BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN SỰ TIẾP XÚC

Câu 1: [2D1-7-4] (THPT Hồng Hóa - Thanh Hóa - Lần - 2018) Cho hàm số 2x 1 y có đồ thị  C  Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để x 1 đường thẳng  d  : y  x  m cắt  C  hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến với C  A có hệ số góc B k1 , k2 thoả mãn 1    k1  k2   2018k12018k22018 Tổng giá trị tất phần tử S k1 k2 A 2018 B C D Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm  d   C  nghiệm phương trình  g  x   x   m  1 x  m   0, x  1 2x 1  xm x 1 * Để  d  cắt  C  hai điểm phân biệt A, B phương trình * phải có hai    nghiệm phân biệt khác 1 thì:   m   ;1   5;   g       Khi đó, gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình * thì: A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  x1  x2   m x1 x2  m  Ta có: k1  f '  x1    x1  1 , k2  f '  x2    x2  1 Suy ra: k1k2   x1  1   x2  1   x1  1  x2  1 2   x1 x2  x1  x2  1   m   m   1 Theo ra:   1 2018    k1  k2   2018k12018 k22018   k1  k2      2018  k1k2  k1 k2  k1k2    k1  k2   2018 1    3   2018 2   x1  1  x2  1   x1  1   x2  1 2  x1  1  x2  1 3 3  2018 x12  x22   x1  x2    2018  x1 x2  x1  x2  1   x1  x2    x1  x2   x1 x2    2018     m  1  12  m  1  2012   9 m    9 m   24180 24180 Kết hợp điều kiện cho ta hai giá trị m thoả mãn ra: m  m  24180 ,  24180 Do tổng giá trị tất phần tử S Câu 2: [2D1-7-4] (THPT Hồng Hóa - Thanh Hóa - Lần - 2018 - BTN) Cho hàm số 2x 1 y có đồ thị  C  Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để x 1 đường thẳng  d  : y  x  m cắt  C  hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến với C  A B có hệ số góc k1 , k2 thoả mãn 1    k1  k2   2018k12018k22018 Tổng giá trị tất phần tử S k1 k2 A 2018 B C D Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm  d   C  nghiệm phương trình  g  x   x   m  1 x  m   0, x  1 2x 1  xm x 1 * Để  d  cắt  C  hai điểm phân biệt A, B phương trình * phải có hai     m   ;1   5;   nghiệm phân biệt khác 1 thì:  g       Khi đó, gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình * thì: A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  x1  x2   m x1 x2  m  Ta có: k1  f '  x1    x1  1 , k2  f '  x2    x2  1 Suy ra: k1k2   x1  1   x2  1   x1  1  x2  1 2   x1 x2  x1  x2  1   m   m   1 Theo ra:   1 2018    k1  k2   2018k12018 k22018   k1  k2      2018  k1k2  k1 k2  k1k2    k1  k2   2018    3   2018 2   x1  1  x2  1   x  1   x2  1 3 2  x1  1  x2  1 3  2018 x12  x22   x1  x2    2018  x1 x2  x1  x2  1   x1  x2    x1  x2   x1 x2    2018     m  1  12  m  1  2012   9 m    9 m   24180 24180 Kết hợp điều kiện cho ta hai giá trị m thoả mãn ra: m  m  24180 Do tổng giá trị tất phần tử S  24180 , 1 Câu 3: [2D1-7-4] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần - 2018 - BTN) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f  x   f 1  x   12 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ là: A y  x  y  4x  B y  x  C y  x  D Lời giải Chọn D Từ f  x   f 1  x   12 x (*), cho x  x  ta  2 f    f 1     f    f 1   f 1  Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f   x   f  1  x   24 x , cho x  x ta 4 f     f  1   f  1     f  f  12      Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm x  y  f  1 x  1  f 1  y   x  1   y  x  Câu 4: [2D1-7-4] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần -2018) Cho hàm số y  f  x    x3  x  có đồ thị  C  điểm M  m;  Gọi S tập giá trị thực m để qua M kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị  C  Tổng phần tử S A 12 B 20 C 19 D 23 Lời giải Chọn B Ta có: f   x   3x  12 x Phương trình tiếp tuyến M  x o ; yo  có dạng:    : y  f   xo  x  xo   f  xo  Do tiếp tuyến qua M  m;  nên ta có:   3xo2  12 xo   m  xo     xo3  xo2    xo3   3m   xo2  12mxo  1  xo    xo   3m   xo  12m    Để kẻ hai tiếp tuyến từ M phương trình 1 có nghiệm Trường hợp 1: Phương trình   có nghiệm kép khác m   3m  2  4.2.12m  9m  60m  36   Ta có:   m  m   2.0   3m    12m   Trường hợp 2: Phương trình   có hai nghiệm phân biệt có nghiệm 9m  60m  36   3m    4.2.12m   Ta có:  m0 m  m    Vậy giá trị thỏa yêu cầu toán 0; ;6   20 Do đó, tổng giá trị    3 x 1 d1 , d 2x hai tiếp tuyến  C  song song với Khoảng cách lớn d1 d Câu 5: [2D1-7-4](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho đồ thị  C  : y  A B C D 2 Lời giải Chọn C Do  C  : y  x 1 , y  x   x  2x 2x d1 , d hai tiếp tuyến  C  song song với có hồnh độ tiếp điểm x1 , x2  x1  x2  , nên ta có y  x1  = y  x2   1  2 2 x1 x2  x1  x2  x   x  x1   x2   x 1   x 1  Gọi M  x1 ;  ; N   x1 ;  x1  x1     x 1  x 1 x 1 1 PTTT d1 M  x1 ;  : y   x  x1   0   x  x1   y  x1  x1 x1 x1 x1  Khi d d1 , d2   d N ;d1   x1 1 x14  4x  x1 Áp dụng BĐT Cơ-Si ta có x12  1  x12   d d1 ; d2   x1 x1 4 x12  x12  2 Câu 6: [2D1-7-4](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hàm số 2x có đồ thị  C  điểm A(0; a ) Gọi S tập hợp tất giá trị thực y x 1 a để từ A kẻ hai tiếp tuyến AM , AN đến  C  với M , N tiếp điểm MN  Tổng phần tử S A B C D Lời giải Chọn D (Câu giải không đáp án C đề gốc nên phải sửa đáp án D cho phù hợp) 2x y  y  x 1  x  1 Phương trình đường thẳng qua A(0; a ) có hệ số góc k : y  kx  a (d)  2x  x   kx  a 1  (d) tiếp tuyến (C)   có nghiệm   k     x  1 2x  xa Thay (2) (1) ta x  ( x  1) 2 x( x  1)  x  a  x  1   a   x  2ax  a  * Để qua A kẻ tiếp tuyến phương trình * có nghiệm phân biệt khác 1 a   a   với xM ; xN nghiệm phương trình *   a    a  a ( a  2)        Nên M  xM ;    , N  xN ;  xN   xM      1   Theo giả thuyết MN    xM  xN      16  xN  xM   8a 4 x  x  M N 8a (a  2)   xM  xN    16    16 (a  2)  2    xM  1 xN  1     a2 8a   8a  16  a3  6a  13a    a  Vậy tổng giá trị thực  a  2 2x  Tìm hai nhánh đồ thị C  , điểm M , x 1 N cho tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang Câu 7: [2D1-7-4] Cho hàm số y  A M  2;  , N  0; 1  7  1 B M  3;  , N  1;  2  2   1 C M  2;  , N  1;  2  D Với M , N Lời giải Chọn D Gọi M(m; yM ), N(n; yN ) điểm thuộc nhánh C  Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A , B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C , D Phương trình tiếp tuyến M có dạng: y  y(m).( x  m)  yM  2n   Tương tự: C  1;  , D(2n  1; 2)  n1  3 Hai đường thẳng AD BC có hệ số góc: k  nên AD // BC ( m  1)(n  1)  2m    A  1;  , B(2m  1; 2)  m1  Vậy điểm M , N thuộc nhánh C  thoả mãn toán x3 , có đồ thị C  Tìm đường thẳng x 1 d : y  2x  điểm từ kẻ tiếp tuyến tới C  Câu 8: [2D1-7-4] Cho hàm số y   M(0;1)  M( 1; 1) A   M(2; 5)   M(1; 3)  M(5;11)  M( 1; 1) B   M(7;15)   M(1; 3)  M(4; 9)  M( 1; 1) C   M(2; 5)   M(1; 3) Lời giải  M(0;1)  M( 1; 1) D   M(3; 7)   M( 2; 3) Chọn A Gọi M( m; m  1)  d Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k( x  m)  2m  Phương trình hoành độ giao điểm  (C): k( x  m)  2m    kx2  ( m  1)k  2m x   mk  (2m  4)  (*)  tiếp xúc với (C)  (*) có nghiệm kép  k       ( m  1)k  2m  k  mk  (2m  4)  x3 x 1  k    2 2   g( k )  ( m  1) k  4( m  m  4)k  4m  Qua M( m; m  1)  d kẻ tiếp tuyến đến (C)    32( m2  m  2)  0; g(0)  m2    g( k)  có nghiệm k      32( m2  m  2)  0; g(0)  m2    m    16 k    k     m   M(0;1)  m  1  M( 1; 1)    m   M(2; 5)   m   M(1; 3) Câu 9: [2D1-7-4] Cho hàm số y  x3  3x2  9x  có đồ thị C  Viết phương trình tiếp tuyến C  , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y  x  góc  thỏa cos   41 1 9 A y    x   9 1 9 C y    x   1  321  B y    x    34   321     321     D Đáp án khác Lời giải Chọn D Ta có: y '  3( x2  2x  3) Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M : y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 Hay kx  y  b  , Với k  y '( x0 ) Theo ta có: cos   k 1 k  2  41  41( k  1)2  50( k  1)  9k  82k    k  9, k    k  9  x0  x0   x0  0, x0  Từ ta tìm hai tiếp tuyến: y  9x  y  9x   321  27 x02  54 x0  80   x0  9 1  321  Từ ta tìm hai tiếp tuyến là: y    x    y( x0 )    k 2x  m , m tham số khác –  d  x2 tiếp tuyến C  Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận C  Câu 10: [2D1-7-4] Gọi C  đồ thị hàm số y = tam giác có diện tích  m  6 A   m  5 m  B  m   m  3 C  m  Lời giải  m  3 D   m  5 Chọn D Hai đường tiệm cận đứng ngang C  có phương trình x = 2, y = ,suy giao điểm chúng I  2;  Tịnh tiến OI Hệ trục Oxy  Hệ trục IXY  x  X  xI  X  Công thức chuyển hệ tọa độ :   y  Y  yI  Y  Đối với hệ trục IXY Hai đường tiệm cận đứng ngang C  có phương trình X  , Y  C  có phương trình Y   2(XX  22)2m  Y  F(X)  Xm Gọi X hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến d với C  phương trình d Y m4 m4 m4 2m  (X  X0 )   X X0 X0 X0 X0  2m   Gọi A giao điểm C  với đường tiệm cận đứng A  0;  X0   Gọi B giao điểm C  với đường tiệm cận ngang B  X ;0  Diện tích tam giác vng IAB  d  tạo với hai đường tiệm cận S 1 2m  IA.IB  YA XB  X0  m  2 X0  2m    m  3 S   2m      m    m     2mx  Câu 11: [2D1-7-4] Cho hàm số y  Gọi I giao điểm hai tiệm cận C  xm Tìm m để tiếp tuyến diểm C  cắt hai tiệm cận A B cho IAB có diện tích S  22 A m  5 Chọn D B m  6 C m  7 Lời giải D m  4 (C) có tiệm cận đứng x  m , tiệm cận ngang y  2m  2mx0   Giao điểm tiệm cận I ( m; m) M  x0 ;   (C ) x  m   2mx0  2m  Phương trình tiếp tuyến  C  M : y  ( x  x0 )  x0  m ( x0  m)  2mx0  2m2    cắt TCĐ A  m;  , cắt TCN B(2x0  m; 2m) x0  m   Ta có: IA  m2  ; IB  x0  m  SIAB  IA.IB  4m2   22  m  4 x0  m 2x  M cắt đường tiệm x2 cận hai điểm phân biệt A , B Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I giao điểm hai tiệm cận Câu 12: [2D1-7-4] Gọi  d  tiếp tuyến đồ thị C  : y   5 A M 1;1 M  1;  3   5 C M 1;1 M  4;   3  5 B M  4;  M  3;   3 D M 1;1 M  3;  Lời giải Chọn D Gọi M  x0 ; y0    C   y0  x0  y '0   x0   x0   Phương trình tiếp tuyến  d  C  M : y  x 1  d  cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt  2 x  x   x0  x0   2x   A  2;  , B  x0  2;   x0   Dễ thấy M trung điểm AB I  2;  giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     x0    2   2 S  IM    x0           x0    x         x0       x   y0   Dấu đẳng thức xảy  x0     x0   y0   x  2 Vậy M 1;1 M  3;  thỏa mãn tốn Bài tốn mở rộng : Tìm điểm C  có hồnh độ x  cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ  2x   HD: theo ta có : A  2;  , B  x0  2;   IA , IB Chu vi tam giác AIB x    P  IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA.IB  2.IA.IB Đẳng thức xảy IA  IB Nếu trường hợp tam giác AIB không vuông P  IA  IB  AB , để tính AB ta   cần đến định lý hàm số cosin AB2  IA2  IB2  IA.IB cos IA , IB  P  IA  IB  AB2  IA.IB  IA  IB2  IA.IB cos IA , IB    P  IA.IB  IA.IB  IA.IB cos IA , IB Đẳng thức xảy IA  IB 2x  có đồ thị C  Viết phương trình tiếp tuyến x 1 C  , biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Câu 13: [2D1-7-4] Cho hàm số y  A  : y  x  21  : y  x  C  : y  x   : y  x  17 B  : y  x   : y  x  D  : y  x   : y  x  Lời giải Chọn D Hàm số xác định với x  4 Ta có: y '  ( x  1)2 Tiệm cận đứng: x  ; tiệm cận ngang: y  ; tâm đối xứng I (1; 2) Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến C  : 2x  4 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x   2x    A: x0   A  1; 4   x0    y  ( x  1)2 (1  x0 )  x  0  Tiếp tuyến cắt tiệm ngang y   B: x0   B(2 x0  1; 2) 4  ( x  x )   x0  ( x0  1)2  :y Suy ra: IA  ; IB  x0   IA.IB  16 x0  Chu vi tam giác IAB : P  IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB2 Mà IA  IB  IA.IB  8; IA2  IB2  2IA.IB  32 Nên P   32   Đẳng thức xảy  IA  IB  ( x0  1)2   x0  3, x0  1 Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán:  : y  x   : y  x  2x có đồ thị  C  Giả sử tồn phương trình tiếp x2 tuyến  C  , biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất, hồnh Câu 14: [2D1-7-4] Cho hàm số y  độ tiếp điểm lúc là: A x0  0, x0  4 B x0  0, x0  3 C x0  1, x0  4 D x0  1, x0  3 Lời giải Chọn A Hàm số xác định với x  2 Ta có: y '  ( x  2)2 Gọi M( x0 ; y0 )  (C) Tiếp tuyến   C  M có phương trình x0 x02 4 ( x  x )   x  x0  ( x0  2)2 ( x0  2)2 ( x0  2)2 Ta có tâm đối xứng I ( 2; 2) y x02 xy  0: Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến  : ( x0  2)2 ( x0  2)2 d x0  ( x0  2)4  16 8 t , với t  ( x0  2)2  t  16 t t   d2 16 t  16 16t Đẳng thức xảy t  16  t   ( x0  2)2   x0  0, x0  4 Do Câu 15: [2D1-7-4] Cho hàm số y  x3  ax2  bx  c , c  có đồ thị  C  cắt Oy A có hai điểm chung với trục Ox M N Tiếp tuyển với đồ thị M qua A Tìm a; b; c để SAMN  A a  4, b  5, c  2 C a  4, b  6, c  2 B a  4, b  5, c  D a  4, b  5, c  2 Lời giải Chọn D Giả sử  C  cắt Ox M ( m; 0) N ( n; 0) cắt Oy A(0; c ) Tiếp tuyến M có phương trình: y  (3m2  2am  b)( x  m) Tiếp tuyến qua A nên ta có: 3m3  2am2  bm  c  a  2m3  am2   m   (do m3  am2  bm  c  ) Mà  C  cắt Ox hai điểm nên  C  tiếp xúc với Ox Nếu M tiếp điểm suy Ox qua A vơ lí nên ta có  C  tiếp xúc với Ox N Do đó: y  x3  ax2  bx  c  ( x  n)2 ( x  m)  a a m   , n    m  2n   a   Suy 2mn  n2  b  a  32c (1) mn2  c 5a2  16b    Mặt khác SAMN   c n  m   c a  a3  32c   a  ta có: ac  8 vô nghiệm 5a2  16b  a  32c   a  4, b  5, c  2  a  ta có: ac  5a2  16b  2x  Câu 16: [2D1-7-4] Cho hàm số y  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến x 1  C  , biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ 1 A y   x  y   x  4 4 1 13 C y   x  y   x  4 1 B y   x  y   x  4 1 13 D y   x  y   x  4 4 Lời giải Chọn D Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M y 2x  1 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Tiếp tuyến  cắt tiệm cận đứng A(1; x0 ), cắt đường tiệm cận ngang x0  B(2x0  1; 2) Tâm đối xứng I (1; 2) Suy IA  , IB  x0   IA.IB  x0  Chu vi tam giác IAB : p  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA  IB Mặt khác: IA2  IB2  2IA.IB  8; IA  IB  IA.IB  Nên p  2  Đẳng thức xảy  IA  IB  ( x0  1)2   x0  3, x0  1 1 13 Từ ta tìm tiếp tuyến là: y   x  y   x  4 4 2x  Câu 17: [2D1-7-4] Cho hàm số y  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến x 1  C  , biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn 1 A y   x  y   x  4 4 1 13 C y   x  y   x  4 4 1 B y   x  y   x  4 1 13 D y   x  y   x  4 4 Lời giải Chọn D Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M 2x  1 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Gọi H hình chiếu I lên  Ta có d( I , )  IH 1 Trong tam giác vng IAB ta có:  2 2  IA.IB IH IA IB Suy IH  Đẳng thức xảy  IA  IB 13 Từ ta tìm tiếp tuyến là: y   x  y   x  4 4 Câu 18: [2D1-7-4] Gọi  C  đồ thị hàm số y  x  d tiếp tuyến  C  , y d cắt hai trục tọa độ A B Viết phương trình tiếp tuyến d tam giác OAB có diện tích nhỏ ( O gốc tọa độ) A y   4 15 y x 125 x B y   4 12 x C y   4 x 5 D Lời giải Chọn D Phương trình tiếp tuyến d có dạng : y  4x03 ( x  x0 )  x04   4x03 x  3x04  x0 hoành độ tiếp điểm d với  C   3x   A giao điểm d với trục Ox  A  ;   4x    B giao điểm  C  với trục Oy  B(0; 3x0  1) Diện tích tam giác vng OAB : 4 1 (3 x0  1) (3 x0  1) S  OA.OB  x A y B   2 x03 x (3 x0  1) Xét trường hợp x0  , S  x03 Xét hàm số f ( x0 )  f '( x0 )  (3x04  1)2 , x0  (0; ) x03 2(3x04  1)12 x03 x03  (3x04  1)2 x02 3(3 x04  1)(5 x04  1)  x06 x04 1  x0  (do x0  0) 5 Bảng biến thiên f ( x0 ) f '( x0 )   x04  Từ bảng biến thiên suy f ( x0 )  Suy minS   x0  5 64 đạt x0  5 Khi phương trình (d) y  x 125 Vì trục Oy trục đối xứng  C  nên trường hợp x0  , phương trình d y   4 x 125 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y   Câu 19: [2D1-7-4] Gọi  Cm  4 x 125 đồ thị hàm số y  x4   m  1 x2  3m  , m tham số Tìm giá trị dương tham số m để  Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt tiếp tuyến  Cm  giao điểm có hồnh độ lớn hợp với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 24 A m  B m  C m  Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  trục hoành x4   m  1 x2  3m   (1) D m  Đặt t  x , t  Phương trình (1) trở thành : t   m  1 t  3m   (2)  Cm  cắt trục Ox bốn điểm phân biệt  Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Vì (2) ln có hai nghiệm t  1, t  3m  với m m  (giả thiết) nên ta có  3m  , suy với tham số m  ,  Cm  cắt Ox diểm phân biệt gọi A giao điểm có hồnh độ lớn hồnh độ A x A  3m  Gọi f(x)  x4   m  1 x2  3m  , phương trình tiếp tuyến d  Cm  A y  f '( xA )( x  xA )  f ( xA )  [4xA3  6(m  1)xA ]( x  xA ) ( f ( xA )  )  [4(3m  2) 3m   6( m  1) 3m  2]( x  3m  2)    6m   3m  x  3m  2)    Gọi B giao điểm tiếp tuyến d với trục Oy B ;  6m   3m   Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông OAB (vuông O ) , theo giả thiết ta có : SOAB  24  OA.OB  48  xA yB  48  3m  2(6m  2)(3m  2)  48 (3) Gọi f  m   3m  2(6m  2)(3m  2)  3m  2(18m2  22m  4) f ( m)  3m  (18m2  22m  4)  (36m  22) 3m   với m  2 Suy hàm số f  m  đồng biến  0;   f    24 , phương trình 3 (3) có nghiệm m   0;   2x Câu 20: [2D1-7-4] Cho hàm số y  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến x2 đồ thị  C  , để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị  C  đến tiếp tuyến lớn B y  x y  x  D y  x y  x  Lời giải A y  2x y  x  C y  3x y  x  Chọn D Tiếp tuyến  d  đồ thị C  điểm M có hồnh độ a  2 thuộc C  có phương trình: y  2a ( x  a)   x  ( a  2)2 y  2a  a2 ( a  2) Tâm đối xứng C  I  2;  d( I , d)  a2 16  ( a  2)4  a2 2.4.( a  2)2  a2 2 a2 2 d( I , d ) lớn (a  2)2   a  4 a  Từ suy có hai tiếp tuyến y  x y  x  2x  có đồ thị  C  Tìm  C  điểm M x2 cho tiếp tuyến M  C  cắt hai tiệm cận  C  A,B cho AB Câu 21: [2D1-7-4] Cho hàm số y  ngắn B M( 1; ) M (1; 1) A M(3; 3) M( 1; ) 5 C M(4; ) M( 1; ) D M(3; 3) M (1; 1) Lời giải Chọn D   Lấy điểm M  m;    C  Ta có: y ( m)    m2 ( m  2)2  1 ( x  m)   Tiếp tuyến  d  M có phương trình: y   m2 ( m  2)   Giao điểm  d  với tiệm cận đứng là: A  2;  m    Giao điểm  d  với tiệm cận ngang là: B(2 m – 2; 2)   Ta có: AB2  ( m  2)2    Đẳng thức xảy m  m  ( m  2)2   Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3; 3) M (1; 1) Câu 22: [2D1-7-4] Tìm m để tiếp tuyến đồ thị y  x3  mx  m  điểm M có hồnh độ x  1 cắt đường tròn  C  có phương trình ( x  2)2  ( y  3)2  theo dây cung có độ dài nhỏ B m  A m  C m  Lời giải D m  Chọn D Ta có: y  3x2  m  y(1)   m ; y(1)  2m   C  có tâm I(2; 3),R  Phương trình đường thẳng d M( 1; m  2) : y  (3  m)x  m   (3  m)x  y  m   d( I , d)  4m (3  m)2    (3  m) (3  m)2   (3  m)2  (3  m)2   2R Dấu "=" xảy  m  Dó d( I , d ) đạt lớn  m  Tiếp tuyến d cắt  C  điểm A, B cho AB ngắn  d( I , d ) đạt lớn  m  , suy d : y  x  Câu 23: [2D1-7-4] Cho hàm số y  x  3x  2  C  Tìm phương trình tiếp tuyến qua  3 điểm A  0;  tiếp xúc với đồ thị  C   2     : y   : y  x  : y  x     3   A  : y  2 x  B  : y   x  C   : y  2 x     2    3  : y  2x   : y  2x   : y  2x  2      : y    : y   2x     : y  2x   Lời giải D Chọn A Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có hệ số góc k có đạng: y  kx  ∆ tiếp xúc với  C  điểm có hồnh độ x hệ phương trình : 1 3 (1)  x  3x   kx  có nghiệm x 2 2 2 x  x  k (2)  3 Thế (2) vào (1), ta có: x4  3x2   (2 x3  x)x   x2 ( x2  2)  2 (2)  x   k    : y   (2)   x   k  2   : y  2 x   (2) x    k  2   : y  2x   x2 Câu 24: [2D1-7-4] Gọi  C  đồ thị hàm số y  M  0; m  điểm thuộc 2x 1 trục Oy Tìm tất giá trị m để tồn tiếp tuyến  C  qua A m  M tiếp điểm tiếp tuyến với  C  có hồnh độ dương B m  C m  Lời giải D m  Chọn D Phương trình đường thẳng  d  qua M có hệ số góc k : y  kx  m  x0   x   kx0  m (1) có  d  tiếp xúc  C  điểm có hồnh độ x0 hệ sau    k (2)  (2 x0  1) nghiệm x0 Thay  2 1 vào   x0   x0  1  3x  m  x0  1 ta được: x0  3x0  m x0  (2 x0  1)2  3 nghiệm 1  (4m  2) x02  4(m  2) x0  m     Do x0   3 nên u cầu tốn  Phương trình   có nghiệm dương với m  Vì m0 nên 4m   suy  4 có nghiệm    4(m  2)2  (4m  2)(m  2)   m   Bất đẳng thức với m  Khi gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình   4(m  2)  x1  x2  0   4m   x1  0, x2  Ta có m  0,  m  x x  0  4m   Vậy, với m  ln tồn tiếp tuyến  C  qua M hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến với  C  số dương Câu 25: [2D1-7-4] Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  Cho điểm A(0; a ) Tìm a để từ x 1 A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị  C  cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh A   a    a  B   a  Lời giải C 1  a  D Chọn D Phương trình đường thẳng  d  qua A(0; a ) có hệ số góc k : y  kx  a x2  x   kx  a có nghiệm x  d  tiếp xúc  C  điểm có hồnh độ x hệ:   k  3 ( x  1)   (1  a) x  2(a  2) x  (a  2)  1 có nghiệm x  Để qua A có tiếp tuyến 1 phải có nghiệm phân biệt x1 , x2  a  a     2 a  2    3a   Khi ta có: x1  x2  2(a  2) a2 3 , x1 x2  y1   , y2   a 1 a 1 x1  x2  Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1 y2      1  1   0  x1    x2   a  x1.x2  2( x1  x2 )  0 x1.x2  ( x1  x2 )  Đối chiếu với điều kiện   ta được:   3a     a  Câu 26: [2D1-7-4] Gọi  Cm  đồ thị hàm số y  x3  3(m  1) x  mx  m   d  tiếp tuyến  Cm  điểm có hồnh độ x  1 Tìm m để  d  tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích  m   m   A  9  73   m   m   m    19  73   m   m   m  B  19  73   m  Lời giải Chọn D  m   m   C  D 9    m  Ta có y  x  6(m  1) x  m , suy phương trình tiếp tuyến  d  là: y  y '(1)( x  1)  y(1)  12  7m  x  1  3m   y  12  7m  x  4m   4m   Gọi P, Q giao điểm  d  với trục Ox Oy P   ;0  ,  12  7m  Q  0; 4m   8m2  32  32m 1 4m  4m   Diện tích OPQ : S  OP.OQ   2 12  7m 12  7m S 8  8m  32m  32  12  m 3   m  0 m     8m  32m  32  (12  m) m  m0    19  73  8m  32m  32   (12  m) 3m  19m  24    m   Câu 27: [2D1-7-4] Cho hàm số y   C  điểm x4  x  , có đồ thị  C  Gọi  d  tiếp tuyến M có hồnh độ x  a Tìm a để  d  cắt lại  C  hai điểm E , F khác M trung điểm I đoạn EF nằm parabol  P  : y   x  A a  B a  1 C a  D a  Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến  d  : a4 a4 y  y(a)( x  a )   2a   (a  4a)( x  a)   2a  4 4 3a  ( a  4a ) x   2a  Phương trình hoành độ giao điểm  C   d  : x4 3a  x   ( a  4a ) x   2a   x  x  4(a  4a) x  3a  8a  4 x  a  ( x  a) ( x  2ax  3a  8)    2  x  2ax  3a   (3) d  cắt  C  hai điểm E , F khác M  Phương trình  3 có hai nghiệm phân biệt khác a 2  a  2   '  a  3a      (*) a   a       Tọa độ trung điểm I đoạn EF : x  xF  xI  E  a  xI  a      7a 4 a y    6a   y  (a  4a)(a)   I  a  ( I  ( d ))  I   I  ( P) : y   x    a  7a a2  6a   a   7a (1  )    4 a  2 So với điều kiện (*) nhận a  Câu 28: [2D1-7-4] Tìm tham số m để đồ thị  Cm  hàm số y  x3  4mx  7mx  3m tiếp xúc với parabol  P  : y  x  x  A m  2; 7;1   B m  5;  ;78     C m  2;  ;1   D   m  2;  ;1   Lời giải Chọn D  Cm  tiếp xúc với  P  điểm có hồnh độ x0 hệ 2   x0  4mx0  7mx0  3m  x0  x0  (1) ( A) có nghiệm x0  x  mx  m  x   0  Giải hệ  A , (1)  x03  (4m  1) x02  (7m  1) x0  3m 1   x0   ( x0  1)( x02  4mx0  3m  1)     x0  4mx0  3m    x02  4mx0  3m     x0   Vậy  A    3x0  2(4m  1) x0  7m   (2)  3x0  2(4m  1) x0  7m   (2) Thay x0  vào   ta m  2   3x0  2(4m  1) x0  7m   (2) 3x0  2(4m  1) x0  7m   (2) Hệ      x0  4mx0  3m   (3) 3x0  12mx0  9m   (4) Trừ hai phương trình     ,vế với vế ta được: 4mx0  x0  2m     2m  1 x0  m   5 Khi m  m 1   trở thành  (sai),    x0  2m  2 Thay x0 = m 1 vào phương trình  3 ,ta được: 2m   m 1   m 1     4m    3m    2m    2m    4m3  11m  5m    m   m    m    Vậy giá trị m cần tìm m  2;  ;1   Câu 29: [2D1-7-4] Tìm tất điểm Oy cho từ ta vẽ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y  x  x  x  A M  0; m  với 2  m  1 B M  0; m  với   m  C M  0; m  với   m  D M  0; m  với 1  m  Lời giải Chọn C Xét M (0; m)  Oy Đường thẳng d qua M , hệ số góc k có phương trình: y  kx  m  x  x  x   kx  m 0 0   d tiếp xúc đồ thị  C  điểm có hồnh độ x0 hệ  x0  k 1  x  x   0  có nghiệm x0 Thay k vào phương trình thứ ta được: x0  x02  x0   x0  x02  x0 x02  x0  m  x02  x0   x02  x0  m x02  x0  m x0  x02  x0   f ( x0 ) (*) Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  (*) có nghiệm Xét hàm số f  x0  , ta có: f ( x0 )  3x0 ( x02  x0  1)3  f '( x0 )   x0  1 Mặt khác: lim f ( x0 )  ; lim f ( x0 )   x  x  2 Bảng biến thiên:   x0 f ( x0 )   f ( x0 )  (*) có nghiệm   1 2  m 1 Vậy M  0; m  với   m  điểm cần tìm Câu 30: [2D1-7-4] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y  x3  3x có đồ thị  C  điểm M  m;0  cho từ M vẽ ba tiếp tuyến đến đồ thị  C  , có hai tiếp tuyến vng góc với Khi khẳng định sau 1  A m   ;1 2  1  m   1;   2    B m    ;0    Lời giải Chọn C Ta có y  3x  x Gọi A  a; a3  3a  thuộc đồ thị hàm số  1 C m   0;   2 D Phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số A là: y   3a  6a   x  a   a3  3a M  m;0   d   3a  6a   m  a   a3  3a   2a3   m  1 a  6ma  a   2 a  m  a  m       Khi a  ta có phương trình tiếp tuyến y  Đối với đồ thị hàm số khơng có tiếp tuyến vng góc với y  nên yêu cầu toán tương đương phương trình 1 có hai nghiệm a1 a2 khác thỏa y  a1  y  a2   1   3a12  6a1  3a22  6a2   1  9a1.a2 a1.a2   a1  a2   4     3m  3m   m  1  4    27m    m  Thay m  27 vào 1 thử lại có nghiệm phân biệt khác 27 ... Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán:  : y  x   : y  x  2x có đồ thị  C  Giả sử tồn phương trình tiếp x2 tuyến  C  , biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất,...  ln tồn tiếp tuyến  C  qua M hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến với  C  số dương Câu 25: [2D1-7-4] Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  Cho điểm A(0; a ) Tìm a để từ x 1 A kẻ tiếp tuyến tới... D Gọi M(m; yM ), N(n; yN ) điểm thuộc nhánh C  Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A , B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C , D Phương trình tiếp tuyến M có dạng: y  y(m).( x  m)  yM  2n  