Lí thuyết chuỗi đại số

1 Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test): Xét chuỗi Khi tổng riêng phần dãy khơng giảm bị chặn chuỗi (1) hội tụ 1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương : 1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1: Cho hai chuỗi (*) Khi đó: Nếu chuỗi thỏa điều kiện: hội tụ Ngược lại, chuỗi hội tụ phân kỳ Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử phân kỳ Gọi Sn Tn tổng riêng phần tương ứng chuỗi (1) chuỗi (2) Do (*) ta có: Sn ≤ Tn Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T Vì số hạng chuỗi dương nên Tn < T Suy ra: Sn < T Vậy Sn bị chặn nên có giới hạn 1.1.2 Dấu hiệu so sánh : Cho hai chuỗi số dương , Giả sử Nếu k = chuỗi (2) hội tụ suy chuỗi (1) hội tụ hai chuỗi hội tụ phân kỳ chuỗi (1) hội tụ suy chuỗi (2) hội tụ Chứng minh Chứng minh kết 1: Do nên: Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi (2) hội tụ chuỗi (1) hội tụ Chứng minh kết 2: Giả sử Khi đó, nên: Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi (2) hội tụ chuỗi (1) hội tụ Mặt khác Vì vậy, theo trên, chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ Vậy mệnh đề Kết suy từ kết 1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân: Xét hàm số đặt Khi đó: tích phân suy rộng chuỗi f giảm Với , hội tụ hội tụ 1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert Cauchy: Image by mseery via Flickr 1.2.1 Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn thức) Cauchy’s root test ( Cauchy’s radical test): Cho chuỗi số dương Giả sử rằng: Khi có: Nếu C < 1, chuỗi hội tụ Nếu C > 1, chuỗi phân kỳ 3 Nếu C = 1, chuỗi hội tụ phân kỳ Nói cách khác, ta chưa thể kết luận hội tụ chuỗi 1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert – ratio test: Cho chuỗi số dương cho Giả sử rằng: Khi có: Nếu D < 1, chuỗi hội tụ Nếu D > 1, chuỗi phân kỳ Nếu D = 1, chuỗi hội tụ phân kỳ Nói cách khác, ta chưa thể kết luận hội tụ chuỗi Ví dụ: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy D’Alembert xét hội tụ chuỗi số Giải: Đầu tiên, sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert Ta có: Do đó: Vậy, ta có D =1 Kế tiếp, sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta có: Mặt khác: Khi ta có: Một lần nữa, ta có C = Tuy nhiên, biết hội tụ p > Nhận xét: Tiêu chuẩn D’Alambert sử dụng cách nhanh chóng dễ dàng chuỗi số có chứa giai thừa Ví dụ 2: Khảo sát hội tụ chuỗi: , a > Giải: Do số hạng chuỗi có chứa giai thừa, nên sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert Ta có: Khi đó: Vậy chuỗi hội tụ Trong trường hợp này, ta ý điều kiện cần chuỗi hội tụ ta có: Hơn nữa, trường hợp ta tính tổng chuỗi Thật vậy, sử dụng chuỗi Taylor – Maclaurin, có được: Ví dụ 3:Khảo sát hội tụ chuỗi Giải: Do số hạng chuỗi có chứa giai thừa, nên sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert Ta có: Mặt khác: Vậy chuỗi phân kỳ ...Cho hai chuỗi số dương , Giả sử Nếu k = chuỗi (2) hội tụ suy chuỗi (1) hội tụ hai chuỗi hội tụ phân kỳ chuỗi (1) hội tụ suy chuỗi (2) hội tụ Chứng minh Chứng minh... sánh 1, chuỗi (2) hội tụ chuỗi (1) hội tụ Chứng minh kết 2: Giả sử Khi đó, nên: Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi (2) hội tụ chuỗi (1) hội tụ Mặt khác Vì vậy, theo trên, chuỗi (1) hội tụ chuỗi. .. có: Nếu C < 1, chuỗi hội tụ Nếu C > 1, chuỗi phân kỳ 3 Nếu C = 1, chuỗi hội tụ phân kỳ Nói cách khác, ta chưa thể kết luận hội tụ chuỗi 1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert – ratio test: Cho chuỗi số dương