BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN VÀ ÔN THI VÀO CHUYÊN

WWW.ToanCapBa.Net BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN VÀ ƠN THI VÀO CHUYÊN _ § - BẤT ĐẲNG THỨC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ I) Bất đẳng thức Cauchy 1- Những nội dung bất đẳng thức Cauchy: - Nội dung: Trung bình cộng n số khơng âm khơng nhỏ trung bình nhân chúng Nghĩa là: a + a + a +…+ a > n với a > 0, a > 0,…,a > Dấu “=” xảy  a = a =…= a * Chú ý: Chính nội dung bất đẳng thức Cauchy mà chứng minh bất đẳng thức có xuất tổng tích ta nên nghĩ tới bất đẳng thức Cauchy - Hệ quả: 1/ Tổng số dương với số nghịch đảo khơng nhỏ 2: a+ >2 (a  R) Dấu “=” xảy  a = 2/ Với số dương a, b ta ln có: (a+b)( + ) > Dấu “=” xảy  a = b Tổng quát: (a+a +…+a) + +…+ > n Dấu “=” xảy  a = a = … = a 3/ a + b > > 2ab (a, b  R)  (a + b) > 4ab (a, b  R) Dấu “=” xảy  a = b 4/ a + b + c > ab + ac + bc (a, b, c  R)  3(a + b + c) > (a + b + c) > 3(ab + ac + bc) (a, b, c  R) Dấu “=” xảy  a = b = c * Chú ý: Bất đẳng thức Cauchy có ý nghĩa mặt hình học 2- Một số ví dụ việc vận dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức: VÍ DỤ 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: a) (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc b) + + > + + (*) Từ chứng minh: + + > (**) với p nửa chu vi tam giác Giải: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Nhận xét cho tốn a, b, c ba cạnh tam giác nên ta ln có số dương a+b-c ; c+a-b ; b+c-a Chính ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy Cụ thể: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương: (a+b-c) + (c+a-b) >  2a >  a > (a+b-c)(c+a-b) Làm tương tự ta có: b > (a+b-c)(b+c-a) , c > (c+a-b)(a+b-c) Vậy (abc) >  (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc Dấu “=” xảy  a = b = c  Tam giác tam giác * Chú ý: Ta chứng minh bất đẳng thức theo cách làm sau đây: (a+b-c)(c+a-b) = = a - (b-c) < a Tương tự (a+b-c)(b+c-a) < b , (c+a-b)(b+c-a) < c Từ ta có đccm b) Muốn chứng minh bất đẳng thức ta cần liên tưởng đến hệ hữu dụng bất đẳng thức Cauchy: + > (x, y  R) Áp dụng bất đẳng thức ta có: + > = = (1) + > = = (2) + > = = (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có 2VT > 2VP Bất đẳng thức (*) chứng minh Dấu “=” xảy  a = b = c Ta dễ dàng nhận thấy: p-a = - a = =  = p-b = - b = =  = p-c = - c = =  = Do đó: + + = 2( + + ) (***) Từ (*) (***) ta có: + + > 2( + + ) Lại áp dụng hệ bất đẳng thức Cauchy + + > (x, y, z  R) Vậy + + > = = (đccm) Dấu “=” xảy  a = b = c  Tam giác tam giác  Chú ý: Các bất đẳng thức phần a) b) VÍ DỤ chứng minh phương pháp đặt ẩn phụ biểu diễn bất đẳng thức qua biến phụ Từ ta dễ dàng chứng minh VÍ DỤ 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức sau: a) + + > a+b+c b) (a+b)(b+c)(a+c) > 8abc c) (1+a)(1+b)(1+c) >(1+ ) Giải: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương: + > = Tương tự: + > 2a , + > 2c Cộng vế bất đẳng thức ta đccm Dấu “=” xảy  a = b = c b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số: a b, b c, c a nhân vế bất đẳng thức vừa thu được, ta suy đccm Dấu “=” xảy  a = b = c c) Khai triển tích (1+a)(1+b)(1+c) = (1+a+b+ab)(1+c) = 1+(a+b+c)+(ab+ac+bc)+abc > 1+ +3 +() = (1+ ) (Theo bất đẳng thức Cauchy) Dấu “=” xảy  a = b = c II) Bất đẳng thức Bunyakovsky 1- Những nội dung bất đẳng thức Bunyakovsky: - Nội dung: Cho n số thực (a, a,…, a) (b, b, , b) Ta có: (a + a +…+ a)(b + b +…+ b) > (ab + ab +…+ ab) Dấu “=” xảy  a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k Bất đẳng thức Bunyakovsky có biến dạng khác bất đẳng thức Cauchy Schwarz hay gọi bất đẳng thức Schwarz hay bất đẳng thức B.C.S (Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz) Đó là: > (bất đẳng thức B.C.S) - Hệ quả: 1/ Với số dương a, a,…, a ta có: n.(a + a +…+a) > (a + a +…+ a) Dấu “=” xảy  a = a = … = a 2/ Với n số thực (a, a,…,a) (b, b, , b) ta ln có: + +…+ > Dấu “=” xảy  a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k 2- Một số ví dụ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky việc chứng minh bất đẳng thức: VÍ DỤ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực x: + > (*) Giải: Ta thấy vế trái (*) gồm có thức biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Mối liên hệ làm ta nhớ đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Ta giải sau: = = > = Do + > + Đến đây, ta áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau: + > Do đó: + > = =4 Dấu “=” xảy    x = 0,5 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net VÍ DỤ 2: Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh rằng: + > (a+b)(c+d) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: = > = ac+bc (do a, b, c > 0) = > = ad+bd (do a, b, d > 0) Cộng vế bất đẳng thức ta được: VT > ac+bc+ad+bd = c(a+b) + d(a+b) = (a+b)(c+d) = VP Bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy  ab = c = d VÍ DỤ 3: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: + + > Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: ( + + ) > (a+b+c)  VT.2(a+b+c) > (a+b+c)  VT > = VP Ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy  a = b = c III) Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1- Phương pháp xét hiệu: Cơ sở phương pháp A > B  A - B > VÍ DỤ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau với số a+b có tổng số dương Chứng minh rằng: a + b > ab(a+b) Giải: Xét hiệu - ab = a - ab - ab + b = a(a - b) - b(a - b) = (a - b)(a - b) = (a-b)(a+b) > (vì (a-b) > a, b a+b > 0) Dấu “=” xảy  a - b =  a = b * Chú ý: Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương sử dụng tính chất bất đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy VÍ DỤ 2: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a + b + c - 3abc b) Cho số không âm a, b, c Chứng minh: > (Bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho ba số khơng âm) Giải: a) Ta có: a + b + c - 3abc = (a+b) - 3ab - 3ab + c - 3abc WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net = - = (a+b+c) - 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a+b+c+2ab-ac-bc) - 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc) b) Từ kết phần a) ta chứng minh với x, y, z khơng âm thì: x + y + z - 3xyz = (x+y+z)(x + y + z - xy - xz - yz) Mà x, y, z > nên x+y+z > (1) Và theo hệ bất đẳng thức Cauchy thì: x + y + z > xy + xz + yz  x + y + z - xy - xz - yz > (2) Từ (1) (2) ta có: x + y + z - xyz > hay x + y + z > 3xyz Đặt x = , y = , z = bất đẳng thức tương đương với > Dấu “=” xảy  a = b = c * Chú ý: Bài toán cho ta cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho ba số phương pháp đặt ẩn phụ để bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức “hữu tỉ” sau sử dụng phương pháp xét hiệu Ngồi ta chứng minh cách khác sau: Ta nhận thấy với số không âm a, b ta có: > Thật vậy, - = = >  > Áp dụng bất đẳng thức cho số không âm: a+b > , c+ >  a+b+c+ > + = 2( + ) > 2.2 = =  a+b+c+ >  a+b+c > 2- Phương pháp biến đổi tương đương: Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng bất đẳng thức khác tương đương với Nếu bất đẳng thức bất đẳng thức ta cần chứng minh Trong suốt trình biến đổi ta bắt buộc phải sử dụng kí hiệu  VÍ DỤ 1: Chứng minh với số thực a, b, c ta có: + y + z > xy + 2yz - xz Giải: Ta có: + y + z > xy + 2yz - xz  + y + z - xy - 2yz + xz >  ( - y + z) > (đúng với x, y, z) Dấu “=” xảy  + z = y VÍ DỤ 2: Cho số a, b, c thỏa mãn a > b > c > Chứng minh: < Giải: Ta có: <  <  <  + < +  a+b + a-b + < a+c + a-c + WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net  2a + < 2a +  a - b < a - c  -b < -c  b > c (đúng) 3- Phương pháp sử dụng tính chất bất đẳng thức: Trước tiên ta nhắc lại số tính chất bất đẳng thức: 1/ a > b  b < a 2/ a > b, b > c  a > c 3/ a > b  a + c > b + c 4/ a > b, c > d  a + c > b + d 5/ a > b, c < d  a - c > b - d 6/ a > b c >  ac > bc c <  ac < bc 7/ a > b > 0, c > d >  ac > bd 8/ a > b >  a > b 9/ < a <  a > a (m, n  N* ; m < n) a>1a>a 10/ a > b  > (n  N*) 11/ a > b, ab >  < VÍ DỤ 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab+ac+bc < a + b + c < 2(ab+ac+bc) Giải: Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức: a + b + c > ab + ac + bc (1) a + b + c < 2(ab+ac+bc) (2) Theo hệ bất đẳng thức Cauchy ta thấy rõ ràng (1) Ta cần chứng minh (2) Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác ta có: a = a.a < a(b+c) = ab + ac (3) b = b.b < b(c+a) = bc + ab (4) c = c.c < c(a+b) = ac + bc (5) Cộng vế bất đẳng thức (3), (4), (5) ta có: a + b + c < 2(ab+ac+bc) Dấu “=” bất đẳng thức (1) xảy  a = b = c  Tam giác tam giác VÍ DỤ 2: Cho số a, b thỏa mãn a+b > Chứng minh: a + b > Giải: Theo hệ bất đẳng thức Cauchy ta có: 2(x + y) > (x + y) hay x + y > Áp dụng bất đẳng thức ta có: a + b >  (a + b) > Mặt khác: a + b = (a) + (b) > > = > Dấu “=” xảy  a = b = * Chú ý: Ta có: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net (a - b) >  a - 2ab + b > (a + b) =  a + 2ab + b = Do đó: (a - 2ab + b) + (a + 2ab + b) >  2(a + b) >  a + b >  (a + b) >  a + 2ab + b > Mà (a - b) >  a - 2ab + b > Vậy (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) >  2(a + b) >  a + b > 4- Phương pháp xét phần tử đại diện: VÍ DỤ 1: Chứng minh với số nguyên dương n > ta có: S = + + + +…+ số tự nhiên Giải: Ta có: S = 1+ + + +…+ > (1) Mặt khác ta thấy hạng tử S có dạng (k  N, < k < n) Xét = < = Cho k nhận giá trị từ đến n ta có: < 1< ………………… < + Do đó: + +…+ < - + - +…+ - = - <  S < 1+1 = (2) Từ (1) (2) ta có: < S < Vậy S khơng phải số tự nhiên VÍ DỤ 2: Chứng minh với n  N* ta có bất đẳng thức A = + + +…+ < Giải: Ta thấy hạng tử A có dạng Xét = < = = ( - ) Cho k nhận giá trị từ đến n ta có: < (1- ) < (-) ………………… < (-) Do đó: A < (1- ) < (k  N*) 5- Phương pháp chứng minh phản chứng: VÍ DỤ: Cho số a, b thỏa mãn a + b = Chứng minh a + b < Giải: Giả sử a + b > Khi (a+b) >  a + b + 3ab(a+b) >  + 3ab(a+b) >  ab(a+b) >  ab(a+b) > a + b  ab > a - ab + b  a - 2ab + b < (vơ lí) Do giả sử sai Vậy m + n < WWW.ToanCapBa.Net Dấu “=” xảy  a = b = WWW.ToanCapBa.Net * Chú ý: Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức sau: Vì a + b = >  a > -b  a > -b  a+b > Áp dụng bất đẳng thức a + b > ab(a+b) ta có: 3(a + b) > 3ab(a+b)  4(a + b) > a + b + 3ab(a+b) = (a+b)  4.2 > (a+b)  (a+b) <  a+b < 6- Phương pháp qui nạp toán học: Các bước chứng minh mệnh đề tập hợp số tự nhiên N phương pháp qui nạp toán học: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = - Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k > (giả thiết qui nạp), chứng minh mệnh đề với n = k+1 - Bước 3: Kết luận mệnh đề với số tự nhiên n VÍ DỤ: Chứng minh với n  N, n > thì: > 2n+1 (1) Giải: a) Với n = = 8, 2n+1 = 2.3+1 =  > 2n+1 Do mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề với n = k (k  N, k > 3), tức > 2k+1 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k+1: > 2(k+1)+1 hay > 2k+3 (2) Thật vậy, = 2.2, mà > 2k+1 (giả thiết qui nạp) Nên > 2(2k+1) = 4k + = (2k+3) + (2k-1) Vì k >  2k-1 >  > 2k+3 Vậy (2) với k > c) Kết luận: Mệnh đề (1) với số tự nhiên n, n > B) LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh với a, b thỏa mãn ab > ta có: + > Bài 2: Cho số dương a, b thỏa mãn a+b < Chứng minh a+b < Bài 3: Cho tam giác ABC vng A Tìm giá trị nhỏ tổng A = cot B + cot C Bài 4: Chứng minh với x > ta có: 4x-5 + > Bài 5: Cho số dương a, b, c Chứng minh: a) a(1-a) > b) abc(1-a)(1-b)(1-c) > MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net I) Kĩ thuật “cộng thêm” để chứng minh bất đẳng thức Ta cộng thêm số để áp dụng bất đẳng thức Cauchy cách phù hợp Tuy nhiên cộng cho hợp lí dẫn ta đến kết toán vấn đề không đơn giản Ta xét số ví dụ sau đây: VÍ DỤ: Cho số dương a, b, c Chứng minh: + + > Giải: Ta có: + > = = a Tương tự: + > b , + > c Cộng vế bất đẳng thức ta có: + + + > a+b+c  đccm Dấu “=” xảy  a = b = c * Chú ý: Ở ta đặt câu hỏi ta không “cộng thêm” vào số dương b+c mà lại cộng với ? Ta thử lật ngược lại vấn đề: Nếu ta cộng vào số b+c thì: + b+c > = 2a Làm tương tự cộng vế bất đẳng thức vừa chứng minh ta có: + + + (b+c+c+a+a+b) > 2a + 2b + 2c  + + > 0, điều không nói biết !!! Từ phải có định hướng đắn với phương pháp II) Kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu Ta có thắc mắc nghe tên kì cục Đó “Kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu gì?” Thật biết tới bất đẳng thức Cauchy - bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân: Với n số khơng âm a, a,…, a ta có: > Theo tính chất bất đẳng thức: - Khi lấy nghịch đảo hai vế bất đẳng thức mà hai vế dương bất đẳng thức đổi chiều - Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều Ta vận dụng qui tắc để giải tập bất đẳng thức Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu VÍ DỤ 1: Cho số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: + + < Giải: Ta có: a+b >  <  < = < = Tương tự: < , < Do + + < = Dấu “=” xảy  a = b = c WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net VÍ DỤ 2: Cho số dương a, b, c có tổng bằng Chứng minh: + + > Giải: Những bất đẳng thức cần áp dụng kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu thường vế trái phân thức có mẫu tổng có chứa Phương hướng giải thường ta đem nhân mẫu phân thức cho tử bớt biểu thức để với phân thức cho Ta quay trở lại với VÍ DỤ Ta có: = = Theo bất đẳng thức Cauchy a + > 2a  <  - >  = 1- > 1Tương tự: > 1- , > 1Cộng vế bất đẳng thức ta VT > - = - = = VP Ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy  a = b = c = III) Kĩ thuật tách biểu thức thành tích hai số để áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky Cauchy - Schwarz VÍ DỤ 1: Cho số x, y thỏa mãn 4x + y = Chứng minh: 4x + y > Giải: Ta phải tìm cách tách 4x y cách thích hợp để tạo 4x y Ta tư theo cách sau: 4x = 1.4x = 2.2x = 8x = … , y = 1.y = y = … Nhưng có có bình phương có bình phương Chính ta giải toán sau: (2 + 1)(4x + y) > (2.2x + 1.y)  5(4x + y) > (4x + y) =  4x + y > Dấu “=” xảy  =  x = y = VÍ DỤ 2: Cho tam giác ABC vng A có độ dài ba cạnh BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh: 5a > 3b + 4c Giải: Vì tam giác ABC vng A nên BC = AC + AB  a = b + c hay a = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Scwarz ta có: >  > 3b+4c  5a > 3b+4c Dấu “=” xảy  =  IV) Luyện tập Bài 1: Cho số dương a, b, c Chứng minh: a) + ab > 2a b) + + > ab+bc+ca Bài 2: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh: + + > WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Bài 3: Cho số a, b, c khác có tổng Chứng minh: + + > Bài 4: Cho số dương a, b Chứng minh: a) < b) b + a < ab § - GIÁ TRỊ BIỂU THỨC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ Yêu cầu: - Nhớ lại công thức học (công thức lũy thừa, thức,…), đẳng thức,… - Nắm vững khái niệm tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức,… B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho biểu thức: A = a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn A Giải: a) ĐKXĐ:  x > 1, x ≠ b) A =  A =  x > A = -1  x < VÍ DỤ 2: Cho hàm số y = f(x) = + a) Giải phương trình f(x) = b) Tìm giá trị bé hàm số y = f(x) Giải: Hàm số xác định với x > Ta có: y = f(x) = + > Dấu “=” xảy  ( + 1)(1 - ) >  < x < Vậy f(x) =  < x < f(x) =  < x < VÍ DỤ 3: Cho hai số xy thỏa mãn xy > Rút gọn biểu thức: A= + Giải: Ta có bất đẳng thức + > Dấu “=” ab > Xét ( + )( - ) = - xy = >  + = (1) Mà xy >  + = (2) Từ (1) (2) suy A = + WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net VÍ DỤ 4: Cho a, b số phương Chứng minh biểu thức sau số phương: A = - 2b Giải: Ta tách biểu thức a + 2ab + 3b theo hai hướng sau: a + 2ab + 9b = (a+b) + 8b = (a+3b) - 4ab Cách biến đổi thứ chắn không đem lại kết cho ta Do ta cần nghĩ đến cách biến đổi thư hai Ta có: A = - 2b = - 2b = a + 3b + - 2b = ( + ) Vì a, b số phương nên , số tự nhiên  + số tự nhiên Vậy A số phương VÍ DỤ 5: Cho a = xy + b = x + y Giả thiết x, y dương Hãy tính b theo a Giải: Chắc chắn ta nghĩ tới việc bình phương a b Ta có: a = xy + (1+x)(1+y) + 2xy = 2xy + x + y + + 2xy b = x(1+y) + y(1+x) + 2xy = x + y + 2xy + 2xy  b = a - Vậy b = VÍ DỤ 6: a) Rút gọn biểu thức A = với a > b) Tính giá trị tổng B= + +…+ Giải: a) 1+ + = = = A==1- =1+ b) Áp dụng kết phần a) ta có: B = 1+ - + 1+ - + … + 1+ - = 99 + ( - + - + … + - ) = 100 - = C) LUYỆN TẬP Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A = Bài 2: Rút gọn biểu thức: B = + Bài 3: Cho a, b, c số thực khác + + = Tính giá trị biểu thức M = (a - b)(b + c)(c - a) Bài 4: Cho (x + )(y + ) = 2007 Tính S = x + y Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net a) N = b) P = + c) Q = (vơ hạn dấu căn) § - KĨ NĂNG VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Có nhiều phương pháp vẽ thêm hình (gọi giao điểm, nối hai điểm có sẵn hình, kẻ đường vng góc song song, kẻ đường kính đường tròn, tiếp tuyến chung hai đường tròn, vẽ góc góc cho trước, phân giác góc, đặt đoạn đoạn cho trước, lấy điểm đối xứng, vẽ thêm tam giác tam giác cho, vẽ tam giác vng cân hình vng, tam giác đều, đường tròn, …) - Trong số phương pháp khơng có phương pháp ứng dụng trường hợp Tùy toán mà ta có cách vẽ hình phụ khác mang tính sáng tạo riêng cho lời giải tốn thật ngắn gọn, dễ hiểu, có sức thuyết phục B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho hình thang vng ABCD ( = = 90) có BC = 2AB = 2AD Lấy điểm M cạnh AD Qua M kẻ đường thẳng vng góc với MB cắt CD N Chứng minh tam giác BMN vuông cân Giải: M WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net A D N H B C Kẻ trung tuyến MH tam giác BMN Ta dễ dàng tính = 135 Và = 90  DH = BH = NH Tam giác BMN vng M có MH trung tuyến thuộc cạnh huyền  MH = BH = NH Do DH = MH = BH = NH  Các tam giác MDH, NDH Ta có: = 360 - (+ +) = 360 - = 360 - 2.135 = 90 Tam giác BMN có trung tuyến MH đồng thời đường cao nên tam giác cân VÍ DỤ 2: Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc ngồi A Vẽ tiếp tuyến chung BC (O) (O’) (B  (O); C  (O’)) Tính BC Giải: B M C O A O’ Vẽ tiếp tuyến chung đường tròn (O) (O’) cắt BC M Khi MB = MA, MC = MA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do MA = MB = MC Vậy tam giác ABC vuông A Mặt khác MO phân giác , MO’ phân giác  MO  MO’ Tam giác MOO’ vuông M cho ta MA = AO.AO’  MA = Lại có MA = BC  BC = VÍ DỤ 3: Cho góc nhọn xOy điểm M cố định thuộc miền góc Một đường thẳng thay đổi vị trí ln qua M cắt Ox Oy thứ tự A, B Gọi S, S diện tích tam giác MOA MOB Chứng minh tổng + có giá trị khơng đổi Giải: WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net A N x M O B y Kẻ MN // Oy (N  OA) Ta biết, hai tam giác có chung đường cao tỉ số hai đáy tỉ số hai diện tích Áp dụng vào tốn ta có: = = =  =  = = +  đccm VÍ DỤ 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E, BE cắt CD O Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng Giải: A D N N’ E O B M Gọi giao điểm AM với DE N, giao điểm OM với DE N’ Ta có: Vì DE // BC  = mà BM = CM  DN = EN  N trung điểm DE DE // BC  = =  DN’ = EN’  N’ trung điểm DE Do N  N’  (AM)  (OM) hay A, O, M thẳng hàng C VÍ DỤ 5: Độ dài cạnh tam giác số nguyên liên tiếp không nhỏ đơn vị độ dài Chứng minh đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai chia cạnh thành hai phần có hiệu độ dài Giải: A n n+2 H n+1 B WWW.ToanCapBa.Net C WWW.ToanCapBa.Net Xét tam giác ABC có AB = n, BC = n+1, AC = n+2 (n  N*) , đường cao AH Ta cần chứng minh CH - BH = (vì AC > AB nên CH > BH) Theo định lí Pythagore ta có: BH = AB - AH , CH = AC - AH Từ suy CH - BH = AC - AB hay (CH - BH)(CH + BH) = (n+2) - n  (CH - BH)(n+1) = (n+2-n)(n+2+n) = 2(2n+2) = 4(n+1)  CH - BH = C) LUYỆN TẬP Bài 1: Cho D, E, F theo thứ tự ba điểm nằm ba cạnh BC, AC, AB ΔABC đường thẳng chứa cạnh Chứng minh rằng: Điều kiện cần đủ để ba điểm D, E, F thẳng hàng = Bài 2: Cho AC đường chéo lớn hình bình hành ABCD Trên cạnh AB AD kéo dài ta hạ từ đỉnh C đường vng góc CE CF Chứng minh: a) AB.AE + AD.AF = AC b) Có nhận xét hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật? § - CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ Yêu cầu: - Nhớ lại tính chất chia hết tập số nguyên - Nhớ lại kiến thức đồng dư B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho a số nguyên lẻ, b số nguyên Chứng minh số a ab+4 khơng thể có ước số chung khác  Giải: Gọi ƯCLN (a ; ab+4) = d  a  d ab +  d (1) Vì a  d, b  Z nên ab  d (2) Từ (1) (2) suy  d  d  Mặt khác a  d, a số nguyên lẻ  d số nguyên lẻ Do d =  VÍ DỤ 2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: a + b + c - 3abc b) Cho a, b, c ba số tính chẵn lẻ Chứng minh rằng: A = (a-b) + (b-c) + (c-a) chia hết cho 24 Giải: a) Theo VÍ DỤ >> 1- Phương pháp xét hiệu >> III) Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức >> BẤT ĐẲNG THỨC ta có: a + b + c - 3abc = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc) WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net b) Nhận xét a+b+c = a + b + c - 3abc =  a + b + c = 3abc Ta thấy: (a-b) + (b-c) + (c-a) =  A = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 3(a-b)(b-c)(c-a) Mặt khác a, b, c tính chẵn lẻ nên a-b, b-c, c-a chia hết cho Do A  3.2.2.2 Ta có đccm VÍ DỤ 3: Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a+b+c  Chứng minh tổng a + b + c chia hết cho Giải: Theo ví dụ ta có: a + b + c - 3abc = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc)  a + b + c = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc) + 3abc Vì a+b+c  nên ba số a, b, c phải tồn số chẵn (ta chứng minh điều phản chứng)  abc   - 3abc  Do a+b+c  6, - 3abc   (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc) - 3abc   a + b + c  VÍ DỤ 4: Chứng minh với n số nguyên lẻ P = n - 10n +  384 Ta có: P = n - 10n + = (n-1)(n+1)(n-3)(n+3) Mặt khác n số nguyên lẻ, n = 2k+1 (k  Z) Thay n = 2k+1 vào P ta có: P = (2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3) = 2k(2k+2)(2k-1)(2k+4) = 16(k-1)k(k+1)(k+2) Vì tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! nên P  16.4! = 384 VÍ DỤ 5: Chứng minh ta ln tìm 10 số tự nhiên liên tiếp hợp số Giải: Đặt a = 10! Ta có: a = 10! +  a = 10! +  a = 10! +  ……………… a = 10! + 11  11 Vậy ta ln tìm 10 số tự nhiên liên tiếp hợp số C) LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm số tự nhiên x cho 1000 < n < 2000 để a = số tự nhiên Bài 2: Cho số nguyên dương a, b, c d thỏa mãn đẳng thức a + b = c + d Chứng minh số a+b+c+d hợp số Bài 3: Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn x + y + z  Chứng minh biểu thức M = (x+y)(y+z)(z+x) - 2xyz chia hết cho WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Bài 4: Giải toán sau: “Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Hỏi có trâu đứng, trâu nằm, trâu già?” § - PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ I) Các loại phương trình thường gặp - Phương trình bậc ẩn 5x + = - Phương trình tích (x + 1)(2x - 7) = - Phương trình chứa ẩn mẫu + = - Phương trình có chứa tham số mx - = 4x - m - - Phương trình vơ tỉ + = - Phương trình bậc hai ẩn 5x + 6y = - Phương trình bậc hai ẩn 3x - 2x + = ………………………… II) Các phương pháp giải hệ phương trình số dạng hệ phương trình thường gặp Các phương pháp giải hệ phương trình: - Phương pháp - Phương pháp cộng đại số - Phương pháp đồ thị - Phương pháp đặt ẩn phụ ………………………… Các dạng hệ phương trình thường gặp - Hệ phương trình bậc hai ẩn số - Hệ phương trình đối xứng loại - Hệ phương trình đối xứng loại WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net - Hệ phương trình khơng mẫu mực - Hệ phương trình chứa tham số …………………………… III) Một số kiến thức phương trình bậc hai Phương trình bậc hai có dạng ax + bx + c = (a ≠ 0) Ta có biệt thức Δ = b - 4ac - Δ >  phương trình có hai nghiệm x = x = - Δ <  phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng - Hệ thứcViet: Cho phương trình ax + bx +c = (a ≠ 0) Nếu phương trình có nghiệm x, x x + x = ; xx = - Ứng dụng hệ thức Viet: 1/ Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) Nếu a+b+c = x = 1, x = Nếu a-b+c = x = -1, x = 2/ Tìm hai số biết tổng tích: Cho hai số x, y Biết x + y = S, xy = P x, y nghiệm phương trình X - SX + P = 3/ Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x, x ax + bx + c = a(x - x)(x - x) 4/ Xác định dấu nghiệm số: Cho phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) Giả sử phương trình có nghiệm x, x Nếu xx = < phương trình có hai nghiệm trái dấu Nếu xx = > phương trình có hai nghiệm dấu Khi x+x = < phương trình có hai nghiệm dương Nếu x+x = > phương trình có hai nghiệm âm IV) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Dù giải tốn cách lập phương trình hay hệ phương trình ta phải làm theo bước sau: - Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) +) Chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn +) Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết +) Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ đại lượng - Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) - Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình (hệ phương trình) nghiệm thích hợp với tốn kết luận B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Giải hệ phương trình Giải: ĐKXĐ: x ≠ , y ≠ 2, z ≠ WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Theo tính chất dãy tỉ số thì: = =  = = = = = Từ suy  (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y ; z) = (4 ; ; 12) VÍ DỤ 2: Giải hệ phương trình (I) Giải: Ta không nên xét trường hợp hệ phương trình điều đem lại cho ta nhiều rắc rối trình làm Mà thay ta nên biến đổi hệ phương trình cách thích hợp để làm dấu giá trị tuyệt đối Ta có hệ (I)  Từ ta có: - 5y - > 2x >  x > 0, y < Do hệ phương trình tương đương Hệ phương trình có nghiệm x = 2, y = Vậy hệ (I) có nghiệm (x ; y) = (2 ; 3) VÍ DỤ 3: Giải phương trình + = 4-2x-x Giải: Nếu ta khơng nên bình phương hai vế để làm dấu bình phương lên vậy, phương trình trở thành phương trình bậc cao khó giải Chỉ cần để ý chút thơi lời giải ngắn gọn tốn đến với ta ĐKXĐ: x  R = = > =2 (1) = = > =3 (2)  VT > 2+3 = (3) Mặt khác - 2x - x = - (x + 2x + 1) = - (x+1) < hay VP < (4) Từ (3) (4) ta có: VT > VP Dấu “=” xảy  Dấu “=” bất đẳng thức (1), (2) xảy  x + =  x = -1 VÍ DỤ 4: Giải phương trình 3x - x - = Giải: ĐKXĐ: x < x > Đặt = y (y > 0)  x - 3x + = y  3x - x = - y Phương trình cho tương đương: - y - 5y =  y + 5y =  y(y+5) =  y = (vì y > 0)  x - 3x + =  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = VÍ DỤ 5: Nhân ngày tháng phân đội thiếu niên tặng số kẹo Số kẹo chia hết chia cho đội viên phân đội Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo người sau: Bạn thứ nhận kẹo lấy thêm số kẹo lại Sau bạn thứ lấy phần mình, bạn thứ hai nhận hai kẹo lấy thêm số kẹo WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net lại Cứ đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n kẹo lấy thêm số kẹo lại vừa hết Hỏi phân đội thiếu niên có người đội viên nhận kẹo? Giải: Gọi số kẹo mà phân đội nhận x (x  N*) Theo cách chia bạn thứ nhận số kẹo 1+ (cái) Bạn thứ hai lấy hai kẹo số kẹo lại là: x - 2+1+ = (cái) Phần kẹo bạn thứ hai nhận 2+ = (cái) Vì số kẹo chia nên ta có 1+ = (cái) Giải phương trình ta x = 100 Số đội viên phân đội là: 100 : 1+ = 10 (đội viên) Vậy có 10 đội viên 100 kẹo C) LUYỆN TẬP Bài 1: Một số tự nhiên có chữ số Nếu viết thêm vào bên trái hay bên phải chữ số ta số có chữ số Biết ta viết thêm vào bên phải số ta số lớn gấp ba lần ta viết thêm vào bên trái Hãy tìm số Bài 2: Giải phương trình = Bài 3: Giải phương trình + + = Bài 4: Giải hệ phương trình Bài 5: Giải hệ phương trình § - BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Định nghĩa: Phân thức đại số biểu thức có dạng , A B đa thức B ≠ 0) - Hai phân thức nhau: =  AD = BC (B, D ≠ 0) - Tính chất phân thức: = (M  0) = (N nhân tử chung A B) - Các phép toán phân thức: + = (M ≠ 0) - = (M ≠ 0) = (B, D ≠ 0) : = (A, C, D ≠ 0) B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn hệ thức + + = (*) Chứng minh với n số tự nhiên lẻ ta có hệ thức + + = WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Giải: Ta có (*)  =  (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc  ab + ac + abc + ab + abc + bc + abc + bc = abc  (a+b)(a+c)(b+c) =   Xét trường hợp ta có đccm VÍ DỤ 2: Cho ba số thực a, b, c khác -1 Chứng minh x = by + cz , y = ax + cz , z = ax + by ta có đẳng thức + + = Giải: Ta có: x = by + cz y = ax + cz  x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz  2cz = x + y - z  c =  c + =  = Tương tự ta có: = , = Từ dễ dàng suy đccm VÍ DỤ 3: Giả sử phân thức sau có nghĩa Chứng minh đẳng thức: S= + + =0 Giải: Ta có: (b-c)(a+ac-b-bc) = (b-c) = (b-c)(a-b)(a+b+c) Do = (1) Tương tự: = (2) = (3) Cộng vế đẳng thức (1), (2) (3) ta có S= + + = =0 VÍ DỤ 4: Cho abc = Giả sử thức sau có nghĩa Rút gọn biểu thức: A= + + Giải: Thay = abc vào biểu thức A ta có: A= + + = + + = + + = =1 VÍ DỤ 5: Cho a, b, c ba số thực đôi khác thỏa mãn hệ thức + + = Chứng minh + + = Giải: Theo ta có: = +  = +  = = = Tương tự = , = Cộng vế đẳng thức ta đccm VÍ DỤ 6: Tính giá trị biểu thức sau (làm tròn đến số thập phân thứ tư) A= + + +…+ WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Giải: Với n  N* ta ln có: = Áp dụng kết ta có = = ………………………… = Do A = - ≈ 0,0556 C) LUYỆN TẬP Bài 1: Rút gọn biểu thức A = Bài 2: Cho biểu thức = + (với x ≠  1) Tính A B Bài 3: Cho a, b, c, d A, B, C, D số dương thỏa mãn điều kiện = = = Chứng minh: + + + = Bài 4: Cho số thực a, b, x, y thỏa mãn Chứng minh + = Bài 5: Tìm giá trị x cho: a) A = có giá trị nhỏ b) B = có giá trị lớn LUYỆN MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI VÀO LỚP CHUYÊN A) CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2010 - 2011) Câu (3,0 điểm) Tìm số có chữ số biết lập phương số tự nhiên tổng chữ số bình phương số tự nhiên Câu (4,0 điểm) WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Một người xe máy người xe đạp khởi hành lúc sáng từ địa điểm A đến B Vận tốc xe máy lớn vận tốc xe đạp 36 km/h Người xe máy đến B nghỉ nửa quay A gặp người xe đạp C điểm quãng đường AB Người xe đạp nghỉ C nửa tiếp đến B lúc 11 30 phút Tính chiều dài quãng đường AB vận tốc người Câu (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Các đường cao BD CK cắt đường tròn (O, R) theo thứ tự E F (D  AC; K  AB) Chứng minh: a) DK // EF b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ADK không đổi A di động cung lớn BC (O, R) Câu (3,0 điểm) Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O, R) Đường tròn tâm O’ qua ba điểm B, O, C cắt đường thẳng AB, AC D E Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O, R) Câu (5,0 điểm) a) Với giá trị x, y biểu thức P = 2x2 + 9y2 – 6xy + 2x – 30y + 2052 có giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ b) Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ ĐỀ SỐ (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2007 - 2008) Bài (4 điểm) Cho a số tự nhiên lẻ, b số tự nhiên Chứng minh số a ab+4 khơng có ước số chung khác  Bài (4 điểm) Cho hệ phương trình (a, b số nguyên dương a ≠ b) Tìm tất cặp giá trị a b để hệ phương trình có nghiệm số dương Bài (3 điểm) Giải phương trình - = Bài (5 điểm) a) Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng a, b cạnh huyền c Chứng minh c > Với điều kiện a, b c = , tính giá trị c theo a b b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a + b < Chứng minh a+b 2(k+1)+1 hay > 2k+3 (2) Thật vậy, = 2.2, mà > 2k+1 (giả thi t qui nạp) Nên > 2(2k+1) = 4k + = (2k+3) + (2k-1) Vì k >  2k-1 >  > 2k+3 Vậy (2) với k > c)... số phương nên , số tự nhiên  + số tự nhiên Vậy A số phương VÍ DỤ 5: Cho a = xy + b = x + y Giả thi t x, y dương Hãy tính b theo a Giải: Chắc chắn ta nghĩ tới việc bình phương a b Ta có: a = xy