Lí thuyết chuỗi đại số

Các dấu hiệu so sánh The basic comparison test:Xét chuỗi Khi đó nếu tổng riêng phần là dãy không giảm và nếu nó bị chặn trên thì chuỗi 1 hội tụ.. Khi đó: Nếu chuỗi hội tụ thì hội tụ.. t

1 Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test):

Xét chuỗi

Khi đó nếu tổng riêng phần là dãy không giảm và nếu

nó bị chặn trên thì chuỗi (1) hội tụ.

1.1 Dấu hiệu so sánh hai chuỗi số dương :

1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:

Cho hai chuỗi thỏa điều kiện:

(*) Khi đó:

Nếu chuỗi hội tụ thì hội tụ.

Ngược lại, nếu chuỗi phân kỳ thì phân kỳ.

Chứng minh

Không mất tính tổng quát, giả sử

Gọi Sn và Tn là tổng riêng phần tương ứng của chuỗi (1)

và chuỗi (2)

Do (*) ta có: Sn ≤ Tn

Vì chuỗi (2) hội tụ nên Tn → T

Vì các số hạng của chuỗi luôn dương nên Tn < T

Suy ra: Sn < T

Vậy Sn bị chặn trên nên nó có giới hạn

1.1.2 Dấu hiệu so sánh 2 :

Cho hai chuỗi số dương ,

Giả sử

1 Nếu k = 0 thì chuỗi (2) hội tụ suy ra chuỗi (1) hội tụ.

2 thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

3 thì chuỗi (1) hội tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh

Chứng minh kết quả 1:

.

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Chứng minh kết quả 2:

Giả sử Khi đó, do nên:

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ.

Vì vậy, theo trên, nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) hội tụ Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết quả 3 được suy ra từ kết quả 1 và 2.

1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:

Xét hàm số và f giảm Với mọi , đặt

Khi đó: tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi chuỗi hội tụ.

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert và Cauchy:

Image by mseery via Flickr

1.2.1 Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn căn thức)

-Cauchy’s root test ( -Cauchy’s radical test):

Cho là chuỗi số dương Giả sử rằng:

Khi đó chúng ta có:

1 Nếu C < 1, thì chuỗi là hội tụ

2 Nếu C > 1, thì chuỗi là phân kỳ

3 Nếu C = 1, thì chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi

1.2.2 Tiêu chuẩn D’Lambert – ratio test:

Cho là chuỗi số dương sao cho Giả sử rằng:

Khi đó chúng ta có:

1 Nếu D < 1, thì chuỗi là hội tụ

2 Nếu D > 1, thì chuỗi là phân kỳ

3 Nếu D = 1, thì chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ Nói cách khác, ta chưa thể kết luận được sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert xét

sự hội tụ của chuỗi số

Giải:

Đầu tiên, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert Ta có:

Do đó:

Vậy, ta có D =1

Kế tiếp, sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, ta có:

Mặt khác:

Khi đó ta có:

Một lần nữa, ta có C = 1

Tuy nhiên, chúng ta đã biết rằng là hội tụ khi và chỉ khi p > 1

Nhận xét:

Tiêu chuẩn D’Alambert được sử dụng một cách nhanh chóng và dễ dàng nếu chuỗi số có chứa giai thừa

Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

, trong đó a > 0

Giải: Do số hạng của chuỗi có chứa giai thừa, nên chúng

ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert Ta có:

Vậy chuỗi hội tụ

Trong trường hợp này, nếu ta chú ý điều kiện cần của chuỗi hội tụ ta sẽ có:

Hơn nữa, trong trường hợp này ta cũng sẽ tính được tổng của chuỗi Thật vậy, sử dụng chuỗi Taylor – Maclaurin, chúng ta có được:

Ví dụ 3:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Giải: Do số hạng của chuỗi có chứa giai thừa, nên chúng

ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert Ta có:

Mặt khác:

Vậy chuỗi phân kỳ