2 ĐỀ THI HỌC KỲ I Môn thi : Toán 12 tham khảo và đáp án Số 3+4

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I MƠN TỐN LỚP 12 Thời gian làm bài: 90' Câu 1: (2,5đ) Cho hàm số: y = x3 − 3x + 1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y " = Câu 2: (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y = x3 − x + 3x + đoạn [-1;2] 1 Câu 3: (1đ) Giải phương trình: x + − − x = Câu 4: (2,5đ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên hợp với đáy góc α a/ (1,25đ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b/ (1,25đ) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD PHẦN TỰ CHỌN: HỌC SINH CHỌN TRONG HAI CÂU 5A HOẶC 5B Câu 5A: ( DÀNH CHO HỌC SINH BAN A) 1/ (1đ) Tìm tiệm cận đồ thị hàm số: y = x + − x 2/ (1đ) Giải bất phương trình log3 18x + log x − log9 x2 > 3/ (1đ) Cắt mặt xung quanh hình nón theo đường sinh, trải mặt phẳng, ta đựơc nửa hình trịn có đường kính 10cm Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón Câu 5B: ( DÀNH CHO HỌC SINH BAN CƠ BẢN) x2 + x (1 − x ) x 2/ (1đ) Giải bất phương trình: log2 8x + log x − log4 < 1/ (1đ) Tìm tiệm cận đồ thị hàm số y = 3/ (1đ) Cắt mặt xung quanh hình trụ theo đường sinh, trải mặt phẳng, ta hình vng có diện tích 100cm Tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ ………… Hết………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Ý 1 (2,5đ) (1,5đ) Nội dung Điểm TXĐ:  y ' = 3x − x x = ⇒ y = y'= ⇔   x = ⇒ y = −3 lim ( x − x + 1) = +∞ , lim ( x3 − x + 1) = −∞ x →+∞ 0,25 0,25 x →−∞ x y' 0 -∞ + +∞ y +∞ -∞ 0,25 0, 25 -3 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0) (2; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại điểm x = 0; yCĐ =1, đạt cực tiểu điểm x = 2; yCT = -3 0,25 Đồ thị: y -1 x -3 y " = x − = ⇔ x = ⇒ y = −1 (0,75đ) y '(1) = −3 Phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − 1) − ⇔ y = −3x + 2 (1đ) y’ = x – 4x +3 , x = y’ = ⇔  x = ∉ −1; [ ]  11 , y(2) = , y(1) = 3 11 max y = y = − [ −1;2] [ −1;2 ] 3 y(-1) = − 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1đ) 2 −x 0,25 =3 4x Đặt t = x , t>o ⇒ 2t − = ⇔ 2t2 -3t -2 = t  t = − ( lo¹i ) ⇔  t = x+ −4 = ⇔ 2.4 x − t= ⇒ x = ⇔ x= 0,25 0,25 Vậy nghiệm phương trình x= 0,25 (2,5đ) (1,25đ) 0,25 Gọi O tâm đáy SO ⊥ (ABCD) · SAO = α , AC = 2a ⇒ OA = a ⇒ SO = a tan α Thê tích khối chóp S.ABCD là: V = 4a tan α S ABCD SO = 3 0,5 0,5 Gọi H trung điểm SA, mặt phẳng (SAC) dựng đường (1,25đ) trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Hai tam giác vuông SHI SOA đồng dạng , nên ta có: SI SH SA.SH = ⇒ SI = SA SO SO a a a SA = , SH = , SO = a tan α ⇒ SI = cosα 2cosα sin 2α Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: r = 0,25 0,25 0,5 a sin 2α 0,25 PHẦN TỰ CHỌN 5A (3đ) (1đ) Tập xác định R Đồ thị khơng có tiệm cận đứng lim x →+∞ ( ) x + − x = lim x →+∞ x +1 + x =0 Suy đường thẳng y = tiệm cận ngang x → +∞ lim x →−∞ ( ) x + − x = +∞ ; đồ thị khơng có tiệm cận ngang x → −∞ 0,25 0,25 Gọi tiệm cận xiên y = ax +b a = lim x →−∞ b = lim x →−∞   − x  + + 1÷ x x +1 − x   = −2 = lim x →−∞ x x x + + x = lim =0 x →−∞ x2 + − x 0,25 ( ) Vậy đường thẳng y = -2x tiệm cận xiên x → −∞ (1đ) log3 18x + log x − log9 0,25 x > (1) Điều kiện: x > (1) ⇔ log3 18 + log3 x + 2log3 x − log3 x + > 2 0,25 ⇔ log3 18 + 2log3 x > 0,25 ⇔ log3 18x > ⇔ 18x > 1 ⇔ x2 > ⇔ x > 2 ( v× x > ) 0,25 0,25 (1đ) A O B Gọi l, r đường sinh bán kính đáy hình nón Từ giả thiết, ta suy l = 10/2=5 Diện tích xung quanh hình nón là: π rl = 5π r 25 Diện tích nửa hình tròn là: π 52 = π 2 25 Theo giả thiết ta có: 5π r = π ⇒ r = 2 Gọi h đường cao hình nón thì: h = l − r = 25 − 25 = 0,25 0,25 0,25 1 5 125π Vậy thể tích khối trụ V = π r h = π  ÷ = 3 2 24 5B (3đ) (1đ) 0,25 Tập xác định D= R\{0;1} 0,25 x +1 x +1 = −∞, lim = +∞ ; đường thẳng x = tiệm cận x →0 + x (1 − x ) x(1 − x) lim − x →0 0,25 đứng x2 + x2 + lim = +∞, lim = −∞ ; đường thẳng x = tiệm cận x →1+ x (1 − x ) x →1− x (1 − x ) 2,25 đứng x2 + = −1 ; đường thẳng y = -1 tiệm cận ngang x →±∞ x (1 − x ) lim (1đ) log2 8x − log x + log4 0,25 x < (1) Điều kiện x > (1) ⇔ log + log x − log x + log x − log < 0,25 1 ⇔ + log x − log x + log x − < 2 1 ⇔ − log x < 2 ⇔ log x > −1 ⇔ x > 0,25 0,25 0,25 (1đ) Gọi h chiều cao r bán kính đáy hình trụ, từ giả thết ta có h = 10 π r = 10 ⇒ r = π 250 5 Vậy thể tích khối trụ V = π r h = π  ÷ 10 = π π  0,5 0,5 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I MƠN TỐN LỚP 12 ( Thời gian 90 phút ) ĐỀ CHÍNH THỨC A-PHẦN CHUNG BẮT BUỘC: ( điểm ) 2x + Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm đồ thị (C) trục tung c) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = m ( x + ) + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Câu 2: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có AD = a, AB = a , cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABCD), cạnh bên SB tạo với mặt đáy (ABCD) góc 300 Gọi H hình chiếu vng góc A SD a) Chứng minh DC vng góc với AH b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp H.ABC B-PHẦN DÀNH CHO HỌC SINH TỪNG BAN: ( điểm ) * Học sinh Ban Cơ làm câu 3a, 4a, 5a: Câu 3a: (1điểm) Giải phương trình: x + 3.51− x − = ( ) Câu 4a: (1điểm) Giải bất phương trình: log x + x − ≥ + log ( x + 1) Câu 5a: (1điểm) Cho tam giác ABC vng góc A, AC = b, AB = c quay quanh cạnh huyền BC Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành * Học sinh Ban Nâng cao làm câu 3b, 4b, 5b: Câu 3b: (1điểm) Giải hệ phương trình:   x−4 y x− y =  ÷   log x + y + log x − y = ) ) 2(  2( 2 Câu 4b: (1điểm) Giải phương trình: log ( x + x + 1) = log ( x + x ) ( ) Câu 5b: (1điểm) Hình trụ có bán kính đáy R trục OO′ = R Hai điểm A, B thuộc hai đường tròn đáy (O) (O’) cho góc AB trục OO’ α Tính khoảng cách AB OO’ theo R α -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 12 KIỂM TRA HỌC KỲ I - - ĐỀ CHÍNH THỨC A- PHẦN CHUNG BẮT BUỘC ( điểm ) Câu Nội dung 1a 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x −1 TXĐ: D = ¡ \ { 1} −3 y′ = < 0, ∀x ≠ ⇒ Hàm số luôn nghịch biến hai ( x − 1) Điểm 2,00 0,25 khoảng ( −∞;1) ( 1;+∞ ) Hàm số khơng có cực trị + lim y = −∞ , lim y = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng − + 0,25 0,25 + xlim y = xlim y = ⇒ y = tiệm cận ngang →+∞ →−∞ Bảng biến thiên: x −∞ − − y′ y +∞ −∞ + Đồ thị: 0,25 x →1 x →1 +∞ 0,50 0,50 1b 1c Đồ thị cắt trục hoành điểm ( −0,5;0 ) , cắt trục tung điểm ( 0; −1) Đồ thị nhận giao điểm I ( 1;2 ) hai tiệm cận làm tâm đối xứng Viết phương trình tiếp tuyến Đồ thị (C) cắt trục tung điểm A ( 0; −1) Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A là: k = y′ ( ) = −3 Phương trình tiếp tuyến A là: y + = −3 ( x − ) ⇔ y = −3 x − Tìm m để đường thẳng d có pt y = m ( x + ) + cắt đồ thị (C) 1,00 0,25 0,25 0,50 1,00 Đường thẳng d: y = m ( x + ) + cắt đồ thị (C) điểm phân biệt 2x + ⇔ pt = m ( x + ) + có nghiệm phân biệt x1 x2 khác x −1 ⇔ mx + mx − 2m − = có nghiệm phân biệt x1 x2 khác m ≠  m ⇔    m > m.1 + m.1 − 2m − ≠ 2a Chứng minh DC vuông góc với AH Hình vẽ: 0,50 điểm 0,25 0,25 0,50 0,50 S H I A B H' D Ta có 2b 2c C CD ⊥ AD  CD ⊥ ( SAD)  ⇒   ⇒ CD ⊥ AH CD ⊥ SA  AH ⊂ ( SAD)  Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD · Ta có SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ AC ⇒ SAC = 900 · · CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ SDC = 900 , tương tự SBC = 900 Suy ba điểm A, B, D thuộc mặt cầu đường kính SC, hay mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm trung điểm I SC, bán SC kính R = Từ tam giác vng SAB ta có SA = AB tan 300 = a =a Từ tam giác vng SAC ta có SC = SA2 + AC = SA2 + AB + BC = SC a a + 3a + a = 5a ⇒ SC = a ⇒ R = = 2 Tính thể tích khối chóp H.ABC 0,50 1,00 0,25 0,25 0,50 1,00 Trong mặt phẳng (SAD) dựng HH ′ // SA , với H ′ ∈ AD Vì SA ⊥ ( ABCD) nên HH ′ ⊥ ( ABCD ) Suy thể tích khối chóp H.ABC là: 1 VH ABC = S ABC HH ′ = AB.BC.HH ′ Tam giác SAD có SA = AD = a nên tam giác cân, suy H SA a = trung điểm SD, HH ′ = 2 a 3 Vậy VH ABC = a 3.a = a 12 PHẦN DÀNH CHO HỌC SINH TỪNG BAN ( điểm ) * Ban Cơ Câu Nội dung x 1− x 3a Giải phương trình: + 3.5 − = Đặt t = 5x , điều kiện t > , phương trình trở thành: 5 x =  x = log t = 15 ⇒ x ⇔ t + − = ⇔ t − 8t + 15 = ⇔  t t = x = 5 = 4a Giải bất phương trình: log x + x − ≥ + log ( x + 1) 5a ( ) 3x + >  ⇔ log ( x + x − 3) ≥ log 2 ( x + 1) ⇔  Bpt  x + x − ≥ ( x + 1)  1   x > − x > − ⇔ ⇔ ⇔ x≥5 x − 4x − ≥  x ≤ −1 hc x ≥   Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành Gọi V thể tích khối trịn xoay, VB , VC thể tích khối nón đỉnh B, C có chung đường trịn đáy tâm H, bán kính r = HA ( HA đường cao tam giác vng ABC) Ta có V = VB + VC = π AH ( BH + HC ) = π AH BC AB AC bc = Tính BC = b + c , AH = BC b2 + c2 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 1,00 1,00 0,50 0,50 1,00 0,25 0,25 0,25 b 2c b 2c 2 = π Vậy V = π b +c 3 b + c2 b2 + c 0,25 * Ban Nâng cao Câu 3b Nội dung Giải hệ phương trình Điều kiện x + y > 0, x − y > x− y  y− x 5 =5 Hệ pt ⇔  log ( x + y ) ( x − y ) =  x = 3y x = ⇔ ⇔ y =  x − y = 32 4b x− y  4 y − x = ⇔  x − y = 32   x = −6 ( loại x + y = −8 < )  y = −2  x = ⇔ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 6;2 ) y = 2 Giải phương trình: log ( x + x + 1) = log ( x + x ) Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00  x2 + 2x + >  Điều kiện  ⇔ x + x > (*) x + 2x >  Đặt t = log ( x + x ) ⇔ x + x = 2t > ( thoả mãn điều kiện (*) ) Phương trình cho trở thành: t t t  2 1 t t log3 + = t ⇔ + = ⇔  ÷ +  ÷ = (1)  3 3 ( ) t 5b 0,25 0,25 t  2 1 Hàm số f (t ) =  ÷ +  ÷ nghịch biến ¡ f (1) = nên (1) có  3 3 nghiệm t = Với t = ⇒ x + x = ⇔ x = −1 ± Tính khoảng cách AB OO’ theo R α Dựng đường sinh BC, OO′ // BC ⇒ OO′ //( ABC ) , suy d ( OO′, AB ) = d ( OO′,( ABC ) ) = d ( O,( ABC ) ) Gọi H trung điểm dây AC OH ⊥ AC Đồng thời BC ⊥ (O) ⇒ BC ⊥ OH Suy OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH = d ( O,( ABC ) ) Vậy d ( OO′, AB ) = d ( O,( ABC ) ) = OH 0,25 0,25 1,00 0,25 10 Từ OO′ // BC ⇒ (· ′, AB ) = · OO ABC = α Từ tam giác vng ABC, ta có AC AC = BC.tan α = R tan α ⇒ AH = = R tan α 2 2 2 Từ tam giác vng AOH ta có OH = OA − AH = R ( − tan α ) ⇒ OH = R − tan α Vậy d ( OO′, AB ) = OH = R − tan α , với điều kiện − tan α ≥ hay 00 < α ≤ 450 0,25 0,25 0,25 11 ... hình nón l? ?: π rl = 5π r 25 Diện tích nửa hình trịn l? ?: π 52 = π 2 25 Theo giả thi? ??t ta c? ?: 5π r = π ⇒ r = 2 G? ?i h đường cao hình nón th? ?: h = l − r = 25 − 25 = 0 ,25 0 ,25 0 ,25 1 5 125 π Vậy thể... b2 + c2 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 ? ?i? ??m 1,00 1,00 0,50 0,50 1,00 0 ,25 0 ,25 0 ,25 b 2c b 2c 2 = π Vậy V = π b +c 3 b + c2 b2 + c 0 ,25 * Ban Nâng cao Câu 3b N? ?i dung Gi? ?i hệ phương trình ? ?i? ??u kiện x + y... LỚP 12 KIỂM TRA HỌC KỲ I - - ĐỀ CHÍNH THỨC A- PHẦN CHUNG BẮT BUỘC ( ? ?i? ??m ) Câu N? ?i dung 1a 2x + Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số y = x −1 TX? ?: D = ¡ \ { 1} −3 y′ = < 0, ∀x ≠ ⇒ Hàm số luôn