5 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2017-2018 có đáp án_2

Header Page of 128 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM 2017-2018 (CĨ ĐÁP ÁN) Footer Page of 128 Header Page of 128 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn năm 2017-2018 có đáp án - Phịng GD&ĐT Hậu Lộc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Than Uyên Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2017-2018 có đáp án - Phịng GD&ĐT huyện Vĩnh Bảo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2017-2018 có đáp án - Phịng GD&ĐT Tam Dương Footer Page of 128 Header Page of 128 PHỊNG GD&ĐT ĐỀ HSG TỐN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi: 26/3/2018 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài (4,0 điểm) 13 19  23 8  0,5      :1 15  15 60  24 100 20 b) So sánh: 16 a) Tính: A = Bài (3,0 điểm) 1 1 2 1 n b) Tìm số tự nhiên n biết: 3  4.3n  13.35 a) Tìm x biết: x   Bài (4,5 điểm) 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =    cd d a ab bc a) Cho dãy tỉ số nhau: x y z t với x, y, z, t số    x y z x yt y zt x zt tự nhiên khác Chứng minh M 10  1025 b) Cho biểu thức M  Bài (6,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, D điểm thuộc đoạn BM (D khác B M) Kẻ đường thẳng BH, CI vng góc với đường thẳng AD H I Chứng minh rằng: a) BAM = ACM BH = AI b) Tam giác MHI vuông cân 2) Cho tam giác ABC có góc  = 900 Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Tia phân giác góc HAC cắt cạnh BC điểm D tia phân giác góc HAB cắt cạnh BC E Chứng minh AB + AC = BC + DE Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 1  x  , 1  y  , 1  z  Chứng minh đa thức x  y  z có giá trị không lớn -Hết Họ tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay làm Footer Page of 128 Header Page of 128 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Bài Nội dung 47 47 : 60 24 =  5 + Biến đổi: A   a) 2,0 đ =1 + Biến đổi: 1620  24.20  280 b) 2,0 đ + Có 280  2100 (1 < ; 80 < 100) Vậy 1620  2100 Bài 1  => x   2 a) 2,0 đ => x   x   1 + Ta có x   => x  x  Vậy x  x  + Biến đổi 3n.(31  4)  13.35 n b) 1,0 đ =>  => n = KL: Vậy n = Bài 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1  1  1 a b c d a bc  d a b c  d a b c d a b c d    a b c d + Nếu a + b + c + d  a = b = c = d => Q = + +1 +1 = Điểm 4,0 đ 1,0 0,50 0,50 0,5 1,0 0,5 3,0 đ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 4,5 đ + Biến đổi: a) (2,5 đ) + Nếu a + b + c + d = a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - + KL : Vậy Q = a + b + c + d  Q = - a + b + c + d = Footer Page of 128 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 Header Page of 128 + Ta có: x x  x yz x y y y  x yt x y 0,1 z z  y z t z t b) (2,0 đ) t t  x z t z t M < ( x y z t   )( ) xy xy zt zt 0,25 => M < 0,5 0,25 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025 Vậy M10 < 1025 A I Bài 0,25 D B M C H 1.a/ 2,75 đ 1.b/ 2,0 đ * Chứng minh: BAM  ACM + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c) + Lập luận được: BAM  CAM  450 + Tính ACM  450 => BAM  ACM * Chứng minh: BH = AI + Chỉ ra: BAH  ACI (cùng phụ DAC ) + Chứng minh AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) => BH = AI (2 cạnh tương ứng) b) Tam giác MHI vuông cân + Chứng minh AM  BC + Chứng minh AM = MC + Chứng minh HAM  ICM + Chứng minh HAM = ICM (c-g-c) => HM = MI + Do HAM = ICM => HMA  IMC => HMB  IMA (do Footer Page of 128 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 (*) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Header Page of 128 AMB  AMC  900 + Lập luận được: HMI  900 (**) 0,25 0,25 Từ (*) (**) => MHI vuông cân A 0,25 2) 1,5đ B E H D C + Chứng minh : AEC  ABC  BAE  HAD  DAC  BAE  EAH  HAD  DAC  EAC (Vì B HAC phụ với BAH ) Bài 2,0 đ Suy tam giác AEC cân C =>AC = CE + Tương tự chứng minh AB = BD + Từ (*) (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC +) Trong ba số x, y, z có hai số dấu Giả sử x; y  => z = - x - y  +) Vì 1  x  , 1  y  , 1  z  = > x2  y  z  x  y  z => x2  y  z  x  y  z => x2  y  z  2 z +) 1  z  z  => x2  y  z  KL: Vậy x2  y  z  Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Footer Page of 128 0,25 (*) (**) 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 Header Page of 128 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4,0 điểm)   193 33   11  1931  a) Thực phép tính: A      :        193 386  17 34   1931 3862  25  b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 Câu (4,0 điểm) a) Tìm a, b, c biết 12a  15b 20c  12a 15b  20c   a + b + c = 48 11 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ với 6; 5; Như có đội làm nhiều so với dự định 6m3 đất Tính tổng số đất phân chia cho đội Câu (4,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = | x  2017 | 2018 | x  2017 | 2019 15 n2  b) Chứng tỏ S =     không số tự nhiên với n  N, n > 16 n c) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: x - 2xy + y = Câu (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Câu (2,5 điểm) Trong hình bên, đường thẳng OA đồ thị hàm số y = f(x) = ax a) Tính tỉ số y0  x0  b) Giả sử x0 = Tính diện tích tam giác OBC Cán coi thi khơng giải thích thêm – SBD: …………… Footer Page of 128 Header Page of 128 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN (Đáp án gồm có 04 trang) HDC CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm)   193 33   11  1931  a) Thực phép tính: A      :        193 386  17 34   1931 3862  25  b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)49 + (-5)50   193 33  193 193 33 33       = =1    =   193 386  17 34  193 17 386 17 34 17 34 34 a  1931      =   =5      =   1931 3862  25  1931 25 3862 25 25 50 11 A = : = 1931 11 1931 11 0,75 0,5 (-5)B = (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018 B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 2018 -1 b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5) 2018 2018 (5)  1  Vậy B = = 4 Câu (4,0 điểm) a) Tìm a, b, c biết 0,75 0,5 0,75 0,75 12a  15b 20c  12a 15b  20c   a + b + c = 48 11 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ với 6; 5; Như có đội làm nhiều so với dự định 6m3 đất Tính tổng số đất phân chia cho đội Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 12a  15b 20c  12a 15b  20c 12a  15b  20c  12a  15b  20c    =0 11 27 a b 12a  15b   12a  15b  a b c    12a  15b  20c    20c  12a   20c  12a  12 15 20  a + b + c = 48 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a bc 48    = = 24 1 1 1   12 15 20 12 15 20 a b c  240  a  20  240  b  16  240  c  12 1 12 15 20 Vậy a = 20; b = 16; c = 12 Gọi tổng số đất phân chia cho đội x (m3) ĐK: x > Số đất dự định chia cho ba đội I, II, III a, b, c (m3) ĐK: a,b,c > Footer Page of 128 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Header Page of 128 7x 6x 5x a b c abc x  a  ;b  ;c      (1) 18 18 18 18 18 Số đất sau chia cho ba đội I, II, III a’, b’, c’ (m3) ĐK: a’,b’,c’ > a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 6x 5x 4x      a '  ;b '  ; c '  Ta có: (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có: a < a’; b = b’ ; c > c’ nên đội I nhận nhiều lúc đầu x x 6x   x  360  =6  Vì a – a’ = hay 90 18 15 Vậy tổng số đất phân chia cho đội 360m3 đất Câu (4,5 điểm) Ta có: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = b) Chứng tỏ S = 0,25 0,25 0,25 0,25 | x  2017 | 2018 | x  2017 | 2019 n2  15     không số nguyên với n  Z, n > 16 n c) Tìm số nguyên x, y cho: x - 2xy + y = a | x  2017 | 2018 = | x  2017 | 2019  x  2017  2019  1 | x  2017 | 2019 | x  2017 | 2019 Biểu thức C đạt giá trị nhỏ | x  2017 | 2019 có giá trị nhỏ 0,25 Mà | x  2017 | ≥ nên | x  2017 | 2019 ≥ 2019 0,25 C= Dấu “=” xảy x = 2017  C = = 1 2018 2019 2018 x = 2017 2019 15 n2  22  32  42  n2  S =     =     16 n n 1 1 =         2 n 1 1  = (1     1)        n  2   1 = (n  1)        n  2  S < n – (1) 1 1 1 1 Nhận xét: < ; 2< ; 2< ; …; < (n  1).n 1.2 2.3 3.4 n 1 1 1 1 + + +…+ = 1– <      < (n  1).n n 1.2 2.3 3.4 n 1 1 1 1 1 1         >-1  (n  1)        > (n–1)–1= n – n  n  2 2  S > n – (2) Vậy giá trị nhỏ C b c Từ (1) (2) suy n – < S < n – hay S khơng số ngun Ta có: x - 2xy + y =  x(1 – y) + y = Footer Page of 128 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Header Page 10 of 128  (1 – y) + x(1 – y) =  (1 + x)(1 – y) = Ta có: = 1.1 = (-1).(-1) Ta có bảng: 1+x -1 1–y -1 x -2 y 0,25 0,5 abccjh 0,25 Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)} Câu (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC GT ∆ABC AB = AC BD = CE MD  BC; NE  BC BC  MN = {I} 0,25 KL a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN Vẽ c) Đường thẳng vuông góc với MN I ln ln qua điểm hình; cố định D thay đổi cạnh BC Ghi GTKL 0,5 a b c ∆MDB = ∆NEC (g.c.g)  DM = EN (cặp cạnh tương ứng)  MB = NC (cặp cạnh tương ứng) Ta có: ∆MDI vuông D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn tam giác vng) ∆NEI vng E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn tam giác vuông) Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI = ENI ∆MDI = ∆NEI (g.c.g)  IM = IN (cặp cạnh tương ứng) Vậy BC cắt MN điểm I trung điểm MN Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vng) Footer Page 10 of 128 0,75 0,25 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 Header Page 11 of 128  HAB  HAC (cặp góc tương ứng) Gọi O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)  OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (1)  OC = OB (cặp cạnh tương ứng) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c)  OM = ON (cặp cạnh tương ứng) ∆OBM = ∆OCN (c.c.c)  OBM  OCN (cặp góc tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy OCA  OCN =900, OC  AC Vậy điểm O cố định Câu (2,5 điểm) Trong hình bên, đường thẳng OA đồ thị hàm số y = f(x) = ax y 2 a) Tính tỉ số x0  b) Giả sử x0 = Tính diện tích tam giác OBC a Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) A phải thỏa mãn hàm số y = ax 1 Do đó, = a.2  a = Vậy hàm số cho công thức y = x 2 Hai điểm A B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ tung độ chúng tỉ lệ thuận với Suy Vậy y0 y0     (theo tính chất dãy tỉ số nhau) x0 x0  y0  = x0  x0 = = 2,5 2 Diện tích tam giác OBC là: b Áp dụng công thức S = (a.h) ta có: SOBC = 2,5 = 6,25 *Lưu ý Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa Nếu x0 = y0 = _Hết (Cán chấm thi:……………………… ) Footer Page 11 of 128 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,75 Header Page 12 ofGIÁO 128 DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 -2018 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 04 tháng năm 2018 HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính : 212.35  46.92  3   510.73  252.492 125.7   59.133 b) CMR : 1 1 1    n 2  n   98  100  7 7 7 50 Bài (3,0 điểm) a) Tìm x,y,z biết: x  y   x  xz  b) Cho đa thức f (x)  ax  bx  c Biết f (0)  0; f(1)  2017; f (1)  2018 Tính a,b,c? Bài (3,0 điểm) a) Cho a c b2  a b  a  Chứng minh 2  c b a c a b) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1, Bài (8,0 điểm.) Cho ABC vuông A (AB > AC) Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = AC Trên đường vng góc với AB B lấy điểm E cho BE = AD (E C nằm nửa mặt phẳng bờ AB) 1) Tam giác CDE tam giác ? 2) Trên AC lấy điểm F cho CF = AD Gọi giao điểm BF CD O Chứng minh COF  450 3) Trên BF lấy điểm P cho FCO  OCP Kẻ FH  CP( H  CP) Chứng minh: a) HO tia phân giác FHP b) Chứng minh: OH + OC > HF + CF Bài 5(2,0đ) Tìm x, y  N biết: 36  y   x  2018 -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… Footer Page 12 of 128 Header Page 13 of 128 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Đáp án Bài a) (2đ) E   12  3 6    25 49 10 125.7   59.133 212.35  212.34 510.73  54.74  12 12  9 3   13 212.34   1     12    1 59.73 1  23  Bài (4đ) Điểm 0,5 0,5 212.34.2     12  59.73.9 56    55.3   56   2429   2.55.9 6250 1 1 1 b) (2đ)    n2  4n   98  100  7 7 7 50 1 1 1 Đặt A     n2  4n   98  100 7 7 7 1 1 Ta có 49 A     n4  n2   96  98 7 7 Suy : 50 A   100  Vậy A  50 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a) (1,5đ)Tìm x,y,z biết:  y   x  xz  Sử dụng tính chất A  x 0,25  0; y   0; x  xz  Nên : x   y   x  xz  Suy x  0,25 0,25 Bài (3đ) Dấu xảy : 2 1 x  ; y  ;z  0,5 KL 0,25 b) (1,5đ)Cho đa thức f (x)  ax  bx  c Biết f (0)  0;f(1)  2017; f (1)  2018 Tính a,b,c Tính f(0) = c  c  f (1)  a  b c  a  b c  2017  a  b  2017 f (1)  a  b c  a  b c  2018  a  b  2018 Footer Page 13 of 128 0,25 0,25 0,25 Header Page 14 of 128 Từ tính a  4035 1 ;b  2 0,5 KL: 0,25 a c b a ba  CMR : 2  c b a c a a) (1,5đ)Cho a c   c  ab c b b2  c b  ab b  a  b  b Khi : 2    a c a  ab a  a  b  a Từ 0,25 0,5 b2  c b 1  1 2 a c a 2 b a ba Hay 2  a c a 0,25 Suy : Bài (3đ) 0,25 KL: b) (1,5đ)Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1,2 Gọi chữ số cân tìm a,b,c Số chia hết cho 18 nên chia hết cho Suy a  b  c Lại có  a  b  c  27 Suy a+b+c nhận giá trị 9,18,27 Theo ta có : a b c abc abc     N suy mà a  N nên 6 0,25 0,25 0,25 0,25 a+b+c=18 Suy a b c     a  3, b  6, c  0,25 Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số cuối chẵn KL : Ta chọn 396 936 B 0,25 0,25 E P Bài (8đ) D O H I A 1) 2,0 điểm M F C Chứng minh: DBE  CAD(c.g.c) 0,5 đ Suy ra: DE = DC (1) 0,25 đ BDE  ACD; DEB  CDA Footer Page 14Mặt of 128 khác: DBE vng B có BDE  DEB  900 0,25 đ Header Page 15 of 128 Do đó: BDE  CDA  900 2) 2,0 điểm 0,25 đ Từ suy ra: CDE  900  CDE vuông D (2) 0,5 đ Từ (1) (2) suy CDE vuông cân D 0,25 đ CDE vuông cân D  DEC  DCE  450 0,25 đ Chứng minh: BE // AC Suy ra: EBC  FCB 0,5 đ Chứng minh: BEC  CFB ( có BE = CF (cùng AD), EBC  FCB BC cạnh chung) 0,5 đ Suy BCE  CBF Do BF // CE 0,25 đ Khi DCE  COF ( hai góc so le trong) 0,25 đ Mà DCE  450 nên COF  450 0,25 đ AFH góc ngồi đỉnh F HFC 0,5 đ  Nên AFH  FHC  HCF  900  2.OCF  450  OCF  Mà AFO góc ngồi đỉnh F OFC 0,5 đ  AFO  COF  FCO  450  FCO 3a) 2,0 điểm Do đó: AFO  AFH 0,5 đ Hay FO tia phân giác AFH CFH có đường phân giác góc C đường phân giác đỉnh F 0,5 đ cắt điểm O Nên đường phân giác góc ngồi đỉnh H CHF phải qua O Tức HO tia phân giác FHP 3b) 2,0 điểm Qua H kẻ đường thẳng vng góc với OF I, cắt AC M Chứng minh: FIM  FIH ( g.c.g ) 0,5 đ Suy ra: MI = HI, FM = FH Do OM = OH (quan hệ đường xiên hình chiếu) 0,5 đ OMC có OM + OC > MC (bất đẳng thức tam giác) 0,5 đ Từ suy ra: OH + OC > HF + CF 0,5 đ Footer Page 15 of 128 2 Header Page 16 of 128 Tìm x, y  N biết 36  y   x  2018 36  y   x  2018  y   x  2018  36 0,25  x  2018 2   Vì y    x  2018     x  2018 2   0,5 Với  x  2018   y  28 (Loại) 0,25 Bài (2đ) 2  x  2020  x  2016 Với  x  2018    0,25  y 4 y  2 Với  x  2018   x  2018; y  36  y  KL Footer Page 16 of 128 0,25 0,25 Header Page 17 of 128 UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS MƠN TỐN NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (2,0 điểm) 2 1   0,4    0,25   11   : 2017 a) Tính M =   7  1,4    0,875  0,7  2018 11   b) Tìm x, biết: 2017  x  2018  x  2019  x  Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: a bc bca ca b   c a b  b  a  c  Hãy tính giá trị biểu thức: B  1  1  1    a  c  b  b) Cho hai đa thức: f (x)  (x 1)(x 3) g(x)  x  ax  bx  Xác định hệ số a;b đa thức g(x) biết nghiệm đa thức f (x) nghiệm đa thức g(x) c) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x  y  z  xyz Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, BH vng góc AC H Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B C) Gọi D, E, F chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh M chạy cạnh BC tổng MD + ME có giá trị không đổi c) Trên tia đối tia CA lấy điểm K cho CK = EH Chứng minh BC qua trung điểm đoạn thẳng DK Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC, B= 600 ) Hai tia phân giác AD ( D  BC ) CE ( E  AB ) ABC cắt I Chứng minh  IDE cân Câu (1,0 điểm) 12  22  32  n2 1     Cho Sn  ( với n  N n >1) n Chứng minh Sn không số nguyên - Hết Giám thị số 01 ( Kí, ghi rõ họ tên) Footer Page 17 of 128 Giám thị số 02 ( Kí, ghi rõ họ tên) Header Page 18 of 128 UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN: MƠN TỐN Nội dung 2 1   0,4    0,25   11   : 2017 a) Ta có: M    7  1,4    0,875  0,7  2018 11   1  2 2    11    2017   : 7 7 7  2018        11 10   1 1  1 1      11       2017    :   Câu           2018   11           2  2017    : 0  7  2018 b) Có 2018  x  Câu 2017  x  2019  x  x  2017  2019  x  x  2017  2019  x  => 2017  x  2018  x  2019  x  Dấu “=” xảy (x – 2017)(2019 – x) ≥ 2018  x = , suy ra: 2017 ≤ x ≤ 2019 x = 2018  x  2018 Vậy x = 2018 a) Vì a, b,c số dương nên a  b  c  Nên theo tính chất dãy tỉ số ta có: a bc bca ca b a bcbca ca b    1 c a b a bc a bc bca cab  1  1 1 c a b ab bc ca    2 c a b  b  a  c  Câu Mà: B  1  1  1    a  c  b   a  b  c  a  b  c  B   8  a  c  b  Vậy: B  b) HS biết tìm nghiệm f (x)  (x  1)(x  3) =  x  1; x  3 Nghiệm f (x) nghiệm g(x)  x  ax  bx  nên: Thay x  vào g(x) ta có:  a  b   Thay x  3 vào g(x) ta có: 27  9a  3b   Footer Page 18 of 128 Điểm 0.25 0.5 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Header Page 19 of 128 Từ HS biến đổi tính được: a  3; b  1 c) Vì x, y,z  Z nên giả sử  x  y  z 1 1 1 Theo ra:     2 2 2 yz yx zx x x x x Suy ra: x   x  Thay vào đầu ta có:  y  z  yz  y  yz   z  0,5 0,25  y 1  z   1  z      y  1 z  1  y   y  TH1:   z    z  y   y  TH2:  (loại)  z   z    Vậy (x; y; z) = (1;2;3) hoán vị 0,25 0,25 0,25 A H D E F C Q B P Câu M I K a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) C/m: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm) c) Vẽ DPBC P, KQBC Q, gọi I giao điểm DK BC +) Chứng minh: BD = FM = EH = CK +) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ (cạnh tương ứng) +) Chứng minh: IDP  IKQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Footer Page 19 of 128 Header Page 20 of 128 A F E I B D C Ta có ABC  600  BAC  BCA  1200 BAC CE phân giác ACB suy ICA = BCA Câu Suy IAC  ICA = 1200 = 600  AIC = 1200 Do AIE  DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF = AE Xét  EAI  FAI có: AE = AF EAI  FAI AI chung Vậy  EAI =  FAI (c-g-c) suy IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) AIE  AIF = 600  FIC  AIC  AIF = 600 Chứng minh  DIC =  FIC (g-c-g) Suy ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy  IDE cân 1 1 Có Sn          2 n 1  (n  1)  (    ) n 1 Đặt A     2 n Câu Do A > nên Sn  n  1 1    1 Mặt khác A  1.2 2.3 (n  1).n n 1  Sn  (n  1)  (1  )  n    n  (do  ) n n n  n   Sn  n  nên Sn không số nguyên AD phân giác BAC suy IAC = Chú ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Hình vẽ sai khơng chấm điểm hình Footer Page 20 of 128 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 HeaderPHÒNG Page 21 of 128 GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay! 104.81  16.152 Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A  44.675 Câu (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: x y z   x  y  3z  100 Câu (2,0 điểm) Cho số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018  Tính giá trị biểu thức M = 11x2y + 4xy2 Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Tính giá trị biểu thức: M  ab bc cd d a    cd d a ab bc Câu (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f  x   ax  bx  c (x ẩn; a, b, c hệ số) Biết rằng: f    2018 , f 1  2019 , f  1  2017 Tính f  2019  Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 27  x (với x số nguyên) 12  x Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b a + = 5c Câu (2,0 điểm) Cho góc xOy 600 Tia Oz phân giác góc xOy Từ điểm B tia Ox kẻ BH, BK vng góc với Oy, Oz H K Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz M Chứng minh BH=MK Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M nằm bên tam giác cho MA=2cm, MB=3cm AMC  1350 Tính MC Câu 10 (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3; ; 200, ta lấy k số cho số vừa lấy ln tìm số mà số bội số Tìm giá trị nhỏ k -HẾT -Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: .Phòng thi: Footer Page 21 of 128 Header Page 22 of 128 PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG Năm học: 2017 – 2018 Mơn Tốn – Lớp Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa -Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai phần khơng chấm điểm phần Nội dung 10 81  16.15  4.32.5 A = 44.675 28.33.5 Câu = 4 4.3 2.5 (5 2.3  1) 225  = 8.33.5 2 5.7 14 224 = = = 3 x y z 2 x 2 y 3z 2 x  y  3z  100 x y z        4 Từ   ta suy ra: 16 25 18 32 75  25  25  x    y   x  36  x  10  Suy ra:  y  64   ( Vì x, y, z dấu)  x  6  z  100  y  8    z  10 KL: Có hai (x; y; z) thỏa mãn : (6; ;10) (-6; -8;-10) 2018  với x, y nên Vì (x - 2)  0; (2y – 1) 2014  với x, y (x - 2) + (2y – 1) Mà theo đề : (x - 2) + (2y – 1) 2014  Suy (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = Hay: (x - 2)4 = (2y – 1) 2018 = suy x = 2, y = Khi tính được: M = 24 Điểm 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 1  1  1  1 Suy : a b c d a bc  d a bc d a b c d a b c d    (*)  a b c d Nếu a + b + c + d =  a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) ab bc cd d a    = -4  M  cd d a ab bc Nếu a + b + c + d  từ (*)  a = b = c = d Footer Page 22 of 128 ab bc cd d a    = M  cd d a ab bc 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Từ: 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Header PageKL: 23 of 128 Xét x =0: f (0)  2018  c  2018 Xét x =1: f (1)  2019  a  b  c  2018  a  b  (1) Xét x =-1: f (1)  2017  a  b  c  2017  a  b  1 (2) Cộng vế (1) (2) suy a=0 Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1 Từ tìm f  x   x  2018 Suy ra: f  2019   1 27  x = 2+ 12  x 12  x Suy Q lớn lớn 12  x * Nếu x > 12 12  x    12  x * Nếu x < 12 12  x   0 12  x Từ trường hợp suy lớn 12-x>0 12  x Vì phân số có tử mẫu số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có 12  x Ta có: Q= giá trị lớn mẫu số nguyên dương nhỏ Hay 12  x   x  11 Suy A có giá trị lớn x =11 Do a  Z+  5b = a3 + 3a2 + > a + = 5c Vậy 5b > 5c  b>c  5b  5c Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3)  a (a+3) +  a + Mà a2 (a+3)  a +   a +  a +  Ư (5) Hay: a+  {  ;  } (1) Do a  Z+  a +  (2) Từ (1) (2) suy a + =  a =2 Từ tính được: 5b =23 + 3.22 + = 25 = 52  b = Và 5c =a + = 2+3=  c = Vậy: a = 2; b = 2; c = Footer Page 23 of 128 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Header Page- Chứng 24 of 128 minh tam giác BOM cân B x BOM  BMO  30 0,5 - BK đường cao tam giác cân BMO nên K trung điểm OM =>KM=KO (1) 0,5 B z - Chứng minh BKO  OHB (c.h  g.n) M - Suy BH=OK (2) K 0,5 0,25 O - Từ (1) (2) suy BH=MK đpcm 0,25 H y - Dựng tam giác ADM vuông cân A D (D, B khác phía AM) - Chứng minh ABM  ACD (c.g.c) vì: A AD=AM ( AMD vng cân A) BAM  CAD (cùng phụ với CAM AB=AC (giả thiết) - Suy ra: CD=BM=3cm - Tính MD2=AD2+AM2 = - Chỉ tam giác DMC vuông M M - Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1 B C =>CD=1cm - Xét 100 số 101; 102; 103; ; 200 Trong 100 số rõ ràng khơng có số bội số (vì 101.2>200) Do k  101 (1) - Xét 101 số lấy từ 200 số cho:  a1  a2  a3   a101  200 Ta viết 101 số vừa lấy dạng: 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a1  2n1.b1 a2  2n2 b2 a3  2n3 b3 10 a101  2n101.b101 Với ni số tự nhiên, bi các số lẻ ( i  1;101 ) Suy bi phần tử tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ;199} Vì có 101 số bi mà có 100 giá trị nên tồn số bi bj n Suy hai số  2n bi a j  b j có số bội số cịn lại Như lấy 101 số 200 số cho ln có số mà số bội số (2) Từ (1) (2) suy giá trị nhỏ k 101 i j Hết Footer Page 24 of 128 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... 128 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0 ,5 0, 25 0, 25 0, 75 Header Page 12 ofGIÁO 128 DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20 17 -2018 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 04 tháng năm. .. 128 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 20 17- 2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hậu Lộc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 20 17- 2018 có đáp án - Phịng GD&ĐT huyện Than Un Đề thi. .. được: 5b =23 + 3.22 + = 25 = 52  b = Và 5c =a + = 2+3=  c = Vậy: a = 2; b = 2; c = Footer Page 23 of 128 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0 ,5 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0,25