, kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Tạo cơ sở để

HS học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động” Như vậy, trong giảng dạy mônToán nói chung và nội dung Tổ hợp - Xác suất nói riêng, nếu muốn tăng cườngrèn luyện năng lực, kỹ năng và ý thức ứng dụng Toán học cho HS cần thiết phải

mở rộng phạm vi ứng dụng môn học, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần đượcđặc biệt quan tâm thường xuyên góp phần tăng cường thực hành gắn với thựctiễn cuộc sống làm cho Toán học bớt trừu tượng khô khan và nhàm chán khôngtạo hứng thú cho HS HS cần biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trựctiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại từ bài toán trong thực tế liên hệvới bài học

Qua nghiên cứu chương trình SGK môn Toán THPT, chương Tổ hợp Xác suất là chương mới đối với HS, là nội dung khó đối khi mới bắt đầu làmquen Cần phải hình thành nội dung dần dần qua các VD thực tiễn Chương nàycung cấp những kiến thức cơ bản nhất về Đại số tổ hợp và lý thuyết xác suất,một lĩnh vực cơ bản của Toán học nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống

-Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề năng lực vậndụng Toán học vào thực tiễn Luận văn của chúng tôi dựa trên tính kế thừa,phát triển của những tác giả đi trước góp phần làm sáng tỏ và cụ thể hóa kếtquả nghiên cứu vào việc giảng dạy môn Toán ở trường THPT

Vì những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:

“Dạy học Tổ hợp - Xác suất theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn về nộidung Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông, đề xuất một số biện pháp sư phạmnhằm phát triển năng lực dụng Toán học vào thực tiễn cho HS, góp phần nângcao chất lượng dạy học toán hiện nay ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát triển năng lực vậndụng Toán học vào thực tiễn cho HS phổ thông trong dạy học môn Toán nóichung và dạy học Tổ hợp - Xác suất nói riêng

- Điều tra, tìm hiểu thực trạng của việc phát triển năng lực vận dụng Toán

học vào thực tiễn cho HS phổ thông trong dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất

- Đề xuất một số biện pháp góp phần phát triển năng lực vận dụng Toánhọc vào các bài toán, tình huống trong thực tiễn cho HS phổ thông trong dạyhọc Tổ hợp - Xác suất

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quảcủa các biện pháp được đề xuất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Biện pháp phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HSTHPT trong dạy học Tổ hợp - Xác suất

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HSTHPT trong dạy học Tổ hợp - Xác suất (Đại số và Giải tích 11 chương trìnhchuẩn), ở trường THPT Đại Từ, huyện Đại Từ, tỉnh Thái Nguyên

5 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng hiệu quả một số biện pháp góp phần phát triển năng lựcvận dụng Toán học vào các bài toán, tình huống trong thực tiễn cho HS phổthông trong dạy học Tổ hợp - Xác suất thì sẽ tạo được hứng thú học tập cho

HS, phát huy tính tích cực, sáng tạo và phát triển năng lực vận dụng Toán họcvào thực tiễn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường THPT

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục, tìm hiểu một số tạp chí và các tàiliệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu nội dung chương trình SGK môn Toán

ở trường phổ thông mà trọng tâm là nội dung Tổ hợp - Xác suất

- Phương pháp điều tra, quan sát:

Điều tra tình hình dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường phổthông cũng như việc phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:

Xin ý kiến của một số GV dạy toán về một số vấn đề liên quan đến luận văn đểđiều chỉnh nội dung luận văn cho phù hợp với thực tiễn dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường THPT

- Phương pháp chuyên gia:

Trao đổi, tham khảo ý kiến với các chuyên gia tro ng lĩnh vực mà bảnthân nghiên cứu để có những định hướng cho việc nghiên cứu luận văn Traođổi với các GV dạy học môn Toán lớp 11 về phát triển năng lực vận dụngToán học vào thực tiễn của HS THPT cũng như yêu cầu của chương Tổ hợp

- Xác suất

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và

hiệu quả của giải pháp đã đề xuất

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn gồm có ba chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất gópphần phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Luận văn có sử dụng 25 tài liệu tham khảo và kèm theo 03 Phụ lục

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề về nguyên cứu lý luận

1.1.1 Một số công trình nghiên cứu về dạy học toán theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của

giáo dục phổ thông Môn toán góp phần phát triển nhân cách, phát triển nhữngphẩm chất trí tuệ chung như: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quáthóa rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩnthận, chính xác, kỉ luật, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Hơnnữa, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học khác

Trong quá trình tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy có rất nhiều công trìnhnghiên cứu khoa học liên quan đến việc phát triển năng lực vận dụng Toán họcvào thực tiễn cho HS Chẳng hạn, một số công trình nghiên cứu sau:

- Nguyễn Viết Dũng, luận án tiến sĩ: “Hình thành và phát triển một số kỹnăng thích nghi trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học hình học”

- Phan Anh, luận án tiến sĩ: “Góp phần phát triển năng lực toán học hóatình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học Đại số vàGiải tích”

- Nguyễn Văn Nam, luận văn thạc sĩ: “Rèn luyện cho học sinh trung họcphổ thông kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong giải toán Đại số và Giảitích”

- Nguyễn Thị Hường, luận văn thạc sĩ: “Bồi dưỡng năng lực vận dụng Toán

học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học cơsở”

- Phan Thị Thùy Trang, luận văn thạc sĩ: “Xây dựng và sử dụng kiểu bàitoán của Pisa vào dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông theo địnhhướng tăng cường các bài toán thực tiễn”

- Nguyễn Văn Bảo, luận văn thạc sĩ: “Góp phần rèn luyện cho học sinhnăng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dungthực tiễn”.

- Đào Thị Liễu, luận văn thạc sĩ: “Bồi dưỡng năng lực toán học hóa tìnhhuống thực tiễn cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Xác suất - Thống kê”

- Trần Thị Kim Nhung, luận văn thạc sĩ: “Phát triển năng lực phát hiện vàgiải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất (Đại

số và Giải tích 11 nâng cao)”

- Nguyễn Danh Nam: “Nghiên cứu vận dụng phương pháp mô hình hóatrong dạy học môn toán ở trường phổ thông”, đề tài cấp Bộ

- Lê Thị Kiều Diễm, luận văn thạc sĩ: “Rèn luyện kỹ năng toán học hóatình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Tổ hợp -Xác suất”

- Nguyễn Thị Nhung, luận văn thạc sĩ Khoa học giáo dục: “Rèn luyện kỹnăng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trongdạy học Tổ hợp - Xác suất”

- Vũ Viết Tiệp, Luận văn Thạc sỹ PPDH Toán: “Bồi dưỡng năng lực vậndụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp11”

Việc phát triển năng lực vận dụng kiến thức Toán học cho HS có ý nghĩaquan trọng trong việc giải quyết những nhiệm vụ đặt ra của HS như: Vận dụngkiến thức để giải bài tập, tiếp thu và xây dựng tri thức cho những bài học mớihay cao nhất là vận dụng để giải quyết những vấn đề trong thực tiễn cuộc sốngcủa các em Phát triển năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn cóthể giúp cho HS:

- Nắm vững kiến thức đã học để vận dụng những kiến thức giải quyếtnhững bài tập hay xây dựng kiến thức cho bài học mới; nắm vững kiến thức đãhọc, có khả năng liên hệ, liên kết các kiến thức bởi những vấn đề thực tiễn liênquan đến kiến thức khoa học

- Vận dụng các kiến thức, kỹ năng vào trong học tập, trong cuộc sốnggiúp các em học đi đôi với hành Giúp HS xây dựng thái độ học tập đúng đắn,phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo; lòng ham học, ham hiểubiết; năng lực tự học.

- Hình thành cho HS kỹ năng quan sát, thu thập, phân tích và xử lý thôngtin, hình thành phương pháp nghiên cứu khoa học; hình thành và phát triển kỹnăng nghiên cứu thực tiễn; có tâm thế luôn luôn chủ động trong việc giải quyếtnhững vấn đề đặt ra trong thực tiễn

- Giúp cho HS có được những hiểu biết về thế giới tự nhiên, chu kỳ hoạtđộng và tác động tích cực cũng như tiêu cực đối với cuộc sống con người cũngnhư ảnh hưởng của con người đến thế giới tự nhiên

- Thông qua việc hiểu biết về thế giới tự nhiên bằng việc vận dụng kiếnthức đã học để tìm hiểu giúp các em ý thức được hoạt động của bản thân, cótrách nhiệm với chính mình, với gia đình, nhà trường và xã hội ngay trong cuộcsống hiện tại cũng như tương lai sau này của các em

- Đem lại niềm vui, tạo hứng thú học tập cho HS Phát triển ở các emtính tích cực, tự lập, sáng tạo để vượt qua khó khăn, tạo hứng thú trong học tập

Việc bồi dưỡng và phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễncho HS phổ thông được nhiều tác giả quan tâm Do đó, chúng tôi thấy rằng việcnghiên cứu về trong dạy học Tổ hợp - Xác suất cho HS phổ thông là điều cầnthiết

1.1.2 Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn

Nguồn gốc của Toán học cũng như các ngành khoa học khác đều lànhững vấn đề thực tiễn mà con người cần tìm hiểu để cải thiện chất lượng cuộcsống Nhu cầu về thực tiễn là nền tảng phát triển của Toán học Ngược lại, Toánhọc cũng có tác động mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống,lao động sản xuất vàcác ngành khoa học kỹ thuật khác Lịch sử của Toán học gắn liền với sự pháttriển của loài người, những khái niệm Toán học hầu hết xuất phát từ đời sốngthực tiễn, từ

nhu cầu tìm tòi và khả năng khám phá của con người Một số khái niệm đượchình thành có thể chưa hẳn đã có ứng dụng trong thực tế nhưng lại là cầu nốihoặc công cụ cơ bản dẫn đến những định luật và định lý rất quan trọng.

Toán học chính là cuộc sống, Toán học và cuộc sống luôn đi liền, gắn kếtmật thiết với nhau Mục đích của sự phát triển Toán học là cải thiện chất lượng,nhu cầu cuộc sống Toán học hình thành từ các hoạt động thực tiễn của conngười và là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tựnhiên vô cùng phong phú và đa dạng Để đáp ứng đòi hỏi yêu cầu ngày càngcao về chuyên môn trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước thì

sự nghiệp giáo dục và đào tạo trong thời kì đổi mới hiện nay phải góp phần vàoviệc phát triển cho HS năng lực tìm tòi tiếp nhận tri thức và vận dụng giải quyếtcác vấn đề phục vụ thực tế cuộc sống Mối quan hệ hai chiều giữa Toán học vàthực tiễn có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Thực tiễn

Xuất phát

Ứng dụng

Các lý thuyếtToán học

Trên thực tế, xuất phát từ việc xác định mục tiêu và phương pháp dạytoán chưa hợp lý trong các nhà trường phổ thông hiện nay Toán học đã bị biếnthành một môn học “khô khan” nặng nề về lý thuyết và cách giải, thay vì một

bộ môn khoa học mang đầy ứng dụng thực tiễn Thông qua thời gian học tập ởtrường sư phạm và giảng dạy ở trường THPT, cũng như việc dự giờ học, traođổi kinh nghiệm, chúng tôi nhận thấy rằng hiện nay việc dạy học môn Toán gắnvới thực tiễn không được chú trọng và quan tâm đúng mức

1.1.3 Thưc tiễn, bài toán có nội dung thực tiễn

a) Thực tiễn

Theo từ điển Tiếng việt [21] thì thực tiễn là: “Toàn bộ hoạt động vật chất

có mục đích mang tính lịch sử và xã hội của con người nhằm cải biến thế giới

khách quan” Thực tiễn trước hết là những hoạt động lao động sản xuất của con

người nhằm tạo ra những điều kiện, nhu cầu cần thiết cho sự tồn tại của xã hội.Chính do yêu cầu của thực tiễn lao động sản xuất vật chất và cải tạo thế giới,buộc con người phải nhận thức thế giới Nhu cầu nhận thức của mỗi người là

vô hạn nhưng thông qua hoạt động trong thực tiễn con người lại bộc lộ sự mâuthuẫn giữa nhận thức có hạn của mình với sự vận động và phát triển khôngngừng của xã hội, từ đó thúc đẩy con người phải nhận thức Chính thực tiễn làđộng lực thúc đẩy sự hình thành mạnh mẽ các ngành khoa học tự nhiên và xãhội Luận văn chỉ đề cập đến những tình huống thực tiễn thường gặp, đơngiản, ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống mà bằng kiến thức phổ thông HS cóthể nhận thức và giải quyết được

b) Tình huống thực tiễn, bài toán có nội dung thực tiễn

Theo từ điển tiếng Việt [21] thì tình huống là: “Sự diễn biến của tìnhhình, có mặt cần phải đối phó” Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [10] quan niệmkhái niệm này trên cơ sở của lý thuyết hệ thống, ông cho rằng: “Một tình huống

là một hệ thống phức tạp bao gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể

là con người, còn khách thể là một hệ thống nào đó Một tình huống mà kháchthể tồn tại ít nhất có một phần tử chưa biết, được gọi là bài toán tình huống đốivới chủ thể Đứng trước một tình huống, chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tửchưa biết, dựa vào các phần tử khác của khách thể thì có một bài toán đối vớichủ thể”

Dựa vào quan điểm trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng tôi quan niệm:

- Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng cácyếu tố mang nội dung thực tiễn (tức là diễn biến các hoạt động của con người)

- Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán mà trong nội dung của giảthiết, kết luận có chứa đựng yếu tố liên quan đến các hoạt động thực tiễn

Từ một tình huống gặp phải trong thực tiễn, HS có thể liên tưởng đếnmột bài toán cần giải quyết Vấn đề đặt ra là HS phải tìm ra được giả thiết, kếtluận của bài toán dựa trên những yếu tố liên quan đến thực tiễn Có những bài

toán trong thực tiễn thể hiện nội dung rất rõ ràng, có những bài toán lại “ẩnmình” đòi hỏi HS phải có kiến thức Toán học, sự hiểu biết về vấn đề thực tiễngặp phải mới phát hiện ra Lịch sử hình thành và phát triển của Toán học đã chothấy Toán xuất phát từ thực tế, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác độngmạnh mẽ đối với các nội dung toán học Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, pháttriển và hoàn thiện các lý thuyết toán học.

Những bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là cácbài toán mở, đó là những bài toán mà khi làm việc với chúng, HS phải tự mày

mò tìm ra giả thiết hoặc kết luận Các bài toán có nội dung thực tiễn mở về phíagiả thiết là các bài toán mà khi giải chúng, cần phải tham gia xây dựng giả thiếthay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết Các bài toán có nội dung thựctiễn mở về phía kết luận là các bài toán mà khi giải chúng cần phải mày mòbiện luận các trường hợp có thể xảy ra

Toán học không chỉ là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ con người màđược hình thành và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống Toán học trởlại xâm nhập vào thực tiễn, thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trò là công cụgiúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra

1.1.4 Mô hình hóa toán học

Chúng ta đã biết, một vấn đề quan tâm hàng đầu trong dạy học toánhiện nay đó là khả năng tiếp nhận những năng lực vận dụng Toán học vào đờisống thường ngày của HS Nhiều HS có thể giải rất nhanh các bài toán khó,phức tạp nhưng khi gặp một vấn đề trong thực tiễn nào đó cần ứng dụng Toánhọc vào giải quyết thì lại rất lúng túng, không biết cách giải Do đó, một vấn

đề được đặt ra là dạy học toán nên quan tâm đến những VD xuất phát từ thực

tế giúp HS thấy được mối quan hệ giữa Toán học và cuộc sống cũng như đạtđược những năng lực cho phép giải quyết các vấn đề thực tế bằng công cụtoán học Nhiều nghiên cứu gần đây cho thấy việc tích hợp MHH Toán học

vào chương trình dạy học toán ở phổ thông sẽ là một trong cách khắc phục những hạn chế đề cập ở trên.

Theo Nguyễn Danh Nam [13] ta hiểu: “MHH Toán học là một cấu trúcToán học mô tả gần đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó, một mô hìnhToán học bao gồm các đối tượng Toán học và mối quan hệ giữa đối tượng đó”

MHH Toán học: “Để vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết cáctình huống thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựngmột mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống Quátrình này được gọi là MHH Toán học”

MHH Toán học cho phép HS kết nối Toán học nhà trường với thế giớithực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng Toán học, đồng thời cung cấp mộtbức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ýnghĩa hơn

Tóm lại, có thể nói mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực tiễnnào đó, mô hình Toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện

nó dưới dạng của ngôn ngữ toán học, trong đó MHH là quá trình tạo ra các môhình để giải quyết các vấn đề toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn

Do đó với tri thức toán học, GV có thể sử dụng mô hình để giải thích, giúp HShiểu về các hiện tượng trong thực tế cuộc sống và tính ứng dụng thực tiễn củaToán học Trong dạy học toán, MHH có thể được thực hiện thông qua các dự

án học tập, GV có thể chia HS thành các nhóm để cùng tìm hiểu khám phá thếgiới bằng phương tiện toán học với sự hướng dẫn của GV Do vậy, MHH được

sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như một phương tiện để dạy

và học toán ở trường phổ thông bởi vì nó là môi trường để HS tìm hiểu, khámphá các kiến thức toán học cũng như các kiến thức liên môn khác

Quy trình MHH toán học trong đề xuất của Frank Swetz và J.S Hartzler(1991) trong [25] gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:

Sơ đồ 1.1 Quy trình mô hình hóa toán học của Frank Swetz và J.S Hartzler (1991)

Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hìnhkhông phải là cái bất biến Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp đến mô hình ởmức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm

mô hình của các quy trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tươngthích với các mô hình cụ thể trước đó Một mô hình có thể là chưa thành công

về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoántình huống thực tiễn Một mô hình Toán học là một ô hìm n h t r ừ u t ư ợ n g s ửdụng ngôn ngữ To án đ ể mô tả về một h ệ t hố n g Một mô hình Toán học làmột cấu trúc Toán học mô tả gần đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó,một mô hình Toán học bao gồm các đối tượng Toán học và mối quan hệ giữacác đối tượng đó MHH Toán học của bài toán có nội dung thực tiễn để vậndụng kiến thức Toán học vào giải quyết các tình huống thực tế, người ta phảivận dụng kiến thức Toán học vào tình huống đó, tức là phải xây dựng một môhình Toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống Quá trình nàyđược gọi là MHH Toán học Một vài cấu trúc cơ bản có thể dùng để MHH là:

Hệ phương trình hay bất phương trình, các đồ thị, phương trình (công thức), chỉ

số, bảng số hay các thuật toán,…

1.1.5 Quy trình giải bài toán có nội dung thực tiễn

Việc thường xuyên vận dụng Toán học vào thực tế sẽ giúp HS nhìn thấynhững khía cạnh Toán học ở các tình huống thường gặp trong cuộc sống, tăng

cường khả năng giải quyết các vấn đề trong cuộc sống bằng tư duy Toán học,giúp tập luyện thói quen làm việc khoa học, nâng cao ý thức tối ưu hóa tronglao động… Đây là những phẩm chất quan trọng đối với người lao động trong

xã hội ngày nay Để làm được điều này HS phải có khả năng thu nhận đượcthông tin toán học từ tình huống thực tế ban đầu, chuyển đổi thông tin giữathực tế và Toán học, thiết lập được mô hình toán học từ tình huống thực tế Đókhông phải là công việc dễ dàng nếu không thực hiện theo một trình tự nhấtđịnh Do đó khi dạy cho HS giải các bài toán thực tiễn GV nên hướng dẫn cho

HS giải theo các bước

Dựa trên tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya vềcách thức giải toán [17] đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợpvới những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn có thể nêu lên phương phápchung để giải bài toán có nội dung thực tiễn như sau:

Bước 1: Từ tình huống thực tiễn xây dựng bài toán thực tiễn

Đứng trước một tình huống thực tế, không phải đã có ngay bài toán thực

tế mà phải phát hiện vấn đề cần giải quyết, những đại lượng tham gia và cácmối liên hệ giữa chúng, từ đó mới hình thành được bài toán thực tế Mặt khác,

có khi từ một tình huống thực tế lại không xuất hiện bài toán giải quyết đượcbằng công cụ toán học mà là các bài toán khác Hơn nữa, từ một tình huốngthực tiễn, cũng có khi xuất hiện không phải là một mà là nhiều bài toán thực tếkhác nhau có thể giải bằng công cụ toán học Việc phát hiện hay xây dựng bàitoán thực tế từ một tình huống thực tế là rất quan trọng và có tính hoàn chỉnh,cần thiết được coi là một bước riêng của quá trình vận dụng Toán học vào thựctiễn Bước này sẽ kết thúc khi nêu ra được kết luận của bài toán và đưa ra đượcnhững dữ kiện làm giả thiết của bài toán

Tìm hiểu nội dung của bài toán Toán học hóa bài toán, chuyển bài toánvới những ngôn ngữ, những dữ kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán vớingôn ngữ toán học, các dữ kiện được biểu thị bằng các ẩn số, các con số… các

ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiện được chuyển thành các biểuthức, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình toán học…Bước này

có ý nghĩa rất quan trong đối với việc giải quyết một bài toán có nội dung thựctiễn, đồng thời nó cũng phản án khả năng trình độ của người học đối với hiểu

Bước 3: Vận dụng toán học để giải quyết bài toán trong mô hình toán học

Tìm cách giải cho bài toán đã được thiết lập Tìm tòi phát hiện các giảinhờ các suy nghĩ có tính chất tiền đoán: Biến đổi cái phải tìm hay chứng minh,liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toáncần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổngquát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương phápđặc thù với những dạng toán

Trình bày lời giải Từ các giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phảilàm thành một chương trình thành các bước thực hiện theo một trình tự thíchhợp và thực hiện các bước đó

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán có hoặc không cóthuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải các bài toán.Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dầndần truyền thụ cho HS cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lờigiải cho mỗi bài toán:

+ Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầuchung của chương trình cũng như tình hình thực tế để hoặc thông báo tườngminh thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn khớpvới tri thức phương pháp đó.

+ Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cầnhướng dẫn HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua đó trang bị cho HS một số tri thức

về phương pháp giải toán Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể màdần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ,tìm tòi lời giải các bài toán, hình thành phương pháp giải một lớp các bài toán

có dạng quen thuộc Từ đó hình thành kỹ năng giải quyết loại bài toán đó

Bước 4: Chuyển kết quả lời giải bài toán trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tiễn

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa

kết quả tìm được, hoặc đối chiếu kết quả với một số chi thức có liên quan…

Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn, thường làmột kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất…Do thực tiễn đặt

ra Đồng thời có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng củakết quả lời giải Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngượcvấn đề Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tòi sáng tạo củaHS

1.1.6 Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

a) Khái niệm năng lực

Có nhiều cách hiểu khác nhau về năng lực, theo từ điển tiếng Việt [21]năng lực có nghĩa là khả năng làm việc tốt, nhờ có phẩm chất đạo đức và trình

độ chuyên môn, về khía cạnh tâm lý Năng lực được hiểu là những đặc điểmtâm lí của nhân cách, là điều kiện chủ quan để thực hiện có kết quả một dạnghoạt động nhất định, năng lực là sự kết hợp giữa khả năng bẩm sinh (năng lực

tự nhiên) và khả năng có được qua quá trình đào tạo (kĩ năng) Theo nhà tâm líhọc Nga V.A.Cruchetxki [24] thì: “Năng lực được hiểu như là: Một phức hợp

các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của mộthoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”, cáchhiểu khác năng lực là sự tổng hợp những thuộc tính của cá nhân con người, đápứng những yêu cầu của hoạt động và đảm bảo cho hoạt động đạt được nhữngkết quả cao hay năng lực là khả năng sử dụng kiến thức, vận dụng kĩ năng vớithái độ tốt giải quyết hiệu quả vấn đề trong thực tiễn luôn biến đổi Năng lựccũng là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của khả năng con người phù hợp với mộthoạt động nhất định, bảo đảm cho những hoạt động đó có kết quả.

Trong luận văn này chúng ta thống nhất cách hiểu: “Năng lực là khảnăng sử dụng kiến thức, vận dụng kỹ năng với thái độ tốt giải quyết hiệu quảvấn đề trong thực tiễn luôn biến đổi”

Mối quan hệ mật thiết giữa năng lực với kiến thức, kỹ năng, thái độ Mộtnăng lực là tổ hợp đo lường được các kiến thức, kỹ năng và thái độ mà conngười cần vận dụng để thực hiện tốt một nhiệm vụ trong một bối cảnh thực và

có nhiều tác động bên ngoài Để thực hiện một nhiệm vụ, một công việc có thểcần nhiều năng lực khác nhau vì năng lực được thể hiện thông qua việc thựchiện nhiệm vụ nên người học cần chuyển hóa những kiến thức, kỹ năng, thái độcủa bản thân vào giải quyết những tình huống mới trong thực tế cuộc sống Do

đó, có thể nói kiến thức là cơ sở để hình thành năng lực, là nguồn lực để ngườihọc tìm được các giải pháp tối ưu để thực hiện nhiệm vụ, hoặc có cách ứng xửphù hợp trong cuộc sống Khả năng đáp ứng phù hợp với cuộc sống là đặctrưng quan trọng của năng lực, tuy nhiên, khả năng đó có được lại dựa trên việc

sử dụng linh hoạt các kiến thức, kỹ năng cần thiết trong mỗi con người trongtừng hoàn cảnh cụ thể Kiến thức là cơ sở để hình thành và rèn luyện năng lực,

là những kiến thức mà người học phải năng động, tích cực, tự giác vận dụngđược Có thể hình dung việc hình thành và rèn luyện năng lực được diễn ra theohình bậc thang, trong đó các kiến thức có trước được sử dụng để kiến tạo kiếnthức mới, kiến thức mới lại là cơ sở để hình thành năng lực mới Kỹ năng theo

nghĩa hẹp là những thao tác, những cách thức thực hành, vận dụng kiến thức,kinh nghiệm đã có để thực hiện một công việc nào đó, kỹ năng hiểu theo nghĩarộng, bao hàm những kiến thức, những hiểu biết và trải nghiệm, giúp cá nhân

có thể thích ứng khi hoàn cảnh thay đổi Kiến thức, kỹ năng là cơ sở cần thiết

để hình thành năng lực trong một lĩnh vực hoạt động nào đó Không thể cónăng lực Toán học nếu không có kiến thức và không được thực hành, luyện tậptrong những dạng bài toán khác nhau Ngược lại, nếu chỉ có kiến thức, kỹ năngtrong một lĩnh vực Toán thì chưa hẳn đã được coi là có năng lực Toán học, màcòn cần đến việc sử dụng hiệu quả các nguồn kiến thức, kỹ năng cùng với thái

độ, tránh nhiệm của bản thân để thực hiện thành công các nhiệm vụ và giảiquyết các vấn đề phát sinh trong thực tiễn

b) Năng lực Toán học

Theo V.A.Crutetxki [24] thì khái niệm năng lực Toán học sẽ được giảithích trên hai bình diện:

- Năng lực nghiên cứu toán học: Như là các năng lực sáng tạo (khoa

học), các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới,khách quan và quý giá

- Năng lực học tập toán học: Như là các năng lực học tập giáo trình phổ

thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảotương ứng

Theo Konmogorop thì trong thành phần của năng lực toán học có:

- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìmđược con đường giải các phương trình không theo các quy tắc chuẩn, năng lựctính toán;

- Trí tưởng tượng hình học hay tri giác hình học;

- Nghệ thuật suy luận lôgíc theo các bước đã được phân chia một cáchđúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kỹ năng vận dụng đúng đắn quy nạp

toán học, là tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgíc hoàn toàn cần thiết đối vớinhà toán học

Theo V.A.Crutetxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những

thành phần sau:

- Về mặt thu nhận thông tin: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán

học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán

- Về mặt chế biến thông tin, đó là:

+ Năng lực tư duy lôgíc trong phạm vi các quan hệ số lượng và các quan

hệ không gian, các kí hiệu, năng lực suy nghĩ với các kí hiệu Toán học

+ Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan

hệ, các phép toán của Toán học Năng lực rút ngắn quá trình suy luận Toán học

và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực suy nghĩ với những cấu trúcđược rút gọn

+ Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học

+ Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tínhhợp lí của lời giải

+ Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tưduy thuận chuyển qua tư duy nghịch

- Về mặt lưu trữ các thông tin, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái

quát về các quan hệ Toán học, về các đặc điểm điển hình, các sơ đồ suy luận vàchứng minh, về các phương pháp giải toán và các nguyên tắc xem xét các bàitoán ấy

- Về thành phần tổng hợp chung, đó là khuynh hướng toán học của trí

tuệ Tuy nhiên, cần chú ý rằng tốc độ tư duy, năng lực tính toán, trí nhớ về cáccông thức,… không nhất thiết phải có mặt trong các thành phần của năng lựctoán học

Theo cách hiểu trên về năng lực và vai trò của môn toán trong việc pháttriển, rèn luyện những thành phần quan trọng của năng lực cho HS thì chúngta

có thể hiểu năng lực toán học của HS là những năng lực cần có khi HS học xongchương trình môn toán Những năng lực này đáp ứng việc hấp thụ những trithức toán học, khả năng học tập môn toán, khả năng vận dụng kiến thứctoán vào cuộc sống, Những năng lực toán học được luận văn đề cập đến baogồm: Năng lực thu nhận thông tin toán học, lưu trữ thông tin toán học, xử lýthông tin toán học, năng lực vận dụng toán học vào giải quyết các vấn đề củacuộc sống.

c) Năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn

Năng lực vận dụng kiến thức của HS là khả năng của bản thân người họchuy động, sử dụng những kiến thức, kỹ năng đã học trên lớp hoặc học qua trảinghiệm thực tế của cuộc sống để giải quyết những vấn đề đặt ra trong nhữngtình huống đa dạng và phức tạp của đời sống một cách hiệu quả và có khả năngbiến đổi nó để phù hợp với thực tế cuộc sống Năng lực vận dụng kiến thức thểhiện ở phẩm chất, nhân cách của con người trong quá trình hoạt động để thỏamãn nhu cầu chiếm lĩnh tri thức Với cách hiểu trên, cấu trúc năng lực vận dụngkiến thức của HS có thể được mô tả dưới dạng các tiêu chí sau:

- Năng lực 1: Nắm vững kiến thức và kỹ năng toán học để vận dụng vào thực tiễn.

+ Nắm vững kiến thức toán học (khái niệm, định lý, quy tắc, phươngpháp,…)

+ Kỹ năng phân dạng và giải các dạng toán cơ bản

+ Kỹ năng dùng công cụ toán học để: Tính toán, biến đổi, chứng minh,…

- Năng lực 2: Có khả năng phát hiện, phân tích và chuyển các tình huống thực tiễn thành các dạng toán đã học.

+ Khả năng quan sát, liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu

tố thực tiễn

+ Khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của tình huống thực tiễn

+ Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học diễn đạt một vấn đề thực tiễndưới nhiều hình thức khác nhau

- Năng lực 3: Năng lực xây dựng mô hình hóa toán học và giải toán trên

+ Khả năng giải toán trên mô hình

+ Khả năng biến đổi mô hình toán học phù hợp với tình huống cụ thể

- Năng lực 4: Có khả năng chuyển từ kiến thức đã học thành các tình huống thường gặp trong thực tế.

+ Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả

+ Khả năng phê phán, phát hiện hạn chế của mô hình

Trong luận văn này, các biện pháp sư phạm đề xuất tập trung vào pháttriển năng lực số 1, năng lực số 2 và năng lực số 3

Từ các tiêu chí trên của năng lực vận dụng kiến thức toán học có thể mô

tả thành các mức độ khác nhau để thông qua đó GV có thể xây dựng thangđánh giá mức độ phát triển năng lực của HS thông qua dạy học tích hợp cácmôn học Có nhiều cách khác nhau để xác định các mức độ của năng lực vậndụng kiến thức của HS, cụ thể:

- Theo cơ sở kiến thức khoa học cần vận dụng để xác định các mức độkhác nhau như: HS chỉ cần vận dụng một kiến thức khoa học hoặc vận dụngnhiều kiến thức khoa học để giải quyết một vấn đề

- Theo mức độ quen thuộc hay tính sáng tạo của HS

- Theo mức độ tham gia của HS trong giải quyết vấn đề

- Theo mức độ nhận thức của HS

Tái hiện kiến thức để trả lời câu hỏi mang tính lý thuyết; vận dụng kiếnthức để giải thích các sự kiện, hiện tượng của lý thuyết; vận dụng kiến thức để

giải quyết những tình huống xảy ra trong thực tiễn; vận dụng kiến thức, kỹnăng để giải quyết những tình huống trong thực tiễn, khả năng liên hệ các kiếnthức đã học với các tình huống thực tế hoặc những công trình nghiên cứu khoahọc vừa sức, đề ra kế hoạch hành động cụ thể hoặc viết báo cáo Vận dụng kiếnthức toán học vào thực tiễn bao gồm cả việc vận dụng kiến thức đã có để giảiquyết các vấn đề thuộc về nhận thức và việc vận dụng kiến thức vào thực tiễnsản xuất trong đời sống, sinh hoạt hàng ngày như làm bài thực hành, làm thínghiệm, làm mô hình, vận dụng vào các môn học khác có nhiều ứng dụng trựctiếp trong đời sống như: Hóa học, Vật lý, Sinh học, hoặc tính toán đơn thuầnhàng ngày Trong đó, năng lực vận dụng là tổ hợp các thuộc tính độc đáo củaphẩm chất riêng biệt của khả năng con người để thích nghi với đời sống thực tế.Năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tế là khả năng của chủ thể vậndụng những kiến thức toán đã thu nhận được trong một chủ đề nào đó để ápdụng vào thực tiễn, như vận dụng kiến thức hình học không gian để tính thểtích của các đồ vật trong cuộc sống hàng ngày, vận dụng kiến thức tỉ số lượnggiác để đo chiều cao của một vật thật ngoài thực tế trong đó có một điểm takhông thể đến được, đo khoảng cách giữa hai điểm trong đó có một điểmkhông đến được, Năng lực vận dụng kiến thức thúc đẩy việc gắn kiến thức lýthuyết và thực hành trong nhà trường với thực tiễn đời sống, đẩy mạnh thựchiện dạy học theo phương châm "học đi đôi với hành".

Theo như cách phân tích ở trên, trong luận văn này ta hiểu năng lực vậndụng kiến thức toán học vào thực tiễn là khả năng vận dụng thành thạo vàthường xuyên những kiến thức toán đã thu nhận được để áp dụng vào thực tiễncuộc sống

d) Dạy học theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chươngtrình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực vận của người học, đặc

biệt là năng lực vận dụng vào thực tiễn, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc HShọc được cái gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì qua việc học Đểđảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ phương pháp dạy học theo lối

"truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện

kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất Tăng cường việc học tập trongnhóm, đổi mới quan hệ GV - HS theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọngnhằm phát triển năng lực xã hội Bên cạnh việc học tập những tri thức và kỹnăng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề học tập tíchhợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp trongthực tiễn cuộc sống

Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành

và phát triển năng lực tự học (sử dụng SGK, nghe, ghi chép, tìm kiếm thôngtin, hoạt động ngoại khóa, thăm quan học hỏi kinh nghiệm ), trên cơ sở đó traudồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy Có thể chọn lựa mộtcách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp đặc thù của môn toán

để thực hiện Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào cũng phải đảm bảođược nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổchức, hướng dẫn của giáo viên”

Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạyhọc Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có nhữnghình thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ởngoài lớp Cần chuẩn bị tốt về phương pháp đối với các giờ thực hành để đảmbảo yêu cầu rèn luyện kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn,nâng cao hứng thú cho người học

Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học môn học tối thiểu đã quiđịnh Có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm nếu xét thấy cần thiết với nộidung học và phù hợp với đối tượng HS Tích cực vận dụng công nghệ thông tintrong dạy học

Việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lựcvận dụng toán học vào thực tiễn thể hiện qua bốn đặc trưng cơ bản sau:

Một, dạy học thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, giúp HS

tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thứcđược sắp đặt sẵn GV là người tổ chức và chỉ đạo HS tiến hành các hoạt độnghọc tập phát hiện kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào cáctình huống học tập hoặc tình huống thực tiễn

Hai, chú trọng rèn luyện cho HS biết khai thác SGK và các tài liệu họctập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiệnkiến thức mới Định hướng cho HS cách tư duy như phân tích, tổng hợp, đặcbiệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen… để dần hình thành và pháttriển tiềm năng sáng tạo

Ba, tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trởthành môi trường giao tiếp GV - HS và HS - HS nhằm vận dụng sự hiểu biết vàkinh nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ họctập chung

Bốn, chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốttiến trình dạy học thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học) Chútrọng phát triển kỹ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của HS với nhiềuhình thức như theo lời giải/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêuchí để có thể phê phán, tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót.Tóm lại, dạy học theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vàothực tiễn là hình thành kiến thức từ thực tiễn và dùng kiến thức để giải quyếtbài toán trong thực tiễn Để làm được điều đó, không chỉ cần đổi mới về giảngdạy, giáo án mà còn đổi mới về phương pháp dạy học, cơ sở vật chất, tư duycủa người thầy và người học,…

1.2 Tình hình dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình phổ thông theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

1.2.1 Nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường THPT (Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn)

Chương II: Tổ hợp - Xác suất cung cấp các những kiến thức cơ bản nhất vềĐại số tổ hợp và Lý thuyết xác suất Phần thứ nhất bao gồm quy tắc cộng vàquy tắc nhân các khái niệm, các công thức về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Cácbài toán này thường gặp trong toán ứng dụng Ngoài ra, công thức khai triển nhịthức Niu-tơn và các áp dụng của nó cũng được trình bày Phần tiếp theo cungcấp những khái niệm mở đầu và các công thức đơn giản nhất của Lý thuyết xácsuất, một lĩnh vực quan trọng của Toán học, có nhiều ứng dụng thực tế

Theo PPCT môn Toán, nội dung chương II: Tổ hợp và xác suất được trình bày theo số tiết như sau:

Tiết

Theo PPCT

Nội dungChương II Tổ hợp và xác suất

Trong khoa học cũng như trong đời sống chúng ta thường gặp bài toánxác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó Ta gọi đó là bài toánđếm Tổ hợp là một ngành Toán học nghiên cứu nhiều vấn đề mang cấu trúc rờirạc trong đó có bài toán đếm Kỹ năng và kiến thức của Toán tổ hợp là rất cầnthiết cho nhiều môn khoa học từ kinh tế tới Sinh học, Tin học, Hoá học, Quảntrị kinh doanh Phần tổ hợp trong chương II: “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 phânban có mục đích trang bị cho HS hai quy tắc đếm cơ bản, các khái niệm hoán

là rất quan trọng

Theo hướng dẫn chuẩn kiến thức, kỹ năng môn toán lớp 11[18] đưa rachuẩn kiến thức, kỹ năng và hướng dẫn thực hiện chuẩn gồm các kiến thức cơbản và các dạng toán thường gặp

1.2.2 Thực trạng của việc dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông theo hướng phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

Theo Nguyễn Cảnh Toàn có nhận xét về tình hình dạy học toán học hiệnnay: “Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường”; Hoàng Tụy cho rằng:

“Kiểu cách dạy học hiện nay còn mang nặng nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹovặt để giải những bài tập oái oăm, giả tạo, không phát triển trí tuệ mà xa rờithực tiễn” Nói đến những yêu cầu đối với Toán học trong nhà trường, tác giảTrần Kiều cho rằng: “Học toán trong nhà trường phổ thông không chỉ tiếp nhậnhàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lý thuyết…,

cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là hiểu đượcnguồn gốc thực tiễn của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thànhthói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống” Quan điểm làm ứng dụng Toánhọc đã được nhấn mạnh trong dự thảo chương trình cải cách giáo dục môntoán Qua nghiên cứu chương trình SGK Toán THPT chương Tổ hợp - Xácsuất là hoàn toàn mới đối với HS Đó là nội dung rất khó đối với những ngườimới làm quen Cần phải hình thành chúng dần dần qua các VD thực tiễn Trongchương trình giáo dục phổ thông, việc dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suấtphần nào đã đưa được hệ thống các bài toán thực tiễn áp dụng kiến thức đã học

để giải bài toán Tuy vậy, việc dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay vẫncòn coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào đời sống, năng lực vận dụngToán học vào thực tế của HS còn yếu HS chưa phát huy được khả năng chuyểnhóa tình huống thực tiễn thành bài toán

Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK,cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức

và thường xuyên Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về mônToán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộToán học; số lượng VD, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế để HShọc và rèn luyện còn rất ít Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạyToán ở trường phổ thông, các GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thựchiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn đó là kiểu dạy Toán “xa rờicuộc sống đời thường” cần phải thay đổi

Để tìm hiểu thực trạng dạy học môn Toán theo hướng phát triển nănglực vận dụng Toán học vào thực tiễn ở THPT, chúng tôi tiến hành điều tra

Tiến hành điều tra 277 HS ở lớp 11 trường THPT Đại Từ (huyện Đại Từ

- Thái Nguyên) bằng phiếu khảo sát (mẫu phiếu xem phụ lục số 1) Kết quả thuđược thể hiện qua bảng 1.1 và biểu đồ 1.1 dưới đây:

Với câu hỏi 3 (mẫu phiếu xem phụ lục số 1): Theo em, kiến thức Tổ hợp

- Xác suất có nhiều ứng dụng trong cuộc sống thực tiễn không?

Không Có rất ít Có nhiều Có rất nhiều

Kết quả thu được thể hiện ở bảng sau:

Bảng 1.1 Thống kê về mức độ ứng dụng của Tổ hợp - Xác suất trong thực tiễn

Với câu hỏi 10 (mẫu phiếu xem phụ lục số 1): Việc vận dụng kiến thức

Tổ hợp - Xác suất vào thực tiễn theo em có khó không?

Dễ Không khó lắm Khó Rất khó

Kết quả thu được thể hiện ở bảng sau:

Biểu đồ 1.1 Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc vận dụng

Tổ hợp - Xác suất vào thực tiễn của HS

Thông qua trao đổi, tìm hiểu và tiến hành điều tra 40 GV dạy môn toánthuộc các trường THPT Đại Từ - THPT Lưu Nhân Chú - THPT Nguyễn Huệ là

3

trường THPT trên địa bàn huyện Đại Từ về việc vận dụng Toán học vào thực

tiễn(mẫu phiếu xem phụ lục số 2) Kết quả thu được thể hiện biểu đồ 1.2 dưới đây:

Với câu hỏi 6 (mẫu phiếu xem phụ lục số 1): Thày cô đánh giá mức độ

khó của việc phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HS?

Dễ Không khó lắm Khó Rất khó

Kết quả thu được thể hiện ở biểu đồ sau:

Biểu đồ 1.2 Đánh giá mức độ khó của việc phát triển năng lực vận dụng

Toán học vào thực tiễn cho HS

- Tìm hiểu ứng dụng Toán học trong thực tế: hầu hết những GV trên cóquan tâm đến việc khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán và điềunày được thể hiện ở hai nhóm như sau:

+ Một số rất ít GV quan tâm và chủ động tìm hiểu để ứng dụng toán họcvào thực tế

+ Số GV còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu

sử dụng các bài tập trong SGK, sách bài tập

- Về khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán:

Qua trao đổi với những GV trên thì 49,2% GV đánh giá việc đưa nhữngứng dụng trong thực tiễn vào dạy học Tổ hợp - Xác suất là khó, 45,5% GVđược hỏi cho là không khó lắm, tùy vào kiến thức từng bài dạy, còn lại 12,5%lại có ý kiến rất khó và 2,8% thì khẳng định là dễ Tuy nhiên,100% các thầy côđều cho rằng nếu tăng cường khai thác các tình huống thực tế vào dạy học thì

có thể làm cho HS tích cực và hứng thú hơn trong việc học môn Toán Tuynhiên việc tìm hiểu, khai thác các tình huống thực tế vào dạy học hiện nay của

GV còn hạn chế Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, một vấn đề nổi lên

là GV chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết quyđịnh trong Chương trình và SGK mà sao nhãng việc thực hành, không chú tâmdạy bài tập Toán cho các em, đặc biệt những bài toán có nội dung thực tiễn, dẫnđến tình trạng HS thường lúng túng, thậm chí không làm hoàn chỉnh đượcnhững bài toán thực ra rất cơ bản và ở mức độ trung bình, HS gặp rất nhiều khókhăn trong việc vận dụng kiến thức Toán học vào cuộc sống Việc dạy học Toánhiện nay “đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vàocuộc sống”

Với các bài toán thực tiễn đã có trong SGK phổ thông, đa số GV được hỏi

ý kiến trả lời rằng có hướng dẫn cho HS thực hiện hoặc có luyện tập cho HS;một số GV được hỏi ý kiến trả lời rằng những bài toán thực tiễn trong SGKthường được giao cho HS tự tìm hiểu thêm Về việc đưa thêm các bài toán thựctiễn không có trong SGK vào dạy học, đa số GV trả lời rằng không có điều kiện

để đưa thêm vào, một phần vì thời lượng của chủ đề hạn chế, phần lớn hơn làgặp khó khăn khi xây dựng, sưu tầm các bài toán thực tiễn phù hợp với kiếnthức bài học

Xác suất là nội dung mới và khó nên HS lười nghiên cứu, tuy ứng dụngthực tế của nó rất lớn nhưng HS học trong thời gian ngắn nên việc áp dụngthành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều HS chưa được tốt Trong quá trìnhdạy phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy cho

HS hiểu bài không chỉ dạy lý thuyết mà phải có áp dụng đi cùng Qua thực tiễngiảng dạy tôi nhận thấy đa số các em chưa nắm chắc các khái niệm cơ bản như:Không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc độclập Đa số HS chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc để giải quyết các tìnhhuống cụ thể

Ngoài ra, hầu hết GV dạy toán ở trường THPT chưa có thói quen thực hiện