Vuihoc24h – Kờnh học tập Online Page 1 CHUYấN ĐỀ: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ A.. Đặt vấn đề: Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử các so sánh "hai tích chéo" thự
Trang 1Vuihoc24h – Kờnh học tập Online Page 1
CHUYấN ĐỀ: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ
A Đặt vấn đề:
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số tr-ờng hợp cụ thể, tuỳ theo
đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số ph-ơng pháp khác Tính chất bắc cầu của thứ tự th-ờng đ-ợc sử dụng, trong đó phát hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng
B Nội dung cần truyền đạt
I Kiến thức cơ bản
1 Dùng số 1 làm trung gian
a) Nếu
b
a
> 1 và
d
c
< 1 thì
b
a
>
d
c
b) Nếu
b
a
= 1 + M ;
d
c
= 1 +N
mà M>N thì
d
c b
a
M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho
* Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có "phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn
Ví dụ:
198
199
= 1 +
198
1
;
199
200
= 1 +
199 1
Vì
198
1
>
199
1
nên
198
199
>
199 200
c) Nếu
b
a
= 1- M ;
d
c
= 1 + N nếu M > N thì
b
a
<
d
c
M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân
số đã cho
* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn
Ví dụ:
2006
2005
= 1 -
2006
1
;
2007
2006
= 1 +
2007
1
Vì
2006
1
>
2007
1
nên
2006
2005
<
2007 2006
2 Dùng một số phân số làm trung gian
Ví dụ : So sánh
31
18
và
37 15
Giải: Xét phân số trung gian
37
18
( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2) Ta thấy:
31
18
>
37
18
và
37
18
>
31
15
suy ra
31
18
>
37 15
( tính chất bắc cầu)
Trang 2Vuihoc24h – Kờnh học tập Online Page 2
(Ta cũng có thể lấy phân số
31
15
làm phân số trung gian)
b) Ví dụ : So sánh
47
12
và
17 19
Giải: cả hai phân số
47
12
và
77
19
đều xấp xỉ
4
1
nên ta dùng phân số
4
1
làm trung gian
Ta có:
47
12
>
48
12
=
4 1
77
19
<
76
19
=
4 1
Suy ra
47
12
>
77 19
II Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh
a)
85
64
và
81
73
b)
2
1
n
n
và
3
n
n
( nN*)
H-ớng dẫn: b) Dùng phân số
81
64
(hoặc
85
73
) làm phân số trung gian
b) dùng phân số
3
1
n
n
(hoặc
2
n
n
) làm phân số trung gian
Bài 2: So sánh
a)
77
67
và
83
73
b)
461
456
và
128
123
c)
2004 2003
1 2004
2003
và
2005 2004
1 2005
2004
H-ớng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng
so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị
Bài 3: So sánh:
a)
12
11
và
49
16
b)
89
58
và
53 36
H-ớng dẫn: a) Hai phân số
32
11
và
49
16
đều xấp xỉ
3
1
nên ta dùng phân số
3
1
làm trung gian
b) Hai phân số
89
58
và
53
36
đều xấp xỉ
3
2
nên ta dùng phân số
3
2
làm phân số trung gian
Baì 4: So sánh các phân số
A =
2323 353535
232323
.
2535
; B =
3534
3535
; C =
2322 2323
H-ớng dẫn : Rút gọn A = = 1
B = 1 +
3534 1
2322 1
Từ đó suy ra : A < B < C
Bài 5: So sánh :
Trang 3Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3
A =
52 44 26 22
) 26 22 13 11 (
5
vµ B =
548 137
690 138
2
2
H-íng dÉn : Rót gän A = =
4
5
= 1 +
4
1
B = =
137
138
= 1 +
137 1
V×
4
1
>
137
1
nªn A > B Bµi 6: So s¸nh
a)
57
53
vµ
571
531
; b)
26
25
vµ
26261 25251
H-íng dÉn :
a)
57
53
=
570
530
= 1 -
570
40
;
571
531
= 1 -
571 40
b)
26
25
= 1 +
26
1
= 1 +
26260
1010
;
26261
25251
= 1 +
26261 1010
Bµi 7: Cho a , b , m N*
H·y so s¸nh
m b
m a
víi
b
a
H-íng dÉn : Ta xÐt ba tr-êng hîp
b
a
=1 ;
b
a
< 1 ;
b
a
> 1
a) Tr-êng hîp :
b
a
= 1 a = b th×
m b
m a
=
b
a
= 1
b) Tr-êng hîp :
b
a
< 1 a < b a + m = b + m
m b
m a
= 1 -
m b
a b
;
b
a
= 1 -
b
a
b
c) Tr-êng hîp :
b
a
> 1 a > b a+m > b + m Bµi
8: Cho A =
1 10
1 10
; 1 10
1 10
11 10 12
11
H·y so s¸nh A víi B
H-íng dÉn: DÔ thÊy A<1 ¸p dông kÕt qu¶ bµi trªn nÕu 1
b
a
th×
b
a m b
m a
víi m>o
Bµi 9:So s¸nh c¸c ph©n sè sau mµ kh«ng cÇn thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh ë mÉu
A =
54 107
.
53
53 107
.
54
B =
135 269 134
133 269 135
H-íng dÉn: Tö cña ph©n sè A
54.107-53 = (53 +1).107 - 53 =
Tö cña ph©n sè B
135.269-133= (134+1).269 - 133=
Bµi 10: So s¸nh:
Trang 4Vuihoc24h – Kờnh học tập Online Page 4
a, (
80
1
)7 với (
243
1
)6 b, (
8
3
)5 với (
243
5
)3 H-ớng dẫn:
a =( 7 7 28
3
1 ) 81
1 ( ) 80
1
( 6 30
3
1 ) 243
1
b, 5 15
2
243 )
8
3
3 15
3
243 )
243
5 (
Chọn phân số 15
3
243
làm phân số trung gian để so sánh
44
1 43
1
17
1 16
1 15
1
6
5
H-ớng dẫn:
Từ
45
15 30
15 6
2 6
3
6
5
45
1
45
1 ( ) 30
1
30
1 (
Từ đó ta thấy:
( 30
1
30
1 30
1 29
1
16
1
15
1
45
1
45
1 45
1 44
1
31
1
30
Từ đó suy ra điều phải chứng minh