2 Nhóm câu 2 điểm 1. Cho 1 2 3 2 5 4 3 7 8 A . Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi sơ cấp. A = 1 2 3; 2 5 4; 3 7 8 I = 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1 rtg = rref(A I) res = rtg(1:3, 4:6) 2. Trong R3 , cho M 1;2; 1 , 3;2; 1 , 0;2; 1 . Tìm m để 3;8;m là tổ hợp tuyến tính của M x1 = 1; 2; 1, x2 = 3; 2; 1, x3 = 0; 2; 1, syms m, X = 3; 8; m d1 = det(x1 x2 x3) % ans = 0 d2 = det(x1 x2 X) % ans = 4m16 d3 = det(x1 X x3) % ans = 2m 8 d4 = det(X x2 x3) % ans = 6m + 24 % Vì d1 = 0 nên điều kiện để tổ hợp tuyến tính là d2 = d3 = d4 = 0 solve(d2==0), solve(d4==0), solve(d3==0) % => m = 4 3. Trong R3 cho V 1;2; 1 ,2 Nhóm câu 2 điểm 1. Cho 1 2 3 2 5 4 3 7 8 A . Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi sơ cấp. A = 1 2 3; 2 5 4; 3 7 8 I = 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1 rtg = rref(A I) res = rtg(1:3, 4:6) 2. Trong R3 , cho M 1;2; 1 , 3;2; 1 , 0;2; 1 . Tìm m để 3;8;m là tổ hợp tuyến tính của M x1 = 1; 2; 1, x2 = 3; 2; 1, x3 = 0; 2; 1, syms m, X = 3; 8; m d1 = det(x1 x2 x3) % ans = 0 d2 = det(x1 x2 X) % ans = 4m16 d3 = det(x1 X x3) % ans = 2m 8 d4 = det(X x2 x3) % ans = 6m + 24 % Vì d1 = 0 nên điều kiện để tổ hợp tuyến tính là d2 = d3 = d4 = 0 solve(d2==0), solve(d4==0), solve(d3==0) % => m = 4 3. Trong R3 cho V 1;2; 1 ,2 Nhóm câu 2 điểm 1. Cho 1 2 3 2 5 4 3 7 8 A . Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi sơ cấp. A = 1 2 3; 2 5 4; 3 7 8 I = 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1 rtg = rref(A I) res = rtg(1:3, 4:6) 2. Trong R3 , cho M 1;2; 1 , 3;2; 1 , 0;2; 1 . Tìm m để 3;8;m là tổ hợp tuyến tính của M x1 = 1; 2; 1, x2 = 3; 2; 1, x3 = 0; 2; 1, syms m, X = 3; 8; m d1 = det(x1 x2 x3) % ans = 0 d2 = det(x1 x2 X) % ans = 4m16 d3 = det(x1 X x3) % ans = 2m 8 d4 = det(X x2 x3) % ans = 6m + 24 % Vì d1 = 0 nên điều kiện để tổ hợp tuyến tính là d2 = d3 = d4 = 0 solve(d2==0), solve(d4==0), solve(d3==0) % => m = 4 3. Trong R3 cho V 1;2; 1 ,
COMMAND WINDOWS 3.1 Nhóm câu điểm Tìm argument modul số phức z z=(1+i*sqrt(3))/(1+i) abs(z) angel(z) z=(1+i*sqrt(3))*(1-i) abs(z) angel(z) 1 i 1 i (1 i 3)(1 i ) z % Nhập số phức z % Modul z %Argument z % Nhập số phức z % Modul z %Argument z z=(-1+i*sqrt(3))/(1-i) % Nhập số phức z abs(z) % Modul z angel(z) %Argument z 1 i 1 i Tìm số nghiệm hệ phương trinh z i z 2i syms a b S = solve((a+1)^2+ (b-1)^2 == 1,(a-1)^2+ (b+2)^2 == 4) % Giải thích S= z i z 2i a: [2x1 sym] b: [2x1 sym] Hệ có nghiệm Xem nghiệm S = [S.a S.b] S = solve((2*a)^2 + (2*b-1)^2 == 1, (3*a 3)^2 + (3*b +2)^2 == 4) Giải phương trình phức syms z z = solve(z*z == conj(z)) syms z z = solve(z*z == z - conj(z)) z2 z z2 z z Đưa ma trận dạng bậc thang 1 2 3 1 1 5 4 3 A = [1 1; 5; 4; -1 -3 1] %Nhập ma trận rref(A) % Đưa ma trận dạng bậc thang Cho A = (2 -1 5); B = (1 -1) Tính vết ma trận BAT A = [2 -1 5] % Nhập ma trận A B = [-1 1] trace(B*(A.')) % Nhập ma trận B % Tính vết ma trận BAT A.’ ma trận chuyển vị 4 1 4 Cho A Chứng tỏ r(A) = r(AAT) = r(ATA) 3 10 A = [0 -4; -1 -4 5; 7; -10] % Nhập ma trận A (rank(A)==rank(A*(A.'))) & ((rank(A)==rank((A.')*A))) % r(A) = r(AAT)=r(ATA) ans = Ngược lại ans = 2 0 1 1 1 Cho A , B , C 1 1 Tính 2AC - (CB)T 1 2 1 1 A = [1 1; -1 -2], B = [-1 2; 2; -1 1], 2*A*C - (C*B).' C = [2 0; -1 1; -1] % Nhập ma trận % Tính 2AC – (CB)T Tìm số lũy linh ma trận A = [-2 1; -3 2; -2 1] charpoly(A,'luylinh') % Nhập ma trận % ans = luylinh^3 => Chỉ số lũy linh Tìm chuẩn Frobenius ma trận A = [3 6; 7; -2 3] norm(A, 'fro') 1 10 Cho A 1 2 2 1 3 2 1 6 7 2 % Nhập ma trận % Chuẩn Frobenius A 1 1 Với giá trị m A khả nghịch 2 m 1 syms m % Khai báo biến m A = [1 1 1; -1 4; -1 2; 2 m] % Nhập ma trận solve(det(A)==0) % Giải phương trình det(A)=0 => ans= 13/7 Do m 13 ma trận khả nghịch 1 0 1 2 11 Tìm ma trận nghich đảo 1 1 0 00 1 ([1 2; 0] * [1 0; 1; 1]) ^ (-1) 2 1 12 Cho A Tính f ( A) , với 1 f (x) x x A = [2 1; 2; -1 0] A^2 - 2*A – 3 13 Tính 2 det([2 2; 4; -2 2]) 14 Tính ax x x x b x x x x cx det([a+x x x; x b+x x; x x c+x]) % Tính det 1 1 2 15 Cho A , B Tính det(2AB) 2 3 1 A = [3 -2 6; 4; 1] B = [1 -1; 5; -2 7] det(2*A*B) % Tính det 1 16 Cho A Tính det(A2) 1 A = [-1 2; 0; 1] det(A^2) % Tính det 1 1 1 17 Dùng định thức để biện luận tinh khả nghịch ma trận m 1 det([1 1; 2; 5]) 1 1 1 % ans = => det m = 1 => Ma trận không khả nghịch với m 2 18 Cho ma trận A TÌm PA 1 A = [2 1; 2; -1] %Tìm ma trận phụ hợp A1 det(A)*inv(A) PA det( A) 19 Giải phương trinh ma trận 1 2 X 3 3 2 1 X 4 5 1 5 X 2 7 8 25 5 X 36 8 16 6 8 23 30 2 26 26 A = sym([2 -1; 1]), B = sym([-2; 3]) X = mldivide(A,B) A = sym([3 -2; -4]), B = sym([-1 2; -5 6]) X = mrdivide(B,A) A = sym([3 -1; -2]), B = sym([5 6; 8]) X = mldivide(A,B) A = sym([0 -8 3; -5 9; 8]), B = sym([-25 23 30; -36 -2 -26; -16 -26 7]) X = mldivide(A,B) 20 Tìm số nghiệm hệ phương trinh: A = [1 4; 2 3; 2; 1], B = [7; 6; 7; 18] rank(A) rank([A B]) % r(A) = = r(A|b) => Hệ có nghiệm x1 x2 3x3 x4 2 x x x 3x x x x x 4 x1 3x2 x3 x4 18 21 TÌm số nghiệm hệ phương trinh: x1 x2 3x3 x4 x 3x 13x 22 x x x x x x1 3x2 x3 x4 1 A = [1 -3 5; -13 22; -2; -7]; B = [1; -1; 5; 4] rank(A) rank([A B]) % r(A) = = r(A|b)< => Hệ có vơ số nghiệm 22 Tìm số nghiệm hệ phương trinh: x1 x2 3x3 x4 3x 3x x x 2 x1 x2 x3 3x4 3x1 3x3 10 x4 3 A = [1 -2 -4; 3 -5 1; -2 -3; 3 -10], B = [2; -3; 5; 8] rank(A) rank([A B]) % r(A) = < r(A|B) = => hệ vô nghiệm x1 x2 x3 23 Giải hệ phương trinh theo phương pháp Cramer: x1 3x2 3x3 3x x x 12 8 x1 = sym([1; 2; 3]), x2 = sym([2; 3; 2]), x3 = sym([-1; -3; 5]), B = sym([12; 4; -8]) nx1 = det([B x2 x3])/det([x1 x2 x3]) nx2 = det([x1 B x3])/det([x1 x2 x3]) nx3 = det([x1 x2 B])/det([x1 x2 x3]) x1 x2 x3 x4 2 x x 3x x 24 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nhất: 3x1 x2 x3 2 x1 x2 mx4 syms m A = sym([1 1 1; -1; 0; -2 -1 m]), B = [1; 2; 6; m-1] det(A) % ans = -18 => det(A) ∀m => Hệ có nghiệm với m m 1 x1 3x2 3x3 x4 x5 x x x 3x x 25 Giải hệ phương trình: x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 10 x5 A = [1 3 4; 7; 5; 10], B = [0;0;0;0] rank(A), rank([A B]) % r(A) = r(A|B) =>Hệ có vơ số nghiệm null(A,'r') % Khơng gian nghiệm hệ 26 Tìm hạng họ ĐLTT cực đại họ vector: M (1;1;1;0),(1;2;1;1),(2;1;2; 1) x1 = [1; 1; 1; 0], x2 = [1; 2; 1; 1], x3 = [2; 1; 2; -1]% Nhập vector rank([x1 x2 x3]) % Hạng vector => ans = colspace([x1 x2 x3]) % Cơ sở họ độc lập tuyến tính cực đại 27 Tìm sở số chiều khơng gian con: V (1;2;1;1),(3;1;0;5),(0;5;3; 8) x1 = [1 -1], x2 = [3 5], x3 = [0 -8] % Nhập vector A = rref([x1;x2;x3]) % Đưa dạng bậc thang rút gọn schieu = rank(A) % Số chiều % Một sở V hàng ma trận bậc thang 28 Tìm sở số chiều khơng gian con: V (1;2;1;1),(2; 1;1;3);(5;5;3;2) x1 = [1 1], x2 = [2 -1 3], x3 = [5 2] % Nhập vector A = rref([x1;x2;x3]) % Đưa dạng bậc thang rút gọn schieu = rank(A) % Số chiều % Một sở V hàng ma trận bậc thang 29 Tìm sở số chiều khơng gian con: F x2 x 1, x2 3x 1, x2 x x1 = [1 1], x2 = [-1 2], x3 = [1 -2] A = rref([x1; x2; x3]) Schieu = rank(A) % => Một sở F 1, x, x % Nhập vector % Đưa dạng bậc thang rút gọn % Tính số chiều 30 Tìm sở số chiều khơng gian con: V ( x1; x2 ; x3 ; x4 R4 x1 x2 x3 0 2x1 x3 x4 0 x1 = [1 -1 0], x2 = [2 -1 -1] A = rref([x1; x2]) Schieu = rank(A) % Nhập vector % Đưa dạng bậc thang rút gọn % Tính số chiều % => Một sở V ( x1; x2 ; x3 ; x4 R4 x1 1 1 x3 x4 x2 x3 x4 2 2 1 , , 1 1 3 31 Xét ĐLTT, PTTT họ vector: M x1 = [1 5], x2 = [1 2], x3 = [0 -1 -3] % Nhập vector det([x1;x2;x3]) % Nếu det = PTTT, ngược lại ĐLTT 32 Trong R3 sở E (1;1;1),(1;1;2);(1;2;1) xE (1; 3;2)T Tìm x E = [1 1; 1 0; 1], xe = [1; -3; 2].' x = xe*E % Nhập vector % Tính x 33 Trong R3 sở E (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1) Tìm tọa độ x (1; 2; 1) sở E E = [1 1; 1 0; 1], x = [1; 2; -1] xe = inv(E)*x % Nhập vector % Tính tọa độ 34 Tìm m để M (1;2; 1),(2;1;3),(1;2;m) tập sinh R3 syms m E = [1 -1; 3; -1 m] solve(det(E) == 0) 35 Tìm m để % Điêu kiện để tập sinh det M (1; 2;1),(3;1; 1),(m;0;1) sở R3 syms m M = [1 -2 1; -1; m 1] solve(det(M) == 0) % Điều kiện để tập sinh det 0, mà det hệ có nghiệm khơng tầm thường => ĐLTT => sở 36 Kiểm tra tập M x2 x 1, x2 x 1, x x có sở P2 x M = [1 1; 1; 2] rank(M) % M tập sở r(M) = số chiều P2 x = 37 Trong R có sở E (1;1;1),(1;0;1),(1;1;0) E ' (1;1;2),(1;2;1),(1;1;1) Tìm ma trận chuyển sở từ E sang E’ ma trận chuyển sở từ E’ sang E e1 = [1 1], e2 = [1 1], e3 = [1 0] f1 = [1 2], f2 = [1 1], f3 = [1 1] EF = [mrdivide(f1,[e1;e2;e3]); mrdivide(f2,[e1;e2;e3]); mrdivide(f3,[e1;e2;e3])] % E => E’ FE = [mrdivide(e1,[f1;f2;f3]); mrdivide(e2,[f1;f2;f3]); mrdivide(e3,[f1;f2;f3])] % E’ => E % EF == inv(FE) 38 Tìm m để x (1;0; m) tổ hợp tuyến tinh M (1;1;1),(2;3;1) syms m x1 = [1; 1; 1], x2 = [2; 3; 1], x = [1; 0; m] rank([x1, x2]) det([x1, x2, x]) % Để THTT r(M)=r(M|x) mà r(M) = => (r(M|x) = det = 0) 39 Trong R4 cho không gian con: x1 1 1 x2 1 F x R | x , G 2; 1;0; m 1 1 1 x 4 Tìm m để G F F = [1 -1 -1; -1 -1], syms m, G = [2; -1; 0; m] tmp = F*G % tmp = (1 – m; – m) % G F => tmp = => – m = – m = => ∄m 40 Trong R4 cho không gian V ( x1; x2 ; x3 ; x4 ) R | x1 x2 x3 x2 x3 x4 0 Tìm dim(V ) x1 = [1 -1 0], x2 = [0 1 1] dim = - rank([x1; x2]) 41 Trong R4 cho không gian V1 (8; 6;1;0),(7;5;0;1) , V2 (1;0; 8;7),(0;1;6; 5) Kiểm tra xem V1 V2 hay không ? x1 = [8 -6 0], x2 = [-7 1] x3 = [1; 0; -8; 7], x4 = [0; 1; 6; -5] tg = [x1; x2]*[x3 x4] % V1 V2 tg==0 42 Trong R4 cho không gian V1 (2;0; 6;5),(1;1; 1;0) , V2 (2; 1;1;2),(1;3;2; m) Tìm m để V1 V2 x1 = [-2 -6 5], x2 = [1 -1 0] syms m x3 = [2; -1; 1; 2], x4 = [-1; 3; 2; m] x1*x3 x1*x4 x2*x3 x2*x4 solve(x1*x4==0) % Vì x1*x3=x2*x3=x2*x4=0, x1*x4 43 Trong khơng gian R với tích vơ hướng chinh tắc, cho u 1;1;2 , v 2;1; 1 Tính cos u, v u = sym([1 2]), v = sym([2 -1]) cosuv = (dot(u,v))/(length(u)*length(v)) 44 Trong khơng gian R với tích vơ hướng chinh tắc, cho Tính d u, v tìm vector w vng góc với vector u v u = [1 2], v = [2 -1] duv = length(u-v) z = zeros(2,1) w = mldivide([u; v],z) 45 Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tinh f x1; x2 ; x3 2x1 x2 3x3 ; x1 4x2 x1 = [2 -3], x2 = [1 -4 0] ker = null(sym([x1; x2])) scker = rank(ker) % Số chiều nhân u 1;1;2 , v 2;1; 1 46 Tìm sở số chiều ảnh ánh xạ tuyến tinh f x1; x2 ; x3 2x1 x2 3x3 ; x1 4x2 x1 = [2 -3], x2 = [1 -4 0] imag = colspace(sym([x1; x2])).' scimg = rank(imag) % Ảnh 47 Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tinh: f x1; x2 ; x3 x1 x2 ; x2 x3 ; x1 x3 x1 = [1 0], x2 = [0 1], x3 = [1 -1] ker = null(sym([x1; x2; x3])) scker = rank(ker) 48 Tìm sở số chiều ảnh ánh xạ tuyến tinh: f x1; x2 ; x3 x1 x2 ; x2 x3 ; x1 x3 x1 = [1 0], x2 = [0 1], x3 = [1 -1] imag = colspace(sym([x1; x2; x3])).' scimg = rank(imag) 49 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết f 1;1;0 2; 1 , f 1;1;1 1;2 f 1;0;1 1;1 Tính f 2;0;3 A = [1 1; 1; 1], B = [2; 0; 3] X = sym(mldivide(A,B)) C = sym([2 1; -1 2]) res = C*X 50 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R biết ma trận f cặp sở 3 E 1;1;1 , 1;0;1 , 1;1;0, F 1;1 , 2;1 AE , F Tìm f 1;2;3 0 E = [1 1; 1; 1 0], F = [1 2; 1] x = [1; 2; 3] xE = inv(E)*x A = [2 -3; 4] xeF = A*xE res = F*xeF 51 Cho f x1; x2 ; x3 x1 x2 ; x2 x3 ; x3 x1 Tìm vector x cho f x 1;2;3 A = [1 0; 1; 1], B = [1; 2; 3] res = mldivide(A,B) 1 6 3 6 , u v Xem vector vector riêng A 5 2 2 5 52 Cho A A = [1 6; 2], u = [6; -5], v = [3; -2] Au = A*u, Av = A*v eig(sym(A)) Au == -4*u Au == 7*u Av == -4*v Av == 7*v % ans = (-4; 7) 4 , 1 1, 2 Số trị riêng A 6 5 53 Cho A A = [3 4; 5] eig(sym(A)) 1 trị riêng A 3 1 54 Cho A Tìm tất trị riêng vector trị riêng tương ứng A 1 3 A = [3 1; 2; 1 3] [V, D] = eig(sym(A)) 8 55 Cho A 1 8 Tìm m để A có trị riêng Tìm tất trị riêng 14 m vector trị riêng tương ứng A với m vừa tìm syms m A = [0 -8 6; -1 -8 7; -14 m] E = eig(A) solve(E(1,:)==2) solve(E(2,:)==2) solve(E(3,:)==2) % m = 11 A = sym([0 -8 6; -1 -8 7; -14 11]) [V, D] = eig(A) 3.2 Nhóm câu điểm 1 3 Cho A Tìm ma trận nghịch đảo A phép biến đổi sơ cấp 3 8 A = [1 3; 4; 8] I = [1 0; 0; 0 1] rtg = rref([A I]) res = rtg(1:3, 4:6) Trong R3 , cho M 1;2; 1 , 3;2; 1 , 0;2; 1 Tìm m để 3;8;m tổ hợp tuyến tính M x1 = [1; 2; -1], x2 = [3; 2; -1], x3 = [0; 2; -1], syms m, X = [3; 8; m] d1 = det([x1 x2 x3]) % ans = d2 = det([x1 x2 X]) % ans = -4*m-16 d3 = det([x1 X x3]) % ans = -2*m - d4 = det([X x2 x3]) % ans = 6*m + 24 % Vì d1 = nên điều kiện để tổ hợp tuyến tính d2 = d3 = d4 = solve(d2==0), solve(d4==0), solve(d3==0) % => m = - Trong R3 cho V 1;2; 1 , 3;2; 1 , 0;2; 1 Tìm m để 3;5;m V x1 = [1; 2; -1], x2 = [3 ;2; -1], x3 = [0; 2; -1], syms m, X = [-3; 5; m] d1 = det([x1 x2 x3]) % ans = d2 = det([x1 x2 X]) % ans = -4*m - 10 d3 = det([x1 X x3]) % ans = -2*m - d4 = det([X x2 x3]) % ans = 6*m + 15 % Vì d1 = nên điều kiện để 3;5;m V d2 = d3 = d4 = solve(d2==0), solve(d4==0), solve(d3==0) % => m = - 5/6 Trong R cho U 1, 2,1,1 ; 2,1,0, 2 V 1,5,3,5 ; 3,0, 1, m Tìm m để U V u1 = [1 1].’, u2 = [2 -2].’, v1 = [1 5].’, syms m, v2 = [3 -1 m].’ rank([u1, u2]), rank([u1, u2, v1]) % rank([u1, u2]) = rank([u1, u2, v1]) => v1 ∈ U % Vì rank([u1, u2]) = nên để v2 ∈ U rank([u1, u2, v2]) = => ma trận cấp có det = solve(det([u1(2:4,:), u2(2:4,:), v2(2:4,:)]) == 0) % ans = - 5 Trong R cho V tập nghiệm hệ phương trình: x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4 x x x mx Tìm m để dim V lớn Tìm sở số chiều V với m tìm syms m A = [1 -1 0; 2 1; 1 m] % dim(V) + rank(A) = n = => dim(V) lớn rank(A) nhỏ (max rank(A) = 3) det(A(1:2,2:3)) % det(A(1:2,2:3)) => rank(A) >= solve(det(A(1:3,2:4)) == 0, m) % det(A(1:3,2:4)) = m = A = [1 -1 0; 2 1; 1 1], rank(A) % Thử lại với m = , rank(A) = => m = r(A) = => dim(V) lớn m = % Với m = A = [1 -1 0; 2 1; 1 1] soV = null(sym(A)) dimV = - rank(A) % Cơ sở V % Số chiều V Trong R cho U 1, 2,1,0 ; 2, 1,1,1 ,V 1,1, 2,1 ; 2,0, 4, m Tìm m để dim U V bé Tìm sở số chiều U+V syms m, UV = [1 0; -1 1; 1 -2 1; m] % dim(U+V) = rank(U+V) det(UV(1:3, 1:3)) % det(UV(1:3, 1:3)) => rank(U+V) >= => rank(U+V) = det(UV) = solve(det(UV), m) % => m = % Với m = UV = [1 0; -1 1; 1 -2 1; 0] csoUV = rref(sym(UV)) % Cơ sở U+V schieu = rank(UV) % Số chiều U+V Trong R cho không gian dạng tập nghiệm hệ phương trình 1 0 2 0 U : ,V 1 1 0 1 1 m 0 Tìm m để dim(U ∩ V) lớn Tìm sở số chiều U ∩ V syms m, A = [1 0; -1 -1 2; 2 0; -1 -1 m] % dim(U ∩ V) + rank(A) = n = => dim(U ∩ V) lớn rank(A) nhỏ syms m, A = [1 0; -1 -1 2; 2 0; -1 -1 m] det(A(1:3, 1:3)) % det(A(1:3, 1:3)) => rank(A) >= Rank(A) = det(A) = solve(det(A) == 0) % => m = A = [1 0; -1 -1 2; 2 0; -1 -1 2] rank(A) schieu = - rank(A) cso = null(sym(A)) % Thử lại m = Trong R4 cho không gian V x1; x ; x3 ; x4 R4 | x1 x2 x3 x2 x3 x4 0 Tìm sở V V = [1 -1 0; 1 1] cstgiao = null(sym(V)) Trong R4 cho không gian V x1; x2 ; x3 ; x4 R4 | x1 x2 x3 x1 x2 x4 0 Tìm sở V V = [1 1 0; -1 1] cstgiao = null(sym(V)) 10 Trong R4 cho không gian V 2; 1;1;0 , 2;1;0;1 x 1;1;0;1 Tìm PrV x f1 = [2; -1; 1; 0], f2 = [-2; 1; 0; 1], x = [1; 1; 0; 1] A = [dot(f1,f1) dot(f1,f2); dot(f2,f1) dot(f2,f2)] B = [dot(x,f1); dot(x,f2)] X = mldivide(sym(A), sym(B)) X(1,1)*f1 + X(2,1)*f2 % PrV x 11 Trong R3 cho không gian V1 1;2;1 , 1;0;1 , V2 x1; x2 ; x3 R | x1 x2 mx3 0 Tìm m để V1 V2 V1 = [1 1; -1 1] kerV1 = null(sym(V1)) % Cơ sở V2=(1; -1; m) Để V1 V2 kerV1 ~ sở V2 => m = 12 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc, cho F 1;1; 2 , 2;1; 1 vector x 1;2;3 Tìm hình chiếu x xuống F f1 = [1; 1; 2], f2 = [2; 1; -1], x = [1; 2; 3] A = [dot(f1,f1) dot(f1,f2); dot(f2,f1) dot(f2,f2)] B = [dot(x,f1); dot(x,f2)] X = mldivide(sym(A), sym(B)) X(1,1)*f1 + X(2,1)*f2 % Hình chiếu x xuống F 13 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng x, y x1 y1 2x2 y2 3x3 y3 x1 y3 x3 y1 Tính khoảng cách góc vector u 1;1;2 v 2;1; 1 u = sym([1 2]), v = sym([2 -1]), A = sym([1 -1; 0; -1 3]) duv = sqrt((u-v)*A*((u-v).')) % Khoảng cách u v acos(u*A*(v.')/sqrt(((u*A*(u.'))*(v*A*(v.'))))) % Góc u v 14 R3 cho tích vô hướng x, y x1 y1 2x2 y2 5x3 y3 2x1 y3 2x3 y1 Tìm khơng gian bù vng góc F 1; 2;3 F = [1 3], A = [1 -2; 0; -2 5] tmp = F*A null(sym(tmp)) % F*A*y = 0, y ∈ khơng gian bù vng góc % Cơ sở khơng gian bù vng góc F 15 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R biết f 1;1;0 2; 1 , f 1;1;1 1;2 , f 1;0;1 1;1 Tìm f x1; x2 ; x3 E = [1 0; 1 ; 1], B = [2 -1; 2; -1 1] tmp = rref([E B]) res = (tmp(1:3, 4:5)).' 16 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R biết f x1; x2 ; x3 x1 2x2 3x3 ;2x1 x3 Tìm ma trận F cặp sở E 1;1;1; , 1;0;1 , 1;1;0 , F 1;3 , 2;5 E = [1 1; 1; 1 0], f = [1 -3; 1], F = [1 2; 5] res = inv(sym(F))*(f*E) 17 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R biết ảnh tập sinh f 1;1;1 1;2;1 , f 1;1;2 2;1; 1 , f 1;2;1 5;4; 1 Tìm ma trận f sở E 1;1;0 , 0;1;1 , 1;1;1 f = [1 1 1; 1 2 -1; -1] rref(f) fx = ans(1:3, 4:6) fE = fx*E resp = inv(sym(E))*fE*E % Tính f(x) 18 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R biết ma trận f cặp sở 3 E 1;1;1 , 1;0;1 , 1;1;0, F 1;1 , 2;1 AE , F Tìm ma trận f 0 sở tắc % AE , F F 1.( f E) F = [1 2; 1], E = [1 1; 1; 1 0], A = [2 -3; 4] fE = mldivide(inv(sym(F)),A) fx = mrdivide(sym(fE),sym(E)) 19 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R có ma trận sở E 1;2;1 , 1;1;2 , 1;1;1 1 1 Là A Tìm ma trận f sở tắc 1 3 E = [1 1; 1; 1], A = [1 1; 4; 1 3] fE = mldivide(inv(sym(E)),A) fx = mrdivide(sym(fE),sym(E)) 3 20 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R có ma trận sở E 1;2;1 , 1;1;2 , 1;1;1 1 1 Là A Tìm ma trận f sở E ' 1;2;3 , 2;3;5 , 5;8;4 1 3 E '1.E A.E 1.E ' % Ma trận f sở E’ E = sym([1 1; 1; 1]), F = sym([1 5; 8; 4]), A = sym([1 1; 4; 1 3]) res = inv(F)*E*A*inv(E)*F 3 21 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R có ma trận sở E 1;1;1 , 1;0;1 , 1;1;0 1 1 AE 3 Tìm sở số chiều Imf 1 E = [1 1; 1; 1 0], A = [1 -1; 3; 4] fE = mldivide(inv(sym(E)),A) fx = mrdivide(sym(fE),sym(E)) colspace(fx) % Cơ sở Imf rank(ans) % Số chiều Imf 22 Cho ánh xạ tuyến tính f : R R có ma trận sở E 1;1;1 , 1;0;1 , 1;1;0 1 1 AE 3 Tìm sở số chiều Kerf 1 E = [1 1; 1; 1 0], A = [1 -1; 3; 4] fE = mldivide(inv(sym(E)),A) fx = mrdivide(sym(fE),sym(E)) null(fx) % Cơ sở Kerf rank(ans) % Số chiều Kerf ... 1; -1] % Nhập ma trận % Tính 2AC – (CB)T Tìm số lũy linh ma trận A = [-2 1; -3 2; -2 1] charpoly(A,'luylinh') % Nhập ma trận % ans = luylinh^3 => Chỉ số lũy linh Tìm chuẩn Frobenius ma trận A =... 5; -13 22; -2; -7]; B = [1; -1; 5; 4] rank(A) rank([A B]) % r(A) = = r(A|b)< => Hệ có vơ số nghiệm 22 Tìm số nghiệm hệ phương trinh: x1 x2 3x3 x4 3x 3x x x 2 x1 x2 x3... B = [0;0;0;0] rank(A), rank([A B]) % r(A) = r(A|B) =>Hệ có vơ số nghiệm null(A,'r') % Khơng gian nghiệm hệ 26 Tìm hạng họ ĐLTT cực đại họ vector: M (1;1;1;0),(1;2;1;1),(2;1;2; 1) x1 = [1;