BÀI TẬP THỐNG KÊ CÓ LỜI GIẢI (phần 1) Bài 1: Trọng lượng trứng gà cho bảng số liệu sau: X-Trọng lượng (g) 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 Số 15 17 40 18 10 Bằng khoảng tin cậy đối xứng ước lượng trọng lượng trung bình loại trứng gà với độ tin cậy 95% Cho biết lượng trứng gà đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 + 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 => 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = Chọn 𝑥0 = 37.5, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 ℎ = 𝑥𝑖 −37.5 , 𝑖 = 1,5 Lập bảng 𝑥𝑖 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 Ta có: 𝑛𝑖 15 17 40 18 10 ∑ = 100 𝑡𝑖 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -30 -17 18 20 ∑ = -9 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 60 17 18 40 ∑ = 135 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 2 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑠 = ℎ ( 𝑠′2 = ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑖 = 37.5 + −9 100 𝑖 𝑛 − = 37.05 ∑𝑛 𝑡 ( 𝑛𝑖 𝑖 −9 135 ) ) = 52 [100 − (100) ] = 33.5475 𝑛 100 𝑠2 = 33,5475 = 33,8864 𝑛−1 99 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √33,8864 = 5,8212 => KTC : (37,05 − 5,8212 √100 1,96 ; 37,05 + 5,8212 √100 1.96) hay (35,9090 ; 38, 191) Vậy trọng lượng trung bình loại trứng gà với độ tin cậy 95% nằm khoảng (35,9090 ; 38, 191) Bài 2: Hàm lượng đường trung bình loại trái lúc đầu 5% Người ta chăm bón loại phân N sau thời gian kiểm tra số trái kết sau: Hàm lượng X(%) 1-5 5-9 9-13 13-17 17-21 21-25 25-29 29-33 37-41 Số trái 51 47 39 36 32 Hãy cho kết luận loại phân N với mức ý nghĩa 5% Giả thiết hàm lượng đường loại trái ĐLNN tuân theo quy luật chuẩn Bài giải +) Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng tốn biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=225) +) Giả thuyết 𝐻0 : a=5 Đối thuyết 𝐻1 : a>5 +) Tiêu chuẩn kiểm định: 𝑇 = 𝑋−𝑎0 𝑆′ √𝑛 = 𝑋−5 𝑆′ √225 +) Miền bác bỏ: S = (𝑈1−𝛼 ; +∞) với 𝛼 = 0.05 => 1- 𝛼 = 0.95 => 𝑈1−𝛼 =𝑈0.95 =1.645 => S = (1,645; +∞) +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = 𝑥𝑖 −𝑥0 Chọn 𝑥0 = 3, đặt 𝑡𝑖 = ℎ = 𝑥𝑖 −3 , 𝑖 = 1,9 Lập bảng 𝑥𝑖 11 15 19 23 27 31 39 𝑛𝑖 51 47 39 36 32 𝑛𝑖 𝑡𝑖 47 78 108 128 40 54 21 18 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 47 156 324 512 200 324 147 162 ∑ = 494 ∑ = 1893 𝑡𝑖 ∑ = 225 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑠 = ℎ2 ( 𝑠′2 = 494 = + 225 −( ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 = 11,7822 1893 494 ) ) = 42 [ 225 − (225) ] = 57,49 𝑛 225 𝑠2 = 57,49 = 57,7425 𝑛−1 224 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √57,7425 = 7,5989 => 𝑡𝑞𝑠 = 11,7822−5 7,5989 √225 = 13,3879 NX: 𝑡𝑞𝑠 ∈ 𝑆 => Bác bỏ 𝐻0 chấp nhận 𝐻1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, loại phân N làm tăng hàm lượng đường loại trái Bài 3: Đo số mỡ sữa 130 bò lai Hà - Ấn F1 ta bảng số liệu sau: Chỉ số mỡ sữa 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6(X) 7,2 Số bò lai 35 43 22 15 Biết số mỡ sữa trung bình giống bò lai chủng 4,95 Với mức ý nghĩa 1% cho kết luận hiệu việc lai giống Bài giải +) Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng tốn biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=130) +) Giả thuyết 𝐻0 : a = 4.95 Đối thuyết 𝐻1 : a > 4.95 +) Tiêu chuẩn kiểm định: 𝑇 = 𝑋−𝑎0 𝑆′ √𝑛 = 𝑋−4.95 𝑆′ √130 +) Miền bác bỏ: S = (𝑈1−𝛼 ; +∞) với 𝛼 = 0.01 => 1- 𝛼 = 0.99 => 𝑈1−𝛼 =𝑈0.99 = 2,326 => S = (2,326 ; +∞) +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = 0.6 Chọn 𝑥0 = 5,1, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 ℎ = 𝑥𝑖 −5,1 0,6 , 𝑖 = 1,7 Lập bảng 𝑥𝑖 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 𝑛𝑖 35 43 22 15 ∑ = 130 𝑡𝑖 -3 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -6 -16 -35 22 30 15 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 18 32 35 22 60 45 ∑ = 10 ∑ = 197 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑠 = ℎ2 ( 𝑠′2 = = 5,1 + 0.6 10 130 −( ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 = 5,1462 10 197 ) ) = 0,62 [130 − (130) ] = 0,5434 𝑛 130 𝑠2 = 0,5434 = 0,5476 𝑛−1 129 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √0,5476 = 0,74 => 𝑡𝑞𝑠 = 5,1462−4,95 0,74 √130 = 3,023 NX: 𝑡𝑞𝑠 ∈ 𝑆 => Bác bỏ 𝐻0 chấp nhận 𝐻1 Vậy với mức ý nghĩa 1%, việc lai giống làm tăng số mỡ sữa TB giống bò lai chủng Bài 4: Kích thước loại sản phẩm máy tự động sản xuất đại lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối chuẩn Sau kiểm tra 25 sản phẩm cụ thể ta thu bảng số liệu sau: Kích thước 20-22 22-24 24-26 26-28 30-32 (cm) Số sản phẩm 10 Hãy ước lượng kích thước trung bình loại sản phẩm khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 95% Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu nhỏ (n=25) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 (𝑛−1) 𝑡1−𝛼 ;𝑋 + 𝑆′ √𝑛 (𝑛−1) 𝑡1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 (𝑛−1) => 𝑡1−𝛼 (24) = 𝑡0.975 = 2.064 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = Chọn 𝑥0 = 25, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 = ℎ 𝑥𝑖 −25 , 𝑖 = 1,5 Lập bảng 𝑥𝑖 21 23 25 27 31 𝑛𝑖 10 ∑ = 25 𝑡𝑖 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 12 18 ∑ = 40 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -6 -7 ∑ = -4 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑠 = ℎ2 ( 𝑠′2 = = 25 + −( ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 −4 25 = 24,68 −4 40 ) ) = 22 [25 − ( 25 ) ] = 6,2976 𝑛 25 𝑠2 = (6,2976)2 = 41,3123 𝑛−1 24 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √41,3123 = 6,4275 => KTC : (24,68 − 6,4275 √100 2,064 ; 24,68 + 6,4275 √100 2,064) hay (22,0267 ; 27,3333) Vậy kích thước trung bình loại sản phẩm với độ tin cậy 95% nằm khoảng (22,0267;27,3333) Bài 5: Để ước lượng suất trung bình giống lúa vùng, người ta gặt ngẫu nhiên 50 ruộng vùng thu kết (tạ/ha): Năng suất Số 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 70 4 4 3 Biết suất lúa đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Hãy ước lượng suất trung bình giống lúa vùng với độ tin cậy 95% Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=50) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 𝑆′ 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 + √𝑛 𝑈1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 => 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = Chọn 𝑥0 = 63, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 = ℎ 𝑥𝑖 −63 , 𝑖 = 1,13 Lập bảng 𝑥𝑖 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 70 𝑛𝑖 4 4 ∑ = 50 𝑡𝑖 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 2 ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑠 = ℎ ( 𝑖 𝑛 𝑖 −4 = 63 + − ∑𝑛 𝑡 ( 𝑛𝑖 𝑖 50 = 62,92 490 −4 ) ) = 12 [ 50 − ( 50 ) ] = 9,7936 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -12 -15 -8 -18 -8 -4 16 15 ∑ = -4 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 72 75 32 54 16 16 27 64 75 49 ∑ = 490 𝑠′2 = 𝑛 50 𝑠2 = 9,7936 = 9,9935 𝑛−1 49 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √9,9935 = 3,1612 => KTC : (62,92 − 3,1612 √50 1,96 ; 62,92 + 3,1612 √50 1.96) hay (62,0438 ; 63,7962) Vậy suất lúa trung bình giống lúa vùng với độ tin cậy 95% nằm khoảng (62,0438; 63,7962) Bài 6: Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm 14 phút Có cần thay đổi định mức khơng, theo dõi thời gian hồn thành sản phẩm 25 cơng nhân ta thu bảng số liệu sau: Thời gian để SX sản phẩm (phút) 10-12 12-14 14-16 16-18 20-22 Số công nhân tương ứng 10 Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa = 0,05 biết thời gian hoàn thành sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng tốn biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=225) +) Giả thuyết 𝐻0 : a = 14 Đối thuyết 𝐻1 : a ≠ 14 +) Tiêu chuẩn kiểm định: 𝑇 = 𝑋−𝑎0 𝑆′ √𝑛 = 𝑋−14 𝑆′ √25 (𝑛−1) (𝑛−1) 2 +) Miền bác bỏ: S = (−∞; 𝑡1−𝛼 ) ∪ ( 𝑡1−𝛼 ; +∞) với 𝛼 = 0.05 => 1- 𝛼 (𝑛−1) = 0.975 => 𝑡1−𝛼 (24) = 𝑡0.975 = 2,064 => S = (-∞; 2,064) ∪ (2,064; +∞) +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = Chọn 𝑥0 = 15, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 = ℎ 𝑥𝑖 −15 , 𝑖 = 1,5 Lập bảng 𝑥𝑖 11 13 15 17 21 𝑛𝑖 10 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -6 -6 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 12 18 ∑ = −2 ∑ = 40 𝑡𝑖 -2 -1 ∑ = 25 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 2 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑠 = ℎ ( 𝑠′2 = ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑖 𝑖 𝑛 −2 = 15 + − ∑𝑛 𝑡 ( 𝑛𝑖 𝑖 25 = 14,84 40 −2 ) ) = 22 [25 − ( 25 ) ] = 6,3744 𝑛 25 𝑠2 = 6,3744 = 6,64 𝑛−1 24 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √6,64 = 2,5768 => 𝑡𝑞𝑠 = 14,84−14 2,5768 √25 = 1,6299 NX: 𝑡𝑞𝑠 ∈ 𝑆 => Bác bỏ 𝐻0 chấp nhận 𝐻1 Vậy cần phải thay đổi định mức thời gian hoàn thành sản phẩm công nhân với mức ý nghĩa 𝛼 = 0.05 Bài 7: Để xác định giá trung bình loại hàng hoá thi trường, người ta điều tra ngẫu nhiên 100 cửa hàng thu số liệu sau: Giá (đồng) Số cửa hàng 83 85 87 13 89 14 91 30 93 11 95 97 99 101 Với độ tin cậy 95% ước lượng giá trung bình loại hàng thời điểm xét Biết giá hàng hoá đại lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 𝑆′ 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 + √𝑛 𝑈1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 => 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = Chọn 𝑥0 = 91, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 ℎ = 𝑥𝑖 −91 , 𝑖 = 1,10 Lập bảng 𝑥𝑖 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 𝑛𝑖 13 14 30 11 ∑ = 100 𝑡𝑖 -4 -3 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -20 -24 -26 -14 11 16 18 16 ∑ = -18 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 𝑠 =ℎ 𝑠′2 = ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 ( 𝑖 𝑖 𝑛 = 91 + − ∑𝑛 𝑡 ( 𝑛𝑖 𝑖 −18 100 = 90,64 404 −18 ) ) = [100 − ( 100 ) ] = 16,0304 𝑛 100 𝑠2 = 16,0304 = 16,1923 𝑛−1 99 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 80 72 52 14 11 32 54 64 25 ∑ = 404 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 4,024 => KTC : (90,64 − 4,024 √100 1,96 ; 90,64 + 4,024 √100 1.96) hay (89,8513 ; 91,4287) Vậy giá trị trung bình loại hàng hóa thị trường với độ tin cậy 95% nằm khoảng (89,8513; 91,4287) Bài 8: Với độ tin cậy 95%, ước lượng lượng xăng hao phí trung bình cho loại xe ơtơ chạy từ A đến B chạy thử 30 lần đoạn đường người ta ghi nhận lượng xăng hao phí sau: Lượng xăng hao phí(lít) Số lần tương ứng 9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-10,2 10,2-10,4 10 10,4-10,6 Biết lượng xăng hao phí ĐLNN tuân theo qui luật chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng tốn biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu nhỏ (n=30) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 (𝑛−1) 𝑡1−𝛼 ;𝑋 + 𝑆′ √𝑛 (𝑛−1) 𝑡1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 (𝑛−1) => 𝑡1−𝛼 (29) = 𝑡0.975 = 2.042 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = 0.2 Chọn 𝑥0 = 10,1, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 ℎ = 𝑥𝑖 −10,1 0,2 , 𝑖 = 1,5 Lập bảng 𝑥𝑖 9,7 9,9 10,1 10,3 𝑛𝑖 10 𝑡𝑖 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -6 -7 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 12 10,5 ∑ = 30 ∑=5 16 ∑ = 41 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 𝑛 ∑𝑛 𝑡 2 𝑠 = ℎ ( 𝑠′2 = ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑖 = 10,1 + 0,2 − ∑𝑛 𝑡 ( 𝑛𝑖 𝑖 30 = 10,1333 41 ) ) = 0,22 [30 − (30) ] = 0,0536 𝑛 30 𝑠2 = (0,0536)2 = 0,00297 𝑛−1 29 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √0,00297 = 0,0545 => KTC : (10,1333 − 0,0545 √30 2,042 ; 10,1333 + 0,0545 √30 2,042) hay (10,1296; 10,1371) Vậy lượng xăng hao phí trung bình cho loại xe tơ chạy từ A->B với độ tin cậy 95% nằm khoảng (10,1296; 10,1371) Bài 9: Cân thử 100 trứng ta có kết sau: X (g) 150 160 165 170 180 185 Số 20 25 30 15 Tìm khoảng ước lượng cho khối lượng trung bình trứng với độ tin cậy 95% Biết khối lượng trúng ĐLNN tuân theo quy luật phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 + 𝛼 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ) với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 => 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = 𝑥𝑖 −𝑥0 Chọn 𝑥0 = 170, đặt 𝑡𝑖 = ℎ = 𝑥𝑖 −170 , 𝑖 = 1,6 Lập bảng 𝑥𝑖 150 160 165 170 180 185 𝑛𝑖 20 25 30 15 ∑ = 100 𝑡𝑖 -4 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -16 -40 -25 30 18 ∑ = -33 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 64 80 25 60 54 ∑ = 283 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑠 = ℎ2 ( 𝑠′2 = −33 = 170 + −( ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 100 = 168,35 283 −33 ) ) = 52 [100 − ( 100 ) ] = 68,0275 𝑛 100 𝑠2 = 68,0275 = 68,7146 𝑛−1 99 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 8,2894 => KTC : (168,35 − 8,2894 √100 1,96 ; 168,35 + 8,2894 √100 1.96) hay (166,7253 ; 169,9747) Vậy khối lượng trung bìn trứng với độ tin cậy 95% nằm khoảng (166,7253 ; 169,9747) Bài 10: Đo số mỡ sữa 100 bò lai Hà - Ấn F1 ta bảng số liệu sau: Chỉ số mỡ sữa (X) 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2 Số bò lai 30 35 15 Hãy ước lượng số mỡ sữa trung bình giống bò lai với độ tin cậy 95% Giả thiết số mỡ sữa đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng tốn biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 + 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 => 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = 0,6 Chọn 𝑥0 = 5,1, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 ℎ = 𝑥𝑖 −5,1 0,6 , 𝑖 = 1,7 Lập bảng 𝑥𝑖 3,3 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 𝑛𝑖 30 35 15 ∑ = 100 𝑡𝑖 -3 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -6 -16 -30 15 14 ∑ = -14 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 2 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑠 = ℎ ( 𝑠′2 = ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑖 −14 = 5,1 + 0,6 −( ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 100 = 5,016 150 𝑛 100 𝑠2 = 0,533 = 0,5383 𝑛−1 99 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 0,7337 −14 ) ) = 0,62 [100 − ( 100 ) ] = 0,533 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 18 32 30 15 28 27 ∑ = 150 => KTC : (5,016 − 0,7337 √100 1,96 ; 5,016 + 0,7337 √100 1.96) hay (4,8722 ; 5,1598) Vậy số mỡ sữa trung bình giống bò lai với độ tin cậy 95% nằm khoảng (4,8722;5,1598) Bài 11: Đo áp lực X (tính kg/cm2) 18 thùng chứa ta bảng kết sau: X 19,6 19,5 19,9 20,0 19,8 20,5 21,0 18,5 19,7 Số thùng 2 1 Với độ tin cậy 99% tìm khoảng ước lượng đối xứng áp lực trung bình thùng Biết áp lực ĐLNN có phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu nhỏ (n=18) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 (𝑛−1) 𝑡1−𝛼 ;𝑋 + 𝑆′ √𝑛 (𝑛−1) 𝑡1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.99 => α = 0.01 => 1- = 0.995 (𝑛−1) => 𝑡1−𝛼 (17) = 𝑡0.995 = 2.989 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = 0,1 Chọn 𝑥0 = 20, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 ℎ = 𝑥𝑖 −20 0,1 , 𝑖 = 1,9 Lập bảng 𝑥𝑖 19,6 19,5 19,9 20 19,8 20,5 21 18,5 𝑛𝑖 2 𝑡𝑖 -4 -5 -1 -2 10 -15 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -4 -10 -2 -4 15 20 -15 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 16 50 75 200 225 19,7 ∑ = 18 -3 -3 ∑ = -3 ∑ = 585 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 𝑛 ∑𝑛 𝑡 2 𝑠 = ℎ ( 𝑠′2 = ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑖 −3 = 20 + 0,1 − ∑𝑛 𝑡 ( 𝑛𝑖 𝑖 18 = 19,9833 585 −3 ) ) = 0,12 [ 18 − ( 18 ) ] = 0,32472 𝑛 18 𝑠2 = (0,32472)2 = 0,11165 𝑛−1 17 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √0,11165 = 0,3341 => KTC : (19,9833 − 0,3341 √18 2,989 ; 19,9833 + 0,3341 √18 2,989) hay (19,7479; 20,2187) Vậy áp lực trung bình thùng với độ tin cậy 99% nằm khoảng (19,7479; 20,2187) Bài 12: Để xác định giá trung bình loại hàng hoá thị trường, người ta điều tra ngẫu nhiên 100 cửa hàng thu số liệu sau: Giá (đồng) X 81 85 87 89 91 93 95 97 99 101 Số cửa hàng (mi) 10 13 15 30 12 Với độ tin cậy 95% ước lượng giá trung bình loại hàng thời điểm xét khoảng tin cậy đối xứng Biết giá hàng hoá đại lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 + 𝛼 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ) với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 => 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96 2 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = Chọn 𝑥0 = 91, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 = ℎ 𝑥𝑖 −91 , 𝑖 = 1,10 Lập bảng 𝑥𝑖 81 85 87 89 91 93 95 97 99 101 𝑛𝑖 10 13 15 30 12 ∑ = 100 𝑡𝑖 -5 -3 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -15 -30 -26 -15 12 14 18 12 ∑ = -25 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 75 90 52 15 12 28 54 48 25 ∑ = 399 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 𝑠 = ℎ2 ( 𝑠′2 = = 91 + −( ∑𝑛 𝑡 𝑖 𝑖 𝑛 −25 100 = 90,5 −25 399 ) ) = 22 [100 − ( 100 ) ] = 15,71 𝑛 100 𝑠2 = 15,71 = 15,8687 𝑛−1 99 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 3,9836 => KTC : (90,5 − 3,9836 √100 1,96 ; 90,5 + 3,9836 √100 1.96) hay (89,7192 ; 91,2808) Vậy giá TB loại hàng hóa thị trường với độ tin cậy 95% nằm khoảng (89,7192 ; 91,2808) Bài 13: Để xác định chiều cao trung bình bạch đàn, người ta tiến hành đo ngẫu nhiên 35 có bảng số liệu: Chiều cao (X-mét) 6,5-7,0 7,0-7,5 7,5-8,0 8,0-8,5 8,5-9,0 9,0-9,5 Số 10 11 Với độ tin cậy 95% nói chiều cao trung bình đàn nằm khoảng Giả thiết chiều cao bạch đàn ĐLNN tuân theo qui luật phân phối chuẩn Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=35) => AD KTC : (𝑋 − 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 + 𝑆′ √𝑛 𝑈1−𝛼 ) 𝛼 với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975 => 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96 +) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n Chọn 𝑥𝑖 giá trị lớp Các 𝑥𝑖 cách khoảng h = 0,5 Chọn 𝑥0 = 8,25, đặt 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 −𝑥0 ℎ = 𝑥𝑖 −8,25 0,5 , 𝑖 = 1,6 Lập bảng 𝑥𝑖 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75 9,25 𝑛𝑖 10 11 ∑ = 35 𝑡𝑖 -3 -2 -1 𝑛𝑖 𝑡𝑖 -6 -8 -10 ∑ = -13 Ta có: 𝑥 = 𝑥0 + ℎ 𝑠 =ℎ ∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖 𝑛 ∑𝑛 𝑡 ( 𝑖 𝑖 𝑛 = 8,25 + 0,5 − ∑𝑛 𝑡 ( 𝑛𝑖 𝑖 −13 35 = 8,0643 61 −13 ) ) = 0,5 [35 − ( 35 ) ] = 0,4012 𝑛𝑖 𝑡𝑖2 18 16 10 12 ∑ = 61 𝑠′2 = 𝑛 35 𝑠2 = 0,4012 = 0,413 𝑛−1 34 => 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 3,9836 => KTC : (8,0643 − 0,413 √35 1,96 ; 8,0643 + 0,413 √35 1.96) hay (7,9275 ; 8,2011) Vậy với độ tin cậy 95%, chiều cao TB đàn nằm khoảng (7,9275 ; 8,2011) ... cậy 95% Bài giải +) Đây toán ước lượng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu nhỏ (n=25) => AD KTC : (