TRNG THCS VINH THANH sở giáo dục và đào tạo quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2005-2006 môn : Toán Bài 1. Rút gọn biểu thức sau : a)A = 51 1 + + 95 1 + + 139 1 + + 20052001 1 + + 20092005 1 + b) B = x 3 - 3x + 2000 với x = 3 223 + + 3 223 Gii : a) A = 15 15 + 59 59 + 913 913 + + 20012005 20012005 + 20052009 20052009 Rút gọn, đợc A = 4 12009 . b) áp dụng công thức (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b), với a= 3 223 + , b= 3 223 và biến đổi => x 3 = 6 + 3x Suy ra A = 2006 Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai đờng thẳng có phơng trình: (d 1 ) : (k + 1)x - y + 1 = 0 ; (d 2 ) : 2(k - 3)x + ky - k = 0 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số k, các đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) luôn cắt nhau tại một điểm cố định. Gii : Với k = 0 thì (d 1 ) : x - y + 1 = 0 ; (d 2 ) : - 6x = 0. Dễ thấy hai đờng thẳng đó cắt nhau tại điểm M 0 (0 ; 1). Chứng minh đợc điểm M 0 (0 ; 1) luôn thuộc (d 1 ) và (d 2 ) với mọi k. Suy ra (d 1 ) và (d 2 ) luôn cắt nhau tại một điểm cố định với mọi k. Bài 3. Giải hệ phơng trình : =+ =+ =+ 122 122 122 yxz xzy zyx Gii : Điều kiện của ẩn : x, y, z 1/2. Cộng vế-vế cả 3 phơng trình lại, ta đợc phơng trình: 2x + 2y + 2z = 2 12 x + 2 12 y + 2 12 z (*) Biến đổi (*) <=> ( 12 x -1) 2 + ( 12 y -1) 2 + ( 12 z -1) 2 = 0 <=> 12 x = 12 y = 12 z = 1 <=> x = y = z = 1. thỏa mãn đ/kiện. GV: KIM THCH ST TRNG THCS VINH THANH Thử lại, thấy x = y = z = 1 thỏa mãn hệ. Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) Bài 4. Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau. Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD. Dây AM cắt BD tại Q, cắt BC tại E, dây AN cắt DB tại P, cắt DC tại F. 1) Chứng minh rằng ABEP và PQEF là các tứ giác nội tiếp. 2) Biết góc MAB = , tính diện tích tam giác AEF theo R và . Gii : 1)Trớc hết từ giả thiết suy ra MAN = 45 0 . Có : EAP = 45 0 = EBP => ABEP là tứ giác nội tiếp Tơng tự chứng minh đợc ADFQ là tứ giác nội tiếp EPF = EQF = 90 0 => tứ giác PQEF nội tiếp. 2) Có S AEF = (1/2).AF.EP Tính đợc EP = R/cos .; AF = R/ 2 cos(45 0 - ) Suy ra S AEF = (R 2 / 2 .cos .cos(45 0 - )) Bài 5. Chứng minh rằng với a 3 ta luôn có : a a 3 21 + 16 Dấu bằng xảy ra khi nào ? Gii : Ta có: (21/a) + 3a = (21/a) + 7a/3 + 2a/3 áp dụng BĐT Côsi, đợc (21/a) + 7a/3 2 3 7 . 21 a a = 14 Dấu bằng xảy ra <=> (21/a) = 7a/3 <=> a = 3. Mặt khác do a 3 nên : 2a/3 (2.3/3) = 2 . Dấu bằng xảy ra <=> a = 3. Từ đó suy ra: (21/a) + 3a 16 với a 3. (đpcm!) Dấu bằng xảy ra <=> a = 3 <=> x = 0. Cách giải khác: BĐT cần chứng minh : (21/a) + (3a) 16 (*) với a 3. Có (*) <=> 3a 2 - 16a + 21 0 <=> (a - 3)(3a - 7) 0. Do a 3 nên (a - 3) 0 và (3a - 7) 3.3 - 7 = 2 => (a - 3)(3a - 7) 0. Dấu bằng xảy ra <=> a = 3 <=> x = 0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. GV: KIM THCH ST . + 20052001 1 + + 20 092 005 1 + b) B = x 3 - 3x + 2000 với x = 3 223 + + 3 223 Gii : a) A = 15 15 + 59 59 + 91 3 91 3 + + 20012005 20012005 + 200520 09 200520 09 Rút gọn, đợc A = 4 120 09 . b). 16 (*) với a 3. Có (*) <=> 3a 2 - 16a + 21 0 <=> (a - 3)(3a - 7) 0. Do a 3 nên (a - 3) 0 và (3a - 7) 3.3 - 7 = 2 => (a - 3)(3a - 7) 0. Dấu bằng xảy ra <=> a = 3. THCS VINH THANH sở giáo dục và đào tạo quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 200 5-2 006 môn : Toán Bài 1. Rút gọn biểu thức sau : a)A = 51 1 + + 95 1 + + 1 39 1 + + 20052001 1 + + 20 092 005 1 + b)