Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo án giới hạn của hàm số tại 1 điểm tiết 1 Định nghĩa 1 (SGK124) Cho hàm số xác định trên hoặc trên , Khi đó, Chú ý: Ở đây, thay cho các khoảng hoặc , ta viết chung là khoảng . HĐTP 3: Củng cố định nghĩa Ví dụ 1: Cho . Chứng minh Giải: Tập xác định: Giả sử là một dãy số bất kì thỏa mãn và . Ta có: Do đó . Lưu ý: Hàm số không xác định tại , nhưng vẫn có thể có giới hạn tại điểm này. Ví dụ 2: Cho các hàm số sau: (với c là hằng số). Tính , , . Giải: Giả sử là một dãy số bất kì, và Ta có: Tương tự ta có: NHẬN XÉT: (với c là hằng số). Ví dụ 3: Tính: a) b) c) d) Giải: a) b) c) d)
Ngày soạn: Ngày dạy: Người dạy: Trần Thị Tuyết Ngân Giáo viên hướng dẫn: Tiết số: 53 TÊN BÀI: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I Mục tiêu học Qua học, học sinh sẽ: Kiến thức − Hiểu khái niệm giới hạn hàm số điểm, chủ yếu thơng qua ví dụ minh họa − Hiểu định lý giới hạn hữu hạn Kỹ − Biết cách vận dụng định lý giới hạn hữu hạn hàm số để tính giới hạn hàm số đơn giản − Biết cách tính giới hạn hữu hạn hàm số máy tính bỏ túi 3.Thái độ − Được rèn luyện tính tư logic có hệ thống − Được rèn luyện tính tích cực, chủ động, sáng tạo học tập − Được rèn luyện tính cẩn thận, xác, trách nhiệm học tập làm việc nhóm − Kích thích hứng thú học tập, giúp học sinh thấy mối liên hệ kiến thức toán học Năng lực − Phát triển lực tư logic, lực phát giải vấn đề, lực phân tích, lực hợp tác, lực đánh giá,… II Chuẩn bị học Giáo viên (GV): Đồ dùng dạy học, Máy tính máy chiếu, bảng phụ, câu hỏi gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức Học sinh (HS): Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi III Tiến trình học Ổn định: Ổn định tổ chức lớp Kiểm tra cũ: (Lồng ghép vào hoạt động) Bài mới: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA GHI BẢNG – TRÌNH HS CHIẾU Hoạt động 1: Khám phá, phát định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm HĐTP 1: Hình thành định nghĩa GV ghi tiêu đề toán lên bảng − − GV gợi ý: + Các giá trị tương ứng f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), hàm số lập thành dãy số, kí + − + ( f ( xn )) xn ≠ f ( xn ) x − xn f ( xn ) = n xn − f ( xn ) = Bằng phép biến đổi đại số HS suy nghĩ giải toán + x − xn xn − n x ( x − 1) = n n = xn xn − lim f ( xn ) = lim xn = lim xn = + Áp dụng định lý giới hạn dãy số, tính lim f ( xn ) dãy số thực khác ( tức xn ≠ lim xn = b) Tính Giải: a) Vì = minh nên: x − xn xn − n xn ( xn − 1) = xn xn − ∀n , Vì lim f ( xn ) xn ≠ f ( xn ) = với n) cho a) Chứng f ( xn ) = xn b) − 2x2 − x f ( x) = x −1 x1 , x2 , , xn , với n biểu diễn nào? + Xét toán: Cho hàm số c f ( x) hiệu §2: Giới hạn hàm số lim xn = nên: lim f ( xn ) = lim xn = lim xn = GV gợi động cơ: Khi đó, ta nói hàm 2x2 − x f ( x) = x −1 số có giới hạn x dần tới Vậy, giới hạn hữu hạn hàm số điểm − GV ghi tiêu đề lên bảng I Giới hạn hữu hạn hàm số điểm Định nghĩa HĐTP 2: Phát biểu định nghĩa − − GV yêu cầu HS phát biểu định nghĩa theo ý hiểu − GV xác hóa định nghĩa tóm tắt định nghĩa − HS phát biểu định nghĩa theo ý hiểu HS ghi chép x → x0 y ( xn ) , xn ∈ K \ { x0 } ∀ daõ ⇔ lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L GV đưa ý: Ở đây, thay cho Chú ý: Ở đây, thay cho (a; b), ( −∞; b), (a; +∞) , chung khoảng ta K K lim f ( x ) = L y ( xn ) , xn ∈ K \ { x0 } ∀ daõ ⇔ lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L (−∞; +∞) xác K \ { x0 } x0 ∈ K , Khi đó, lim f ( x ) = L y = f ( x) Cho hàm số định x → x0 khoảng Định nghĩa (SGK/124) viết khoảng ( a; b), ( −∞; b), ( a; +∞) ( −∞; +∞) chung khoảng , ta viết K HĐTP 3: Củng cố định nghĩa − GV hướng dẫn HS thực VD1 + Nêu tập xác định hàm số + Dựa vào định nghĩa: HS thực theo hướng dẫn GV − + TXĐ: D = ¡ \ { −3} Lấy dãy cần thỏa mãn điều kiện gì? f ( x) = Cho minh Giải: Lấy x2 − x −3 Chứng lim f ( x) = ( xn ) Ví dụ 1: ( xn ) x →3 thỏa Tập xác định: D = ¡ \ { 3} Bằng kiến thức học tìm mãn lim f ( xn ) xn ∈ ¡ \ { −3} lim xn = x →3 Kết luận − GV giúp HS đưa lưu ý + Mối quan hệ tập xác định giới hạn điểm + Lấy dãy số kì ( x − 3)( xn + 3) = lim n ( xn − 3) = lim =6 =6 lim f ( x) = Tìm lim f ( x) + Kết luận x → x0 lim f ( x) = lim x = x0 x → x0 x → x0 Tương tự − x →3 Lưu ý: Hàm số f ( x) không x0 xác x→3 Ví dụ 2: Cho hàm số sau: f ( x) = x, ∀x ∈ ¡ HS dựa vào định nghĩa VD1 để giải g ( x) = c, ∀x ∈ ¡ quyết: số) ( xn ) + Lấy dãy số bất kì, lim f ( x) − xn ∈ ¡ g ( x) Do xác định , x=3 định có giới hạn điểm f ( x) có giới hạn lim f ( xn ) ( xn − 3)( xn + 3) ( xn − 3) = lim xn + lim = lim xn + lim + = lim( xn + 3) = lim( xn + 3) bất xn2 − lim f ( xn ) = lim xn − f ( x) = GV gợi động nhằm ⇒ lim x →3 đưa nhận xét: − HS: f ( x) Tương tự VD trên: + không + lim xn = xn2 − lim f ( xn ) = lim xn − − ( xn ) dãy thỏa mãn Ta có: Giả sử số xn ∈ ¡ \ { 3} x −9 f ( xn ) = xn − n lim f ( x) ( xn ) + Ta có: lim xn = x0 Tính x → x0 (với c , lim g ( x) ∀x ∈ ¡ x → x0 lim f ( xn ) = lim xn = x0 f ( x) = lim x = x0 GV đưa nhận xét ⇒ xlim →x x→x SGK/124 Tương tự ta có: 0 , Giải: Giả sử bất kì, ( xn ) xn ∈ ¡ dãy số lim xn = x0 + − GV đưa ví dụ, hỏi đáp nhanh HS lim g ( xn ) = lim c = c ⇒ lim g ( x) = lim c = c x → x0 x → x0 Ta có: lim f ( xn ) = lim xn = x0 ⇒ lim f ( x) = x0 x → x0 Tương tự ta có: lim g ( xn ) = lim c = c ⇒ lim g ( x) = lim c = c x → x0 x → x0 NHẬN XÉT: − lim x = x0 HS áp dụng nhận xét, thực ví dụ + lim c = c lim x = a) x →6 lim x = − b) c) x →− x → x0 + (với c số) Ví dụ 3: lim1 x lim x lim = x→−6 Tính: a) d) x → x0 4 2 lim ÷ = lim = x→ x→ 9 x →6 x →− b) lim c) x→−6 d) Giải: 2 lim ÷ x→ lim x = a) x →6 lim x = − b) x →− 3 lim = c) x→−6 d) 4 2 lim ÷ = lim = x→ x→ 9 Hoạt động 2: Hình thành định lý giới hạn hữu hạn Định lý giới hạn hữu − GV đặt vấn đề đưa định lý: + Nhắc lại định lý giới hạn hữu hạn dãy số + Giới hạn hữu hạn hàm số có tính chất tương tự + GV đưa định lý − HS thực yêu cầu hạn GV − HS ý ghi chép ĐỊNH LÝ: (SGK/125) lim f ( x) = L a) Giả x → x0 sử , lim g ( x) = M x → x0 Khi đó: lim [f ( x) + g ( x )] = L + M • x → x0 lim [f ( x) − g ( x )] = L − M • • x → x0 lim [f ( x).g ( x)] = L.M x → x0 ⇒ lim cf ( x) = c.L x → x0 GV hướng dẫn HS cách ghi nhớ nhanh: Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số điểm tổng, hiệu, tích, thương giới hạn chúng điểm (trong trường hợp thương, giới hạn mẫu phải khác không) − GV: Định lý hoàn toàn trường hợp tổng quát Tức là: Giả sử : − lim • lim f n ( x) = Ln x → x0 Khi đó: = b) Nếu lim f ( x) = L x → x0 L M (nếu M ≠ 0) f ( x) ≥ , L ≥ f ( x) = L lim x → x0 (Dấu f (x) xét khoảng tìm giới hạn, với lim f1 ( x) = L1 , lim f ( x) = L2 , , x → x0 x→ x0 f ( x) g ( x) (c=const) x → x0 − HS tìm hiểu định lý trường hợp tổng quát x ≠ x0 ) lim [f1 ( x) + f ( x) + + f n (x)] = x → x0 L1 + L2 + + Ln Tương tự cơng thức cịn lại − GV u cầu HS nhà hồn thiện cơng thức tổng qt cịn lại Tổng quát: Giả sử : lim f1 ( x) = L1 , lim f ( x) = L2 , , x → x0 x → x0 lim f n ( x) = Ln x → x0 Khi đó: • lim [f1 ( x) + f ( x) + + f n (x)] = x → x0 L1 + L2 + + Ln • lim [f1 ( x) − f ( x) − − f n (x)] = x → x0 L1 − L2 − − Ln • lim [f1 ( x ) f ( x ) f n (x)] = x → x0 L1.L2 Ln Hoạt động 3: Củng cố vận dụng định lý Ví dụ − GV hướng dẫn HS thực − HS thực theo x2 + 5x + lim hướng dẫn GV VD4 x →−1 x +1 D = ¡ \ {-1} Tính: + Tập xác định hàm + TXĐ: Giải: số lim( x + 1) + Nhận xét lim ( x + 1) x →−1 x →−1 = lim x + lim lim( x + 1) = lim x + lim = −1 + = x →−1 ⇒ x →−1 x →−1 x→−1 chưa thể áp dụng định + x →−1 = −1 + = TXĐ: Ta có: D = ¡ \ {-1} lý giới hạn hữu hạn + Đặt + Với x2 + 5x + f ( x) = x +1 x ≠ −1 , hàm số + = lim x + lim lim f ( x) = lim( x + 4) biểu diễn nào? x →−1 x →−1 x →−1 x →−1 =3 = −1 + =3 + x →−1 = −1 + = lim x + lim x →−1 Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn, tính lim x →−1 f ( x) + x2 + 5x + x →−1 x +1 ( x + 1)( x + 4) = lim x →−1 x +1 = lim ( x + 4) x2 + 5x + x +1 ( x + 1)( x + 4) = x +1 = x+4 f ( x) = lim f ( x ) x →−1 − − HS áp dụng định lý: NHẬN XÉT: GV giao VD2 (SGK / lim ax k Nếu k số nguyên x 125) tập nhà → x dương a số = lim a lim x lim x lim x cho HS x→ x x→ x x→ x x→ x 44 4 43 ∀x0 ∈ ¡ GV hướng dẫn HS áp k , ta có: dụng định lý để đưa = a.(lim x ) k = ax k x→ x nhận xét lim ax k = ax0k x → x0 − HS thực theo yêu cầu GV − 0 0 GV chia lớp thành nhóm − GV trình chiếu đề lên bảng (Sử dụng máy chiếu) − Phiếu học tập Nhóm 1, Tìm: Phiếu học tập Nhóm 1, Tìm: lim Nhóm 2, a) Nhóm 1, 3: a) b) x →1 lim ( x + x ) x →−1 Giải: a) x2 + x − x3 − x a) lim x →1 c) x2 + x − x3 − x b) lim ( x + x ) x →−1 2x2 − x + x →2 x + x lim d) lim x →3 x2 + x x2 + x − x →1 x − x ( x − 1)( x + 2) = lim x →1 x ( x − 1) x + lim( x + 2) = lim = x→1 x →1 x lim x lim x →1 = + Sau thời gian phút, GV chọn ngẫu nhiên nhóm trình bày kết lên bảng lim x + lim x →1 lim x.lim x x →1 1+ 1.1 =3 lim x.lim x x →1 b) lim ( x + x ) lim ( x3 + x ) x →−1 x →−1 = lim x3 + 7.(lim x) = lim x3 + 7.(lim x) x →−1 x →−1 = −1 + 7.( −1) x →−1 = −1 + 7.( −1) = −8 = −8 Nhóm 2, 4: c) c) 2x2 − x + lim + Hai nhóm cịn lại x → x + x quan sát nhận xét lim(2 x − x + 1) x →2 làm nhóm = lim( x + x ) x2 − x + lim x →2 x + 2x lim(2 x − x + 1) = x →2 lim( x + x ) x→2 = x →1 1+ 1.1 =3 bạn x →1 = b) x →−1 lim x + lim x →1 = x →1 = x →1 x →1 x2 + x − x →1 x − x ( x − 1)( x + 2) = lim x →1 x ( x − 1) x + lim( x + 2) = lim = x→1 x →1 x lim x lim x →2 lim x − lim x + lim1 x →2 x→2 x→2 lim x + lim x x →2 = x →2 2.2.2 − + = 2.2 + 2.2 = d) x →2 x →2 2.2.2 − + 2.2 + 2.2 = = x →2 lim x + lim x x →2 d) lim x − lim x + lim1 x →2 x + 1) x + lim( x →3 = + GV đưa nhận xét lim x →3 x lim x x →3 nhóm lim x + lim1 x →3 = x →3 lim 2.lim x x →3 = = x →3 x→3 lim lim x x →3 3.3 + = 3 lim f ( x) x → x0 Để tính − Casio fx-570: B1: Nhập vào máy tính f (X ) biểu thức B2: Bấm phím CALC X =? x0 X = x0 ± 10−8 − = HS sử dụng máy tính bỏ túi kiểm tra lại kết 10 lim x + lim1 x →3 = x →3 lim x.lim x + lim1 x →3 x →3 x →3 lim lim x x →3 = x →3 lim 2.lim x x →3 x →3 - HS tiến hành tính tốn hướng dẫn − GV hướng dẫn HS cách GV tính nhanh giới hạn hữu hạn hàm số máy tính bỏ túi thơng qua thao tác máy tính bỏ túi (Đồng thời chiếu lên hình máy chiếu để tất HS dễ dàng quan sát) Cách tính giới hạn hàm số máy tính bỏ túi (Casio fx-570, Vinacal) Máy tính hỏi , ta nhập vào giá trị xấp xỉ x →3 x →3 lim x.lim x + lim1 x →3 x + 1) x + lim( x →3 lim = x →3 x lim x x →3 3.3 + = 3 10−5 ,10 −9 , (hoặc ) Sau nhấn phím “ = ” − Vinacal: B1: Bấm tổ hợp phím SHIFT_6_5, hình Lưu ý: lim( ) |x→ f ( x) Khi sử dụng máy tính bỏ túi, kết thường xấp xỉ đáp án x0 B2: Nhập vào máy tính Sau nhấn phím “ = ” − GV yêu cầu HS sử dụng máy tính bỏ túi thử lại giới hạn hàm số hoạt động nhóm − GV giúp HS lưu ý vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi để tính giới hạn hàm số Vì vậy, thường dùng cách để kiểm tra, thử lại kết IV Củng cố: Qua học, HS cần: − Nắm vững định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm, định lý − giới hạn hữu hạn Biết vận dụng định lý giới hạn hữu hạn hàm số để giải số toán cụ thể GV giúp HS hệ thống lại kiến thức số câu hỏi trắc nghiệm: Chọn đáp án nhất: Câu 1: Khẳng định sau khơng xác? A Hàm số f ( x) không xác định x0 , có giới hạn điểm 11 lim f ( x) = L ⇔ ∀( xn ), xn ∈ K \ { x0 } B x → x0 xn → x0 ⇒ f ( xn ) → L lim [f ( x ) + g ( x )] = L + M C x → x0 lim f ( x) = L ⇒ lim x → x0 x → x0 f ( x) = L D Câu 2: Tính: lim x →2 A 3x + x −1 B C -1 D Câu 3: Tính: lim x →1 A x2 −1 x − 3x + B C D -2 C D Câu 4: Tính: lim x→2 A 2− x x+7 −3 B -6 V Dặn dò 12 Đọc lại bài, đọc trước nội dung: Giới hạn bên; Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực − Bài tập nhà: + Hoàn thành định lý tổng quát giới hạn hữu hạn hàm số + Bài 1, 3a,b,c (SGK/132) * RÚT KINH NGHIỆM BÀI HỌC: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… − 13 ... lim x.lim x x ? ?1 1+ 1. 1 =3 lim x.lim x x ? ?1 b) lim ( x + x ) lim ( x3 + x ) x →? ?1 x →? ?1 = lim x3 + 7.(lim x) = lim x3 + 7.(lim x) x →? ?1 x →? ?1 = ? ?1 + 7.( ? ?1) x →? ?1 = ? ?1 + 7.( ? ?1) = −8 = −8 Nhóm... x + 1) x →2 làm nhóm = lim( x + x ) x2 − x + lim x →2 x + 2x lim(2 x − x + 1) = x →2 lim( x + x ) x→2 = x ? ?1 1+ 1. 1 =3 bạn x ? ?1 = b) x →? ?1 lim x + lim x ? ?1 = x ? ?1 = x ? ?1 x ? ?1 x2 + x − x ? ?1 x... +1 D = ¡ \ { -1} Tính: + Tập xác định hàm + TXĐ: Giải: số lim( x + 1) + Nhận xét lim ( x + 1) x →? ?1 x →? ?1 = lim x + lim lim( x + 1) = lim x + lim = ? ?1 + = x →? ?1 ⇒ x →? ?1 x →? ?1 x→? ?1 chưa thể áp