Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo án Toán 11
SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THCS&THPT NHƯ THANH ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn – Khối 11 (Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm) 3x π 2sin − ÷+ cos3 x 1) Giải phương trình: 4 =1 − 2sin x π π 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ ( ; ) 4 6 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin x = m Câu (4 điểm) x + y + = ( xy − x + y ) (1) Giải hệ phương trình x + y + x − 12 = ( 12 − y ) − x (2) ( x, y ∈ ¡ ) Câu (4 điểm) ) Cho số: 1, 2, 3, Hỏi lập số có chữ số có hai chữ số ba chữ số lại khác khác số ) Một câu lạc gồm 14 người, có hai bạn An Bình Người ta chọn tổ cơng tác gồm người Tính xác suất để chọn tổ trưởng tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt Câu (6 điểm) 1) Lập phương trình đường tròn (C) qua điểm A(-1; -2) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = điểm M(1; 2) 2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AB Gọi E trung điểm CA a) Xác định thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (MEB’) CD AK b) Gọi D = BC ∩ (MEB’), K = AA’ ∩ (MEB’) Tính tỷ số CB AA ' Câu (2 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin x + cos x Ghi chú: - Học sinh không sử dụng tài liệu trình thi Câu ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn – lớp 11 Nội dung 1(2,0 đ) 2(2,0 đ) π x ≠ + k 2π Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ 5π + k 2π π (1) ⇔ − cos x − ÷+ cos3 x = − 2sin x 2 π ⇔ sin x − 3cos3x = 2sin x ⇔ sin 3x − ÷ = sin x 3 π π 3 x − = x + k 2π x = + kπ ⇔ ⇔ 3 x − π = π − x + k 2π x = π + kπ 3 Đối chiếu với điều kiện, phương trình cho có nghiệm 7π π π x= + k 2π , x = − + k 2π , x = + kπ 6 +) Đưa PT dạng: 2cos x − cos x = 2m + (1) π π +) Đặt t = cos4x với x ∈ ( ; ) ⇒ t∈ (-1; 0) +) Xét f(t) = 2t + t (-1; 0) có bảng biến thiên Và PT (1) có nghiệm đường thẳng y = 2m +1 (song song trùng 0x ) cắt f(t) (-1; 0) ĐS: m ∈ (− ;1) 2 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 4,00 (4,0 đ) ( 1) ⇔ ( x − y + 1) = ⇔ x − y +1 = ⇔ y = x +1 Thay y = x + vào phương trình (2) ta phương trình x + x + 11x − = ( 11 − x ) − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( ) 3 − x +1 + ( 0,5 ) − x + (3) Đặt a = x + 1; b = − x + , phương trình (3) trở thành ⇔ a + 5a = b3 + 5b Nếu a > b a + 5a > b3 + 5b Nếu a < b a + 5a < b3 + 5b Nếu a = b a + 5a = b3 + 5b Vậy a = b Nên (3) ⇔ x + = − x + ⇔ − x = x 0,5 0,5 x ≥ −1 + 13 ⇔ ⇔x= x + x − = −1 + 13 x = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) với + 13 y = 0,5 4,0 đ 1(1,0 đ) Mỗi số có chữ số gồm số số khác hoán vị phần tử 1,1,2,3,4 số hoán vị số số cần lập ,,�-5 : -,�-2 = 60 2(3,0 đ) Không gian mẫu số cách chọn tổ trưởng tổ viên ● Chọn tổ trưởng có C 14 cách ● Chọn tổ viên có C 135 cách 1,0 1,0 Suy số phần tử không gian mẫu W = C 14.C 13 = 18018 Gọi A biến cố '' Chọn tổ trưởng tổ viên, với An Bình khơng đồng thời có mặt '' Để tìm số phần tử biến cố A , ta tìm số phần tử biến cố A tức chọn tổ trưởng tổ viên đồng thời An, Bình có mặt Ta xét trường hợp: ● Nếu An Bình làm tổ trưởng, Có cách chọn tổ trưởng Có C 124 cách chọn thêm người làm tổ viên Do trường hợp có 2.C 124 = 990 cách chọn ● Nếu An Bình khơng làm tổ trưởng, Có cách chọn An Bình làm tổ viên Có C 12 cách chọn tổ trưởng 1,0 Có C 11 cách chọn người làm tổ viên Do trường hợp có 1.C 12.C 11 = 1980 cách chọn Suy số phần tử biến cố A WA = 990 + 1980 = 2970 Suy số phần tử biến cố A WA = W- WA = 18018 - 2970 = 15048 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = 1(2,0 đ) WA W = 1,0 15048 76 = 18018 91 +) Viết PT đường thẳng ∆ qua tâm I đường tròn (C) x = + 7t từ suy I(1+7t;2-t) y = − t +) (C) tiếp xúc với d IM=R ⇔ IM2=R2 ⇔ R2=50t2 +) (C) có dạng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2 +) A ∈ (C) ⇒ t=-1 Vậy (C): (x+6)2+(y-3)2=50 6,0 đ 0,5 0,5 0,5 0,5 2(4,0 đ) a +) Xác định điểm D suy đoạn giao tuyến DE DD’ +) Xác định điểm K; suy đoạn gioa tuyến EK KB’ +) Kết luận thiết diện tứ giác DEKB’ b, AK MA AK = = ⇒ = +) Xét tam giác MBB’ có BB ' MB AA ' +) Trong (ABC) Dựng EN // AB (N∈ BC), EN= AB DN NE 1 = = ⇒ DN = BN +) Xét tam giác DBM có: DB BM CD = Suy D trung điểm CN Vậy CB 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1.0 2,0 đ Tìm Max y: y = sin x + 3.cos x ≤ sin x + 3.cos x (1) Ta chứng minh: sin x + 3.cos x ≤ với ∀x ∈ R (2) ⇔ 3.(1 − cos x) − sin x ≥ ⇔ 3.(1 − cos x) − (1 − cos x) ≥ 0,5 ⇔ (1 − cos x) − (1 − cos x)(1 + cos x) ≥ (3) Theo BĐT côsi: (1 − cos x)(1 + cos x)(1 + cos x) = (2 − 2cos x)(1 + cos x)(1 + cos x) ≤ 0,5 32 < ÷ = 27 BĐT (3) suy BĐT (2) suy y ≤ 3, ∀x Dấu “=” ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π Max y= 0,5 Tương tự: y = sin x + 3.cos x ≥ − sin x + 3.cos x , Min y = − 3, đạt x = π + k 2π 0,5 ... (− ;1) 2 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1, 0 1, 0 4,00 (4,0 đ) ( 1) ⇔ ( x − y + 1) = ⇔ x − y +1 = ⇔ y = x +1 Thay y = x + vào phương trình (2) ta phương trình x + x + 11 x − = ( 11 − x ) − x ⇔ ( x + 1) +... có 1. C 12 .C 11 = 19 80 cách chọn Suy số phần tử biến cố A WA = 990 + 19 80 = 2970 Suy số phần tử biến cố A WA = W- WA = 18 018 - 2970 = 15 048 Vậy xác suất cần tính P ( A ) = 1( 2,0 đ) WA W = 1, 0 15 048... ⇔ 3. (1 − cos x) − sin x ≥ ⇔ 3. (1 − cos x) − (1 − cos x) ≥ 0,5 ⇔ (1 − cos x) − (1 − cos x) (1 + cos x) ≥ (3) Theo BĐT côsi: (1 − cos x) (1 + cos x) (1 + cos x) = (2 − 2cos x) (1 + cos x) (1 +