ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2010
Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 06 – 06 – 2010
Câu 1 ( 2,0 điểm )
9 x
= + ÷ ÷ − ÷÷
−
1) P có nghĩa ⇔ x 0
x 3; x 25
>
≠ ≠
2) P 4
3
3
5= −
−
x
3
−
x
x
Câu 2 ( 2,0 điểm )
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2+4x + 1 = y4 ⇔ + +(x 2 y2)(x+ −2 y2) 3(*)=
ì x, y nguyên và + +2 ≥ + −2
(I) và ( )
+ + = + + = −
II
0 1
=
= ±
x
y Giải (II) ta được
4 3
=
= ±
x
3
2)
x 1
y 1
y 1
=
Câu 3 ( 2,0 điểm )
Cho phương trình ẩn x: (m-10)x2 + 2(m-10)x + 2 =0 (3)
1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1; x2
Với m=10 phương trình (3) trở thành 2=0 nên (3) vô nghiệm khi m=10
Với m≠10 phương trình (3) trở thành phương trình bạc hai ẩn x có ∆’=(m-12)(m-10) (3) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ∆ > ⇔' 0 (m-12)(m-10) >0⇔m>12 hoặc m<10
2) Chứng minh rằng khi đó ta có: 3 3 2 2
1 2 1 2 1 2
x +x +x x +x x < −4
Với m>12 hoặc m<10 theo Vi ét ta có:
1 2
1 2
2 2 10
+ = −
x x
x x m
khi đó x13+x32+x x12 2+x x1 22< −4
Trang 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
m 12 m 10
Câu 4 ( 3,0 điểm )
E
F
J
K
I
D
C B
A
O M
N
1) Dễ thấy D, O, M, N, A nội tiếp đường tròn đường kinh AO
2) Ta thấy ·BDM ONM OMN=CDN=· =· ·
3) Từ K kẻ đường vuông góc với BC đường này cắt AO tại J kẻ JE⊥AB; JF⊥AC khi đó JE=JF(*)
Ta có OI//KJ ( cùng ⊥BC); OM//JE ( cùng ⊥AB) theo Talets ta có:
//
MI KE
AK AJ AE Tương tự ta có NI//KF => K, F, E thẳng hàng=> ·KEJ KFJ=·
Dễ thấy ·KEJ KBJ; KFJ KCJ=· · =· => ·KBJ CKJ=· ⇒ ∆BJC cân tại J nên KB=KC (ĐPCM).
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6 Chứng minh rằng:
CM:
b +ab + c +bc + a +ca ≥ a + b + c ⇔ b + c + ≥ + + +a a b c a + + − − −b c ab bc ca
b + c + a ≥a + + +b c 2 a b− + −b c + −c a ⇒ b + c + a ≥a + +b c (ĐPCM)
Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = 1
CM: 2 2 2
3 + + ≥
(a + +1) (b + +1) (c + ≥1) 2a+2b+2c (1)
(a b− ) + −(b c) + −(c a) ≥ ⇔0 2(a + +b c ) 2(≥ ab bc ca+ + ) (2)
3(a + +b c ) 3 2(a+b+c+ab+bc+ca)+ ≥ ⇔a + + ≥b c 3 (ĐPCM)
HẾT