Chuyên đề dãy số potx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Bửu Tính, Trần Diệu Minh. - 1 - NHÓM THỰC HIỆN: Bùi Tấn Phương Nguyễn Anh Lộc Trần Mỹ Hoa Dương Minh Quân Tiêu Ngọc Diễm Quỳnh Bùi Tuấn Anh Trần Thị Thanh Huyền Tống Trung Thành Lê Thanh Tú LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một trong những vấn đề quan trọng trong phần đại số và giải tích lớp 11. Dãy số là dạng toán khá phức tạp, cần rèn luyện, học tập thường xuyên thì mới giải nhanh và tốt được. Vì thế, dãy số thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả năng tư duy của học sinh. Do đó để có thể học tốt môn dãy số, ta cần luyện tập giải các bài toán liên quan dãy số đồng thời tích cực tìm ra những phương pháp hay để giải toán dãy số một cách hợp lý nhất. Ở chuyên đề này, tập thể tổ 02 lớp 11A1 đã tổng hợp và biên soạn một số vấn đề liên quan đến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên cũng như để nghiên cứu về một dạng toán khá lí thú. Chuyên đề gồm các phần: : 1. Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số. 2. Các dạng dãy số đặc biệt. 3. Một số phương pháp xây dựng dãy số. 4. Phương trình sai phân tuyến tính. 5. Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn. - 2 - PHẦN 01: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ I)Các định nghĩa về dãy số: Dãy số: là hàm số :f S → ¡ S= { } 1;2;3; ;n đối với dãy hữu hạn. S= ¥ đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 0. S= *¥ đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 1. Với dãy f: S → ¡ . ( )n f na . Ký hiệu: ( ) { } ; n n u u ; với u n = f(n). Trong đó: + 0 u hay 1 u được gọi là số hạng đầu. + n u được gọi là số hạng tổng quát. +n được gọi là chỉ số của các số hạng. Dãy số có thể được cho theo các cách sau đây: 1)Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát: VD: Cho dãy số ( ) n u với 10 2 9 n n u n + = − . 2)Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi: VD: 1 20 2 95( 2) n n u u u n =   = + ≥  . 3)Cho dãy số bởi phương pháp liệt kê các phần tử. VD: dãy 0;1;2;3;4;5;……. II)Tính chất: 1)Dãy số tăng, dãy số giảm: Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có: 1n n u u + < . Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: 1n n u u + > . Dãy số tăng hay dãy số giảm được coi là dãy đơn điệu. VD: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: u n = n + ( 1 2 ) n với n ∀ ∈ ¢ + . Giải: n ∀ ∈ ¢ + Ta có: u n+1 - u n = (1- 1 2 n ) + 1 1 2 n+ > 0 ⇒ (u n ) là dãy tăng. 2)Dãy số bị chặn: - 3 - Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: * , n n u M∀ ∈ ≤¥ Số M nhỏ nhất được gọi là cận trên đúng của ( n u ).Ký hiệu sup n u . Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: * , n n u m∀ ∈ ≥¥ Số m lớn nhất được gọi là cận dưới đúng của ( n u ).Ký hiệu inf n u . Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số m và số M sao cho * n∀ ∈¥ n m u M≤ ≤ . VD: Xét tính bị chặn của dãy số sau: u n = (-1) n + cos n, n∀ ∈¢ + . Giải: u n = (-1) n + cos n, n ∀ ∈ ¢ + ; Ta có: -1 ≤ cos n ≤ 1 ⇒ -2 ≤ (-1) n + cos n ≤ 2. Vậy (u n ) bị chặn. Chú ý: Mọi dãy số ( n u ) giảm luôn bị chặn trên bởi 1 u Mọi dãy số ( n u ) tăng luôn bị chặn dưới bởi 1 u . 3) Dãy con và dãy tuần hoàn: Dãy con: Cho dãy (u n ) n∀ ∈¢ + . Lập dãy (V k n ) với các số hạng: V 1 n , V 2 n ,… , V k n ,……. Trong đó dãy (n k ) là các số tự nhiên tăng vô hạn. Dãy (V k n ) được gọi là dãy con của (u n ). Nhận xét: (u n ) là dãy con của chính nó với n k =k. VD: Cho dãy (u n ) xác định bởi: 1 1 0 1 ( 1) n n n u u u u + ≤ <   = −  với n∀ ∈¢ + . CMR: dãy (u 2n+1 ) là dãy giảm và dãy (u 2n ) là dãy tăng. Giải: Áp dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng suy ra đpcm. Dãy tuần hoàn: Dãy tuần hoàn cộng tính: Dãy (u n ) được gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi l ∃ ∈ ¢ + sao cho u n+l = u n n ∀ ∈ ¢ + . Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (u n ). Đặc biệt: (u n ) tuần hoàn cộng tính, chu kì l=1 là dãy hằng. - 4 - VD: Dãy số (u n ) xác định bởi u 0 = 1, u 1 = 0, u n+1 = u n + u n-1 với n = 1,2,3,…… tuần hoàn với chu kì 6: 1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,……. Dãy tuần hoàn nhân tính: Dãy (u n ) được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi l ∃ ∈ ¢ + , l>1 sao cho u n.l = u n n ∃ ∈ ¢ + . Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (u n ). Bài tập: 1) Cho dãy (u n ) với u n = 2 ( 2) , ( 1) n n n n + ∈ + ¥ và dãy (x n ) xác định bởi x n = u 1 .u 2 .u 3 …u n . a) CMR dãy (u n ) tăng, (x n ) giảm. b) CMR x n = 2 2( 1) n n + + . 2) Dãy (u n ) xác định bởi: 1 2 3 1 3 1 n n n u u u u u u − − = = =   = +  , 4n∀ ≥ . CMR: dãy (u n ) tăng 3.n ∀ ≥ 3) Xét tính bị chặn của dãy u n : u n = (1+ 1 n ) n n ∀ ∈ ¢ + . 4) Dãy (u n ) xác định bởi: 1 0 1 1 (1 ) 4 n n n u u u n + + < <    − > ∀ ∈   ¢ . CM: dãy (u n ) tăng và bị chặn. 5) Dãy (u n ) xác định bởi: 1 1 1 2 1 n n n u u u u + =   +  =  +  với 1.n ∀ ≥ CM: dãy (u 2n+1 ) tăng và dãy (u 2n ) giảm. 6) Cho \ .k ∈¤ ¢ CMR dãy (u n ) xác định bởi: 0 1 1 1 1 1 *. n n n u u u ku u n + − =   = −   = − ∀ ∈  ¥ Không là dãy tuần hoàn. - 5 - PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: Định nghĩa: Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi. Số không đổi được gọi là công sai. Ký hiệu: Có : số hạng đầu tiên : số hạng thứ n (tổng quát) : công sai 1. Nhận xét: - - Dãy xác định bởi: ( là các số thực) là 1 cấp số cộng. Tính chất: 1. Công thức số hạng tổng quát: là CSC có Chứng minh: … - 6 - Suy ra: Nhận xét: mà: thì 2. (Thường dùng chứng minh CSC): 3. Tổng của n số hạng đầu tiên: là cấp số cộng đặt: Có Hay Chứng minh: Có Nhận xét: Ví dụ: Chứng minh rằng nếu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng (giả sử ) Giải: - 7 - theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi Tức là khi và chỉ khi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Cấp số nhân: Định nghĩa: Dãy được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bắng số hạng đứng trước nó nhân với số không đổi. Số không đổi được gọi là công bội. Ký hiệu: Có : số hạng đầu tiên : số hạng thứ n (tổng quát) : công bội Nhận xét: - - Dãy xác định bởi: ( là các số thực khác không) là 1 cấp số nhân. Tính chất: 1. Công thức số hạng tổng quát: là CSN có - 8 - Chứng minh: … Suy ra: Nhận xét: mà: thì 2. 3. Tổng của n số hạng đầu tiên: là cấp số nhân đặt: Có Chứng minh: Có Tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn: 1 CSN được gọi là lùi vô hạn khi và chỉ khi công bội thỏa Dãy là CSN lùi vô hạn với công bội Có - 9 - Ví dụ: 1. Tính Giải: 2. Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Chứng minh rằng dãy số xác định bởi với mọi là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. Giải: Từ công thức xác định dãy số và , ta có: với mọi . Từ đó suy ra dãy số là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội . 3. Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm và . Giải: - 10 - [...]... lập thành cấp số nhân Cmr: 4 Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm công bội của cấp số đó 5 Cmr điều kiện cần và đủ để 3 số tạo thành cấp số cộng là 3 số thành cấp số nhân Một số dãy số đặc biệt: 1 Dãy Fibonacci: 1.1 Định nghĩa: Dãy xác định bởi: được gọi là dãy Fibonacci Dãy Fibonacci viết dạng liệt kê: 1.2 Các định lý: Định lý 1: Cho dãy là dãy Fibonacci:... d Khi chỉ số là số nguyên tố Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố e Số nguyên tố Lucas Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 4 Cấp số nhân cộng: Dãy được gọi là cấp số nhân cộng nếu như là các hằng số) Đặc biệt: dãy là CSN công bội là dãy là CSC công sai là Dãy số thực: Định... tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn Ví dụ: dãy bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương Giới hạn của một dãy số thực: Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất gần" một số nào đó Chẳng hạn, xét dãy số thực: Hay - 18 - Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ của dãy thể tiến gần đến 1 với khoảng cách... một cấp số cộng, ta có: hay Ta lại có: ) ) Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân 4 Giải: Gọi 3 Ta số cần tìm theo thứ tự có: là : (thay vào dưới) và Ta có +với ta +với 2 có dãy dãy là ta có dãy -4 , 2, 8 Bài tập: 1 Chứng minh các mệnh đề sau đúng với: - 11 - số dãy hằng:... hàm số tương ứng Ví dụ như cho dãy Xét hàm số: - 17 - với Lấy đạo hàm của nó, ta thu được: Đạo hàm này nhỏ hơn 0 khi Điều này xảy ra với mọi , nên dãy là dãy giảm Dãy số thực bị chặn: Dãy bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại ở đó , Số được gọi là giá trị chặn trên Ngược lại, dãy bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại ở đó , Số được gọi là giá trị chặn dưới Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy. .. thức Binet) Cho là dãy Fibonacci: Số hạng tổng quát của dãy là: Hệ quả: a Khi thì: b 2 Dãy Farey: Định nghĩa: Dãy Farey bậc n là dãy số gồm các phân số tối giản nằm giữa 0 và 1 có mẫu số không lớn hơn n và sắp theo thứ tự tăng dần Ví dụ: bậc 1 - 13 - bậc 2 bậc 3 bậc 4 Tính chất: a Nếu b và là các số kề nhau trong dãy Farey với Nếu với thì nguyên dương và thì và là các số kề nhau trong dãy Farey bậc Max... ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử a1 với là phần tử thứ Ý nghĩa thực tế: Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu Các dữ liệu thu thập có thể gồm nhiều số từ ), số thứ 2 ( Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên ( ) và các số tiếp theo Biên của dãy: Cho dãy Tập hợp các giá trị của dãy: - 16 - được gọi là biên của dãy đó Biên này không... tự Ví dụ, cho dãy , có biên là {-1,1} Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1 Dãy số thực đơn điệu: Định nghĩa Cho dãy số thực với xn là các số thực Nó là Tăng khi và chỉ khi , Giảm khi và chỉ khi , Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu Ví dụ: với dãy Ta có Do Suy ra nên , hay là dãy tăng Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm: Một cách để xác định một dãy có đơn điệu... khác 0) Một số giới hạn cơ bản: Vô cùng bé, vô cùng lớn: Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là một vô cùng bé Nếu : thì dãy viết: Dãy tuần hoàn: 1 Dãy tuần hoàn cộng tính: - 20 - được gọi là vô cùng lớn Khi đó ta cũng Dãy được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi sao cho Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy Đặc biệt: 2 tuần hoàn cộng tính, chu kì là dãy hằng Dãy tuần hoàn... tính: Dãy được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi sao cho Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy Lưu ý: Dãy tuần hoàn chu kì k thì max { } và min { nó bị chặn Ví dụ: Cm dãy tuần hoàn cộng tính chu kì 2 khi và chỉ khi có dạng: Giải: Xét dãy xác định bởi: Bằng quy nạp ta cm Ngược lại, với dãy có: có: sẽ là dãy cộng tính, chu kì 2 - 21 - } i nên PHẦN 03: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ . kiện cần và đủ để 3 số tạo thành cấp số cộng là 3 số lập thành cấp số nhân. Một số dãy số đặc biệt: 1. Dãy Fibonacci: 1.1 Định nghĩa: Dãy xác định bởi: được gọi là dãy Fibonacci Dãy Fibonacci viết. ∈  ¥ Không là dãy tuần hoàn. - 5 - PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: Định nghĩa: Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng. đến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên cũng như để nghiên cứu về một dạng toán khá lí thú. Chuyên đề gồm các phần: : 1. Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số. 2. Các dạng dãy số