ĐỀ vận DỤNG CAO số 3

ĐỀ ƠN LUYỆN CÁC NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Đề gồm 40 câu trắc nghiệm Sản phẩm thực nhóm Chinh Phục Olympic Tốn Câu 1: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m2 mx   2m  x mx Có nghiệm nhỏ 10 A C B D Vô số Câu 2: Cho dãy cấp số cộng un  u1 ; u2 ; un có cơng sai d  v1 ; v2 ; có cơng sai d2 Gọi tổng n số hạng đầu cấp số theo Sn  u1  u2   un  n  Tn  v1  v2    14n  27 Tính tỉ số thứ tự u11 v11 B C D 3 4 Câu 3: Cho hình chóp S ABC có SA  x , BC  y , AB  AC  SB  SC  Thể tích khối chóp A S ABC đạt giá trị lớn tổng  x  y  : A B C D Câu 4: Giá trị nhỏ m để hệ phương trình sau có nghiệm :  log  x  y   log  xy     3  x  y  xy  m A B C D Câu 5: Cho sin  a  b   cos  a  b  , a  b  k Tính giá trị biểu thức E 1   sin a  sin 2b A  B C D Câu 6: Cho dãy un  thỏa mãn 25.2 u5   15.2 u1  u5   5.2 u5  15.2 u1   un   un  Giá trị nhỏ n để un  2019 A 512 B 258 C 511 D 257 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD hình vng, AB  , cạnh bên SA  vng góc với mặt phẳng đ{y  ABCD  Kí hiệu M l| điểm di động đoạn CD N điểm di động đoạn CB cho MAN  45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN ? Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT A 1 1 B C 1 D 1 Câu 8: Cho cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 thỏa u1u4  u2 u3  Tìm tập x{c định D hàm f  x    x  u1  x  u2  x  u3  x  u4   A D    ;  B D   6;   C D  x   sin   x  sin   Câu 9: Cho hàm số y  C  Tìm D D   6;   để C   cho khoảng cách x1 điểm cực đại cực tiểu lớn ?     A     k  B     k C     k  D     k 4 Câu 10: Cho tứ diện ABCD có tất cạnh Gọi G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng  P  thay đổi luôn qua AG cắt BC , BD I , K Tính thể tích nhỏ ABIK A 27 B 18 C Câu 11: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn D 36 z1   3i  17 ; z2   Biết z1   i  k  z2   i  k   Tìm k P  z1  z2 đạt giá trị lớn A k  B k  2 D k  5 C k  3 Câu 12: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 257 257 127 127 A B C D 90000 18000 90000 30000 Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Tìm GTLN P  z  8i  z   9i A P  109 B P  1  109 C P  109  D P  109  Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn z  z  i   z  i  Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   2i A P  30 2 B P  30 3 C P  30 4 D P  30 5 1      Câu 15: Biết tổng Sn       2      n  n  Giá trị nhỏ n để 2      399  2n4n , n Sn  4n A 41 * | Chinh phục olympic toán B 40 C 51 D 50 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN z2  z2   Câu 16: Cho số phức z0 , z1 , z2 thỏa mãn đồng thời  , với z3  1  i Biết   z1  z3  z3  z2  z  z  a  bi   a, b , c , d  R  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ad  bc  z0  z2  c  di A P  17 B P  18 C P  19 D P  20 Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm Gọi C1  , C  , C  l| đồ thị hàm số y  f  x  , y  f  f  x   , y  f  x   Các tiếp tuyến C  , C  điểm x0  có phương trình y  x  1, y  x  , hỏi tiếp tuyến C  điểm x0  qua điểm n|o sau đ}y? A Q  2; 11  B M  2; 11  C N  2; 21  D P  2; 21  Câu 18: Cho dãy ( xn ) thỏa mãn x1  5, xn  xn2  2, n  Tính giá trị   1 M  lim      x1x2 xn   x1 x1 x  21  21  31  15 B M  C M  D M  2 3 Câu 19: Có cặp số nguyên  a ; b  thỏa mãn  a , b  100 cho đồ thị hàm A M  số y  1 1  y  x  cắt điểm phân biệt? x a b b a A 9704 B 9702 C 9698 D 9700 Câu 20: Xét hình chóp S.ABCD thỏa mãn điều kiện: đ{y ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đ{y khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  a Biết thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ V0 cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD p p , p , q số nguyên dương v| ph}n số q q tối giản Tính T   p  q  V0 3 a Câu 21: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   i , z2 số ảo với ảo A T  3 a B T  a C T  a không âm, z3 số thực không âm Biết z2  z3  D T  2 z2  z1  z3  z1 Gọi M,n giá trị lớn nhỏ biểu thức P  z2  z1 z3  z1 Khi M.n bằng? A M.n  90 B M.n  80 C M.n  100 D M.n  70 2 Câu 22: Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn  x  y  z    xy  yz  zx  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  y  z  x  y  z 3 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT A 14 C 12 B 16 D 18 Câu 23: Gieo súc sắc c}n đối đồng chất hai lần Giả sử m tích số chấm mà súc sắc xuất sau hai lần gieo Tính xác suất cho hàm số y   m   x   41  2m  x  đồng biến khoảng  0;    A B C D 17 36   Câu 24: Cho hàm số y  f  x   ln    Biết : x   f    f     f  2018   ln a  ln b  ln c  ln d a , c , d l| c{c số nguyên tố v| a  b  c  d Tính P  a  b  c  d A 1986 B 1698 C 1689 D 1989 Câu 25: Cho hàm số y  f  x   x   2m   x    m  x  Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  f  x  có điểm cực trị A m2 B 2  m  C  m2 D m2 Câu 26: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;  thỏa mãn đẳng thức: 3x f  x   f '  x    xf '  x   x 2  f '  x   x , x   1;  f  1  Tính f   7 1 7 1 1 1 B f    C f    D f    3 3 Câu 27: Cho hàm số đa thức bậc ba y  f  x  có đồ thị qua c{c điểm sau A f    A  2;  , B  3;  , C  4; 16  C{c đường thẳng AB, AC , BC lại cắt đồ thị tại điểm D , E , F ( D khác A B , E khác A C , F khác B C ) Biết tổng ho|nh độ D , E , F 24 Tính f   A f    2 B f    C f    24 D f    Câu 28: Cho hàm số g  x   f  sin x  f  cos x  f thỏa mãn điều kiện : f  cot x   sin x  cos x , x   0;  Tích giá trị lớn giá trị nhỏ g  x  bằng: 25 1 C  D  25 Câu 29: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  1;  thỏa mãn f    1, f    8 v| đồng A thời  f '  x   B x  f  x   x  x  3x , x  1;  Tích phân A 7 | Chinh phục olympic toán B  89 C  79  f  x  dx D 8 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 30: Cho phương trình log  x  x    y  y  x  x Hỏi có cặp số nguyên dương  x ; y  , với  x  500 thỏa mãn phương trình cho? A B C D Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD hình bình hành Gọi A l| điểm SA cho AA  AS Mặt phẳng    qua A cắt cạnh SB, SC , SD B, C , D SB SD SC Tính giá trị biểu thức T    SB SD SC  1 A T  B T  D T  C T  2 Câu 32: Gọi q công bội cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu 16 , đồng thời theo thứ tự , chúng số hạng thứ , thứ tư v| thứ tám cấp số cộng Hỏi q thuộc khoảng n|o sau đ}y? A q   3;  B q   1;  Câu 33: Cho tích phân I   C q   2;  dx 1x 2n ,n * D q   0;  , biết tổng giá trị lớn giá trị nhỏ a c a c  , a, b, c, d l| c{c số nguyên dương v| , b d b d phân số tối giản Tính S  a  b  c  d ? I viết dạng A C 11 B 10 Câu 34: Cho hàm số D 12 y  f x , y  g x , y  h x Đồ thị hàm số y  f   x  , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ dưới, đường đậm l| đồ 3  thị hàm số y  f   x  Hàm số k  x   f  x    g  5x    h  4x   đồng biến 2  khoảng n|o đ}y ? y  g ' x  y 10 y  f ' x  O 34 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor x y  h ' x  Chinh phục olympic toán | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT  15  A   ;    3  3  C  ;  D  ;   8  8  5i 3i Câu 35: Cho số phức z1 thỏa mãn z1    z1   , z2  a  bi với 4 4  1  B   ;  4    a  b   Biết z1  i  z2  i Tìm GTNN P  z1   i  z2   i A P  38 C P  38 B P  39 D P  39 Câu 36: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu 2 thức P    a 1 b 1 c 1 10 14 A Pmax  B Pmax  C Pmax  D Pmax  3 Câu 37: Cho hàm số f  x  liên tục , có đạo h|m đến cấp hai thỏa mãn f  x    f '  x    f  x  f ''  x    e x , x    , biết f    Khi f  x  dx bằng?    25ln 2 A  31   5ln    C 5ln B 1 355ln   31   5  355ln   D  31      1 25ln 2 31   5ln   5  Câu 38: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ: y f ' x   B Xét hàm số O 13 g  x   f  x   x  4x  3m  với x    ;  điều kiện m A m  f C m  f      | Chinh phục olympic toán x A m số thực Để g x    f D m  f   B m    Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 39: Cho số ngun a , b , c , d thay đổi thỏa:  a  b  c  d  50 Tìm giá trị nhỏ a c biểu thức P   b d 53 61 58 73 A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  175 200 175 200 Câu 40: Cho số tự nhiên từ đến 100 Chọn số Tính xác suất để chọn số cho chúng xếp thành cấp số cộng 95 95 95 A B C 7528752 1254792 2509584 Câu 41: Cho số thực x,y thỏa mãn  D  log  x    log 2  y   log  y    log Giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   15xy là? A P  80 B P  91 C P  83  95 3764376  x3 2 D P  63 Câu 42 : Cho hàm số f  x  g  x  thỏa mãn f '    g    1; f   g    f   v| đồng   thời  f '  x  g '  x   g x   f '' x   f ' x   , x  \ 0  Tính tích phân x   I   f  x  g '  x  dx ? 3 3 B   ln C  ln D   ln  ln 4 4 Câu 43: Có tối đa hình vng tạo ô vuông bàn cờ 8x8 bớt ô vuông? A 204 B 63 C 196 D 150 A Câu 44: Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A1 B1C Giả sử BC  a , AA1  h Khi R ngắn tam giác ABC A Đều B Cân A C Vuông A D Nhọn  z  i  a  bi Câu 45: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  Biết   z2  i  c  di Tìm GTLN biểu thức P  ad  bc A P  B P  C P  D P  Câu 46: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD M điểm thay đổi không gian Đặt P  MA  MB  MC  MD, giá trị nhỏ P là? A Pmin  R B Pmin  R C Pmin  R D Pmin  16 R Câu 47: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện log 22 x  log 22 y    log xy   Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor 11 Chinh phục olympic tốn | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT Đặt P  x  y Hỏi P có ước số nguyên? A C B Câu 48: Cho phương trình m3 m3  D  3x  10  x  3x  10  x Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? A 10 C B 11 Câu 49: Cho hàm số y  f  x   sin x cos x  cos6 x sin x sin x  cos x D 12 Hỏi có giá trị x   2019; 2019  thỏa mãn hàm số f  x  đạt giá trị lớn A 2453 B 5142 C 2571 D 4906  2m  1, h  x    x  61x  Tìm tham số m để 6x hàm số g  x   h  x  f  x  có giá trị nhỏ với x   0;  Câu 50: Cho hàm số f  x    m  1 x  A m  B m  1  C m   ; 1 2  ui  0, i  1, 2, , n Biết Câu 51: Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , , un ; Sn  u1  u2  u3   un  2018 , Tn  D m  1 1 1      2019 P  u1 u2 u3 un  100 u1 u2 u3 un Hỏi số tự nhiên nhỏ thỏa mãn P là: A 9295 B 9296 C 18592 Câu 52: Cho tập A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} D 18591 ọi S l| tập hợp tất c{c số có năm chữ số ph}n biệt lập từ A Chọn ngẫu nhiên số từ S Khi x{c suất để chọn số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 cho a1  a2  a3 v| a3  a4  a5 l|? A B 12 C  Câu 53: Cho bất phương trình log a 11   log   12 D 24   x  3ax  10   log a  x  ax  12    Giá trị thực tham số a để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng sau đ}y? A  1;  B  1;  C  0;  D  2;   Câu 54: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện   log y  y x2 x  x  y   x 2 y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  log x  y   y  x  2 x  y A | Chinh phục olympic toán B C D 16 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 55: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 257 257 127 127 A B C D 90000 18000 90000 30000 Câu 56 : Có tất cặp số thực  x ; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3 x2  x  log  5 y    ?   y  y    y    A B D C Câu 57: Cho (C m ) l| đồ thị h|m số y  x  3mx  (với m  l| tham số thực) ọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị (C m ) Đường thẳng d cắt đường tròn t}m I  1;  bán kính R  hai điểm ph}n biệt A , B ọi S l| tập hợp tất c{c gi{ trị m cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn Hỏi S có tất phần tử ? A B C D Câu 58: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z  y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log xyz ? P  log 22 xy  log  x y  x z3    y  xy  zy  xz A B C 1 D Câu 59: Cho phương trình sin x  cos x  sin x  cos x  cos x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm ? A B C D 1 k Câu 60: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức    với sin x x    x   0;  Khi gi{ trị k là?  2 A B C Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor D Chinh phục olympic toán | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ Câu 1: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình mx  m2  2m  x mx Có nghiệm nhỏ 10 A C B D Vô số Lời giải  m  x  m  m  x m  x Phương trình   I m  x    x  x x  Xét m  :  I    x  nghiệm phuơng trình cho  x  2m  x    x   2m  x  m  x     x  2m  x m  x Xét m  :  I     x   x  vô nghiệm  m  x  m  x  m  x      2m  x 2   2m  x  m  x    2 m  x  2m  x m  x Xét m  :  I     m  x   2m  x  m  x   x  2 m    m  x   x  2 m m  x   m  m  4, 3, 2, 1 Vì x  2 m  10  m  5  m Câu 2: Cho dãy cấp số cộng un  u1 ; u2 ; un có cơng sai d  v1 ; v2 ; có cơng sai d2 Gọi tổng n số hạng đầu cấp số theo Sn  u1  u2   un  n  Tn  v1  v2    14n  27 Tính tỉ số A B C D thứ tự u11 v11 Lời giải n  2u1   n  1 d1  n  v1   n  1 d2  Từ giả thiết, ta có Sn   Tn   2  Sn u1   n   d1 7n     v1   n   d2 4n  27 T  n  u11  u1  10 d1  u1  20 d1  v11 v1  10 d2 v1  20 d2 10 | Chinh phục olympic toán  1 2 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MN  MI  NI  MI NI cos MIN  MN   cos MIN   P  AI  39 NI Dấu “=” xảy AMIN nội tiếp đường tròn MIN  60 o Chọn ý B Câu 36: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu 2 thức P    a 1 b 1 c 1 10 14 A Pmax  B Pmax  C Pmax  D Pmax  3 Lời giải Ta có: a  c  b   ac   Dễ thấy ac    a  c   ac  2a  c 3 ac      2 b  P 2 2 a   a  c     ac  c  a   a   c   c  1  ac Xét hàm số f  x   Với  x  a  Tính f '  x   2  x  2cx  2c   x  c 3      2 2 2 2 x   x   c   c   x  1 c  1 c  1 c 4c  x  2cx   x  1  c  1  1 Trên khoảng  0;  : f '  x   có nghiệm x0  c  c  f '  x  đổi dấu từ dương  c sang âm x qua x , suy f  x  đạt cực đại x  x0 2c  1   0;  : f  x    2    g c  2  c c 1c c 1 c 1 c 1 c 1 10   10 Khảo sát hàm số g  c  với c   max g  c   g    Pmax    0;   2  Câu 37: Cho hàm số f  x  liên tục f  x    f '  x    f  x  f ''  x    e x , x      25ln 2 A  31   5ln    C  1 25ln 2 31   5ln   5  , có đạo h|m đến cấp hai , biết f    Khi 5ln  thỏa mãn f  x  dx bằng? B 1 355ln   31   5  355ln   D  31     Lời giải 28 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Giả thiết tương đương  f  x  f '  x   '  e x  f  x  f '  x   e x  C mà f     C  1  f  x  f '  x   e x    f  x  f '  x  dx  e x  x  D  f  x    e x  x  D  Mặt khác f     D  1  f  x    e x  x    5ln f  x  dx  5 5ln   25ln 2 x e  x  dx  31   5ln       Câu 38: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ: y f ' x   B Xét hàm số O x    ;  điều kiện m A m  f C m  f      A 13 g  x   f  x   x  4x  3m  với x m số thực Để g x    f D m  f   Lời giải B m    Ta có g  x    g  x   f  x   x  4x  3m    3m  f  x   x  4x  Đặt h  x   f  x   x  x  Ta có h  x   f   x   6x        h   f    6.5    h  f   6.5     Suy h    f          h    f    6.1   h  1   f   1   6.1       Từ ta có bảng biến thiên Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 29 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT x h   h  5    h 0 h h Từ bảng biến thiên ta có 3m  h  5 m f  5  5 Câu 39: Cho số nguyên a , b , c , d thay đổi thỏa:  a  b  c  d  50 Tìm giá trị nhỏ a c biểu thức P   b d 53 61 58 73 A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  175 200 175 200 Lời giải Vì  a  b  c  d  50 a , b , c , d số nguyên nên c  b  a c b1 Suy ra: P     b d b 50 x1 Dễ thấy  b  48 nên xét hàm số f  x    , x   2; 48 x 50 1 Ta có f '  x      f ' x    x  x 50  Lập bảng biến thiên ta f  x   f  ;48   Do x  x  giá trị gần x  nhất, vậy:  53 61  53 f  x    f   ; f     ;  ;48    175 200  175 53 Vậy GTNN P  175 Câu 40: Cho số tự nhiên từ đến 100 Chọn số Tính xác suất để chọn số cho chúng xếp thành cấp số cộng 95 95 95 A B C 7528752 1254792 2509584 Lời giải D 95 3764376 Gọi số l| u1 ; u ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 Viết theo cấp số cộng u1 ; u1  d ; u1  d ; u1  3d ; u  d ; u1  5d u6  u1  u6  u1 chia hết cho 5 Nếu ta x{c định u6 ; u1 ta tìm d từ tìm số lại Vậy tốn Do d  chuyển thành chọn hai số cho chúng có số dư chia cho Từ đến 100 có 20 số chia hết cho ta có C 20 cách chọn 30 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn cách chọn Vậy ta có C 20 C 20 5 C 100 Xác suất Câu 41: Cho số thực x,y thỏa mãn   log  x    log 2  y   log  y    log Giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   15xy là? A P  80 B P  91 C P  83   x3 2 D P  63 Lời giải Giả thiết tương đương  log x   log  x3      1 log  x    log 2  y   log  y    log 2  x    log y   log x3 2   y3  y3 2    x  3  x     y  3  y   x  y  Ta có x  y    2  y3  x3 2   x3  y3  x  y  x   y    x  y    x  y   x  y    x  y    x  y  Mặt khác x  y     x   y   2  x  y   x  y   x  y   4; 8 Xét biểu thức P   x  y   15xy   x  y   xy  16  x  y   xy  x  y    16 y  5x y   Mà   P  16   x   5x  64  21x y   x Kết hợp với x  y   x   3;7   64  21 x  83 Vậy gi{ trị nhỏ biểu thức P 83 Câu 42 : Cho hàm số f  x  g  x  thỏa mãn f '    g    1; f   g    f   v| đồng   thời  f '  x  g '  x   g  x   f ''  x   f '  x   , x  x   \0 Tính tích phân I   f  x  g '  x  dx ? A  ln B   ln C  ln D   ln 4 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 31 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT x  xf '  x  g '  x   xg  x  f ''  x   g  x  f '  x   x  x  g '  x  f '  x   g  x  f''  x    g  x  f '  x   x   xf '  x  g  x   '  xf '  x  g  x   x2 C x C f ' 1 g 11 x    f ' x  g  x    x 2x 2 x  f '  x  g  x  dx     dx   ln   2x   f ' x  g  x    Sử dụng tích phân phần ta có 2 I   f '  x  g  x  dx  g  x  f  x    f  x  g '  x  dx  1  ln 2   f  x  g '  x  dx    ln 4 Chọn ý D Câu 43: Có tối đa hình vng tạo ô vuông bàn cờ 8x8 bớt ô vuông? A 204 B 63 C 196 D 150 Lời giải Để có tối đa số hình vng  Bớt vng góc vng bàn cờ Số hình vng tạo thành từ ô vuông bàn cờ x  204 (hình vng) x 1 Số hình vng chứa vng bớt  Số hình vng tạo thành sau bớt 204   196 Câu 44: Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A1 B1C Giả sử BC  a , AA1  h Khi R ngắn tam giác ABC A Đều B Cân A C Vuông A D Nhọn Lời giải C1 A1 O1 B1 I A C O B Gọi O , O1 l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A1 B1C Khi đó, OO1 trục đường tròn ngoại tiếp đ{y Trong mặt phẳng ( AOO1 A1 ) , đường trung trực cạnh 32 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN AA1 cắt OO1 I Ta chứng minh I l| trung điểm OO1 v| l| t}m mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A1 B1C Do đó, R  IA 2 h  OO1  Ta có IA  OA  OI  OA   (1)   OA    2 2 Mặt khác, áp dụng định lý hàm sin tam giác ABC , ta BC BC a  2OA  OA   (2) Sin BAC Sin BAC Sin BAC   Từ (1) (2) suy IA2          1 a2  h   sin BAC     Do đó, R  IA ngắn  IA2 bé    sin BAC lớn  sin BAC   BAC  90 o Hay tam giác ABC vuông A  z  i  a  bi Câu 45: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  Biết   z2  i  c  di Tìm GTLN biểu thức P  ad  bc A P  B P  C P  D P  Lời giải     Gọi A  0;  , B  z1  , C  z2  B  0; , C  0; Bổ đề: Cho hai đường tròn đồng t}m C1  O ; R  C C  O ; R '  R  R ' C{c điểm B C di động C1  , C  tương ứng Khi S đạt max O l| trực t}m tam giác ABC O nằm tam gi{c Thật vậy, cố O định B đường thẳng AB cố định Giả sử AB cắt C  M B N, diện tích lớn CO  AB Tương tự cố định A C Tức O trực tâm ABC Khi C điểm cung lớn MN hay O nằm tam giác ABC Áp dụng với A  0;1   BC Ox Do tính đối xứng nên gọi B Ta có AB.CO   Vậy Pmax       b2 ; b , C   b2 ; b  b   B  2; 1    b   b   b  b  1  b  1  C  1; 1 2   ad  bc  SABC max  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 33 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 46: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD M điểm thay đổi không gian Đặt P  MA  MB  MC  MD, giá trị nhỏ P là? A Pmin  R C Pmin  R B Pmin  R D Pmin  16 R Lời giải A L E B D K F C Gọi G trọng tâm tứ diện; E, F, K, L l| trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên AF  BF suy EF  AB , tương tự ta chứng minh EF  CD v| đường thẳng PQ vuông góc với hai đường thẳng BC, AD Từ suy GA  GB  GC  GD  R MA.GA  MB.GB  MC.GC  MD.GD Ta có MA  MB  MC  MD  GA   MA.GA  MB.GB  MC GC  MD.GD MG GA  GB  GC  GD  4.GA    4GA  R GA GA Dấu xảy M trùng với điểm G Vậy Pmin  R Câu 47: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện log 22 x  log 22 y    log xy   11 Đặt P  x  y Hỏi P có ước số nguyên? A B C D Lời giải   Đặt  log 2x , log 4y , log2    a , b ,c   a  b  c  xy   34 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN 11 Nhận thấy giả thiết l| đa thức đối xứng theo biến a , b nên dấu “=” xảy a  b  x , c  y đến đ}y ta tham số hóa để tìm điểm rơi Giả thiết trở thành Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:  a2  x  ax  2  a  b  c  x  a  b   3y c  y  x b  x  2bx c  y  y  3y 2c  y  2 x  3y  Đến đ}y ta cần tìm x , y thỏa mãn   Vậy P số nguyên 2 x  y  x  nên khơng có ước nguyên dương Câu 48: Cho phương trình m3 m3   3x  10  x  3x  10  x Có giá trị ngun tham số m để phương trình có nghiệm? C B 11 A 10 D 12 Lời giải Đặt a  m    3x  10  x ; b  3x  10  x ,  a  0, b  0 Điều kiện  x   m  a  b m  3a  b  Ta có:  m  3b  a  m  3b  a a  b   a  b   b  a2   a  b  a  b       a  b   (L) Với a  b  m  3b  b  m  b  3b  f  b  (*)  b  3x  10  x  b  x  10  3x  10  x   10  b  10 (1)  b  3x  10  x  b   3x    x       x   x   25  b  (2) Từ (1) (2) suy b   10 ;  Xét hàm số f  b   b  3b đoạn  10 ;  ta có f  b   f  10 ;5     10  10  10 , max f  b   f    10  10 ;5    Phương trình  *  có nghiệm f  b   m  max f  b   10  10  m  10 mà m   10 ;5     10 ;5   nên có 10 giá trị nguyên m thỏa mãn Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 35 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 49: Cho hàm số y  f  x   sin x cos x  cos6 x sin x sin x  cos x Hỏi có giá trị x   2019; 2019  thỏa mãn hàm số f  x  đạt giá trị lớn A 2453 B 5142 C 2571 D 4906 Lời giải Ta có f  x   Nên f  x   sin x cos x  cos6 x sin x sin x  cos x  sin x cos x sin x  cos x sin x  cos x  f x   Đặt t  sin x , t   0; 1 Vì sin x  cos x  sin x  cos x  1, x   sin x cos x   sin x cos x  sin x co x  1 sin x  sin x  sin x 1 Xét hàm số f  x    t  t  t liên tục  0; 1 2 Khảo sát hàm số trên, suy max f  t   f    0;1   27 1 k x 2019;2019   cos 4x   x   arccos   có 5142 giá trị 9 2 Câu 50: Cho hàm số f  x    m  1 x  x  2m  1, h  x    x  61x  Tìm tham số m để hàm số g  x   h  x  f  x  có giá trị nhỏ với x   0; 1 Đạt sin x  A m  B m  1  C m   ; 1 2  D m  Lời giải Ta thấy với m, ta ln có h   f    nên tốn trở th|nh tìm m hàm số g  x   h  x  f  x   0x   0; 1 Dễ thấy với x  bất đẳng thức ln đúng, ta xét  0;  Ta dễ thấy h  x  l| h|m đồng biến  0;  , h     h  x   0x   0;  Đến đ}y lại rút gọn toán trở th|nh tìm m để f  x   0x   0;  Đặt t  x  t   1;   ta có f  x     m  1 6x  t2  t  2  m    m  t  mt   t   m    6x t  2t Đến đ}y b|i to{n trở thành toán đơn giản, ta cần m  1;6 36 | Chinh phục olympic toán t2  t   t  2t Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN ui  0, i  1, 2, , n Biết Câu 51: Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , , un ; Sn  u1  u2  u3   un  2018 , Tn  1 1      2019 P  u1 u2 u3 un  100 u1 u2 u3 un Hỏi số tự nhiên nhỏ thỏa mãn P là: A 9295 B 9296 C 18592 u1  q n  1 Lời giải  2018  1   q   2019 1 1 Và Tn       u1 u2 u3 un u1q n1   q  2 Ta có Sn  u1  u2  u3   un  q1 n Từ   ,   suy D 18591 Tn 2018  u12 q n1  Sn 2019 Ta có Qn  u1 u2 u3 un  u1  u1 q   u1 q   u1 q n1 u q n n n  1 n n 1  u q  n  2018     2019  n  2018     n  log 2018  Theo đề      18591,  nmin  18592 100 100  2019    2019 1285 257  9.10 18000 Câu 52: Cho tập A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} đó, P( B)  ọi S l| tập hợp tất c{c số có năm chữ số ph}n biệt lập từ A Chọn ngẫu nhiên số từ S Khi x{c suất để chọn số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 cho a1  a2  a3 v| a3  a4  a5 l|? A B 12 C 12 D 24 Lời giải Số phần tử tập hợp S l| |S| 9.9.8.7.6  27216 ọi B l| tập hợp c{c số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 cho a1  a2  a3 v| a3  a4  a5 Ta x{c định số phần tử tập B sau: Trường hợp Chọn chữ số khơng có chữ số có C95 c{ch, sau xếp chữ số v|o vị trí a1 a2 a3 a4 a5 Vị trí a3 có c{ch chọn, a3 lớn Có C 42 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a1 a2 Có c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a4 a5 Suy có C 95C 42  756 (số) Trường hợp Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 37 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Chọn chữ số phải có chữ số có C94 c{ch, sau xếp chữ số v|o vị trí a1 a2 a3 a4 a5 Vị trí a3 có c{ch chọn, a3 lớn Có C 32 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a1 a2 Có c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a4 a5 Suy có C 94C 32  378 (số) Do số phần tử tập B l| |B| 756  378  1134 (số) C1134  C 27216 24 Vì x{c suất cần tìm l| Suy chọn D  Câu 53: Cho bất phương trình log a 11   log     x  3ax  10   log a  x  ax  12    Giá trị thực tham số a để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng sau đ}y? A  1;  B  1;  C  0;  D  2;   Lời giải Biến đổi bất phương trình tương đương Điều kiện x{c định  a   log a 11   log   log a 11  log  log      x  ax  10   log a  x  ax  12     x  ax  10  log a  x  ax  12    x  3ax  10  log a  x  ax  12   log a 11 Đặt t  x  ax  10   x  ax  12  x  ax  10   t  Khi bất phương trình trở thành log  t   log a  t    * log 11 3a  Nếu  a   log 11 3a  bất phương trình  *  trở thành log  t   log 11 a log a  t     log  t   log 11  t    Xét hàm số f  t   log  t   log 11  t    t   l| h|m đồng biến đồng thời f    nên f  t   f    t   x  3ax   Để phương trình có nghiệm a ta có , nghiệm không thỏa mãn  Nếu a   log 11 3a  Đến đ}y xét tương tự trường hợp ta tìm a  3 38 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 54: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện   log y  y x2 x  x  y   x 2 y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  log x  y   y  x  2 x  y A B C D 16 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: 2   log y  y x2 x  x  y    x 2 y 2 x 2 y 1 1 log x  y   x  y   y  x   2 x 2 y 1 2  x 2 y  2 log x  y 1  y  x    log x  y 1  y  x    Khi P viết lại thành P  log x  y 1  y  x  x  y   a  log x  y   y  x  b1   2a 1 Để đơn giản ta đặt  x2 y b1 a1 2b b  b2   b  b 1  b 2b Câu 55: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Thế v|o ta P    Tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 257 257 127 127 A B C D 90000 18000 90000 30000 Lời giải Gọi số tự nhiên gồm chữ số abcde Chọn a  có cách Chọn b , c , d , e số có 10 cách Nên A  9.10 Gọi B biến cố "chọn tự nhiên gồm chữ số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 2'' Gọi số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị abcd Ta có abcd  10.abcd   abcd  3abcd  abcd chia hết 3abcd  chia hết cho hay 3abcd   7t ,(t  ) 7t  t2  abcd  2t  3 Suy (t  2) hay t   3n  t  3n  3abcd   7t  abcd  Khi abcd  n  mà 1000  abcd  9999 nên 1000  n   9999  Mặt khác n số nguyên  n  143; 144; 145; ; 1427 996 9995 n 7 Nên B  1285 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 39 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 56 : Có tất cặp số thực  x ; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3 x2  x  log  5 y    ?   y  y    y    A D C B Lời giải x2 2 x 3 x2 2 x 3 3  y4 Từ giả thiết ta suy 5    log 5 5  y   3 x2 2 x 3 5  y     y  3  y  y    y    4 y    y    y     y    y     y    2  y  y    y    4 y    y    y     y    y    2  x  1 Dấu “=” xảy y  3 Thế vào giả thiết ta x  x     x  Vậy tồn số thỏa mãn yêu cầu đề Câu 57: Cho (C m ) l| đồ thị h|m số y  x  3mx  (với m  l| tham số thực) ọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị (C m ) Đường thẳng d cắt đường tròn t}m I  1;  bán kính R  hai điểm ph}n biệt A , B ọi S l| tập hợp tất c{c gi{ trị m cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn Hỏi S có tất phần tử ? A B C D Lời giải Ta có d : y  mx  Do x  d  I , d   Vì SIAB  2 m  4m   1  12    2m   12 4m  AB.x  x  x  max x  x  y  0;  Dấu đạt  , AB  R  x   x  2 14 2m 1  1   m    S    1  2 Câu 58: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z  y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log xyz ? P  log 22 xy  log  x y  x z3    y  xy  zy  xz A C 1 B D Lời giải Ta có P  log 22 xy  log  x y  x z3    y  xy  zy  xz  log 22 xy  log  x y  x z3    z  y   x  y   log 2 xy  log  x y  x z  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x y  z3 x  x y z 40 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN      P  log 22 xy  log   x yz    log 22 xy  log  x yz     Trường hợp 1: y  z  P  log 22 xy  log xy    Trường hợp 2: y  z  P  log 22 xz  log xz    Vậy P   , dấu “=” xảy x  , y  z   log xyz  1 16 Câu 59: Cho phương trình sin x  cos x  sin x  cos x  cos x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm ? A B C D Lời giải Điều kiện: cos x  m  Phương trình cho tương đương với  sin x  sin x  cos x   cos x  m  cos x  m   sin x  cos x   sin x  cos x  cos x  m  cos x  m   sin x  cos x   sin x  cos x   cos x  m  2 cos x  m Xét hàm f  t   t  t với t  Ta có f '  t   2t   0, t   Hàm số f  t  đồng biến Mà f  sin x  cos x   f   cos  m , suy sin x  cos x  cos x  m   sin x  cos x   cos x  m   sin x  cos x  m  sin x  cos x  m   Vì sin x  cos x  sin  x      ;  4  m  m  1; 0; 1  Phương trình cho có nghiệm    m   Câu 60: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức   x   0;  Khi gi{ trị k là?  2 A B C 1 k    với sin x x  D Lời giải 1 k 1 k Ta có  1    1 2 sin x x  sin x x  1   Xét f  x    , x   0;  sin x x  2 Ta chứng minh f   x    cos x     , x   0;  sin x x  2 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 41 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Thật vậy: f   x   sin x  x cos x 0 x sin x    sin x  x cos x  , x   0;   2 sin x      sin x  x cos x , x   0;   g  x    x  , x   0;  cos x  2  2 Ta có g  x       cos x  cos x  1  cos x cos x 2   1  cos x   cos x cos x  2  1   cos x  3  cos x  1 cos x cos x    , x   0;   2   Do g  x   g    Suy f   x   , x   0;   2 k k   Vẽ bảng biến thiên ta suy f  x    , x   0;       k      2 42 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor ... SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn z  z  i   z  i  Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   2i A P  30 2 B P  30 3 C P  30 4 D P  30 5 Lời giải Sử dụng. .. nhỏ 3 a cos   3 a ; p  1, q   T   p  q V0  3a Câu 21: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   i , z2 số ảo với ảo Suy V0  không âm, z3 số thực không âm Biết z2  z3  2 z2  z1  z3... Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 55: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 257