Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
914,24 KB
Nội dung
Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học- Tự nhiên Toán – Tin học - - Tiểu Luận Đề tài: Một Số Đồng Nhất Thức Cổ Điển Bộ môn: Đại Số Sơ Cấp Giảng viên: TS.Tạ Thị Nguyệt Nga Lời mở đầu Đ ồng thức khái niệm chương trình Tốn bậc học phổ thông Đặc biệt, trường THPT chuyên lớp chun tốn có nhiều dạng tốn liên quan đến đồng thức Trong đề thi tuyển sinh đến đề thi học sinh giỏi cấp có nhiều tốn phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình giải cách áp dụng đồng thức đại số sinh hàm lượng giác Tuy nhóm có nhiều cố gắng, song thời gian, trình độ điều kiện nghiên cứu cịn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô đồng nghiệp để tiểu luận hồn thiện Nhóm xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC I Một vài công thức nội suy 1 Công thức nội suy Newton -1 Công thức nội suy Lagrange -5 Công thức nội suy Taylor II Đồng thức Euler 13 1.Công thức Euler 13 2.Chứng minh -13 III.Một số đồng thức đa thức lượng giác -16 Một số đồng thức đa thức lượng giác 16 1.1 Định nghĩa tính chất đa thức lượng giác 16 1.2 Một số đồng thức hàm số lượng giác -16 IV Các đồng thức liên quan đến biến đổi lượng giác -18 Các đồng thức đại số liên quan đến hàm sin cosin 18 Các đồng thức đại số liên quan đến hàm tang cotang -19 V Một số lớp phương trình đại số giải đồng thức -22 Giải biện luận phương trình bậc ba -22 VI Tích phân phân tích hữu tỉ 26 I Một vài công thức nội suy Công thức nội suy Newton Giả sử có đa thức sau đây: f(x)=2x2−3x+3 Tương ứng với giá trị x = ta có f(1) = x = ta có f(2) = x = ta có f(3) = 12 Vậy ngược lại, biết giá trị f(1), f(2), f(3)… có xác định ngược lại f(x) khơng Trước bắt đầu tìm f(x) có nhận xét sau: Nhận xét 1: Nếu không hạn chế bậc đa thức f(x) tồn vơ số đa thức f(x) thõa mãn điều kiện cách sau: g(x) = f(x) + (x−1)(x−2)(x−3)h(x) Ta có g(1) = f(1) (tương tự với giá trị x = 2, x = 3) Ví dụ: f(x) = 2x2−3x+3 hay f(x) = x3 – 4x2 + 8x – có giá trị x = {1, ,3} cách chọn h(x) = Nhận xét Nếu hạn chế bậc đa thức yêu cầu đa thức f(x) phải có bậc n ≤ tồn đa thức f(x) thỏa yêu cầu Giả sử g(x) thỏa yêu cầu có bậc n ≤ Ta có h(x) = f(x) – g(x) có bậc n ≤ Tương ứng với giá trị x = {1, 2, 3} h(x) = mà h(x) có bậc n ≤ lại nhận đến nghiệm => h(x) = với x => f(x) = g(x) (đpcm) Định lý: Nếu x1, x2, … , xn, xn+1 n+1 số thực khác Và y1, y2, …, yn, yn+1 n+1 số thực Thì tồn đa thức f(x) có bậc ≤ n thõa mãn điều kiện f(x1) = y1, f(x2) = y2,…, f(xn) = yn, f(xn+1) = yn+1 Bây bắt đầu tìm hiểu cơng thức nội suy Newton Chúng ta tìm cách xác dịnh đa thức f(x) thõa mãn điều kiện f(1) = 2, f(2) = 5, f(3) = 12 Đầu tiên, có điều kiện f(1) = có xác định đa thức f(x) hay không? Hiển nhiên, đa thức đơn giản thõa mãn điều kiện đa thức số A(x) = Tiếp đến, muốn tìm đa thức B(x) B(1)=2 B(2)=5, xem xét đa thức có dạng: B(x) = A(x) + α(x−1) B(x) = + α(x−1) Dạng thuận lợi có B(1) = A(1) = Còn B(2) = + α, để B(2) = chọn α = Và cuối có B(x)=2 + 3(x−1) Bây giờ, tương tự trên, muốn tìm đa thức f(x) f(1) = 2, f(2) = 5, f(3) = 12, xem xét đa thức có dạng: f(x) = B(x) + α(x−1)(x−2) f(x) = + 3(x−1) + α(x−1)(x−2) Ta có: f(1) = B(1) = 2, f(2) = B(2) = Còn f(3) = + 2α Để f(3) = 12 α = 2, có f(x) = + 3(x−1) + 2(x−1)(x−2) Tóm lại tìm đa thức thõa mãn điều kiện f(1) = 2, f(2) = 5, f(3) = 12 Đó f(x) = + 3(x−1) + 2(x−1)(x−2) Bây đến với toán tổng quát Nếu x1,x2,…,xn,xn+1 n+1 số thực khác Và y1, y2, …, yn, yn+1 n+1 số thực Theo định lý ta có f(x1) = y1, f(x2) = y2, …, f(xn) = yn, f(xn+1) = yn+1 Theo trường hợp đặc biệt mà giải trên, đa thức f(x) có dạng f(x) = α1 + α2(x−x1) + α3(x−x1)(x−x2) + +α ⋯ n+1 (x−x1)(x−x2)…(x−xn) Công thức gọi công thức nội suy Newton Nếu thay x = x1 vào công thức nội suy Newton, xác định giá trị hệ số α1 Tiếp đó, thay x=x2 vào cơng thức nội suy xác định giá trị hệ số α2 Tương tự vậy, hệ số cuối αn+1 xác định thay x=xn+1 Ví dụ Tìm đa thức f(x) có bậc bé thua cho f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = Chúng ta dùng công thức nội suy Newton f(x) = α1 + α2(x−1) + α3(x−1)(x−2) + α4(x−1)(x−2)(x−3) + α5(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) Thay x = vào cơng thức trên, có f(1) = α1 = Thay x = 2, có f(2)= 1+α2 = 1, α2 = Thay x = 3, có f(3) = 1+2α3 = 2, α3 = 12 Thay x = 4, có f(4) = + 6α4 = 3, α4 = −16 Thay x = 5, có f(5) = + 24α5 = 5, α5 = 112 Do đa thức cần tìm f(x) = + 12(x−1)(x−2) − 16(x−1)(x−2)(x−3) + 112(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) Ví dụ Giả sử đồ thị hàm y = f(x) qua A(-1,5), B(0,3), C(1,2) D(2,4) Tìm đa thức bậc xấp xỉ tốt theo bình phương tối thiểu Từ ta lập thành bảng: x -1 y(x) Theo đề f(x) = b1 + b2x (hàm bậc nhất) Đặt S = (f(x1) - y(x1))2 + … + (f(x4) - y(x4))2 S = (b1 – b2 – 5)2 + (b1 - 3)2 + (b1 + b2 - 2)2 + (b1 + 2b2 - 4)2 Ta tìm b1, b2 cho f(xi) y(xi) Vậy cần tìm b1, b2 cho Smin Mà S đạt giá trị nhỏ b1 nghiệm phương trình đạo hàm riêng S’(b1) = b2 nghiệm phương trình đạo hàm riêng S’(b2) = S’(b1) = (b1 – b2 – 5) + (b1 - 3) + (b1 + b2 - 2) + (b1 + 2b2 - 4) = 8b1 + 4b2 – 28 = S’(b2) = -2 (b1 – b2 – 5) + (b1 + b2 - 2) + (b1 + 2b2 - 4) = 4b1 + 12b2 – 10 = Vậy ta tìm b1 = , b2 = => f(x) = + x Bài tập: 1.1 Tìm đa thức P(x) có bậc bé cho P(1) = 2, P(2) = 4, P(3) = 6, P(4) = 8, P(5) = 10 1.2 Tìm đa thức P(x) có bậc bé cho P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 1.3 Tìm đa thức P(x) có bậc bé cho P(1) = 2, P(2) = 4, P(3) = 6, P(4) = 8, P(5) = 10 1.4 Cho đa thức f(x) có bậc biết f(5) = -1919 f(6) = -1900 f(7) = -1881 f(8) = -1862 f(9) = 83645 f(10) = 469056 f(11) = 1554835 Tính f(12), f(49) 1.5 Để nhận thấy phụ thuộc hiệu điện cường độ dòng điện mạch điện, người ta tiến hành đo thu số liệu I (Ampe) V (Vôn) 3.02 5.9 8.95 12.01 Biểu diễn số liệu đồ thị, người ta nhận điểm gần thẳng hàng Do đó, họ định xấp xỉ bảng số liệu mơ hình đường thẳng (mơ hình tuyến tính) y = a1 + a2x Hãy dùng phương pháp bé để tìm hàm số y Cơng thức nội suy Lagrange Tìm đa thức A(x) cho: A(1)=1, A(2)=0, A(3)=0 Đối với đa thức f(x) bất kỳ, f(u) = u nghiệm đa thức, f(x) chia hết cho x−u,và viết f(x) dạng : f(x)=(x−u)g(x) Vì đa thức A(x) có dạng: A(x) = a(x−2)(x−3) Hai điều kiện A(2) = 0, A(3) = thoã mãn Vậy điều kiện A(1) = sao? Chúng ta thay x=1 vào có: A(1)=a(1−2)(1−3)=1 Vậy chọn a = Và tìm đa thức A(x)=(x−2)(x−3)(1−2)(1−3) thõa mãn điều kiện A(1) = 1, A(2) = 0, A(3) = Tương tự, tìm đa thức B(x) thõa mãn điều kiện B(1)=0, B(2)=1, B(3)=0 B(x)=(x−1)(x−3)(2−1)(2−3) Và đa thức C(x) thõa mãn điều kiện C(1)=0, C(2)=0, C(3)=1 C(x)=(x−1)(x−2)(3−1)(3−2) Ở trên, giải trường hợp đặc biệt tìm đa thức A(x), B(x) C(x) thõa mãn điều kiện A(1)=1, A(2)=0, A(3)=0 B(1)=0, B(2)=1, B(3)=0 C(1)=0, C(2)=0, C(3)=1 Ma trận I3 Bây giờ, tốn tổng qt, tìm f(x) cho f(1)=2, f(2)=5, f(3)=12 sao? Các bạn nhìn thấy mối tương quan đa thức f(x) với đa thức A(x), B(x), C(x) chưa? Rõ ràng lấy f(x)=2 A(x)+5 B(x)+12 C(x) f(1)=2 A(1)+5 B(1)+12 C(1)=2+0+0=2, f(2)=2 A(2)+5 B(2)+12 C(2)=0+5+0=5, f(3)=2 A(3)+5 B(3)+12 C(3)=0+0+12=12 Vậy tìm đa thức f(x), f(x) = 2A(x) + 5B(x) + 12C(x) f(x) = + + f(x) = (x−2)(x−3) − 5(x−1)(x−3) + 6(x−1)(x−2) = 2x2 − 3x + Các bạn thấy chưa, nhờ việc giải tốn trường hợp đơn giản A(x), B(x), C(x), mà tìm lời giải cho tốn tổng quát f(x) Bây sẵn sàng để phát biểu công thức nội suy Lagrange Nếu x1, x2, …, xn, xn+1 n+1 số thực khác y1, y2, …, yn, yn+1 n+1 số thực Chúng ta tìm đa thức f(x) có bậc bé thua n thõa mãn điều kiện f(x1) = y1, f(x2) = y2, … , f(xn) = yn, f(xn+1) = yn+1 Như trên, thấy đa thức P(x) xây dựng từ đa thức f1(x), f2(x), … , fn(x), fn+1(x) sau f(x) = y1f1(x) + y2f2(x) + ⋯ + ynfn(x) + yn+1fn+1(x) đó, đa thức f1(x), …, fn+1(x) xác định sau: f1(x) = f2(x) = ……………………………………………… fn(x) = fn+1(x) = Các đa thức thõa mãn điều kiện f1(x1) = 1, f1(x2) = 0, f1(x3) = 0, … , f1(xn) = 0, f1(xn+1) = f2(x1) = 0, f2(x2) = 1, f2(x3) = 0, … , f2(xn) = 0, f2(xn+1) = ……………………………………………………………… fn(x1) = 0, fn(x2) = 0, f3(x3) = 0, … , fn(xn) = 1, fn(xn+1) = fn+1(x+1) = 0, fn+1(x2) = 0, fn+1(x3) = 0, … , fn+1(xn) = 0, fn+1(xn+1) = Hay viết ngắn gọn lại sau n n f(x) = �i0 f (xi )�k�i ,k0 x xk xi xk Đây cơng thức nội suy Lagrange Chứng minh: n n Ta đặt g(x) = f(x) – � f (xi )�k�i ,k0 i 0 x xk xi xk Ta có deg g(x) ≤ n có g(x0) = g(x1) = … = g(xn) = g(xn+1) = (do g(xi) = f(xi) – f(xi)) => g(x) có n + nghiệm g(x) có bậc ≤ n => g(x) = với x n n => f(x) = �i0 f (xi )�k�i,k0 x xk xi xk Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm y = sin(πx) tính gần trị x = với mốc nội suy cho bảng x 1/6 1/2 y = sin(πx) 1/2 Áp dụng công thức ta có y=0 + +1 y = -3x2 + x Thay x = ta có y = 0,58 10 giá � 11 13 11 13 y �3 2� 6 � � 11 13 11 13 � 3 � 6 � Trở lại với ẩn x phương trình (1) có nghiệm x 11 13 11 13 1 2 Bài tập: Giải phương trình: a) x 24 x x 10 b) x x 36 x 68 29 VI Tích phân phân tích hữu tỉ P ( x) I � dx ax b (a �0) A Dạng: m m dx ln|ax b| � ax b a Chú ý đến công thức: Và bậc P (x) cao ta chia tử cho mẫu dẫn đến P (x) m dx Q ( x ) dx Q ( x ) dx m dx � � � � ax b ax b ax b Ví dụ 1: x3 I � dx 2x Tính tích phân: Giải x3 27 f (x) x2 x 2x 8 2x Ta có: 2� x3 27 � dx � x x dx � � � 2x 8 x � � Do đó: 2 �1 � 13 27 27 � x3 x2 x ln 2x � ln35 8 16 � � Ví dụ 2: x2 I � x1 Tính tích phân: Giải x2 f (x) x 1 x x1 Ta có: � 1� � x2 � � �1 4ln x dx x x 4ln x � � � � � � � � x � � x 1� �2 � � � � Do đó: 30 P (x) I � dx ax bx c B Dạng: Tam thức: f (x) ax bx c có hai nghiệm phân biệt u� (x) dx ln x ( x ) � u(x) Cơng thức cần lưu ý: Ta có hai cách Cách 1: Hệ số bất định Cách 2: Hạ bậc Ví dụ 3: 4x 11 I �2 dx x 5x Tính tích phân Giải Cách 1: (Hệ số bất định) 4x 11 4x 11 A B A(x 3) B(x 2) (x 2)(x 3) x2 5x (x 2)(x 3) x x Ta có: Thay x 2 vào hai từ số: A thay x 3 vào hai tử số: B f (x) f (x) Do đó: x x 1� 4x 11 � dx dx � � � � 0 x x x x � � Vậy: 3ln x ln x 2ln3 ln2 Cách 2: (Hạ bậc) f (x) Ta có: 2(2x 5) 2x 2x 2 2 x 5x x 5x (x 2)(x 3) x 5x x Do đó: 31 1� 2x 1 � I � f (x)dx � 2 dx � � 0 x x x x � � � x � � 2ln x2 5x ln � 2ln3 ln2 x � � Tam thức: f (x) ax bx c có nghiệm kép u� (x) dx ln u x � u(x) Công thức cần ý: � b� �x � t a � � Thông thường ta đặt Ví dụ 4: x3 I �2 dx x 2x Tính tích phân sau: Giải x3 x3 dx dx � � x2 2x (x 1)2 Ta có: Đặt : t x suy ra: dx dt ; x t và: x t ; x t 4 4� (t 1)3 � �1 1� dx � t 3 � dt � t 3t ln t � � � � 2 1 t t � �2 t �1 2ln2 t � x 1 Do đó: x3 Tam thức: f (x) ax bx c vô nghiệm f (x) Ta viết: P (x) 2 � � � b � � V�� a� � �x 2a � � � �� � a � � � �� � � b u x � P (x) � 2a ; � a(u2 k2 ) � V k � 2a � Khi đó: Đặt u k tant Ví dụ 6: x I �2 dx x 4x Tính tích phân Giải 32 x x dx dx � � x2 4x (x 2)2 Ta có: Đặt: x tant , suy ra: dx �x � tant dt;� � cos t �x � tant t2 tant t2 � � x dt sint dx dt � � � � (x 2)2 t1 1 tan2 t cos2 t t1 � cos t � � Do đó: t2 ( ln cost 2t) (1) t1 � 1 tant � 1 tan2 t � cos2 t � cost1 � 5 � � 1 tant � 1 tan2 t 17 � cos2 t � cost2 � 17 17 Từ: � Vậy: ln cost 2t ln cost2 2(t2 t1) cost1 t2 t1 �ln cost2 2t2 ln cost1 2t1 � � � cost2 2(t2 t1) 2(arctan4 arctan2) ln cost1 17 2(arctan4 arctan2) ln 17 � ln P (x) dx bx2 cx d f (x) ax3 bx2 cx d a �0 � C Dạng: ax Đa thức: 1 dx � xm 1 m xm1 Cơng thức cần ý: Ví dụ 8: x I � dx (x 1)3 Tính tích phân: 33 có nghiệm bội ba Giải x (x 1) 1 3 (x 1) (x 1) (x 1)3 Ta có: (x 1) Do đó: 1� � x � 1 � dx dx � � � � � 2� 0 x (x 1)3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) � � � �0 Đa thức: f (x) ax bx cx d (a �0) có hai nghiệm: Có hai cách giải: Hệ số bất định phương pháp hạ bậc Ví dụ 10: I � dx (x 1)(x 1)2 Tính tích phân sau: Giải Cách (Phương pháp hệ số bất định) Ta có: A B C (x 1)(x 1)2 x x (x 1)2 A(x 1)2 B(x 1)(x 1) C(x 1) (x 1)(x 1)2 � A � � 4A � �� � 2C � 1 � C � Khi Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: (1) (A B)x2 (2A C )x A B C � A B C 1� B A C (x 1)(x 1)2 1 1 4 � Do 34 3� 1 1 1 � dx dx � � � 2� 2 x1 x (x 1)(x 1)2 ( x 1) � � 3 � 1 � � I � ln(x 1)(x 1) ln8 ln2 � x 1�2 4 � 35 Cách2: Đặt: t x , suy x t x t ; x t Khi đó: dt t (t 2) I � dx dt � (x 1)(x 1)2 t2 (t 2) t2 (t 2) 2� 41 � 1�4 �� dt �dt � t 2�3 t(t 2) � 41 � �1 t � 1�1 4� 1� �I �� � dt �dt � � ln ln t � ln2 � 2�2 �t t � t � �4 t � Hoặc: 3t2 4t �3t2 4t � � 3t2 4t 3t 2� � �� � 4� t3 2t2 � �t3 2t2 t2 � t3 2t2 t3 2t2 3t2 4t �3 � � � t 2t2 4�t t2 � Do đó: �3t2 4t �3 � � � � 1� 2� I � dt ln t t 3ln t � � � � ln2 � � � � t3 2t2 4�t t2 � 4� t� �3 � � � Hoặc: 1 �t2 (t2 4) � � t � 1� 1 � � � � � � � t (t 2) 4� t (t 2) � 4�t t � �t t t2 � 3 Đa thức: f (x) ax bx cx d có ba nghiệm Ví dụ 12: I � dx x(x 1) Tính tích phân sau: Giải Cách 1: (Hệ số bất định) 36 f (x) Ta có: 1 A B C x(x 1) x(x 1)(x 1) x x x A(x2 1) Bx(x 1) Cx(x 1) x(x 1)(x 1) Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm: x=0; x=1 x=-1 vào hai tử ta có: � �A 1 �x � A � � � x � C � � �B �x 1� 2B � � � C � � 1 � � � � � f ( x) � � � � x �x 1� �x 1� Vậy: 3� 1� 1 � 1� dx dx � � � � � � x( x2 1) 2 x1 x 1� x � �� 3 � � � ln x 1 x 1 ln x � ln2 ln3 2 � �2 Cách 2: Hạ bậc x2 (x2 1) x 1 2x x(x2 1) x2 x x2 x Ta có: x(x 1) Do đó: �1 � 1 2xdx dx dx ln x ln x � � � x(x2 1) x2 � x 2� �2 �2 ln2 ln3 2 Bài tập củng cố: dx a)� x(x 1) x2 b)� dx (x 1)3(x 3) 37 x2 c)�6 dx x 1 dx e)� x x2 dx d)�5 2 x x dx a.� x(x 1) Nếu theo cách phân tích đồng hệ số hai tử số ta có: f (x) A Bx3 Cx2 Dx E x(x4 1) x x4 A(x4 1) x(Bx3 Cx2 Dx E ) x(x4 1) ( A B)x4 Cx3 Dx2 Ex A � f (x) x(x4 1) � �B 1 B � � C 0, D � C 0, D x3 � �� �� � f (x) x x 1 �E �E � � �A �A 1 x2 b.� dx (x 1)3(x 3) Nhận xét: *Nếu theo phương pháp chung ta làm sau: x2 A B C D f (x) 3 (x 1) (x 3) (x 1) (x 1) x x 3 A , B ,C D 32 -Sau quy đồng mẫu số, đồng hệ số hai tử số, ta có: � � 5 I � dx � � �2(x 1) 8(x 1) 32(x 1) 32( x 3) � � � 5 � ln x ln x ln � 32 8(x 1)2 8(x 1) 32 �0 32 28 Do vậy: � 38 x2 x2 1 c)�6 dx � dx dx � x 1 (x 1)(x4 x2 1) ( x2 1)2 x2 � dx (x x 1)(x2 x 1) Ax B Cx D 2 (x x 1)(x x 1) x x x x (A C )x3 (B A C D)x2 (A B C D)x (B D) x4 x2 Ta có: Đồng hệ số hai tử số ta có hệ: � �A � �A C �A C � � � C � 1 2C �B A C D � �� �� � B D � �A B C D � D � � � �B D �B D � �B � 2 � 1 �2 1 x x1 I � dx dx � (J K )(1) � � 2 1 x x x x � � Vậy: Tính : x 1 J �2 dx � dx 2 1� x x 1� � � x � � � � � � � � � � 1 ln x2 x E (2) E Tính dx 2 2� � 1� � � � �x � � x tant � � � � � � ,(đặt: 2 ) Tính K 39 x 1 2x 1 K �2 dx �2 dx x x x x 2 2x 1 �2 dx � ln x2 x F (2) 2 x x 0� 1� � � x � � � � �2 � � � � � F Tính dx � 2 � � � 1� 3 � �x � � x tant � � � � �2 � ,(đặt 2 ) 3 dx d)�5 �2 dx (1) x x x (x 1)(x2 x 1) A B Cx D E f (x) x (x 1)(x2 x x2 x x2 x x Xét : A(x2 x 1)(x 1) Bx(x 1)(x2 x 1) (Cx D)x2 (x 1) E(x2 x 1)x2 x2 (x 1)(x2 x 1) (B C E )x4 ( A D C E )x3 (E D)x2 Bx A x2(x 1)(x2 x 1) Đồng hệ số hai tử số ta có hệ: � �E � �B C E � C E � � � C 1 x �A D C E �E E E � 1 � � � � �B � �B � f (x) 23 �E D x x x x1 �B �E D � � � �D A A � � � � � �A 1 � � Vậy: 40 � 1 � x � 1 3 � I � dx � � 2 x2 x x x � � � � � � 3� 1 � x � 1 � � �2 dx � � � 2 3( x 1) x x x � � � � �1 � dx � ln x2 x ln x � � 2 �x �2 � � � 3� � �x � � � � � � � � 1� 5� arctan arctan � � 3� 3� �1 (x 1)2 2x 1� � ln arctan � 3 �2 �x x x 4 dx x e)� � (1) 7 x x 9 x x 9 � t2 x2 � tdt xdx, x2 t2 � t x 9�� �x � t 4, x � t Đặt: Do đó: 5 dt dt I � � t(t 9) t(t 3)(t 3) Ta có: A B C A(t2 9) Bt(t 3) C(t 3)t f (t) t(t 3)(t 3) t t t t(t2 9) Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm vào hai tử số ta có: x 0: 9A 1� A 1 41 x 3: 9C 1� C x 3: 9B 1� B 9 �5� 1 �� I � dt� � � 4� t 9� t t � �� Vậy: 5 1 t2 144 � ln � ln( t 9) ln t ln � 9� t 35 4 Chú ý: Nếu theo phương pháp chung đặt: x 3sint � dx 3costdt � x � 3sint � sint � � � �x � 3sint � sint � Khi: � Như ta không sử dụng phương pháp 42 ... III .Một số đồng thức đa thức lượng giác -16 Một số đồng thức đa thức lượng giác 16 1.1 Định nghĩa tính chất đa thức lượng giác 16 1.2 Một số đồng thức. .. cosx2 sin x1 sin x2 18 III Một số đồng thức đa thức lượng giác Một số đồng thức đa thức lượng giác 1.1 Định nghĩa tính chất đa thức lượng giác Định nghĩa 1.1: Hàm số có dạng An x ao a1... thức hàm số lượng giác -16 IV Các đồng thức liên quan đến biến đổi lượng giác -18 Các đồng thức đại số liên quan đến hàm sin cosin 18 Các đồng thức đại số liên