Phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti

Lưu ý rằng, trong thí dụ này, điều kiện “hai đường tròn tiếpxúc nhau từng đôi một” không thỏa mãn.Từ đó đến nay đã có khá nhiều lời giải khác nhau dùng công cụ của hình học,đại số và lượ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————–o0o——————–

HOÀNG MINH QUÂN

PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU TOÀN CỤC GIẢI BÀI TOÁN MALFATTI SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————–o0o——————–

HOÀNG MINH QUÂN

PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU TOÀN CỤC GIẢI BÀI TOÁN MALFATTI SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Tạ Duy Phượng

HÀ NỘI, 2018

Mục lục

Chương 1 Tổng quan về bài toán Malfatti 10

1.1 Lịch sử phát triển của bài toán Malfatti 10

1.2 Cách dựng các đường tròn giải bài toán Malfatti 14

1.2.1 Cách dựng của Malfatti năm 1803 14

1.2.2 Cách dựng của Steiner năm 1826 15

1.2.3 Cách dựng của Lob – Richmond 17

1.2.4 Lời giải của V A Zalgaller và G A Los’ (1994) 18

1.2.5 Phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti 19

Chương 2 Phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti suy rộng 24 2.1 Điều kiện tối ưu Strekalovsky 24

2.1.1 Giới thiệu 24

2.1.2 Cực biên và tập bao hàm 27

2.1.3 Cực đại hóa lồi trên tập chấp nhận được 32

2.1.4 Cực tiểu trên phần bù của tập lồi 35

2.2 Thuật toán tìm cực đại hàm lồi trên tập đơn giản 42

2.2.1 Xây dựng điều kiện cho baì toán tối ưu 42

2.2.2 Sự hội tụ của thuật toán 45

2.3 Sử dụng thuật toán MAX giải bài toán Malfatti với bốnhình tròn 502.3.1 Bài toán Malfatti và cực đại hóa trên tập lồi 502.3.2 Tối ưu toàn cục và thuật toán cho bài toán Malfatti 532.3.3 Các kết quả 552.4 Phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti suyrộng 642.4.1 Phương pháp tối ưu toàn cục và thuật toán 662.4.2 Một số kết quả 68

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Vào năm 1803, nhà toán học Ý Malfatti (1731 − 1807) đã phát biểu bài toán(sau này được gọi là bài toán đá hoa cương Malfatti - Malfatti’s marble Problem)như sau: Cho một hình lăng trụ đứng tam giác được làm từ một loại chất liệu,thì dụ khối đá hoa cương Hãy cắt từ khối đá đó ba hình trụ không chồng lênnhau có cùng chiều cao bằng chiều cao hình trụ và có tổng thể tích lớn nhất cóthể

Gianfrancesco MalfattiBài toán này dẫn đến bài toán hình học trên mặt phẳng: Hãy cắt từ một tamgiác đã cho ba hình tròn có tổng diện tích lớn nhất

Malfatti và nhiều người khác cho rằng, ba hình tròn phải tiếp xúc nhau từng đôimột và mỗi hình tròn phải tiếp xúc với hai cạnh của tam giác Các hình trònthỏa mãn tính chất trên sau này được gọi là hình tròn Malfatti

Vào năm 1930, Lob và Richmond [6] đã chỉ ra rằng, hình tròn nội tiếp tam giácđều cùng với hai hình tròn nhỏ hơn lại có tổng diện tích lớn hơn tổng diện tích

bài toán Malfatti Lưu ý rằng, trong thí dụ này, điều kiện “hai đường tròn tiếpxúc nhau từng đôi một” không thỏa mãn.

Từ đó đến nay đã có khá nhiều lời giải khác nhau dùng công cụ của hình học,đại số và lượng giác để giải quyết bài toán Malfatti

Bài toán Malfatti được coi là bài toán đầu tiên của bài toán xếp hình tròn (circlepacking problems), có nhiều ứng dụng trong thực tế

Bài toán Malfatti có nhiều mở rộng Hai trong những mở rộng trực tiếp là thay

ba đường tròn bằng một số đường tròn hay thay tam giác bằng tứ diện

Gần đây, Rensen Enkbat [1] đã phát biểu bài toán Malfatti dưới dạng một bàitoán tìm cực tiểu của hàm lõm (hay cực đại của hàm lồi) và sử dụng các công

cụ của tối ưu toàn cục (điều kiện tối ưu toàn cục cho bài toán cực đại hàm lồi,được phát biểu bởi Strekalovsky, xem [7]) để xây dựng thuật toán hội tụ giảibài toán Malfatti

Sau đó, Rensen Enkbat và M Barkova [2] đã phát triển phương pháp cho bàitoán Malfatti suy rộng: Xếp bốn hình tròn trong tam giác đã cho sao cho tổngdiện tích của chúng là lớn nhất

Bài toán Malfatti suy rộng với công cụ giải hiện đại (tối ưu toàn cục) vừa có ýnghĩa lý thuyết và thực tế, vừa có ý nghĩa khoa học và thời sự Đó chính là lí do

mà tôi chọn đề tài Phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti suy rộnglàm đề tài luận văn cao học

2 Mục đích nghiên cứu

1) Trình bày tổng quan về bài toán Malfatti

2) Trình bày lời giải bài toán Malfatti suy rộng nhờ công cụ của tối ưu toàn cục

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1) Đọc và tổng hợp các tài liệu về bài toán Malfatti

2) Viết một luận văn tổng quan về lời giải bài toán Malfatti suy rộng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu “Phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti suy rộng"

5 Phương pháp nghiên cứu

1) Thu thập các tài liệu liên quan tới bài toán Malfatti

2) Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới đề tài và viếtluận văn trình bày một phương pháp mới giải bài toán Malfatti suy rộng

6 Dự kiến đóng góp mới

Cố gắng xây dựng bản luận văn như một bản tổng quan về bài toán Malfattisuy rộng và trình bày phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti suyrộng

6 Nội dung của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo Luận văn gồm hai chương:Chương 1: Tổng quan về bài toán Malfatti

Trong chương này, tôi trình bày về lịch sử phát triển của bài toán Malfatti vàmột số cách dựng các đường tròn của bài toán Malfatti

Chương 2: Phương pháp tối ưu toàn cục giải bài toán Malfatti suy rộng.Trong chương này, tôi trình bày về điều kiện tối ưu toàn cục Strekalovsky chobài toán cực đại hàm lồi và việc đưa bài toán Malfatti suy rộng về bài toán cựcđại hàm lồi trên tập lõm

LỜI CẢM ƠNVới lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS.

Tạ Duy Phượng, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ của ban giám hiệu, các thầy cô Trường THPT NgọcTảo, Hà Nội, cảm ơn gia đình cùng toàn thể các bạn, những người thân, đã luôn

ở bên động viên, giúp đỡ và khích lệ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 6 năm 2018

Học viên Cao học

Hoàng Minh Quân

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan luận văn này là của chính tôi được thực hiện dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Tạ Duy Phượng Nội dung luận văn không sao chép và khôngtrùng với bất kỳ luận văn nào Những trích dẫn, kết quả nghiên cứu có trongluận văn lấy từ các công bố chính thức và có ghi chú rõ ràng Nếu sai tôi xinchịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 12 tháng 6 năm 2018

Học viên Cao học

Hoàng Minh Quân

Chương 1

Tổng quan về bài toán Malfatti

1.1 Lịch sử phát triển của bài toán Malfatti

Vào năm 1803, nhà toán học Ý Malfatti (1731–1807) đã phát biểu bài toán(sau này được gọi là bài toán cắt đá hoa cương Malfatti - Malfatti’s marble Prob-lem) như sau: Cho một hình lăng trụ đứng tam giác được làm từ một loại chấtliệu, thí dụ khối đá hoa cương Hãy cắt từ khối đá đó ba hình trụ không chồnglên nhau có cùng chiều cao bằng chiều cao hình trụ và có tổng thể tích lớn nhất

có thể Bài toán này dẫn đến bài toán hình học trên mặt phẳng: Hãy cắt từ mộttam giác đã cho ba hình tròn không chườm lên nhau và có tổng diện tích lớn nhất

Malfatti và nhiều người khác cho rằng, ba hình tròn là lời giải bài toán phảitiếp xúc nhau từng đôi một và mỗi hình tròn phải tiếp xúc với hai cạnh củatam giác Các hình tròn thỏa mãn tính chất trên sau này được gọi là hình trònMalfatti

Malfatti đã dựng ba đường tròn sao cho mỗi đường tròn tiếp xúc với hai đườngcòn lại và tiếp xúc với hai cạnh của tam giác (Hình 1.1) Trường hợp tam giáccân đã được nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli (1654 − 1705) xemxét từ trước Năm 1826 Jakob Steiner (1796 − 1863) đã tìm ra một cách dựng

“tinh tế” hơn đối với một tam giác cho trước Các nhà toán học khác như B.Pl¨ucker, Cayley và Clebsch cũng quan tâm nghiên cứu vấn đề này Nhưng tất

cả đều cùng suy nghĩ như Malfatti – đều cho rằng mỗi đường tròn tiếp xúc vớihai cạnh của tam giác Một thời gian dài sau năm 1803, không ai nghi ngờ lờigiải của Malfatti

Hình 1.1Tuy nhiên, Lob và Richmond (1930, [6]) đã phát hiện ra rằng: Các đường trònMalfatti không phải là lời giải của bài toán Malfatti Lob và Richmond nhậnxét rằng, trong tam giác đều, đường tròn nội tiếp tam giác, với hai đườngtròn nhỏ nằm hoàn toàn trong các góc, có diện tích lớn hơn các đường trònMalfatti Lời giải của Malfatti (Hình 1.2) cho tổng diện tích trong tam giác đềulà

√

3 − 32



π ≈ 0, 729, gần bằng 73%

Hình 1.2 Cách dựng của MalfattiLob và Richmond xây dựng ba đường tròn, trong đó đường tròn lớn nhất nộitiếp tam giác và tiếp xúc với hai đường tròn còn lại; hai đường tròn nhỏ nội tiếptrong hai góc của tam giác đều và tiếp xúc với đường tròn lớn (Hình 1.3) Tổngdiện tích ba đường tròn là 11

√3

81 ≈ 0, 739, gần bằng 74%

Hình 1.3 Cách dựng của Lob và RichmondTổng diện tích chỉ tăng 1%, nhưng phát hiện của Lob và Richmond thật ấntượng!

Năm 1965, Howard W Eves (1911 − 2004) tìm ra điều kì lạ hơn: Nếu tam giácvuông đã cho dài và hẹp, bằng mắt thường cũng có thể thấy lời giải của Malfatti

là không đúng: Các đường tròn kề nhau (Hình 1.4) có tổng diện tích (độ phủ)xấp xỉ 50%, một tỉ lệ lớn hơn các đường tròn Malfatti (Hình 1.5) có độ phủ vàokhoảng 35%

Hình 1.4 Độ phủ khoảng 50%

Hình 1.5 Các đường tròn Malfatti (Độ phủ khoảng 35%)Như vậy, các đường tròn Malfatti không phải là lời giải tối ưu của bài toánMalfatti Và ta có một bài toán tối ưu hóa:

Tìm ba hình tròn không chườm lên nhau nằm trong tam giác cho trước sao chotổng diện tích ba hình tròn là lớn nhất

Năm 1967, Goldberg [5] đã khẳng định rằng lời giải của Malfatti không đúngvới bất kể hình dạng của tam giác nào được chọn! Đó thực sự là một tiếng sétgiữa trời quang!

Lời giải đúng luôn sử dụng các đường tròn nội tiếp của tam giác ban đầu nhưmột trong ba đường tròn, cụ thể là, một trong các đường tròn sẽ luôn tiếp xúcvới tất cả các cạnh của tam giác Cấu hình như vậy là do một trong các cáchsắp xếp sau:

Hình 1.6Goldberg sử dụng các tính toán và các hình vẽ cho lời giải của ông Một chứngminh toán học hoàn chỉnh được đưa ra lần đầu tiên bởi Zalgaller và Los’ [8] năm1994

Tuy nhiên, lại có sự ngạc nhiên tiếp theo: Nhà toán học Mông Cổ Rensen Enkbat

đã sử dụng phương pháp tối ưu toàn cục xây dựng thuật toán xấp xỉ hội tụ giảibài toán Malfatti cho ba hình tròn (2016) [1] và cùng với đồng nghiệp giải bàitoán Malfatti suy rộng với bốn hình tròn (2016) [2], sau đó tiếp tục mở rộng bàitoán Malfatti cho n hình tròn và cho n hình cầu trong không gian (2017) [3]

1.2 Cách dựng các đường tròn giải bài toán

Mal-fatti 1.2.1 Cách dựng của Malfatti năm 1803

Hình 1.7Cho tam giác ABC, có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c; ba góc α, β, γ và bađường phân giác tương ứng là ωα, ωβ, ωγ Gọi k(I, r) là đường tròn nội tiếp tamgiác Các đường tròn Malfatti lần lượt là kA(MA, rA), kB(MB, rB), kC(MC, rC)tiếp xúc với hai cạnh của tam giác và tiếp xúc hai đường tròn còn lại Sử dụngđịnh lý Pythagoras và tam giác đồng dạng, ta được ba phương trình:

x + y +2r

√xy

√

st = s + t, z + y +

2r√zy

√

ut = u + t, x + z +

2r√xz



s + t + u − r +pr2+ s2−pr2+ u2−pr2+ t2,

y = 12



s + t + u − r +pr2+ u2−pr2+ s2−pr2+ t2,

z = 12



s + t + u − r +pr2+ t2−pr2+ s2−pr2+ u2

Từ các phương trình này các đường tròn Malfatti cũng được dựng bằng thước

kẻ và compa

Tâm I của đường tròn nội tiếp với các bán kính AI, BI, CI dựng được và

s, t, u (độ dài đoạn tiếp tuyến của I trên các cạnh) cũng dựng được Cách dựnghình khá dễ dàng nếu nhận ra các mối quan hệ sau:

AI =pr2+ s2, BI =pr2+ t2, ... vẽ đầu tiên.

1.2.5 Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti< /h3>

Gần đây, nhà tốn học Mơng Cổ Rensen Enkbat [1] phát biểu toánMalfatti dạng toán tìm cực tiểu hàm lõm (hay... class="page_container" data-page="20">

để xây dựng thuật toán hội tụ giải toán Malfatti.

Năm 2016, Rensen Enkbat M Barkova [2] phát triển phương pháp trong[1] cho tốn Malfatti suy rộng: Xếp bốn hình trịn tam... kiện tối ưu địa phương cổ điển

< ∇f (z) , x − z > ≤ 0, ∀x ∈ D (2.5)cho toán cực đại hàm lồi

(trong f (.) hàm lồi D tập lồi ) bảo tồn tính chất thuật toán điềukiện tối ưu (2.2)