Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 1 Một vài ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho các số và ( ) = ( + )( + ) … ( + ) .Khi đó a) ∑ ( −1 ) ( ) = ( −1 ) ! b) ∑ ( ) ( ) = ( ) − ( 0 ) Giải: a) Đặt 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) 1 ( 1)( 2) ( ) 1 2 n n x a x a x a x x x g x x x x n x x x n Quy đồng mẫu số, ta có ( − ) … ( − ) = ( + 1 )( + 2 ) … ( + ) + ( + 2 ) … ( + ) + ( + 1 )( + 3 ) … ( + ) + ⋯ + ( + 1 )( + 2 ) … ( + −1 ) Cho = −1,−2,…,− ta nhận được ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ = ( −1 ) ( 1 ) ( −1 ) ! = ( −1 ) ( 2 ) ( −2 ) ! …. = ( −1 ) ( ) ( −1 ) ! Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 2 Vậy ( − )( − ) … ( − ) ( + 1 )( + 2 ) … ( + ) −1 = ( −1 ) ( 1 ) ( + 1 )( −1 ) ! + ( −1 ) ( 2 ) ( + 2 ) 1! ( −2 ) ! + ⋯+ ( −1 ) ( ) ( + )( −1 ) ! Cho = 0 ,ta có : ( −1 ) (0) ! −1= ( −1 ) ( 1 ) ( −1 ) ! + ( −1 ) ( 2 ) 2! ( −2 ) ! + ⋯+ ( −1 ) ( ) ! Từ đây suy ra ( −1 ) ( ) = ( −1 ) ! b)Ta biểu diễn 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( 1)( 2) ( )(2 1) 1 2 2 1 n n x a x a x a x x x y x x x n x x x x n x Từ đó suy ra 1 2 1 ( )( ) ( ) ( 1) ( ) [x ( 2) ( ) ( 1) ( 1)](2 1) n n x a x a x a y x x n x x n x x x n x Cho x=-1/2,-1,-2, ,-n, ta có Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 3 1 ( 1) ( ) 2 à 1 1 1 (1 )(2 ) ( ) 2 2 2 n f y n v 1 1 2 ( 1) (1) ( 1)! ( 1) (2) 3.1!( 2)! ( ) (2 1)( 1)! n n n f x n f x n f n x n n Do đó ta có : 1 2 1 1 ( 1) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 ( 1)( 2) ( ) (2 1)(1 )(2 ) ( ) 2 2 2 ( 1) (1) ( 1) (2) ( ) 1.( 1)( 1)! 3.( 2)1!( 2)! (2 1)( )( 1)! n n n n f x a x a x a x x x n x n f f f n x n x n n x n n + Vậy : ∑ ( ) ( ) = ( ) − ( 0 ) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ( 2n ) ! ( 1+1 )( 1+2 ) … ( 1+n ) = 2n 2 +2 ( −1 ) 1 + 2n n + k Giải:Biểu diễn ( 2 ) ! ( + 1 )( + 2 ) … ( + ) = + + + 1 + ⋯+ + + . Quy đồng mẫu số và so sánh tử số ta nhận được ( 2 ) ! = ( + 1 ) … ( + ) + [( + )( + 2 ) … ( + ) + ( + )( + 1 ) … ( + ) + ⋯ + ( + )( + 1 ) … ( + ( −1 ) )] Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 4 Cho = 0 ta nhận được = 2 . Cho = ,2,…, với = −1, ta có ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = 2 ( −1 ) 2 + 1 , = 0 = 2 ( −1 ) 2 + 1 , = 0 … = 2 ( −1 ) 2 + 1 , = 0 Từ đó suy ra ( 2 ) ! ( + 1 )( + 2 ) … ( + ) = + + 1 + ⋯+ + Cho = 1 ta nhận được ( 2 ) ! ∏ ( 1 + ) = 2 +2 ( −1 ) 1 + 2n n + k Bài tập: Bài tập 3: Ký hiệu 1 1 1 ( ) (1 ) 1 i i n j i i j a f x a x a Chứng minh rằng: 1+f n (x)-f n (ax)= 1 (1 ) i j j a x Chứng minh: Ta có f n (ax)= 2 2 2 (1 ax) (1 ax)(1 ) (1 ax) (1 ) 1 1 1 n n n a a a a x a x a a a f n (x)= 2 1 2 (1 ) (1 )(1 ax) (1 ) (1 ) 1 1 1 n n n a a a x x x a x a a a Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 5 Từ đó ta suy ra : 1+f n (x)-f n (ax) = 1+ 2 2 2 1 2 (ax ) ( )(1 ax) ( )(1 ax)(1 ) (1 ) 1 1 1 n n n n a a a x a x x a x x a x a x a a a = 1 (1 ) i j j a x . Bài tập 5: Chứng minh 1 1 2 1 2 ( 1) 2 1 n n j j n n n j n C j j C Với mọi n nguyên dương. Giải: Ta biểu diễn ( − )( − ) … ( − ) ( + 1 )( + 2 ) … ( + )( 2+ 1 ) = + 1 + + 2 + ⋯+ + + 2+ 1 Từ đó suy ra ( − )( − ) … ( − ) − ( + 1 ) … ( + ) = [ ( + 2 ) … ( + ) + ⋯+ ( + 1 ) … ( + −1 )]( 2+ 1 ) Đồng nhất thức Eucler: ( + + + )( + + + ) = + + + ớ = −−− = + −+ = + +− = −+ + Chứng minh : Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 6 Ta có : det + + −+ − = + + + Từ đồng nhất thức + + −+ − + + –+ = = ++ −+ − trong đó = −−− = + −+ = + + − = −+ + ta có đồng nhất thức Euler bằng cách lấy định thức hai vế Đồng nhất thức lagrange: Với mọi , ta có = + + ∑ − . Với hai ma trận = ⋯ … ⋯ ,= ⋯ … ⋯ gọi B’ là ma trận chuyển của B ,thì theo công thức Bine-Cauchy ,ta có det ( ) = ∑ … ⋯ ,trong đó … , … là những định thức con cấp r của A và B tương ứng với các cột thứ , , … .Từ tích hai ma trận Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 7 ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ …… = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ nên áp dụng công thức trên ta suy ra đồng nhất thức cần chứng minh. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng tập = { + + + | ,,,∈ đóng kín đối với phép nhân. Từ đó chỉ ra phương trình + + + = 2005 luôn có nghiệm nguyên cho mọi số nguyên dương n. Giải : Ta chứng minh T đóng kín đối với phép nhân T đóng kín đối với phép nhân suy ra từ đồng nhất thức Euler Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên với mọi số nguyên dương n bằng cách quy nạp theo n -Khi n=1 ,phương trình + + + = 2005 có nghiệm là (x,y,x,t)=(44,7,4,2) là nghiệm -Giả sử , , , là các nghiệm nguyên của phương trình : ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = 44 −7 −4 −2 = 7 + 44 −2 + 4 = 4 + 2 + 44 −7 = 2 −4 + 7 + 44 Theo đồng nhất thức Euler ta có + + + = 2005 ( + + + ) = 2005 Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 8 Từ đó suy ra , , , cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng tập = { + + −3|,,∈} đóng kín đối với phép nhân .Từ đó suy ra phương trình + + −3= 1944 luôn luôn có nghiệm nguyên ,, cho mọi số nguyên dương n. Giải: Ta có T đóng kín đối với phép nhân do đồng nhất thức (1) đã trình bày ở trên. Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên dựa vào tính đóng của T -Ta chứng minh quy nạp theo n với n=1 ta có : Phương trình + + −3= 1944 nhận nghiệm nguyên ( ,, ) = ( 2,11,11 ) là nghiệm Giả sử , , là nghiệm của của phương trình đã cho .Khi đó thì = 2 + 11 + 11 = 11 + 2 + 11_ = 11 + 11 + 2 là nghiệm của phương trình đã cho .Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài tập: . Theo đồng nhất thức Euler ta có + + + = 2005 ( + + + ) = 2005 Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G . Chứng minh : Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 6 Ta có : det + + −+ − = + + + Từ đồng nhất thức + + −+. Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 1 Một vài ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho các số và ( ) = ( + )( + ) …