Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đờng thẳng dm luôn đi qua một điểm cố định.. Tìm điểm cố định đó.. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng dm.. Trong AOB kẻ đờng cao OH => kho
Trang 1TRƯỜNG THCS VINH THANH phòng giáo dục thành phố hạ long
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thành phố
năm học 2005 - 2006
đề thi môn : toán Bài 1:
Chứng minh rằng với x 0, biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
x -
x
x
3 4 7 ).
3 2 (
5 4 9 ).
5 2 (
3
Giải :
Rút gọn đợc
x
x
3 4 7 ).
3 2 (
5 4 9 ).
5 2 (
3
=
x
x
1
1
= x 1
Từ đó suy ra biểu thức cần rút gọn bằng 1
Bài 2:
Tìm các số x, y, z dơng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
3 3
Giải :
Đặt x = a, 2 y = b, 3 z = c Khi đó các điều kiện x 2 y 3 z 3
và 2 xy 3 xz 6 yz 3 <=> a + b + c = 3 = ab + bc + ca; a, b, c > 0
<=> a2 + b2 + c2 = (ab + bc + ca) = 3; a, b, c > 0 (*)
Biến đổi hệ (*), tìm đợc a = b = c = 1
Từ đó tìm đợc x = 1; y = 1/4; z = 1/9
Thử lại thấy điểm M0(1;-2) luôn thuộc dm với mọi m (đpcm !)
Bài 3:
Trong mặt phẳng tọa độ xét đờng thẳng (dm) có phơng trình :
2mx +(m - 1)y = 2 với m là tham số
1 Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đờng thẳng (dm) luôn đi qua một
điểm cố định Tìm điểm cố định đó
2 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (dm)
Giải :
1) Giả sử khi m thay đổi, các đờng thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định
M0(x0;y0) Trong các đờng thẳng (dm) lấy 2 đờng thẳng d1: y = -2 (ứng với m = 0) và d2: x = 1 (ứng với m = 1) => M0(x0;y0) thuộc d1 và d2
=> x0 = 1; y0 = -2
Thử lại thấy điểm M0(1;-2) luôn thuộc dm với mọi m (đpcm !)
2) Khi m = 0, ta đợc đờng thẳng d1: y = -2 => khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
d1 bằng 2
Khi m = 1, đợc đ.thẳng d2: x = 1 => khoảng cách từ O đến d2 bằng 1
Với m 0, 1 tìm đợc dm cắt Ox tại A(1/m;0) , cắt Oy tại B(0;2/m-1)
Trong AOB kẻ đờng cao OH => khoảng cách từ O đến dm bằng OH
áp dụng hệ thức lợng trong AOB , tính đợc OH = 2/ 5 2 2 1
m
Bài 4:
Chứng minh rằng: x x 1 x( x 1 ) với mọi x 1.
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 1
Trang 2TRƯỜNG THCS VINH THANH Giải :
Dùng BĐT Côsi hoặc b/đổi tơng đơng, c/m đợc 1
x
(1) Bằng biến đổi tơng đơng, c/m đợc: ( 1 )
x
(2) với x 1.
Từ (1) và (2) suy ra : x x 1 + x( x 1 ) với x 1 (3)
Ch/minh đợc không xảy ra dấu "=" ở (3)
Suy ra : x x 1 x( x 1 ) với x 1 (đpcm !)
Bài 5:
Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H Đ-ờng tròn đĐ-ờng kính AH cắt AC tại E, đĐ-ờng tròn đĐ-ờng kính BH cắt BC tại F Gọi
G là trung điểm CH
1 Chứng minh :
- Ba điểm E, F, G thẳng hàng
- EF là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AH và đờng tròn đ-ờng kính BH
2 Gọi r 1 và r 2 lần lợt là bán kính các đờng nội tiếp các tam giác ACH và BCH Biết góc ACH = , AB = a, tính tổng: 2
2
2
1 r
r theo và a
Giải :
1) Chứng minh đợc CEHF là hình chữ nhật
=> G thuộc EF hay 3 điểm E, G, F thẳng hàng (đpcm!)
Gọi I, K lần lợt là trung điểm AH, BH Ch minh đợc EFIE, EFKF
=> EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (đpcm!)
Gọi r là bán kính đ.tròn nội tiếp ABC, ch.m đợc: r = (AC+BC-AB)/2
Từ các tam giác vuông đồng dạng AHC, BHC, ACB và từ hệ thức lợng trong tam giác vuông chứng minh đợc: r1 + r2 = r2
Tính đợc: AC = a.sin; BC = a.cos => r1 + r2 = a(sin + cos - 1)/2
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 2