Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn toán sở GDĐT hải dương file word có lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HẢI DƯƠNG TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1( 2,0 điểm): 1) Cho I  2;1 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y  x  3mx  có hai điểm cực trị A, B cho diện tích  IAB 2) Một công ty muốn làm đường ống dẫn dầu từ kho A bờ biển đến vị trí B đảo Hòn đảo cách bờ biển km Gọi C điểm bờ cho BC vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến C km Người ta cần xác định vị trí D AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết giá để lắp đặt km đường ống bờ 100.000.000 đồng nước 260.000.000 đồng Câu (2,0 điểm): 1) Giải phương trình  tan x  cot x sin 2x 3 � �x  6x  13x  y  y  10 2) Giải hệ phương trình � � 2x  y    x  y  x  3x  10y  Câu (2,0 điểm): 1) Cho dãy số  u n  có u1  7, u n 1  5u n  12  n ��* Tìm lim un 5n 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB MN với A  1;3 , B  3; 1 Tiếp tuyến (I) B cắt đường thẳng AM AN E F Tìm tọa độ trực tâm H  MEF cho H nằm đường thẳng d : x  y   có hồnh độ dương Câu (3,0 điểm): �  600 , CSB �  90 , ASC �  120 Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a, ASB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2) Gọi I, J, G trung điểm SC, AB, IJ Mặt phẳng (P) qua G cắt cạnh SA, SB, SC A', B', C' Gọi VA.A 'B'C ' , VB.A 'B'C' , VC.A 'B'C' thể tích khối chóp A.A ' B'C ', B.A ' B 'C ', C.A ' B 'C ' P  VA.A 'B'C'  VB.A 'B'C'  VC.A 'B'C' theo a Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3) Gọi M, N hai điểm thay đổi cạnh AB SC cho CN AM  Tìm giá trị SC AB nhỏ đoạn thẳng MN Câu (1,0 điểm): Với số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 2a  b  8bc 2b   a  c   LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 2 1) TXĐ: D  �; y '  3x  3m; y '  � x  m  Cm   1 có hai điểm cực trị A, B � PT (1) có nghiệm phân biệt � m  Khi A     m; 2m m  , B  m; 2m m  Phương trình AB: y  2mx  hay 2mx  y   Ta có AB  4m  4m  1 , d  I, AB   4m 4m   4m 4m   m   1 4m S ABI  AB.d  I, AB   4m  4m  1 8 2 4m  � 4m m  � m m  2 � m   TM  Kết luận: m  2) Đặt CD  x  km  , x � 0;9 � CD  x  36; AD   x phí xây dựng đường ống T  x   260000000 x  36  100000000   x  đồng + Xét hàm số T  x  đoạn  0;9 ta có � 13x � T  x   20000000 �  �� T '  x   � 13x  x  36 � x  36 � � 168x  25  x  36  � x  25 �x �5 � + Lại có T    2460000000; T � � 2340000000; T    260000000 117 �2 � Suy T(x) đạt giá trị nhỏ đoạn  0;9 2340000000 x  + Vậy chi phí lắp đặt thấp 2340000000 đồng x  hay điểm D cách A khoảng 6,5 km Câu 1) Điều kiện sin 2x �0 PT tương đương với � cos x  sin x  sin 2x sin x cos x  cos x  sin x �  cos 2x.cos x cos x � cos 2x  cos 2x   cos 2x  � �� kết hợp với điều kiện: phương trình vơ nghiệm cos 2x  2 � 3 �  1 �x  6x  13x  y  y  10 2) Giải hệ phương trình � � 2x  y    x  y  x  3x  10y    �2x  y  �0 ĐK: �  x  y �0 �  1 �  x    x   y  y  * Xét hàm số f  t   t  t Ta có f '  t   3t   t ��� f  t  đồng biến � Do  * � y  x  Thay y  x  vào (2) ta 3x   2x  x  3x  10x  28 � 3x     2x  x  3x  10x  30 � x 3 � � � �   x  10 � 3x    2x  x  3  x  3  3x    2x   x    x  10   3 PT (3) vơ nghiệm với �x �  �1   3, x  10 �10 3x    2x �x  Vậy hệ có nghiệm � �y  Câu u n 1  5u n  12 � u n 1    u n   Đặt v n  u n  � v n 1  5v n n ��* � dãy số  v n  lập thành cấp số nhân có cơng bội q  5, v1  u1   10 � v n  v1q n 1  10.5n 1 � u n  2.5n  n � un 2.5n  �1 �� � lim n  lim  lim � 2  � �� 2 5n �5 �� � 2) Đường tròn (I) có tâm I  2;1 , bán kính r  AF đường cao tam giác MEF nên H, A, F thẳng hàng AI song song với HM nên AI NI   � HM  2AI HM NM Gọi I' đối xứng với I qua A nên I '  0;5  II '  2AI  HM, II '/ /HM nên HMI I' hình bình hành � I ' H  IM  r  H �d � H  t; t   , t  0; I ' H  �  t     t     t 1 � � 2t  2t   � � Vậy H  1;7  t  2  L  � Câu 1) Xét tứ diện SABC có SA  SB  SC  a �  600 � AB  a ABS SA  SB, ASB SBC vuông S: BC  a SAC : AC  SA  SC2  2SA.SC.cos1200  a Có AC2  AB2  BC � ABC vng B Hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a Hạ SH   ABC  � H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC � H trung điểm AC a a2 a3 Xét SAC : SH  ; SABC  � VS.ABC  SH.SABC  2 12 2) r uuu r r uur r uur uuur uuu r r uuur uur r uuur uur r Đặt a  SA, b  SB, c  SC, SA '  xSA  xa, SB'  ySB  yb, SC '  zSC  zc   x, y, z �1 uuuur uuur uuur r r uuuuu r uuur uuur r r C ' A  SA '  SC '  xa  zc, C ' B'  SB'  SC '  yb  zc uuur uuur uuur uuu r uur uur r GA  GB  GC  GS  2GI  2GJ  uuuur uuuu r uuuu r uuur uuuur � C 'A  C ' B  C 'C  C 'S  4C 'G uuuur uuu r uur uur uuur r r r �1 � � C 'G  SA  SB  SC  4SC '  a  b  c �  z �  1 4 �4 �   Do A', B', C' G đồng phẳng nên uuuur uuuuur uuuuu r r r r C 'G  mC ' A '  nC ' B'  mxa  nyb  c  mz  nz    r r r Mà a, b, c không đồng phẳng nên từ (1) (2) ta có � mx  � � 1 1 � ny  �   4 � x y z � � mz  nz   z � � Ta có VA.A 'B'C' AA ' SA  SA '    1 VS.A 'B'C ' SA ' SA ' x Tương tự ta có VA.A 'B'C' VB.A 'B'C' VC.A 'B'C' 1    1 1 1  VS.A 'B'C ' VS.A 'B'C' VS.A 'B'C' x y z � VA.A 'B'C'  VB.A 'B'C '  VC.A 'B'C '  VS.A 'B'C' VS.A 'B'C ' SA ' SB' SC '   xyz � VS.A 'B'C'  xyzVS.ABC VS.ABC SA SB SC Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 1 1 �۳�3� x y z xyz x  y  z  27 64 xyz P VA.A 'B'C' VB.A 'B'C' VC.A 'B'C ' 27 VS.ABC 64 9a 9a P  nên giá trị nhỏ P 256 256 CN AM   m  �m �1 SC AB uuur uur r uuuu r uuur r r � NC  mSC  mc, AM  mAB  m b  a 3) Đặt   uuuu r uuuu r uuu r uur uuur r r r r r r r r MN  MA  AS  SC  CN  m b  a  a  c  mc   m  1 a  mb    m  c   r r a2 r r rr a2 2 Do a.b  , b.c  0, a.c   nên MN   3m  5m   a 2 � 11 2� 3a�  m � � a � � 12 11 a 12 a 33 m  0;1 MN Dấu đẳng thức xẩy m  a 33 Vậy giá trị nhỏ MN 6 Câu Ta có 8bc 2�b.2c b 2c  a  c  � 2b 2 Mặt khác a 2a  b  8bc c b  a  b  c 8   a  c   2b 2 8 5a bc  Do P �  a  b  c  a  b  c Đặt t  a  b  c, t  Xét f  t    , t0 2t  t Ta có f '  t     3t  5  5t   , t    2 2t   t  2t   t  f ' t   � t  Bảng biến thiên: t f ' t  f  t - � + 9a 256  10 Từ bảng biến thiên �5 �  � f f��  t   �3 � Khi a  c  10 t P f  a b c 10 5 9 , b  P   Vậy giá trị nhỏ P  12 10 10 ... điểm): Với số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 2a  b  8bc 2b   a  c   LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 2 1) TXĐ: D  �; y '  3x  3m; y '  � x  m  Cm   1 có hai điểm cực trị... �10 3x    2x �x  Vậy hệ có nghiệm � �y  Câu u n 1  5u n  12 � u n 1    u n   Đặt v n  u n  � v n 1  5v n n ��* � dãy số  v n  lập thành cấp số nhân có cơng bội q  5, v1  u1... tứ diện SABC có SA  SB  SC  a �  600 � AB  a ABS SA  SB, ASB SBC vuông S: BC  a SAC : AC  SA  SC2  2SA.SC.cos1200  a Có AC2  AB2  BC � ABC vng B Hình chóp S.ABC có SA  SB 