Trong yêu cầu về đổi mới giáo dục về việc kiểm tra, đánh giá chất lượng dạy và học bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan thì khi nắm được dạng bài và phương pháp giải sẽ giúp cho học sinh nhanh chóng giải được bài và đạt được kết quả cao trong các kì thi. Vì vậy, tôi đã tiến hành xây dựng phương giải bài toán dao động tắt dần của con lắc lò xo nhằm giúp học sinh giải quyết các khó khăn khi gặp bài tập này.
Chuyên đề môn Vật lý PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC LÒ XO Người viết: ………………… Đối tượng: Chuyên đề được sử dụng để bồi dưỡng học sinh lớp 12 ôn thi TN THPT Quốc gia và có thể sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 Dự kiến thời gian bồi dưỡng: 4 tiết PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình bồi dưỡng ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và thi HSG 12, tôi nhận thấy dạng bài tập dao động tắt dần của con lắc lò xo là dạng bài tập thường gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh Nhiều học sinh chỉ nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các bài tập quen thuộc (thậm chí không làm được) Trong yêu cầu về đổi mới giáo dục về việc kiểm tra, đánh giá chất lượng dạy và học bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan thì khi nắm được dạng bài và phương pháp giải sẽ giúp cho học sinh nhanh chóng giải được bài và đạt được kết quả cao trong các kì thi Vì vậy, tôi đã tiến hành xây dựng phương giải bài toán dao động tắt dần của con lắc lò xo nhằm giúp học sinh giải quyết các khó khăn khi gặp bài tập này PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 1 Tìm hiểu dao động tắt dần 1.1 Khái niệm Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian 1.2 Nguyên nhân gây ra dao động tắt dần Khi vật dao động sẽ chịu tác dụng của lực cản (lực ma sát, lực cản của không khí ) Lực cản này sinh công âm làm tiêu hao năng lượng của vật, chuyển hóa dần cơ năng thành nhiệt năng Do vậy, biên độ dao động của vật giảm dần và cuối cùng dừng lại 1.3 Đặc điểm -Cơ năng của vật giảm dần do chuyển hóa thành nhiệt -Tùy theo lực cản của môi trường lớn hay nhỏ mà dao động tắt dần xảy ra nhanh hay chậm 1 Trong nước Trong dầu Trong không khí 1.4 Tác dụng - Dao động tắt dần có lợi: Bộ phận giảm xóc trên xe ôtô, xe máy… kiểm tra, thay dầu nhớt - Dao động tắt dần có hại: Dao động ở quả lắc đồng hồ, phải lên dây cót hoặc thay pin 1.5 Phương trình dao động tắt dần Xét dao động tắt dần của con lắc lò xo Hợp lực tác dụng lên lò xo: ur ur r F + F c = m.a (Fc = - r.v với r là hệ số cản của môi trường; v là vận tốc của vật) Phương trình cơ bản trong chuyển động này là: - k.x – r.v = m.a Hay: - k.x – r.v = m.x’’ r k ↔ x ''+ x '+ x = 0 m m r Đặt β = gọi là hệ số tắt dần 2m 2 Khi đó phương trình (1) có dạng: x ''+2 β.x '+ω0 x =0 (1) (2) (2) là phương trình vi phân của dao động tắt dần Theo toán học, khi ω0 > β thì −βt phương trình có nghiệm dạng x = A0 e cos(ωt + ϕ ) 2 2 Tần số góc của dao động tắt dần: ω = ω0 − β 1.6 Khảo sát dao động tắt dần −βt Đặt biên độ dao động tắt dần là: A = A0 e Biên độ này giảm theo qui luật hàm số mũ Đồ thị biểu diễn sự giảm biên độ theo thời gian: 2 Trong hình này: Ao là biên độ dao động lúc đầu (lúc được kích thích dao động); T là chu kỳ dao động riêng (mà ta thường ký hiệu là To) 2 Dao động tắt dần của con lắc lò xo do ma sát Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia cố định Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt là μ 2.1 Phương trình động lực học của chuyển động của vật nặng mx '' = - kx ± μmg (F = - kx : lực kéo về) Dấu trước số hạng cuối cùng là (+) trong khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, là dấu (-) trong khoảng thời gian vật chuyển động cùng chiều Ox + Khi vật ở vị trí cân bằng: x’’=0 µ mg → – kx0 ± μmg = 0 → x0 = ± k * Xét cụ thể chuyển động của vật nặng với điều kiện ban đầu: Vật được kéo đến tọa độ x = A 0 và thả không vận tốc đầu Trong quá trình chuyển động của vật, hợp lực tác dụng lên vật: mx '' = - kx ± μmg Như vậy, vật nặng chịu tác dụng lực kéo về tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O1 (có tọa độ OO1=x0 ) đến vật và luôn hướng về O1 Vì vậy vật sẽ thực hiện k , từ vị trí x = A 0 qua vị trí m cân bằng mới O1 và dừng lại tại vị trí đối xứng với vị trí ban đầu qua O 1 Vị trí này có tọa độ -A0 + 2.x0 Biên độ dao động là A0 – x0 Khi vật tới vị trí này, nếu Fđh > (Fmsn) max thì vật chuyển động ngược trở lại A -x0 A0-x0 theo chiều trục Ox và thực hiện0 tiếp nửa dao động điều hòa với tần số góc 3 O2 O O1 một nửa dao động điều hòa với tần số góc ω = -A0+2x0 A0-4x0 -A0+6x0 A0-3x0 A0-3x0 A0 k qua vị trí cân bằng O2 (có tọa độ OO2= - x0) và dừng lại tại điểm có m tọa độ A0 – 4x0 Trong giai đoạn chuyển động này, chuyển động của vật cũng là dao động điều hòa với cùng tần số góc ω như trước nhưng vị trí cân bằng là O 2 và biên độ A0 – 3x0 Quá trình dao động được thực hiện tiếp tục cho đến khi dừng lại ω= A0-x0 A0-x0 O2 O O1 -A0+2x0 * Chú ý: A0-4x0 -A0+6x0 A0-3x0 A0 A0-3x0 + Sau mỗi nửa chu kì, biên độ giảm một lượng ∆A = 2.x0 = 2.µ mg k , nghĩa là sau mỗi nửa chu kì, vị trí biên nhích lại gần O một đoạn là 2x0 + Sau một chu kì, biên độ giảm một lượng là 4x0 2.2 Điều kiện để vật dừng lại hẳn a, v = 0 µ mg = x0 → − x0 ≤ x ≤ x0 b, Fk ≤ (Fmsn)max → k x ≤ µ mg ↔ x ≤ k 2.3 Xác định quãng đường đi được cho đến khi dừng lại Vật chỉ có thể dừng lại trong đoạn từ –xo đến xo tại vị trí có li độ x Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: k(Ao2 – x2) = µmgs ⇒ s = Xét tỉ số = n + q (n là số nguyên, q < 1) Ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1 : q = 0 (Ao chia hết cho ∆A): vật chắc chắn dừng lại ở VTCB, khi A02 đó : s = ∆A Trường hợp 2 : q = 0,5 (Ao là số bán nguyên lần ∆A): vật dừng lại ở vị trí có |x| 2 2 = xo Khi đó: s = A0 − x0 ∆A Trường hợp 3: 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là An = q.∆A = xo + rΔA (với r = q – 0,5) Vật sẽ dừng trước khi qua VTCB Ta có k(An2 – x2) = µmg(An – x) ⇒An + x = 2xo ⇒ xo + rΔA + x = 2xo ⇒ x = xo – rΔA = (1 –2 r)xo 4 A02 − x 2 Vậy x=ΔA(1-q) khi đó s = ∆A Trường hợp 4: 0 < q < 0,5: Trước đó ½ chu kì, biên độ của vật là : A n = ∆A + p Vật dừng lại sau khi qua VTCB một đoạn x Ta có k(An2 – x2) = µmg(An + x) ⇒ An – x = ∆A 2 2 ⇒ x = p, Vậy S=(A0 -p )/ ∆A 2.4 Tìm vận tốc của vật khi đi được quãng đường s Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: W0 = (Wđ + Wt ) + Ams →Wđ = W0 – Wt - Ams 1 1 1 → m.v 2 = k A02 − k x 2 − Fms s 2 2 2 k ( A02 − x 2 ) − 2 Fms s →v = m - Vị trí của vật có vận tốc cực đại: Fc = Fk → μ.m.g = k.x0 µ mg → x0 = ( vật qua vị trí cân bằng mới O1 hoặc O2 lần đầu tiên) k 1 1 2 1 2 2 - Vận tốc cực đại tại vị trí x0 : k A0 = mv + kx0 − µ mg ( A0 − xo ) 2 2 2 → v = ( A0 − x0 ) k = ω ( A0 − x0 ) m * Chú ý: Từ những chứng minh trên ta rút ra một số các công thức thường được sử dụng trong tính toán: 2.µ mg k 4.N µ mg - Độ giảm biên độ sau N chu kỳ: ∆AN = 4 N x0 = k A0 - Số chu kỳ mà vật thực hiện được (số dao động): N = 4.x0 - Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ: ∆A = 2.x0 = - Số lần vật qua vị trí cân bằng n = 2.N - Khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc dừng lại là: Δt = N.T PHẦN III: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 Bài toán về độ giảm biên độ, số lần dao động 5 Bài 1 Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3% Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu? * Hướng dẫn: Gọi A0 là biên độ dao động ban đầu của vật Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm 3% nên biên độ còn lại là A = 0,97A0 Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là: 1 2 1 2 W0 − W 2 kA0 − 2 k A = = 1 − 0,97 2 = 6% 1 W0 kA02 2 Bài 2 Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15kg Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng ngang trùng với trục lò xo và xuyên tâm quả cầu Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động Do ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại Lấy g = 10m/s2 a Tính hệ số ma sát μ? b Xác định độ giảm biên độ trong mỗi chu kỳ dao động? * Hướng dẫn: a Sau 200 dao động thì vật dừng lại nên ta có N = 200 Áp dụng công thức: N= A0 kA0 = 4.x0 4 µ mg →µ = kA0 300.0, 02 = = 0, 005 N 4mg 200.4.0,15.10 b Độ giảm biên độ trong mỗi chu kỳ dao động là: ∆A = 4 µ mg = 10−4 m k Bài 3 Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật có khối lượng m = 400g, hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ là µ= 0,1 Từ vị trí cân bằng vật đang nằm yên và lò xo không biến dạng người ta truyền cho vật vận tốc v = 100cm/s theo chiều làm cho lò xo giảm độ dài và dao động tắt dần Biên độ dao động cực đại của vật là bao nhiêu? A 5,94cm B 6,32cm C 4,83cm D.5,12cm * Hướng dẫn: Gọi A là biên độ dao động cực đại Ta có mv 2 kA 2 = + µmgA 2 2 Thay số: 50A2+ 0,4A – 0,2 = 0 → A = 0,05937 m = 5,94 cm 6 Bài 4 Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200 gam, lò xo có độ cứng 10 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1 Ban đầu vật được giữ ở vị trí lò xo giãn 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g = 10m/s2 Trong khoảng thời gian kể từ lúc thả cho đến khi tốc độ của vật bắt đầu giảm thì độ giảm thế năng của con lắc là: A 2 mJ B 20 mJ C 50 mJ D 48 mJ * Hướng dẫn: Vật đạt vận tốc cực đại khi Fđh = Fms → kx = µmg → x = µmg /k = 2 (cm) Do đó độ giảm thế năng là : ∆Wt = k 2 ( A − x 2 ) = 0,048 J = 48 mJ 2 Bài 5 Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m, 1 đầu cố định, 1 đầu gắn vật nặng khối lượng m = 0,5kg Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi VTCB 5cm rồi buông nhẹ cho dao động Trong quá trình dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản có độ lớn bằng 1/100 trọng lực tác dụng lên vật Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ, lấy g=10 m/s 2 Số lần vật qua VTCB kể từ khi thả vật đến khi nó dừng hẳn là: A 25 B 50 C 75 D 100 * Hướng dẫn: Cách 1 Gọi ∆A là độ giảm biên độ mỗi lần vật qua VTCB kA 2 kA' 2 kA' 2 = + Fc ( A + A' ) = + 0,01mg ( A + A' ) 2 2 2 kA 2 kA' 2 − = Fc ( A + A' ) = 0,01mg ( A + A' ) 2 2 k 2 k ( A − A' 2 ) = ( A + A' )( A − A' ) = 0,01mg ( A + A' ) 2 2 0,02mg 0,02.0,5.10 = = 10 −3 m = 1mm → ∆A = A – A’ = k 100 Vậy số lần vật qua VTCB là N = A/∆A = 50 Chọn đáp án B Cách 2: x0 = Fc 0, 01.m.g = = 5.10-4(m) k k A Số lần vật qua VTCB kể từ khi thả vật cho đến khi dừng lại: N = 2.x = 50 0 Bài 6 Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m, một đầu cố định, một đầu gắn vật nặng khối lượng m = 0,5 kg Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi vị trí cân bằng 5 cm rồi buông nhẹ cho dao động Trong quá trình dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản có độ lớn bằng 1 100 trọng lực tác dụng lên vật Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ, lấy g 7 = 10 m/s2 Số lần vật qua vị trí có độ lớn li độ bằng 2cm kể từ khi thả vật đến khi nó dừng hẳn là A 25 B 50 C 200 D 100 * Hướng dẫn: + FC = 0,05N + Độ giảm biên độ trong 1 chu kỳ : ∆A = 4FC/k = 0,002m = 0,2cm + Số chu kỳ con lắc thực hiện được : N = A/∆A = 25 + | x| = 2 => x = ± 2cm => trong 1 chu kỳ có 4 lần vật qua VT có | x| = 2 => 4N = 100 lần 2 Bài toán xác định quãng đường đi được Bài 1 Con lắc lò xo nằm ngang có = 100, hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và cùng bằng 0,1 Kéo vật ra khỏi VTCB 1 đoạn A o rồi buông Cho g = 10m/s2 Tìm quãng đường tổng cộng vật đi được trong các trường hợp sau: a Ao = 12cm b Ao = 13cm c Ao = 13,2cm d Ao = 12,2cm Biết độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ ∆A = 2cm ; xo = 1cm * Hướng dẫn: a Ao = 12cm, chia hết cho ∆A nên s = = 72cm b Ao = 13cm, chia cho ∆A ra số bán nguyên, vật dừng cách VTCB1 đoạn xo nên s = = 84cm c Ao = 13,2cm: = 6,6 Biên độ cuối cùng là A n = 0,6.∆A = 1,2cm Vật dừng lại trước khi qua VTCB k(An2 − x2) = µmg(An − x) ⇒An + x = ∆A ⇒ x = 2 − 1,2 = 0,8cm s = = 86,8cm d Ao = 12,2cm Biên độ cuối cùng là An−1 = 2,2cm ⇒ vật dừng cách VTCB một đoạn x = 0,2cm s = = 74,4cm Bài 2: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào lò xo có độ cứng K = 80N/m Một đầu lò xo được giữ cố định Kéo m khỏi VTCB một đoạn 10cm dọc theo trục của lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt nằm ngang là µ = 0,1 Lấy g = 10m/s2 a) Tìm chiều dài quãng đuờng mà vật đi đuợc cho đến khi dừng lại? b) Chứng minh rằng độ giảm biên độ dao động sau mỗi một chu kì là một số không đổi? c) Tìm thời gian dao động của vật? 8 * Hướng dẫn: a) Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ là: 2 xo = 2.µ m.g = 5.10−3 (m) = 0,5cm k có A0 / 2.x0 = 20 vậy vật sẽ dừng tại VTCB O Khi đó: s = A02 = 200(cm) = 2 (m) 2.x0 b) Giả sử tại thời điểm vật đang ở vị trí có biên độ A 1 Sau nửa chu kì , vật đến vị trí có biên độ A2 Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường (A1 + A2) đã làm giảm cơ năng của vật 1 2 1 2 kA1 − kA2 = µ mg ( A1 + A2 ) 2 2 ⇒ A1 − A2 = 2 µ mg k Ta có: Lập luận tương tự, khi vật đi từ vị trí biên độ A 2 đến vị trí có biên độ A 3, tức là ⇒ A2 − A3 = 2 µ.mg k nửa chu kì tiếp theo thì: Độ giảm biên độ sau mỗi một chu kì là: 4µ.mg k = Const c) Độ giảm biên độ sau mỗi một chu kì là: ∆A = 0, 01m = 1cm ∆A = ( A1 − A2 ) + ( A2 − A3 ) = n= A = 10 ∆A chu kì Số chu kì thực hiện là: Vậy thời gian dao động là: t = n.T = 3,14 (s) Bài 3 Một con lắc lò xo độ cứng k = 40N/m, vật nặng khối lượng m = 400g (vật nặng treo phía dưới lò xo) đặt trên mặt phẳng nghiêng góc α = 300 so với phương ngang, hệ số ma sát nghỉ bằng hệ số B ma sát trượt và bằng 0,1 Đưa vật nặng đến vị • 2 trí lò xo dãn 18cm rồi thả nhẹ, lấy g = 10m/s C O • Tổng quãng đường vật nặng đi được • cho đến lúc dừng lại là: A 162,00 cm B 97,57 cm C 187,06 cm D.84,50cm M • * Hướng dẫn: α BC = l0 là chiều dài tự nhiên của lò xo O là VTCB; M là vị trí ban đầu của vật CM = ∆l = 18 cm Chọn mốc thế năng trọng trường tại vị trí thấp nhất M Cơ năng ban đầu của hệ con lắc W0 = k (∆l ) 2 = 0,648J 2 Khi vật ở VTCB, vật chịu tác dụng của 4 lực: uur ur uu r uuu r uuuu r r Fhl = P + N + Fdh + Fmsn = 0 Fđh Chiếu lên phương của mặt phẳng nghiêng: Psin α = Fđh + Fmsn Fmsn N P 9 mgsin α = k∆l0 + µmgcosα ∆l0 = CO = mg (sin α − µ cos α ) k ∆l0 = 0,4.10.(0,5 − 0,1 3 ) = 0,04134 m = 4,1 cm 2 40 → OM = ∆l - ∆l0 = 13,9cm Vật dừng lại ở VTCB, khi đó năng lượng của hệ con lắc lò xo k (∆l 0 ) 2 W= + mg(∆l - ∆l0 )sinα = 0,312J 2 Công của lực ma sát trong quá trình vật chuyển động: Ams = W0 – W = 0,336J Ams = Fms.S = S.µmgcosα 0,336 Ams →S= = 3 = 0,9699 m = 97 cm µmg cos α 0,1.0,4.10 2 Bài 4 Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo nhẹ có độ cứng K= 40 (N/m), một đầu gắn vào giá cố định, đầu còn lại gắn vào vật nhỏ có khối lượng m = 100(g) Ban đầu giữ vật sao cho lò xo nén 4,8 cm rồi thả nhẹ Hệ số ma sát trượt và ma sát nghỉ giữa vật và mặt bàn đều bằng nhau và bằng 0,2; lấy g = 10 (m/s2) Tính quãng đường cực đại vật đi được cho đến lúc dừng hẳn? A 23 cm B 64cm C 32cm D 36cm * Hướng dẫn: Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ là: 2 xo = 2.µ m.g = 0, 01( m) = 1cm k có A0 / 2.x0 = 4,8 vậy vật sẽ dừng tại trước khi qua vị trí cân bằng VTCB O Vị trí đó có li độ x = 2.x0 (1-0,8) = 0,2(cm) Khi đó: s = A02 − x 2 = 23(cm) 2.x0 kA 2 ( Lưu ý: nếu dùng: 0 = 2 kA02 40.0,048 2 µmgS → S = = = 0,2304m được 2 µmg 2.0,2.0,1.10 kết quả sai) Bài 5 Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang Ban đầu kéo vật đến vị trí lò xo bị dãn 9,5 cm và thả thì sau khi đi được quãng đường 8,5 cm, vật đạt vận tốc cực đại 85cm/s Bỏ qua lực cản của không khí a hãy tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc dừng lại? b Tính thời gian chuyển động của vật? * Hướng dẫn: 10 a có A0 = 9,5 cm; sau khi đi được s1 = 8,5 cm thì v1 max =85cm/s, vậy vị trí này là vị trí cân bằng mới của vật Vật sẽ nhận O1 và O2 làm 2 vị trí cân bằng mới Với x0 = O1O=O2O=9,5 – 8,5 = 1cm Cách 1: ΔA = 2 O1O =2cm Có A0/ΔA= 4,75 = 4+0,75 = n+q Vì 0,5< q=0,75