UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2010-2011 Môn: Toán Thời gian làm 120 phút; ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (3.0 điểm ) a/ Phân tích đa thức (a + 2)(a + 3)(a + a + 6) + 4a thành nhân tử b/ Cho số thực a, b, c thoả mãn a − b − b = b3 − c − c = c − a − a = Chứng minh a = b = c Câu 2: (3.5 điểm) a/ Giải biện luận phương trình (ẩn x) : x − x −1 = x−m x+2 b/ Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x − 3) y − x = 48 Câu 3: (3.5 điểm) a/ Chứng minh a + b − a − b + > ∀a,b ∈ R b/ Cho số nguyên dương a, b, c, d đôi khác thoả mãn a b c d + + + số nguyên Chứng minh tích abcd số a+b b+c c+d d +a phương ====== HẾT ====== Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD………………… UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 Chú ý: Do câu đề bị sai nên: - Bỏ câu khỏi hướng dẫn chấm Nếu học sinh có làm không chấm - Điểm câu điều chỉnh vào câu lại Câu Nội dung a/ (a + 2)(a + 3)(a + a + 6) + 4a = (a + 5a + 6)(a + a + 6) + 4a 2 Điểm 0,5 = (a + a + + 4a )(a + a + 6) + 4a = (a + a + 6) + 4a (a + a + 6) + 4a 0,5 = (a + a + + 2a ) = (a + 3a + 6) 0,5 1 1 b/ Ta có a − b − b = ⇒ a = b + b + = b + ÷ + > ∀b ⇒ a > 3 12 0,25 Chứng minh tương tự ta b > 0; c > 0,25 Do a, b, c hoán vị vòng quanh nên ta giả sử a = max { a, b, c} (1) 0,25 2 1 1 Với a, b, c > : a ≥ b ⇒ a ≥ b ⇒ b + ÷ + > c + ÷ + ⇒ b ≥ c (2) 12 12 2 0,25 1 > 1 (3) b ≥ c ⇒ c + ÷ + a + ÷ + ⇒ c ≥ a 12 12 0,25 Từ (1), (2) (3) suy a = b = c 0,25 a/ x − x −1 = (*) x−m x+2 ĐKXĐ: x ≠ m; x ≠ −2 Với điều kiện trên, quy đồng khử mẫu ta có phương trình x − = x − (m + 1) x + m ⇔ (m + 1) x = m + (1) + Nếu m = −1 phương trình (1) trở thành x = (vô lý) m+4 + Nếu m ≠ −1 PT (1) có nghiệm x = m +1 m+4 Giá trị x = nghiệm PT (*) m thoả mãn điều kiện m +1 m+4 m+4 ≠ m ≠ −2 ⇔ m ≠ ±2 m +1 m +1 Kết luận: Nếu m = −1 m = - m = phương trình (*) vô nghệm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Nếu m ≠ −1 , m ≠ ±2 PT (*) có nghiệm x = m+4 m +1 0,25 b/ 0,5 ( x − 3) y − x = 48 ⇔ ( x − 3) y − ( x − 9) = 48 + ⇔ ( x − 3)( y − x − 3) = 57 0,25 Vì x, y số nguyên nên x − y − x − ước 57 0,25 Mà 57=(-1).(-57)=1.57=3.19=(-3).(-19) nên ta có bảng sau x −3 -1 -3 -57 57 19 -19 y2 − x − -57 57 19 -19 -1 -3 0,5 x −54 ±8 không không không tồn tồn y tồn y y không y tồn y 22 −16 không không tồn y tồn y 60 ±8 KL : Nghiệm PT : (x,y)=(4 ;8);(4 ;-8) ;(60 ;8) ;(60 ;-8) 0,25 a/ Vì 2(a + b − a − b + 1) = 2a + 2b − 2a − 2b + = (a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) + a + b 0,5 = (a − 1) + ( b − 1) + a + b ≥ nên a + b − a − b + ≥ a − = a = a = a = ⇔ Dấu xảy (vô lý) b − = b = b = b = Vậy a + b − a − b + > 0,5 0,5 a b c d + + + a+b b+c c+d d +a a b c d > + + + =1 a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a b c d + + + Lại có: a+b b+c c+d d +a a+c+d b+d +a c+a+b d +b+c < + + + =3 a+b+c+d b+c+d +a c+d +a+b d +a+b+c m m m+ x ( Áp dụng tính chất < ⇒ < với m, n, x ∈ Z + ) n n n+ x a b c d ⇒ + + + =2 a+b b+c c+d d +a a b c d ⇔ −1+ + −1+ =0 a+b b+c c+d d +a −b b −d d ⇔ + + + =0 a+b b+c c+d d +a b( a − c ) d (c − a ) ⇔ + =0 ( a + b)(b + c) (d + a)(c + d ) b( a − c ) d (a − c ) ⇔ = ( a + b)(b + c) (d + a )(c + d ) ⇔ b( d + a)(c + d ) = d (a + b)(b + c ) b/ T a có ⇔ ac = bd ⇒ abcd=(ac) 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Ghi : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Tổng điểm toàn tổng điểm câu không làm tròn ===================== ... 19 -19 -1 -3 0,5 x −54 8 không không không tồn tồn y tồn y y không y tồn y 22 −16 không không tồn y tồn y 60 8 KL : Nghiệm PT : (x,y)=(4 ;8) ;(4 ; -8) ;(60 ;8) ;(60 ; -8) 0,25 a/ Vì 2(a + b −...UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010 -2011 Chú ý: Do câu đề bị sai nên: - Bỏ câu khỏi hướng... Nếu m ≠ −1 , m ≠ ±2 PT (*) có nghiệm x = m+4 m +1 0,25 b/ 0,5 ( x − 3) y − x = 48 ⇔ ( x − 3) y − ( x − 9) = 48 + ⇔ ( x − 3)( y − x − 3) = 57 0,25 Vì x, y số nguyên nên x − y − x − ước 57 0,25