Trờng THPT Nông Cống 2 Đáp án-Thang điểm Đề thi khảo sát chất lợng lần 4 năm học 2010-2011 Môn:Toán.Khối 11 Câu Nội dung Điểm I 1 Giải PT: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x = + (1) (1,5 điểm) iờự kin: cos 0;sin 0 sin 2 0 2 (*) tan cot 2 0 4 cot 1 x x k x x k Z x x x k x + + Phơng trình (1) tơng đơng ( ) 2 cos sin sin cos .sin 2 cos cos sin x x x x x x x x = sin 2 2 sinx x = sin 0 , 2 2 cos 4 2 x x k k Z x k x = = = + = . Kt hp iu kin (*) ta cú 2 , 4 x k k Z = + Vậy,nghiệm của phơng trình (1) là 2 4 x k = + , k Z 0,25 0,5 0,5 0,25 2 Giải HPT 2 1 3 3 2 8 1 0 x x y y y xy y + + + = + + = (1,0 điểm) Điều kiện: 0 1 0 3 0 y x y x y + + H phơng trình tơng đơng 1 3 3 1 2 8 0 x x y y y x y + + + = + + = 1 3 3 1 3 5 x x y y x x y y + + + = + + + = 0,25 0,25 0,25 1 t 1 3 u x y v x y = + = + ta cú h 2 2 3 3 2 5 u v u v uv u v + = + = = + = 1 2 2 1 u u v v = = = = Vi 1 2 u v = = 1 1 1 1 3 4 7 x x y y x y x y + = + = + = + = 4 10 4 10 3 10 3 10 x x y y = + = = = + Vi 2 1 u v = = 1 1 4 4 3 1 4 x x y y x y x y + = + = + = + = 5 3 1 1 x x y y = = = = Vy,nghim ca h ó cho l: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 10;3 10 , 4 10;3 10 , 5; 1 , 3;1+ + 0,25 II Tìm a để hàm số ( ) 2 1 1 0 2 5 0 x x neu x f x x x a neu x + + > = + liên tục tại x = 0 (1,5 điểm) + ( ) 0 lim x f x + ( ) 0 0 0 2 1 1 1 1 lim lim lim 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x + + + + + = = = = + + + + + + + ( ) ( ) 0 0 lim lim 2 5 5 x x f x x a a = + = +f(0)=5a. Hm s f(x) liờn tc ti x=0 khi v ch khi ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 lim lim 0 5 2 10 x x f x f x f a a + = = = = 0,5 0,5 0,5 III 1.Tính cosin của góc giữa SM và BC. 2.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). (2,0 điểm) 1 Gọi K là trung điểm của BC. ABC cân tại A AK BC Mà AS BC BC S K . góc giữa (SBC) và (ABC) là ã 60SKA = o . Ta có: ã .sin 2 a AK AB ABK= = BC=2BK= 3a 3 tan 60 2 a SA AK= = o Gọi N là trung điểm của AC 3 / / ; 2 a MN BC MN = Góc giữa SM và BC bằng góc giữa SM và MN Tam giác SMN có:SM=a,SN=a, 3 2 a MN = cos ã 2 2 2 3 2 . 4 SM MN SN SMN SM MN + = = Vậy, cosin của góc giữa SM và BC bằng 3 4 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2 Kẻ AH vuông góc với SK,H ( ) SK AH SBC ( ;( ))d A SBC AH= Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 16 3 3AH SH AK a a a = + = + = 3 4 a AH = Vì ( )AM SBC B = và M là trung điểm của AB 1 ( ;( )) ( ;( )) 2 d M SBC d A SBC = 3 8 a = Vậy, ( ;( ))d M SBC 3 8 a = 0,5 0,5 IV Cho các số thực dơng x,y,z thoả mãn điều kiện 1xy yz zx+ + = .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 x y z P x y y z z x = + + + + + . (1,0 điểm) Ta có: 2 2 2 2 2 2 0 x y y z z x x y y z z x x y y z z x + + = + + = + + + 2 2 2 2 2 2 x y z y z x x y y z z x x y y z z x + + = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x P x y y z z x + + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2x y xy y z yz z x zx x y y z z x + + + = + + + + + 2 2 2 2( ) xy yz zx x y z x y y z z x = + + + + ữ + + + (1) 0,25 0,25 0,25 3 Ta có: 1x y z xy yz zx+ + + + = (2) 2x y xy+ 2xy xy x y + Tơng tự: 2xy xy x y + 2xy xy x y + 2 2 2xy yz zx x y y z z x + + ữ + + + ( ) 1xy yz zx + + = (3) Từ (1);(2) và (3) 1 2 1 2 P P Vậy ,minP= 1 2 ,đạt đợc khi 1 3 x y z= = = 0,25 Va Tìm toạ độ các đỉnh B,D ( 2,0 điểm) Ta có: ( ) 5; 10 5 5AB AB= = uuur +phơng trình AB là: 2 25 0x y+ = +phơng trình MB là: 7 20 0x y+ + = Vì D MB ( ) 20 7 ;D t t + ( ) 1 325 . ; 2 2 ABD S AB d D AB = = ( ) ; 13 5d D AB = 0 13 65 65 10 t t t = + = = Với t=0 ( 20;0)D Với t=-10 (50; 10)D 0.5 0.5 0.5 0.5 VIa Chứng minh rằng phơng trình 3 1 5 8 0 2 1 x x = có ít nhất một nghiệm. (1,0 điểm) Xét hàm số ( ) 3 1 5 8 2 1 f x x x = liên tục trên 1 ; 2 + ữ có ( ) ( ) 1 1 4 0; 2 32 0 3 f f= < = > phơng trình f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệm trên 1 ; 2 + ữ (đpcm) 0.25 0.5 0.25 V.b Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1;0),chân đờng cao kẻ từ B là K(0;2),trung điểm của AB là M(3;1).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C. (2,0 điểm) + ( ) 1; 2KH = uuur +AC đi qua K(0;2),vuông góc với KH phơng trình AC là: 2 4 0x y + = + phơng trình HK là: 2 2 0x y+ = 0.5 4 Vì B HK ( ) ;2 2B t t A AC ( ) 2 4;u u Trung điểm của AB là M(3;1) nên 2 4 6 4 2 2 2 2 t u u t u t + = = + = = ( ) 4;4 ; (2; 2)A B ( ) 2; 6AB = uuur 1.0 0.5 +CH đi qua H(1;0),vuông góc với AB ,phơng trình CH là: 1 0x y+ = + ( ) 2;1C AC CH C= Vậy , ( ) 4;4 ; (2; 2);A B ( ) 2;1C VI.b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2 2 3y x x= + (C) (1,0 điểm) Ta có: ( ) 2 ' 6 2 ' 1 4y x x y= = ( ) ( ) 0 0 0 0 ; ( ), 1 4 1;4M x y C x y M = = Phơng trình tiếp tuyến với (C ) tại M là: ( ) 4 1 4 4y x y x= + = 0.25 0.25 0.5 Ghi chú:Nếu thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa của phần đó. 5 . là: 2 4 0x y + = + phơng trình HK là: 2 2 0x y+ = 0.5 4 Vì B HK ( ) ;2 2B t t A AC ( ) 2 4; u u Trung điểm của AB là M(3;1) nên 2 4 6 4 2 2 2 2 t u u t u t + = = + = = ( ) 4; 4 ;. 1 2 u v = = 1 1 1 1 3 4 7 x x y y x y x y + = + = + = + = 4 10 4 10 3 10 3 10 x x y y = + = = = + Vi 2 1 u v = = 1 1 4 4 3 1 4 x x y y x y x y + = +. ) 4; 4 ; (2; 2);A B ( ) 2;1C VI.b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3 2 2 3y x x= + (C) (1,0 điểm) Ta có: ( ) 2 ' 6 2 ' 1 4y x x y= = ( ) ( ) 0 0 0 0 ; ( ), 1 4 1;4M