Đang tải... (xem toàn văn)
tai lieu hay day moi nguoi
Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 1 Dãy số Các khái niệm cơ bản Dãy vô hạn { } 0 n n u ∞ = 1 là một dãy các số 0 1 2 , , ,u u u … tuân theo quy luật nào ñó. Cùng một dãy số có thể ñược xác ñịnh bởi nhiều cách, trong bài toán về dãy số, nhiều khi phải ñưa ñược dãy về dạng mà ta mong muốn ñể giải quyết yêu cầu ñặt ra. Ở ñây ta xét các cách xác ñịnh phổ biến là: - Xác ñịnh bằng công thức số hạng tổng quát n u của dãy Thí dụ: Dãy { } n u ñược xác ñịnh bởi 2 1 n u n = + là dãy số tự nhiên lẻ. - Xác ñịnh bằng tính quy nạp (chủ yếu là bằng công thức truy hồi) Thí dụ: + Dãy { } n u ñược xác ñịnh bởi 0 30u = , 1 30 n n u u + = + . + Dãy { } n u ñược xác ñịnh bởi 0 1 1u u= = , 2 2 1n n n u u u + + = . - Xác ñịnh thông qua các phép toán của các dãy khác Thí dụ: Cho 2 dãy { } n u : 1 1u = , 2 1 2011 n n n u u u + = + . Dãy { } n v ñược xác ñịnh bởi: 0 1 2 1 2 3 1 n n n u u u u v u u u u + = + + + +… . Cấp số cộng Dãy số { } n u ñược gọi là cấp số cộng với công sai 0d ≠ , nếu 1n n u u d + = + . Tính chất: 0n u u nd= + , 1 1 2 n n n u u u + − + = . Cấp số nhân Dãy số { } n u ñược gọi là cấp số nhân với công sai { } 0;1q∉ , nếu 1n n u u q + = . Tính chất: 0 n n u u q= , 2 1 1n n n u u u + − = , 1 0 1 1 n n k k q u q + = − = − ∑ . Dãy ñơn ñiệu - Dã y ñơ n ñ i ệ u t ă ng (t ă ng ng ặ t) n ế u 1n n u u + > , n∀ ∈ ℕ . 2 1 Trong tài liệu này, nếu nhắc ñến dãy số { } n u mà không chú thích gì thêm, ta hiểu ñó là dãy vô hạn. 2 Nếu 1n n u u + > , 0 n n∀ ≥ , thì ta vẫn có thể nói dãy { } n u ñơn ñiệu tăng, nhưng nên nói dãy { } 0 n n n u ∞ = ñơn ñiệu tăng, hoặc dãy ñơn ñiệu { } n u tăng với 0 n n≥ . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 2 - Dãy ñơn ñiệu không giảm nếu 1n n u u + ≥ , n∀ ∈ ℕ . - Dãy ñơn ñiệu giảm (giảm ngặt) nếu 1n n u u + < , n∀ ∈ ℕ . - Dãy ñơn ñiệu không tăng nếu 1n n u u + ≤ , n∀ ∈ ℕ . Giới hạn của dãy số 1. ðịnh nghĩa Dãy { } n u gọi là có giới hạn bằng L (hội tụ về L ) khi n → ∞ , nếu 0 ε ∀ > , 0 n∃ ∈ ℕ : 0 n n n u L ε > ⇒ − < 2. Phép cộng trừ, nhân, chia giới hạn Giả sử tồn tại lim n n u a →∞ = ; lim n n v b →∞ = thì : ( ) lim n n n u v a b →∞ + = + ( ) lim n n n u v ab →∞ = lim n n n u a v b →∞ = ( 0 b ≠ ) 3. So sánh hai giới hạn n n u v≤ , n ∀ v à t ồ n tạ i lim n n u a →∞ = ; lim n n v b →∞ = a b ⇒ ≤ 4. Dãy ñơn ñiệu, bị chặn thì hội tụ a) { } n u là dã y ñơ n ñ i ệ u t ă ng (không giả m) và bị ch ặ n trên b ở i M , thì h ộ i tụ . lim n n u L M →∞ = ≤ . b) { } n u là dã y ñơ n ñ i ệ u giả m (không t ă ng) và bị ch ặ n d ướ i b ở i m , thì h ộ i tụ . lim n n u L M →∞ = ≥ . 5. Nguyên lí kẹp N ế u n n n w u v≤ ≤ , n ∀ , và { } { } , n n v w cù ng h ộ i tụ v ề m ộ t gi ớ i hạ n lim lim n n n n u v a →∞ →∞ = = ; thì lim n n u a →∞ = . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 3 Bài toán (cần) tìm công thức số hạng tổng quát Trong bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng quát của dãy số từ công thức truy hồi cần ñặc biệt chú ý 2 phương pháp sau: - Phương pháp sai phân - Phương pháp lượng giác hóa 1) Phương pháp sai phân Xét dãy { } n u ñược xác ñịnh từ công thức truy hồi: 1 1 2 2 0 0 n n i n n i n n i i a u a u a u a u + − − + − − + + + + + =… ðể tìm công thức số hạng tổng quát, ta làm theo các bước: - Giải phương trình ñặc trưng: 1 1 1 0 0 n n n n a a a a λ λ λ − − + + + + =… (*). - Nếu (*) có n nghiệm phân biệt 1 2 , , , n λ λ λ … thì số hạng tổng quát của dãy là: 1 1 2 2 n n n n n n u c c c λ λ λ = + + +… trong ñó 1 2 , , , n c c c… là các hằng số (có thể ñược xác ñịnh nếu biết các số hạng ñầu 0 1 1 , , , i u u u − … ) - Nếu (*) có nghiệm bội, chẳng hạn 1 λ có bội k thì số hạng tổng quát của dãy là: 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 n n n k n n n n k k k n n u c c n c n c n c c λ λ λ λ λ λ − + + = + + + + + + +… … Bài toán 1: Dãy Fibonacci { } 1 n n F ∞ = ñược xác ñịnh như sau: 1 2 1u u= = , 2 1n n n u u u + + = + . Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy. Lời giải. Phương trình ñặc trưng: 2 1 0 λ λ − − = , có 2 nghiệm 1 1 5 2 λ + = và 2 1 5 2 λ − = . Công th ứ c s ố hạ ng t ổ ng quá t củ a dã y: 1 2 1 5 1 5 2 2 n n n F c c + − = + , trong ñó các hằng số 1 2 ,c c thỏa mãn: 1 1 2 2 2 2 1 2 1 5 1 5 1 2 2 1 5 1 5 1 2 2 u c c u c c + − = = + + − = = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 5 1 5 2 5 1 1 5 1 5 2 5 c c c c c c = + + − = ⇒ ⇒ + + − = = − V ậ y 1 1 5 1 1 5 2 2 5 5 n n n F + − = − . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 4 Bài toán 2: Dãy { } n u ñược xác ñịnh bởi 0 0u = , 1 1u = , 2 3u = và công thức truy hồi: 1 2 3 7 11 5 n n n n u u u u − − − = − + , với 4n ≥ . Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy. Lời giải. Phương trình ñặc trưng: 3 2 7 11 5 0x x x− + − = (*) (*) có nghiệm 1 1x = bội 2, và nghiệm ñơn 2 5x = . Khi ñó, 1 2 3 5 n n u c c n c= + + . Các hằng số 1 2 3 , ,c c c thỏa mãn: 0 1 3 1 1 2 3 2 1 2 3 0 1 5 3 2 25 u c c u c c c u c c c = = + = = + + = = + + Giả i h ệ ñượ c 1 1 16 c = − , 2 3 4 c = , 3 1 16 c = . Vậy ( ) 1 3 1 1 3 5 5 1 16 4 16 16 4 n n n u n n= − + + = − + . Bài toán 3: Cho dãy số { } n x xác ñịnh như sau: 0 x a = , 1 1 n n x bx + = + , n∀ ∈ ℕ . Với ñiều kiện nào của ,a b thì dãy { } n x hội tụ? L ờ i gi ả i. 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ( 1) 0 1 n n n n n n n n n n n x bx x x bx bx x b x bx x bx + + + + + + + + = + ⇒ − = − ⇒ − + + = = + . Nếu 1b = thì n x n a = + , n∀ ∈ ℕ , dãy không hội tụ. Nếu 1b ≠ thì 1 1 1 1 n n x b a b b = + − − − , n∀ ∈ ℕ . Khi ñó, dãy { } n x hội tụ khi và chỉ khi hoặc 1 0 1 a b − = − hoặc 1 b < . V ậ y, ñ i ề u ki ệ n c ầ n và ñủ ñể dãy { } n x h ộ i t ụ là ho ặ c 1 b < , ho ặ c 1 1 1 b a b ≠ = − . Bài toán 4: Tìm t ấ t c ả các hàm :f + + → ℝ ℝ th ỏ a mãn ( ) ( ) ( ) ( )f f x af x b a b x+ = + , x + ∀ ∈ ℝ . (*) ( ,a b là các h ằ ng s ố d ươ ng) L ờ i gi ả i. Xét dãy { } 0 n n x ∞ = : ( ) 1n n x f x + = , v ớ i 0 x là m ộ t s ố th ự c c ố ñị nh. Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 5 Từ (*) ta có công thức truy hồi của dãy: ( ) 2 1n n n x ax b a b x + + = − + + . Phương trình ñặc trưng: ( ) 2 0x ax b a b+ − + = , có 2 nghi ệ m 1 x b= , 2 x a b= − − . Công th ứ c t ổ ng quát c ủ a dãy ( ) 1 2 n n n x c b c a b= + − − , v ớ i 1 2 , c c ∈ ℝ th ỏ a mãn 0 1 2 x c c= + và ( ) 1 1 2 x c b c a b= − + . Do 0 n x > n∀ ∈ ℕ , nên 2 0 c = . Suy ra 0 1 x c= và ( ) 0 1 1 0 f x x c b bx= = = . V ậ y ( )f x bx= , x + ∀ ∈ ℝ . Bài toán 5: Cho cá c s ố th ự c d ươ ng ,p q th ỏ a mãn 1p q+ < và dã y s ố { } n n u ∈ℕ không âm th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n 2 1n n n u pu qu + + ≤ + , v ớ i mọ i n ∈ ℕ . Ch ứ ng minh r ằ ng dã y { } n n u ∈ℕ h ộ i tụ và tì m gi ớ i hạ n củ a dã y ñó . L ờ i gi ả i. Xé t dã y { } n n v ∈ℕ : 0 0 v u= , 1 1 v u= , 2 1n n n v pv qv + + = + , v ớ i mọ i n ∈ ℕ . B ằ ng quy nạ p, ta ch ứ ng minh ñượ c n n u v≤ , v ớ i mọ i n ∈ ℕ . Ta tì m công th ứ c s ố hạ ng t ổ ng quá t củ a dã y { } n n v ∈ℕ . Ph ươ ng trình ñặ c tr ư ng: 2 0x px q− − = (*), có 2 nghi ệ m: 2 2 1 4 4(1 ) (2 ) 0 1 2 2 2 p p q p p q p p x + + + + − + − < = < = = , 2 1 0 1x p x> = − > − . Khi ñó , 1 1 2 2 n n n v c x c x= + , mà 1 2 lim lim 0 n n n n x x →∞ →∞ = = do 2 1 1 0 1x x− < < < < lim 0 n n v →∞ ⇒ = , mà 0 n n u v≤ ≤ với mọi n∈ ℕ . Theo nguyên lí kẹp, lim 0 n n u →∞ = . Bài toán 6: Cho dãy số { } n x xác ñịnh như sau: 0 0 u = , 1 ( 1) 2011 n n n u u − = + − , 1 n ∀ ≥ . Tính 2 lim n n u →∞ . Lời giải. 1 1 1 1 1 ( 1) 2011 2011 2011 ( 1) 2011 n n n n n n n n n n u u u u u u u u − − + + + = + − ⇒ + = + = + − (vì 1 ( 1) ( 1) 0 n n+ − + − = ). Từ ñó suy ra: 1 1 2010 1 0 2011 2011 n n n u u u + − + − = . Phương trình ñặc trưng: 2 2010 1 0 2011 2011 x x+ − = , có 2 nghiệm 1 1x = − và 2 1 2011 x = . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 6 Công thức số hạng tổng quát của dãy: ( ) 1 2 1 1 2011 n n n u c c = − + . Từ 0 0u = , 1 1u = − , ta tìm ñược 1 2011 2012 c = , 2 2011 2012 c = − . Khi ñó, 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2011 2011 n n n u c c c c = + − + . Vậy 2 2 2 1 2011 lim 2012 n n u c →∞ = = . 2) Phương pháp lượng giác hóa Bảng sau có ích cho nhiều bài toán: Dấu hiệu lượng giác Cách ñặt Công thức sử dụng sin n n a u x b = 2 n a bu− cos n n a u x b = 2 2 sin cos 1x x+ = tan n n a u x b = 2 2 1 1 tan cos x x + = 2 n a bu+ cot n n a u x b = 2 1 1 cot sin x x + = n a bu− 2 1 cos 2sin 2 x x− = n a bu+ cos n n a u x b = 2 1 cos 2cos 2 x x+ = Bài toán 7: Cho 3 0 2 a< < , tì m công th ứ c s ố hạ ng t ổ ng quá t củ a dã y { } n u sau: 0 2 1 3 3 2 n n n u a u u u + = − + − = L ờ i gi ả i. Do 3 0 2 a < < nên t ồ n tạ i 0 0; 3 π ϕ ∈ sao cho 0 0 sin u ϕ = . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 7 Khi ñó, 1 1 sin 3 cos sin sin 2 3 u ϕ ϕ π ϕ ϕ − + = = − = 1 0 3 π ϕ ϕ = − . Tương tự, 2 2 sinu ϕ = , với 2 1 0 3 π ϕ ϕ ϕ = − = . Do ñó, 2 0 u u= , từ ñó quy nạp suy ra dãy { } n u tuần hoàn chẵn lẻ: 2 0 sin n u ϕ = , 2 1 0 sin 3 n u π ϕ + = − . Bài toán 8: Cho dãy { } n u : 0 3u = , 1 2 1 1 n n n u u u + = + + . Tìm ( ) lim 2 n n n u →∞ . H ướ ng d ẫ n. S ử d ụ ng bi ế n ñổ i ( ) 2 tan sin tan 1 cos 2 1 1 tan x x x x x = = + + + và phép quy n ạ p ñể ch ứ ng minh công th ứ c s ố hạ ng t ổ ng quá t tan 3 2 n n u π = ⋅ . Khi ñ ó, ( ) lim 2 3 n n n u π →∞ = . Bài toán 9: Cho 2 dã y s ố { } n u , { } n v ñượ c xác ñị nh nh ư sau: 0 2 2 u = , 2 1 2 1 1 2 n n u u + = − − ( ) n ∈ ℕ 0 1v = , 2 1 1 1 n n n v v v + + − = ( ) n ∈ ℕ Tí nh lim n n n u v →∞ . H ướ ng d ẫ n. Ch ứ ng minh 2 sin 2 n n u π + = , 2 tan 2 n n v π + = . T ừ ñó , suy ra lim lim cos 1 2 n n n n n u v π →∞ →∞ = = . Bài toán 10: Cho dã y { } n u ñượ c xác ñị nh: ( ) 0 1 1 1 1 2 n n u u u n + − < < + = ∈ ℕ Dãy { } n v ñược xác ñịnh như sau: 1 2n n v u u u= … . Tìm lim n n v →∞ . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 8 Lời giải. ðặt 0 cosu α = , ( ) 0; α π ∈ . B ằ ng quy nạ p ch ứ ng minh ñượ c 2cos 2 n n u α = . Khi ñó, 2 sin sin 2 cos cos cos 2 2 2 2 sin sin 2 2 n n n n n n v α α α α α α α α α = = = ⋅… Do 2 lim 1 sin 2 n n n α α →∞ = , nên sin lim n n v α α →∞ = . Bài toán 11: Cho dãy s ố { } n x th ỏ a mãn 0 1 0 x x < < và: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n x x x x x x − + − + + + = + + , * n∀ ∈ ℕ . (*) Ch ứ ng minh r ằ ng dãy { } n x h ộ i t ụ khi n → +∞ . Tìm lim n n x →+∞ . L ờ i giả i. ðặ t 2 0 0 tanx a= , 2 1 1 tanx a= , 2 2 tanx ϕ = ( với 0 1 , , 0; 2 a a π ϕ ∈ ). Áp dụng (*) với 1n = , ta ñược: ( ) ( ) 1 0 2 0 1 2 1 1 1 1 x x x x x x+ + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 tan tan 1 tan tan cos cos cos 1 tan tan cos 1 tan tan cos sin tan cos sin tan a a a a a a a a a a a a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + = + 0 1 0 1 1 0 cos cos tan tan sin sin 2 a a a a a a ϕ − + ⇔ = = − ( 0 1 a a≠ ) Nếu ñặt 0 1 2 2 a a a + = thì 2 2 2 2 tan tanx a ϕ = = . Thêm nữa, 2 1 a a≠ . Thiết lập dãy { } n a : 1 1 2 n n n a a a − + + = , với mọi 1 n ≥ . Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh ñược 1 n n a a + ≠ và 2 tan n n x a= , n∀ ∈ ℕ . Công thức số hạng tổng quát dãy { } n a : 1 2 1 2 n n a c c = + − , trong ñó 0 1 1 2 3 a a c + = . Khi ñó, 0 1 1 2 lim 3 n n a a a c →∞ + = = , suy ra 0 1 2 lim tan 3 n n a a x →+∞ + = . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 9 Một số dạng toán thường gặp Tính hội tụ của dãy { } n u ñược xác ñịnh bởi hệ thức truy hồi ( ) 1 n n u f u + = Phương pháp khảo sát tính ñơn ñiệu của dãy Nói chung, ta luôn bắt ñầu bằng việc giải phương trình ( )x f x= ñể tìm ra nghiệm x α = có thể là giới hạn của dãy số, ñồng thời cũng thuận lợi cho việc chia khoảng ñể xét tính tăng giảm của dãy. Bài toán 12: Cho dãy { } n u ñược xác ñịnh 0 1 1, 2 n n u u u n + ∈ = − ∀ ∈ ℝ ℕ Chứng minh rằng dãy { } n u hội tụ. Tìm lim n n u →∞ . Lời giải. Giải phương trình 1 2 x x = − , ñược nghiệm duy nhất 2x = − . - Nếu 0 2u ≥ − thì theo quy nạp, ta có 2 n u ≥ − , n∀ ∈ ℕ . Khi ñó, 1 2 1 0 2 2 n n n n n u u u u u + + − = − − = − ≤ 1n n u u + ⇒ ≤ , n∀ ∈ ℕ . Dãy { } n u là dãy không tăng, bị chặn dưới bởi 2− , nên hộ i t ụ . ðặ t lim n n u L →∞ = . T ừ công th ứ c truy h ồ i, suy ra 1 2 2 L L L= − ⇒ = − , ngh ĩ a là lim 2 n n u →∞ = − . - N ế u 0 2 u < − thì theo quy n ạ p, ta có 2 n u < − , n∀ ∈ ℕ . Khi ñ ó, 1 2 1 0 2 2 n n n n n u u u u u + + − = − − = − > 1n n u u + ⇒ > , n∀ ∈ ℕ . Dãy { } n u là dãy t ă ng ng ặ t, b ị ch ặ n trên b ở i 2− , nên h ộ i t ụ . ðặ t lim n n u L →∞ = . T ừ công th ứ c truy h ồ i, suy ra 1 2 2 L L L= − ⇒ = − , ngh ĩ a là lim 2 n n u →∞ = − . Tóm l ạ i, dãy { } n u h ộ i t ụ và lim 2 n n u →∞ = − . Bài toán 13: Cho dãy { } n u ñượ c xác ñị nh ( ) 0 1 0 ln 1 , n n u u u n + > = + ∀ ∈ ℕ Ch ứ ng minh r ằ ng dãy { } n u h ộ i t ụ . Tìm lim n n u →∞ . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 10 Nhận xét. Phương trình ( ) ln 1 x x+ = có nghi ệ m duy nh ấ t 0x = . L ờ i gi ả i. Do 0 0u > nên theo quy n ạ p, ta có 0 n u > , n∀ ∈ ℕ . Xét hàm ( ) ( ) ln 1g x x x = + − ( ) 0x > 1 ( ) 1 0 1 1 x g x x x ′ = − = − < + + , 0x∀ > . Suy ra ( ) (0) 0g x g< = , 0x∀ > . Khi ñó, ( ) ( ) 1 1 ln 1 0 n n n n n n n u u u u g u u u + + − = + − = < ⇒ < , n∀ ∈ ℕ . Dãy { } n u là dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0, nên hội tụ. ðặt lim n n u L →∞ = . Từ công thức truy hồi, suy ra ( ) ln 1 ( ) (0) 0L L g L g L= + ⇒ = ⇒ = . V ậ y dãy { } n u h ộ i t ụ và lim 0 n n u →∞ = . Bài toán 14: Cho s ố th ự c 0a > . Tìm roots lim n n a a a a →∞ + + + +… ( n dấu căn ) Lời giải. Xét dãy { } n u : 0 0u = , 1n n u a u + = + , n∀ ∈ ℕ . Khi ñó, roots n n a a a a u+ + + + = … . Vậy ta cần tìm lim n n u →∞ . Phương trình x a x= + có nghiệm duy nhất 1 1 2 4 c a= + + . N ế u n u c< thì 1n n u a u a c c + = + < + = , mà 0 0u c= < , nên theo quy n ạ p: n u c< , n∀ ∈ ℕ . Do 1 0 0u a u= > = nên 2 1 0 1 0u a u a u u= + > + = > . T ươ ng t ự , theo quy n ạ p, ta ñượ c 1 n n u u + > , n∀ ∈ ℕ . Dãy { } n u t ă ng, b ị ch ặ n trên, nên h ộ i t ụ . ðặ t lim n n L u →∞ = . Khi ñ ó, L a L L c= + ⇒ = . V ậ y 1 1 lim 2 4 n n u c a →∞ = = + + . Bài toán 15: Cho dãy { } n u ñượ c xác ñị nh nh ư sau: ( ) 0 2 2 1 1 2 n n n u b u u a u a n + = = + − + ∀ ∈ ℕ V ớ i nh ữ ng ñ i ề u ki ệ n gì c ủ a các h ằ ng s ố ,a b ñể dãy { } n u h ộ i t ụ . . a b →∞ + = + ( ) lim n n n u v ab →∞ = lim n n n u a v b →∞ = ( 0 b ≠ ) 3. So sánh hai giới hạn n n u v≤ , n ∀ v à t ồ n tạ i lim n n u a →∞ = ; lim n. n x →∞ . Nh ậ n xé t. Gi ả i ph ươ ng trình 2 1 2 x x x= + − ta ñược 2x = ± song giá trị 2 vì “có cảm giác” 0 n x > , n∀ ∈ ℕ . Lời giải. ( ) 2 1 1 2
