Bài giảng toán cao cấp và tổ hợp phép đếm

TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Lý thuyết tổ hợp Combinatorics ngành toán học nghiên cứu liệt kê, tổ hợp, hoán vị tập phần tử mối quan hệ toán học (Concise Encyclopedia of Mathematics) Combinatorics bao gồm đếm • Đếm đối tượng thỏa điều kiện (enumerative combinatorics) • Quyết định điều kiện thỏa, xây dựng phân tích đối tượng thỏa điều kiện (combinatorial designs and matroid theory) • Tìm lớn nhất, nhỏ nhất, tối ưu (combinatorial optimization) (en.wikipedia.org) Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp ➳ Lý thuyết độ phức tạp thuật toán ➳ Lý thuyết tối ưu rời rạc ➳ Lý thuyết xác suất ➳ Vật lý thống kê ➳ Hình học Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Những quy tắc đếm Rất nhiều tốn đếm thực dùng quy tắc bản: cộng (sum) nhân (product) Có quy tắc đếm nâng cao khác ➠ Liệt kê khả thối lượng tiền với tập loại tiền xác định ➠ Đếm mật (password) có với chiều dài cho trước ➠ Đếm có địa Internet Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Bao nhiêu cách chọn ? Hấp dẫn Đảm Chọn đây?!?! Mà mà :-( Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Quy tắc cộng Ví dụ: Hoặc giảng viên khoa KH&KT MT, sinh viên khoa KH&KT MT đại diện trường Như có 24 giảng viên, 310 sinh viên có cách chọn lựa đại diện ? Lời giải: Chọn đại diện từ giảng viên có 24 cách, chọn đại diện từ sinh viên có 310 cách Như ta có 24+310=334 cách chọn đại diện Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Quy tắc cộng Ví dụ: Hoặc giảng viên khoa KH&KT MT, sinh viên khoa KH&KT MT đại diện trường Như có 24 giảng viên, 310 sinh viên có cách chọn lựa đại diện ? Lời giải: Chọn đại diện từ giảng viên có 24 cách, chọn đại diện từ sinh viên có 310 cách Như ta có 24+310=334 cách chọn đại diện Giả thiết cơng việc làm n1 cách, cơng việc làm n2 cách Nếu cơng việc khơng thể làm đồng thời có n1 + n2 cách làm công việc Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Tổng qt hóa quy tắc cộng Tổng quát lên m công việc làm đồng thời số cách làm chúng tương ứng n1, n2 , , nm Số cách làm m công việc m i=1 ni Ví dụ: Một sinh viên chọn đồ án mơn học nhóm: khoa học máy tính, sở liệu, công nghệ phần mềm, hệ thống & mạng máy tính, kỹ thuật máy tính Mỗi nhóm có số lượng đề tài tương ứng là: 10, 15, 14, 16, 11 Có cách chọn ? Lời giải: 10+15+14+16+11 = 66 cách Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Góc nhìn tập hợp Giả thiết A1, A2 , , Am tập hợp rời (disjoint) Khi số cách để chọn phần tử từ tập |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am| = |A1 | + |A2| + + |Am | Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Chọn nhà ? Mục tiêu Chọn nhà ?!?! Mà nhà :-( Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 10 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Quy tắc bù trừ Ví dụ: Có chuỗi bit có độ dài bit bắt đầu kết thúc bit 00 ? Lời giải: • Số lượng chuỗi bit bắt đầu 27 = 128 • Số lượng chuỗi bit kết thúc 00 26 = 64 • Số lượng chuỗi bit bắt đầu kết thúc 00 25 = 32 Số lượng chuỗi bit thỏa đề 128 + 64 − 32 = 160 Ví dụ: Có chuỗi bit có độ dài bit bắt đầu 01 bắt đầu 10 ? Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 14 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Góc nhìn tập hợp Cho A1 A2 tập hợp T1 công việc chọn phần tử từ A1, T2 công việc chọn phần tử từ A2 ☞ |A1 | cách làm T1, |A2 | cách làm T2 ☞ Số cách làm T1 T2 |A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1 ∩ A2| T1 T2 làm đồng thời Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 15 TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Giản đồ Giản đồ để giải Ví dụ: Có chuỗi nhị phân dài bit khơng có số liên tiếp ? toán đếm: 0 ☞ Nhánh: đại diện 0 khả có 1 ☞ Lá: kết 0 có Bit Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Bit Bit Bit Page 16 TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Nguyên lý lồng chim bồ câu (Pigeonhole principle) Nếu có k + nhiều đồ vật đặt vào k hộp có hộp chứa nhiều đồ vật Ví dụ: Có 109 sinh viên thang điểm có 110 bậc có sinh viên điểm thi Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 17 TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Nguyên lý Dirichlet tổng quát Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp, tồn hộp chứa N/k vật Ví dụ: Trong 100 người có 100/12 = người tháng sinh Ví dụ: Xét tháng 30 ngày Một đội bóng chơi ngày trận, tháng không 45 trận Hãy có ngày liên tiếp đội bóng chơi tất 14 trận Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 18 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Hốn vị chỉnh hợp Ví dụ: Bao nhiêu cách chọn 22 cầu thủ để tham dự đội tuyển bóng đá Việt Nam từ danh sách 30 cầu thủ đề cử ? Bao nhiêu cách chọn danh sách có thứ tự 11 cầu thủ để thi đấu ? ☞ Hoán vị tập đối tượng = cách xếp đối tượng ☞ Một cách xếp có thứ tự r phần tử tập n phần tử gọi chỉnh hợp chập r tập n phần tử n! P (n, r) = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 1) = (n − r)! Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 19 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Ví dụ hốn vị chỉnh hợp Ví dụ: Bao nhiêu cách chọn 22 cầu thủ để tham dự đội tuyển bóng đá Việt Nam từ danh sách 30 cầu thủ đề cử ? Bao nhiêu cách chọn danh sách có thứ tự 11 cầu thủ để thi đấu ? Lời giải: Có P (22, 11) cách chọn danh sách có thứ tự 11 cầu thủ từ 22 cầu thủ đội Ví dụ: Một thương nhân qua tỉnh để buôn bán qua tỉnh lần mà thơi Sau thương nhân quay tỉnh xuất phát Hỏi có lộ trình ? Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 20 TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Tổ hợp Một tổ hợp chập r tập hợp với số n cách chọn khơng có thứ tự r phần tử tập cho n! C(n, r) = r!(n − r)! Hệ dễ thấy C(n, r) = C(n, n − r) Ví dụ: Có C(30, 22) cách chọn 22 cầu thủ từ danh sách đề cử 30 cầu thủ Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 21 TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Một số định lý Hằng đẳng thức Pascal C(n + 1, k) = C(n, k − 1) + C(n, k) Hằng đẳng thức Vandermonde r C(m, r − l)C(n, k) C(m + n, r) = k=0 Định lý nhị thức n (x + y)n = C(n, j)xn−j y j j=0 Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 22 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Hốn vị có lặp Ví dụ: Từ bảng chữ tiếng Anh tạo chuỗi có độ dài n ? Lời giải: 26n (dùng quy tắc nhân) Có tương tự chỉnh hợp (có thứ tự), cho phép lặp lại chữ Số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nr Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 23 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Tổ hợp lặp Ví dụ: Bao nhiêu cách bày mâm chọn loại quả: dừa, đu đủ, xoài ? Lời giải: Liệt kê 21 trường hợp Số tổ hợp lặp chập r n phần tử C(n + r − 1, r) Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 24 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Ví dụ: Phương trình x1 + x2 + x3 = 11 có nghiệm nguyên không âm ? Lời giải: Mỗi nghiệm tương ứng với cách chọn 11 phần tử tập có loại cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần tử loại Suy số nghiệm tổ hợp lặp chập 11 từ tập phần tử C(3 + 11 − 1, 11) = C(13, 11) = 78 Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 25 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Hốn vị có phần tử giống Ví dụ: Có chuỗi khác cách xếp lại chữ SUCCESS ? Lời giải: Khơng thể hốn vị chữ có lặp lại ➳ chữ S, chữ C, chữ U, chữ E ➳ Có C(7, 3) cách chọn chỗ cho chữ S Có C(4, 2) cách chọn chỗ cho chữ C Có C(2, 1) cách chọn chỗ cho chữ U Có C(1, 1) cách chọn chỗ cho chữ E Theo quy tắc nhân ta có số chuỗi là: 7!4!2!1! C(7, 3)C(4, 2)C(2, 1)C(1, 1) = 3!4!2!2!1!1!1!0! 7! = 3!2!1!1! = 420 Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 26 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Hốn vị có phần tử giống Tổng quát hóa n phần tử có n1 thuộc loại 1, , nk phần tử thuộc loại k Số hoán vị n! n1 ! nk ! Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 27 TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Phân bổ đồ vật vào hộp n đồ vật khác nhau, bỏ vào k hộp cho có n1 vật hộp 1, , nk vật hộp nk Số cách n! n1 ! nk ! Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 28 ... nhân quay tỉnh xuất phát Hỏi có lộ trình ? Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 20 TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Tổ hợp Một tổ hợp chập r tập hợp với số n cách chọn khơng có thứ tự r... tương tự chỉnh hợp (có thứ tự), cho phép lặp lại chữ Số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nr Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page 23 TS Trần Văn Hồi 2008-2009 Tổ hợp lặp Ví dụ:... = |A1 | + |A2| + + |Am | Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting) Page TS Trần Văn Hoài 2008-2009 Chọn nhà ? Mục tiêu Chọn nhà ?!?! Mà nhà :-( Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)