Header Page of 128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP Họ tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp: Hồ Khắc Vũ TP Tam Kỳ, tháng 11 năm 2016 Footer Page of 128 Header Page ofMột 128 số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỉ 1.Ph-ơng pháp đánh giá Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 3x2 x 5x2 10 x 14 = – 2x – x2 Giải: Vế trái : 2 x 1 + x 1 = VÕ ph¶i : – 2x –x2 = – (x+1)2 ≤ VËy pt cã nghiƯm khi: vÕ tr¸i = vÕ ph¶i = x+ = x = -1 Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình x x Gi¶i : + §iỊu kiƯn : x≥ -1 Ta thÊy x = nghiệm ph-ơng trình Với x > x > ; x >2 nên vế trái ph-ơng trình lớn Với -1 ≤ x < th× x < ; x < nªn vÕ trái ph-ơng trình nhỏ Vậy x = nghiệm Ví dụ 2: Giải ph-ơng tr×nh: 4x + x =-16x2-8x+1 (1) Giải ĐK: x (*) 4 Ta cã 4x 4x 1 x (3 x)(1 x) x (3 x)(1 x) x x (2) L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã: 3 x (3 x)(1 x) x 4x 4x (1) 2 16 x x 16 x x (3 x)(1 x) 1 x Footer Page of 128 x x x (tho¶ m·n(*)) x Header Page of 128 Trường THCS Định Hưng Đề thi mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên người đề: Bùi Văn Hùng Thành viên thẩm định đề: Lê Hồng Sơn ĐỀ BÀI: Câu 1(5,0 điểm): Cho biểu thức P = x x 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 3 3 x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 14 c) Tìm GTNN P Câu 2(4,0 điểm): Bằng đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình: x x 1 m Câu (3,0 điểm): Tìm số có hai chữ số biết phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản 16 hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27 Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Gọi AB đường kính đường tròn (O), AC là đường kính đường tròn (O’), DE tiếp tuyến chung hai đường tròn, D (O), E (O’), K giao điểm BD CE a) Tứ giác ADKE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AK tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh MK vng góc với DE Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình : Footer Page of 128 3x 6x 5x 10x 21 2x x Header Page of 128 Tr-êng THCS: Yên Tr-ờng Đề thi môn:Toán Thời gian làm bài: 150p Họ tên ng-ời đề: Trịnh Thị Giang Các thành viên thẩm định đề(Đối với môn có từ GV trở lên): Đề thi Câu1: Cho biểu thøc: A= ( x2 x x 1 x x x 1 1 x ): x 1 Víi x>0 vµ x a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: 0< A < Câu2: Cho đ-ờng thẳng (d1): y = mx -5 (d2): y = -3x +1 a) Xác định toạ ®é giao ®iĨm A cđa (d1) vµ (d2) m = b) Xác định giá trị m để M(3; -8) giao điểm (d1) (d2) Câu3: Giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình sau: a) 1+ x 16 x b) xy – x – y = yz - y- z = zx –z –x =7 C©u4: Cho hai đ-ờng tròn có chung tâm điểm Ovà có bán kính lần l-ợt R R Từ điểm A cách tâm O Một đoạn OA = 2R, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đ-ờng tròn (O ; R) Gọi D giao điểm đ-ờng thẳng AO với đ-ờng tròn (O; R) điểm O thuộc đoạn thẳng AD a) Chứng minh đ-ờng thẳng BC tiếp xúc với đ-ờng tròn (O ; R ) b) Chứng minh tam giác BCD tam giác c) Chứng minh đ-ờng tròn (O ; Footer Page of 128 R ) néi tiÕp tam gi¸c BDC Header Tr-êng Page ofTHCS 128 Định T-ờng Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên ng-ời đề: Lê Thị Thu Các thành viên thẩm định để (đối với môn có từ GV trở lên) Đề thi: Câu 1: (4 ®iĨm) Cho biĨu thøc x y x y x y xy : 1 A xy xy xy a, Rót gän A b, TÝnh gi¸ trÞ cđa A x 2 c, Tìm giá trị lớn A Câu 2: (4 điểm) Giải hệ ph-ơng trình: 2 x y xy 2 x xy xy Câu 3: (2 điểm) Cho số x,y,z thoả mãn đồng thời x y y 2z z 2x Tính giá trị cđa biĨu thøc P x 2010 y 2010 z 2010 Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC cã gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a Chøng minh r»ng: b2 a2 c2 2ac.cos B Câu 5: (4 điểm): Cho đ-ờng tròn (O;R) đ-ờng thẳng d cắt (O) điểm A, B Từ điểm M d kẻ tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P tiếp ®iĨm) Gäi K lµ trung ®iĨm cđa AB a, Chøng minh ®iĨm M, N, O, K, P cïng n»m đ-ờng tròn b, Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M di động ( d) e, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vuông Câu 6: (2 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất -ớc tự nhiên p4 số ph-ơng Footer Page of 128 Header Tr-êng Page ofTHCS 128 Định T-ờng Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên ng-ời đề: Lê Thị Thu Các thành viên thẩm định để (đối với môn có từ GV trở lên) Đề thi: Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức x y x y x y xy : 1 A xy xy xy a, Rót gän A b, TÝnh giá trị A x 2 c, Tìm giá trị lớn A Câu 2: (4 điểm) Giải hệ ph-ơng trình: 2 x y xy 2 x xy xy Câu 3: (2 điểm) Cho số x,y,z thoả mãn đồng thời x y y 2z z 2x TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P x 2010 y 2010 z 2010 Câu 4: (4 điểm): Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a Chøng minh r»ng: b2 a2 c2 2ac.cos B Câu 5: (4 điểm): Cho đ-ờng tròn (O;R) đ-ờng thẳng d cắt (O) điểm A, B Từ điểm M d kẻ tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P tiếp điểm) Gọi K trung điểm AB a, Chøng minh ®iĨm M, N, O, K, P cïng nằm đ-ờng tròn b, Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M di động ( d) e, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vuông Câu 6: (2 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất -ớc tự nhiên p4 số ph-ơng Footer Page of 128 Header Page of 128 Một số ph-ơng pháp giải toán cực trị THCS I kiến thức Các định nghĩa 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền D : M đ-ợc gọi GTLN f(x,y, ) miền |D ®iỊu kiƯn sau ®ång thêi tho¶ m·n : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) |D 1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền |D : M đ-ợc gọi GTNN f(x,y, ) miền |D đến điều kiện sau đồng thời thoả m·n : f(x,y, ) M (x,y, ) |D (x0, y0, ) |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Min f(x,y, ) = fmin víi (x,y, ) |D C¸c kiÕn thøc th-êng dïng 2.1 Luü thõa : a) x2 x |R x2k x |R, k z - x2k Tỉng qu¸t : f (x)2k x |R, k z - f (x)2k Tõ ®ã suy : f (x)2k + m m x |R, k z 2k M - f (x) M b) x x ( x )2k x0 ; k z Tỉng qu¸t : ( A )2k A 0 (A lµ biĨu thøc) 2.2 BÊt đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y x.y c) |x-y| |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y x.y vµ |x| |y| 2.3 Bất đẳng thức côsi : ; i = 1, n : a1 a a n n n a1 a .a n nN, n 2 dÊu "=" x¶y a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta cã : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ( a12 a 22 a n2 ).(b12 b22 bn2 ) DÊu "=" x¶y = Const (i = 1, n ) bi 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a : (1+a)n 1+na n N DÊu "=" x¶y a = Mét sè BÊt đẳng thức đơn giản th-ờng gặp đ-ợc suy từ bất đẳng thức (A+B)2 Footer Page of 128 Header Page of 128 Chuyên Đề: Giải Ph-ơng trình nghiệm nguyên I-Ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) víi a, b, c Z 1.Các định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ph-ơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) -ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên ph-ơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y) đ-ợc cho bëi c«ng thøc: b x x t d y y a t d Víi t є Z, d = (a,b) 2.Cách giải: B-ớc 1: Rút ẩn theo Èn (gi¶ sư rót x theo y) B-íc 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y B-ớc 3: Thay y vào x tìm đ-ợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 H-ớng dÉn: Ta cã 2x + 5y =7 x = x = – 2y + 5y 1 y Do x, y nguyªn 1 y y nguyên Đặt =t 2 y = – 2t x = – 2(1- 2t) + t = 5t + VËy nghiƯm tỉng quát ph-ơng trình là: x = 5t + y = -2t +1 (t є Z ) VÝ dô 2: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên 6x 15 y = 25 H-íng dÉn: Ta thÊy( 6,15 ) = mµ 3/25 Footer Page of 128 víi (t є Z ) Bài tập nâng cao Đại số Bài tập nâng cao ch-ơng I đại số Header Page of 128 Bài 1: Có hay không số thực x x 15 15 số nguyên x Bài 2: Tìm x, y thỏa mãn ph-ơng trình sau: a) x2 4x 9y2 6y b) 6y y2 x2 6x 10 Bài 3: Rút gọn biÓu thøc: b) m m m m a) 13 30 c) Bài 4: Rút gọn biểu thức: a) A 62 62 6 3 2 ` 96 b) B Bài 5: So sánh: a) 20 vµ 110 70 Bµi 6: Rót gän a) b) 22 14 28 16 48 Bµi 8: Chøng minh: 1 42 c) c) 21 18 29 20 Bµi 7: TÝnh a) c) 17 12 vµ b) 28 16 vµ 12 18 2 d) 10 10 b) 13 48 48 a a2 b a a2 b a b 2 (víi a , b > a2 b > 0) áp dụng kết để rút gọn: a) 2 2 b) 2 32 17 12 3 2 17 12 c) d) 10 30 2 10 2 : Bµi 9: Cho biÓu thøc P(x) 1 2x x 3x 4x a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(-x) < Bài 10: Cho biÓu thøc: A x24 x2 x24 x2 4 1 x2 x a) Rót gän biĨu thøc A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 11: Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu cã) cđa c¸c biĨu thøc sau: a) x2 b) x x (x 0) c) x d) x e) 3x Footer Page of 128 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI Header Page 10 of 128 Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : ab ab bc ca ab abc a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a b a b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Rút gọn biểu thức : A 2 16 Chứng minh rằng, n Z+ , ta ln có : 1 17 Trục thức mẫu : a) 18 20 2 1 2 n b) x x 1 n 1 1 18 Tính : 29 20 a) b) 13 48 19 Cho a 20 Cho b 3 2 17 12 c) 3 2 17 12 1 x x 5 x x x 3 x 5 x x 3 b có phải số tự nhiên khơng ? b) 2 22 Tính giá trị biểu thức : M 23 Rút gọn : A Footer Page 10 of 128 29 12 10 Chứng minh a số tự nhiên 21 Giải phương trình sau : a) c) 1 x 1 x 3 d) x x 12 29 25 21 12 29 25 21 1 1 1 2 3 n 1 n Onthionline.net ĐỀ Header Page 100 of 128 THCS GOỉ CÔNG TRệễỉNG SỐ 1Kì kiểm tra đội tuyển HSG Sở Giáo dục Đào tạo Thời Kỳ 40* Thi150 HSG Lớp Cấp gian: phút ĐỀ Năm họcTỉnh : 2008-2009 LONGGiải AN phương trình Ngày thi : …………… Câu I ( điểm) Mụn thi: Toỏn Câu1 (6 điểm): Mơn thi : Tốn 2 x 6GD&ĐT x xHẢI 10LĂNG x 25 Thời gian làm bài: 150 phút ( khơng kể thời gian giao PHỊNG Thời gian : 150 phút (không kể phát đề) ĐỀ THI THỬ a) Chứng minh 6biểu thức: THI HỌC SINH y – 2y + =6 x (2x 6)KỲ đề)GIỎI TOÁN x -3 x x CẤP HUYỆN NĂM HỌC-2008-2009 A= ****************************** Câu (4 điểm) điểm) (x - x 3) (2 - x )ĐỀ 10 2x - 12 II x - x - CâuII 1: (4 THIx -VỊNG khơng phụ thuộc vào x Cho biểu thức :điểm) 1( 4,5 làm a) Cõu Rút gọn biểu thức Chứng : A(Thời 2minh gian rằng: bài 120 phút) xb)Chứng x minh a, b, 2cn và b', c' độ dàihết cáccho cạnh biểu : cú: 3 +a',40n A =b) a.Cho Với – 27 chia 64 hai tam giác nthức ta ( x 2) đồng dạng x thì: xHẢI LĂNG PHỊNG GD&ĐT 33 vàa,A xb,c10đơi khác P (2trị2 Bài điểm) Chocủa a, với b,cho cx>7thức Q; Tìm1: giá nhỏ biểu b chia hết THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN xaa' +3 KỲ x bb' + cc' = (a + b + c) (a'TOÁN + b' + c') Cho a>0; b>0; c>0 1NĂM Rút gọn P chứng minh P 0, y >0 x+y = 8( x + y ) + số 1 2 a(9 a+b+c) b4 ĐỀ bTHI 28 16 c)minh Tính:bấtB đẳng = 17thức Câu 2:(5điểm) Chứng xy c 39a I + c VÒNG b c +120 alàm a) Chứng minh các(Thời đườnggian thẳng y= 2x ; phút) y = 3x + y = - 2x qua Câu2 (4 điểm): Câu (2 (điểm) 4điểm) điểm): Cho đa thức: f(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho ( x – 1)3 hữu Câutỷ III (4,5 điểm x 294 x 296 x 298 x 300 Giải phương trình: Giải tốn bằngtrình cách lập phương trình x 4 y z b) Giải phương (1 điểm): Bài 2:a.(2 Xác điểm) Tìmcác nghiệm dương 1698 phương trình 25 + 2.5 + = 4500 định hệ số nguyên a,b,c 1700 1696 1694 x+6xy –lớn3y z hơn chữ số hàng đơn chữ số hàng Tìm c) sốa)Tìm tự10nhiên có(x,y) x - số 17 xhai- chữ x +số 2biết =phương cặp thoả mãn trình: x2 +y2 chục – 2xy + = cho y đạt x y z Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng: với x < y < z giáGiải điểm) vị b) số4trịđó tổng bình phương b phương đượcsốởcủa câunó a xlớn -lớn 4nhất xhơn + (2 1trỡnh + f(x) 4các x = + 012với x +a,b,c =tỡm chữ Câu 3: (5 điểm) Từ điểm S nằm ngồi đường tròn tâm O, kẻ tiếp cát tuyến Bài 2: (2 điểm) trình: Tìm xxđể–(m+1)x+2m-3 biểu thức sau đạt trị lớn nhất: Bx=2 |x4-tuyến 2| 1- |xSA - 5| Cho phương =0 giá (1) x Câu3 SBC tròn góc BAC bé 90thức Tiasau: phân BAC cắt dây BC Câu 3((25điểm): điểm) Bài 3:tới (2 đường điểm) Tìm giácho trị nhỏ nhất2của biểu A giác = góc x C ygiá có nghiệm phân biệt + Chứng minh phương trình ln với x tròn D cắt đường tròn điểm thứ hai+ E Các tiếp tuyến đường Etrịcắt Bài 3:và (2 điểm) Cho < x < y 2x 2y = 5xy Tính giá trị A = Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi x y P Các ABsao CE cắt AE vàsố CNnày cắtthỡ m.tại a điểm TỡmN sốđường cú haithẳng chữ số cho đổi chỗQ,những số lớn 2 2 Bài 4: (2 điểm) Tìm số có hai chữ số; biết số chia hết cho Nếu a) Chứng minh SA = SD (2 điểm) Chứng minh: (a + b + c) (a + b + c ) 2abc > Bài 4: giá (2 điểm) Một cáiphương hòm cótrình thể chứa hoặcbằng 14kg táo 21kg mận + Tìm trị m để (1) có nghiệm b) Chứng minh EN song song BC hai tam giác QCB , PCE đồng dạng (2 điểm) thêm số 0hơn vào rối vào số tạo thành số hai lần rưỡi sốchữ cho? Câu 4hòm (2bốn điểm): ta chứa đầy số táo vàcộng mận mà giá1tiền táo giá tiền mận Câu IV (4 điểm) c) Chứng minh hệ thức (1 điểm): CNsố CD CP9Hai chữ số hàng trăm lớn gấp sốphương phải tìm Chứng minh m thay đổi, đường thẳng có trình: Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) đường chéo AC số trái hòm sẽbiểu cânthức: nặng 18kg vàA giá làlần 240000 đồng Tìm giáBD tiềncắt 1kg b Tớnh giỏ trị = x(y + 1) + 2y biết Câu: (3 điểm) Cho hình thang ABCD ( AB // CD) AB = a ; CD = b Gọi giao điểm hai 0 Bài 5:tại (2 Cho ABC A,điểm có góc BAC =của 20các với Trên I điểm) =tam E; M lượt làqua trung điểm đoạn thẳng (2m -Góc 1) + my +60 giác =; gọi cân qualần cốOđịnh đường chéo củaxACD hình thang O F; Đường thẳng song song ABAC cắtlấy AD táo, giá tiền 1kg mận BCID; lầnsao lượt E5 ; F.EBC IA; BC điểm): 13 4= 320 cho AB = AC =49a x 5=cho y b,14 điểm góc BC (6 Bài a) 5:ECâu (2 điểm) Tính lớn (2 cácđiểm) góc tam=giác ABC, biết đường cao CD Chứng minh OEđộ =OF Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn a) Tính CE b) Cho Chứng minh (1 điểm) EF chia trên abgóc điểm Mđiểm nằm đường tròn (O), đường kính AB Dựng đường trònđường trũn đường trung tuyến CE thành bađường phần Cõu ( 6,5 ): Cho đường trũn kính AB Trên nửa Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu 5: (3 điểm) 3 (M) tiếp với AB tiếp tuyến AC; BD tới đường tròn b) xúc Chứng minhQua rằngAavà+ B, b kẻ = 3ab 1 -Câu V.lấy(3,5 điểm) (M) BD 4bằng cung AM ( M nằm A D) Trên điểm D M cho x ycung x y -Cho a) hình chóp tam giác ABC có mặt tam giác Gọi O trung hệ phương trình : S.C; (2 điểm) a)Giải Chứng minh ba điểm M; Dx thẳng hàng y xy điểm C Gọi 4N 0là giao điểm CM AB Chứng minh nửađường đườngcao trũnSH cũncủa lạihình lấy điểm chóp khơng xy y đổi x b) Chứng minh AC + BD Chứng minh rằng: = BOC COA = 90 b)rằng: Cho tam giácgóc có AOB số đo góc = trung bình cộng số đo hai góc lại độ c) Tìm vị trí điểm M cho AC BD lớn dài cạnh a, b, c tam giác thoả mãn: tam giác BD tam giác đều.(1 điểm) a.rằng AN.CD = AC a b c a b c Chứng minh -Hết - b Tam giác ADC đồng dạng với tam giỏc NBC - Hết Footer Page 100 of 128 I ứng giao điểm BC OE OF Chứng minh giác OIFC tiếpBC a,Kbtương ,có c ABC Cho ba sốlà thực dương Chứng minh bấtmột đẳng thức: Cho b/Gọi tamCho giác ABC góc tù.tiếp Vẽ đường caovới CD vàO, BE tam giácIABC (Dtứnằm đườngnội thẳng AB, E tam giác nội đường tròn tâm điểm chuyển động cung cố2 điểm định cácđường đườngthẳng thẳng EF OM,luôn EK,3điFIqua điểm qua một nằm trênchứa đườngđiểm thẳng A AC) GọiaM,N a chân B với C DE Biết không (I không B2 Đường thẳng vuông IBđường I thẳng cắt đường trùng blần lượt c3với đường bC) bvng c 2góc c các a 2điểm9góc c/ Chứng minh: EF = 2IK ICBEM thẳng E, tam đường thẳng góc với tạiIa đường thẳng ABCDN F.Tính Chứng minh 101 là(3điểm) diện tích giác ADE, diện tích vàcắt diện tam diện tích tam Header Page of 128 2avuông bc abtam cgiác bc ca b 2tích giác CÂU 4:AC Hết đường mộtkính điểmAB, cố M định giác ABC theo ln 4.1/ Chothẳng đườngEF tròn tâmđiOqua ,đường điểm di động đường tròn, vẽ MH vng HẾT -góc AB H.Tìm vị trí điểm M đường tròn O cho diện tích tam giác OMH lớn Hết=-b- - đường phân giác góc A 4.2/ Cho tam giác ABC vng A có AB =-c,- -AC AD=d Họ tên thí sinh: Số báo danh: 1 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chứng minh: d b c CÂU 5: (3điểm) Kim đồng hồ Hỏi sau kim phút kim lại gặp nhau? -Hết - Footer Page 101 of 128 Sở of Giáo Header Page 102 128.dục Đào tạo Kỳ Thi HSG Lớp Cấp Tỉnh Ngày thi : …………… Mơn thi : Tốn Thời gian : 150 phút (không kể phát đề) LONG AN ĐỀ THI THỬ Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức : A b) Cho biểu thức : P x x 1 x 1 x 1 với x > x 10 Rút gọn P chứng minh P < Câu 2:(5điểm) a) Chứng minh đường thẳng y= 2x + ; y = 3x + y = - 2x qua điểm (2 điểm) b) Giải phương trình (1 điểm): x 294 x 296 x 298 x 300 4 1700 1698 1696 1694 c) Tìm cặp số (x,y) thoả mãn phương trình: x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + = cho y đạt giá trị lớn (2 điểm) Câu 3: (5 điểm) Từ điểm S nằm ngồi đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA cát tuyến SBC tới đường tròn cho góc BAC bé 900 Tia phân giác góc BAC cắt dây BC D cắt đường tròn điểm thứ hai E Các tiếp tuyến đường tròn C E cắt điểm N Các đường thẳng AB CE cắt Q, AE CN cắt P a) Chứng minh SA = SD (2 điểm) b) Chứng minh EN song song BC hai tam giác QCB , PCE đồng dạng (2 điểm) c) Chứng minh hệ thức (1 điểm): 1 CN CD CP Câu: (3 điểm) Cho hình thang ABCD ( AB // CD) AB = a ; CD = b Gọi giao điểm hai đường chéo hình thang O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC E ; F a) Chứng minh OE =OF (2 điểm) b) Chứng minh EF ab (1 điểm) Câu 5: (3 điểm) 1 x y x y a) Giải hệ phương trình : xy x y xy y x (2 điểm) b) Cho tam giác có số đo góc trung bình cộng số đo hai góc lại độ dài cạnh a, b, c tam giác thoả mãn: a b c a b c Chứng minh tam giác tam giác đều.(1 điểm) -Hết - Footer Page 102 of 128 ĐỀ SỐ Header Page 103 of 128 Thời gian: 150 phút Câu I ( điểm) Giải phương trình x2 x x2 10 x 25 y2 – 2y + = x 2x Câu II (4 điểm) Cho biểu thức : A= x2 2x ( x 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) a b c 1 Câu III (4,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đường chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH hình chóp Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900 Footer Page 103 of 128 Header Page 104 of 128 PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI VÒNG I (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z 2 2 x y z Bài 2: (2 điểm) Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: B = |x - 2| - |x - 5| Bài 3: (2 điểm) Cho < x < y 2x2 + 2y2 = 5xy Tính giá trị A = x y x y Bài 4: (2 điểm) Một hòm chứa 14kg táo 21kg mận Nếu ta chứa đầy hòm táo mận mà giá tiền táo giá tiền mận số trái hòm cân nặng 18kg giá 240000 đồng Tìm giá tiền 1kg táo, giá tiền 1kg mận Bài 5: (2 điểm) Tính độ lớn góc tam giác ABC, biết đường cao CD đường trung tuyến CE chia góc thành ba phần Footer Page 104 of 128 Header Page 105 of 128 PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI VỊNG II (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c Q; a, b, c đôi khác Chứng minh a b b c c a 2 bình phương số hữu tỷ Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z x 4x Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x2 Bài 4: (2 điểm) Tìm số có hai chữ số; biết số chia hết cho thêm số vào chữ số rối cộng vào số tạo thành số hai lần chữ số hàng trăm số lớn gấp lần số phải tìm Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc BAC = 200 Trên AC lấy điểm E cho góc EBC = 200 cho AB = AC = b, BC = a a) Tính CE b) Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 Footer Page 105 of 128 Onthionline.net Header Page 106 of 128 TRệễỉNG THCS GOỉ CÔNG Kì kiểm tra đội tuyển HSG Năm học : 2008-2009 Mụn thi: Toỏn Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ****************************** Cõu 1( 4,5 điểm) Chứng minh rằng: a Với n ta cú: n3 + 40n – 27 chia hết cho 64 b 33 - chia hết cho c Cho x > 0, y >0 x+y = chứng minh: Câu ( điểm): Cho đa thức: 8( x4 + y4 ) + xy f(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho ( x – 1)3 a Xác định hệ số a,b,c b Giải phương trỡnh f(x) = với a,b,c tỡm câu a Câu 3( điểm) a Tỡm số cú hai chữ số cho đổi chỗ số thỡ số lớn bốn rưỡi số cho? b Tớnh giỏ trị biểu thức: x = 13 A = x(y + 1) + 2y biết y = 14 49 Cõu ( 6,5 điểm ): Cho đường trũn đường kính AB Trên nửa đường trũn lấy điểm D M cho cung BD cung AM ( M nằm A D) Trên nửa đường trũn cũn lại lấy điểm C Gọi N giao điểm CM AB Chứng minh rằng: a AN.CD = AC BD b Tam giác ADC đồng dạng với tam giỏc NBC - Hết Footer Page 106 of 128 Onthionline.net Header Page 107 of 128 TRệễỉNG THCS GOỉ CÔNG Kì kiểm tra đội tuyển HSG Năm học : 2008-2009 Mụn thi: Toỏn Thời gian m bà i: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ****************************** Cõu 1( 4,5 điểm) Chứng minh rằng: n 3 Với n ta cú: + 40n – 27 chia hết cho 64 33 - chia hết cho 8( x4 + y4 ) + xy Cho x > 0, y >0 x+y = chứng minh: Câu ( điểm): Cho đa thức: f(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho ( x – 1)3 Xác định hệ số a,b,c Giải phương trỡnh f(x) = với a,b,c tỡm câu a Câu 3( điểm) Tỡm số cú hai chữ số cho đổi chỗ số nà y thỡ số lớn bốn rưỡi số cho? Tớnh giỏ trị biểu thức: A = x(y + 1) + 2y biết x = 13 y = 14 49 Cõu ( 6,5 điểm ): Cho đường trũn đường kính AB Trên nửa đường trũn lấy điểm D M cho cung BD cung AM ( M nằm A D) Trên nửa đường trũn cũn lại lấy điểm C Gọi N giao điểm CM AB Chứng minh rằng: AN.CD = AC BD Tam giác ADC đồng dạng với tam giỏc NBC - Hết ĐÁP ÁN CHẤM Cõu 1: a Footer Page 107 of 128 Header Page 108 of 128 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 8x2 3xy y 25 2)Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n 3n Câu 2( 4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 10 30 2 : 10 2 1 x yz y zx z xy 2) Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn a b c 2 a bc b ca c ab Chứng minh x y z Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: x2 6x m (Với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x12 x22 12 3 8x y 27 18 y 2) Giải hệ phương trình: 2 4x y 6x y Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường tròn (O) thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vng góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB a) CMR: HA2 HB2 HC HD2 không đổi b) CMR : PQRS tứ giác nội tiếp 2) Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh AB,BC,CD,DA hình vng CMR: S ABCD ≤ AC Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương CMR: ab bc ca abc a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b -Hêt— Footer Page 108 of 128 MN NP PQ QM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Header Page 109 of 128 TỈNH ĐĂK NƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010-2011 Khóa thi ngày: 10/3/2011 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) 2 x 2 x 4x x 3 1) Cho biểu thức A Tìm điều kiện x để A > : 2 x 2 x x4 x x 2) Cho x 2 1 1 1 Tính giá trị biểu thức: B ( x4 x3 x2 x 1)2011 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 3x x x x x x2 y 2) Cho x, y z nghiệm hệ phương trình: y z z x Tính giá trị biểu thức: C x10 y3 z 2011 Bài 3: (4,0 điểm) 1) Tìm cặp số ( a, b) thỏa mãn hệ thức: a b 2011 a b 2011 2) Tìm tất số tự nhiên n cho: n2 – 14n + 38 số phương Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, hai đường kính AB CD vng góc với E điểm nằm cung nhỏ AD Nối CE cắt OA M nối BE cắt OD N 1) Chứng minh: AM ED 2OM EA OM ON 2) Chứng minh tích số Từ đó, suy giá trị nhỏ tổng AM DN OM ON , cho biết vị trí điểm E? AM DN Bài 5: (3,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a b3 c a b b c c a 2abc ab c bc a ca b 2 HẾT Footer Page 109 of 128 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP SỞ 110 GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Header Page of 128 TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2012 – 2013 MƠN THI: TỐN – LỚP THCS (Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi thức Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức với a/ Rút gọn biểu thức với b/ Tìm tất giá trị cho P số nguyên tố Bài (2,0 điểm) a/ Tìm x, biết: b/ Giải hệ phương trình: Bài (2,0 điểm) a/ Cho hàm số bậc y = ax + b có đồ thị qua điểm M(1;4) Biết đồ thị hàm số cho cắt trục Ox điểm P có hồnh độ dương cắt trục Oy điểm Q có tung độ dương Tìm a b cho OP + OQ nhỏ (với O gốc tọa độ) b/ Tìm số tự nhiên có chữ số Biết lấy tổng chữ số cộng với lần tích chữ số 17 Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, qua I vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng CI, đường thẳng cắt cạnh AC, BC M N a/ Chứng minh hai tam giác IAM BAI đồng dạng b/ Chứng minh Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có góc tù Vẽ đường cao CD BE tam giác ABC (D nằm đường thẳng AB, E nằm đường thẳng AC) Gọi M,N chân đường vng góc điểm B C đường thẳng DE Biết diện tích tam giác ADE, giác ABC theo Footer Page 110 of 128 diện tích tam giác BEM diện tích tam giác CDN Tính diện tích tam Header Page 111 of 128 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Cho số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a13 a 32 a 3n P a1 a a n Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho b) Cho A = n6 n4 2n3 2n2 (với n N, n > 1) Chứng minh A khơng phải số phương Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 10 x3 3x2 x 3 y b) Giải hệ phương trình: y z z x Câu (4,5 điểm) 1 x y z 1 1 Chứng minh rằng: 2x+y+z x 2y z x y 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x2011 y2011 z 2011 Tìm giá trị lớn biểu thức: M x2 y2 z a) Cho x > 0, y > 0, z > Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B C) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng b) Khi BOC 1200 , xác định vị trí điểm M để 1 đạt giá trị nhỏ MB MC Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I khơng trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định - - - Hết - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Footer Page 111 of 128 Header Page 112 of 128 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (5,0 điểm) a) Chứng minh với số ngun n n2 n khơng chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 17 số phương Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 4x+5 = 2x+3 2x+y = x b) Giải hệ phương trình: 2y+x = y Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x+3 x2 Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K (O) Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định - - - Hết - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Footer Page 112 of 128 Header Page 113 of 128 SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn thi: Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 30 tháng năm 2011) SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2.5 điểm) Cho biểu thức A x4 x4 x4 x4 với x 8 16 1 x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x ngun để A có giá trị nguyên Câu 2:(2.5 điểm) Số đo hai cạnh góc vng tam giác nghiệm phương trình bậc hai (m 2) x 2(m 1) x m Xác định m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền tam giác cho Câu 3:(3.0 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc (O) (O’) C D Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) (O’) M N Các đường thẳng BC, BD cắt MN P Q Các đường thẳng CM, DN cắt E Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AE CD vng góc b) Tam giác EPQ cân Câu 4:(1.0 điểm) Cho x, y, z thỏa mãn: x y z Chứng minh: xy yz zx 3 z x y Câu 5:(1.0 điểm) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn : a5 b5 4(c5 d ) Chứng minh : a b c d chia hết cho HẾT Footer Page 113 of 128 Sở of Giáo Header Page 114 128.dục Đào tạo LONG AN ĐỀ THI THỬ CÂU 1: (4 điểm) 1.1/ So sánh : Kỳ Thi HSG Lớp Cấp Tỉnh Ngày thi : …………… Môn thi : Tốn Thời gian : 150 phút (khơng kể phát đề) 2009 2011 2010 2.2/ Tìm giá trị nhỏ A = a a a 15 a CÂU 2: (5 điểm) x 1 x 2.1/(2điểm) Giải phương trình: với 1< x < 2.2/ (3điểm) Cho hàm số y = x có đồ thị (P) hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ -1 a/ Viết phương trình đường thẳng AB b/Tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có diện tích lớn CÂU 3: (5 điểm) Cho đường tròn ( O; R) dây cung BC với BOC =1200 Các tiếp tuyến vẽ B C với đường tròn cắt A.Gọi M điểm tùy ý cung nhỏ BC (M khác B C) Tiếp tuyến M với đường tròn (O) cắt AB E cắt AC F a/ Tính chu vi tam giác AEF theo R b/Gọi I K tương ứng giao điểm BC với OE OF Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp đường thẳng OM, EK, FI qua điểm c/ Chứng minh: EF = 2IK CÂU 4: (3điểm) 4.1/ Cho đường tròn tâm O ,đường kính AB, M điểm di động đường tròn, vẽ MH vng góc AB H.Tìm vị trí điểm M đường tròn O cho diện tích tam giác OMH lớn 4.2/ Cho tam giác ABC vng A có AB = c, AC = b đường phân giác góc A AD=d 1 Chứng minh: d b c CÂU 5: (3điểm) Kim đồng hồ Hỏi sau kim phút kim lại gặp nhau? -Hết - Footer Page 114 of 128 ... Độc lập – Tự – Hạnh phuùc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn thi: TOÁN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 2: (Học sinh chép đề vào giấy thi) Bài 1) (3đ): Cho biểu... Bồi D-ỡng học sinh giỏi môn toán Chuyên Đề Đ-ờng tròn A- Mục tiêu: -Học sinh cần nắm vững kiến thức đ-ờng tròn -Vận dụng cách thành thục đn,tính chất để giải dạng tập -Rèn kỹ t- hình học. Sáng... Phần : Một số luyện tập Bµi 1: TÝnh S = T= 3 10 4 2 4 3 10 4 2 4 Footer Page 128 S = 2000 Bµi 217: of CMR ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010