(megabook) 22 câu cấp số cộng nhân image marked image marked

Câu (MEGABOOK-2018) Cho dãy số có u1 = u n +1 = 22n + 3u n + , n ∈ N* Tính 3u n + lim u n A.0 B.1 C.2 D.3 Đáp án C 2u 2n + 3u n + 2u − 3u n − ( u n − )( 2u n + 1) −2= n = 3u n + 3u n + 3u n + Ta có u n +1 − =  u n +1 − = 2 Vậy lim   3 ( 2u n + 1) u 3u n + n n −2  2 2 u n −     u1 −  u n −    3 3 n −1 u1 − n −1 u1 − =  lim u n − =  lim u n = Câu (MEGABOOK-2018) Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu Sn tính theo cơng thức Sn = 5n + 3n, (n  *) Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng A u1 = −8, d=10 B u1 = −8, d = −10 C u1 = 8, d = 10 D u1 = 8, d = −10 Đáp án C Tổng n số hạng đầu Sn = u1 + u + + u n = 5n + 3n, ( n  *) Tổng số hạng S1 = u1 = 5.12 + 3.1 = Tổng số hạng đầu là: S2 = u1 + u = 5.22 + 3.2 = 26 = + u  u = 18 = + 10 = u1 + d  d = 10 Câu (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC cân A Biết độ dài cạnh BC, trung tuyến AM cạnh AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với cơng bội q Tìm cơng bội q cấp số nhân A q = q= 1+ B q = 2+2 C q = −1 + −2 + 2 Đáp án B Tam giác ABC cân A có trung tuyến AM nên tam giác AMB vuông M, với M trung điểm BC Đặt BC = a  AM = aq, AB = aq D Theo định lý Pitago ta có: AB2 = BM + AM = BC2 + AM a2  a q = + a 2q  q − q − = 4   1+ 2+2 q = q = 1+ 2   q2 =    1− q = − + 2  (L) q =   Câu 4: (MEGABOOK-2018) Tổng n số hạng cấp số cộng Sn = n + 4n với n * Tìm số hạng tổng quát u n cấp số cộng cho A u n = 2n + B u n = 3n + C u n = 5.3 n −1 8 D u n =   5 n −1 Đáp án A d  = u = d  d   u n = 2n + Ta có: n + 4n = Sn = n +  u1 −  n   d d = 2 2   u − =  Câu 5: (MEGABOOK-2018)Bốn góc tứ giác tạo thành cấp số nhân góc lớn gấp 27 lần góc nhỏ Tổng góc lớn góc bé bằng: B 102 A 56 C 252 D 168 Đáp án C Giả sử góc A< B, C, D ( với A  B  C  D ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân thỏa mãn yêu cầu với công bội q Ta có: q = A (1 + q + q + q ) = 360 A + B + C + D = 360    A =  A + D = 252  D = 27A Aq = 27A D = Aq = 243  Câu (MEGABOOK-2018): Xét U n = A3 195 − n +3 Có số hạng dương 4.n! ( n + 1) ! dãy? A Đáp án D B C D ( n + 3) ! 195 195  Un = = n! =  − ( n + 3)( n + )  4.n! ( n + 1) ! n!   Ta có U n   ( n + 3)( n + )  195 171  n + 5n − 00n 4 Vậy n = 1;2;3;4 nên có số hạng dương dãy Câu (MEGABOOK-2018)Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu Sn tính theo cơng thức Sn = 5n + 3n, ( n  A u1 = −8,d = 10 ) Tìm số hạng đầu u cơng sai d cấp số cộng B u1 = −8, d = −10 C u1 = 8, d = 10 * D u1 = 8,d = −10 Đáp án C Tổng n số hạng đầu Sn = u1 + u + + u n = 5n + 3n; ( n  * ) Tổng số hạng S1 = u1 = 5.12 + 3.1 = Tổng số hạng đầu S2 = u1 + u = 5.22 + 3.2 = 26 = + u  u = 18 = + 10 = u1 + d  d = 10 Câu (MEGABOOK-2018)Cho số hạng thứ m thứ n cấp số nhân biết số hạng thứ (m + n ) A, sổ hạng thứ (m − n ) B số hạng đểu dương Số hạng thứ m là: m m  B  2n A A   A B  A n C   B AB Đáp án B u m + n = A = u1.q m + n −1 A 2n 2n  A = Bq  q = Ta có  m − n −1 B u m − n = B = u1.q −n m −1  um u m = u1.q A −n 2n Mặt khác   = q  u m = A   = AB m + n −1 A B  u m + n = u1.q m  B  2n Tương tự ta tính u n = A   A D ( AB ) n Câu (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Biết tan A C x tan = ( x, y  2 y B A ) , giá trị x + y là: C D Đáp án A Ta có: a + c = 2b  sin A + sin C = 2sin B A+C A−C B B A+C A+C  2sin cos = 4sin cos = 4sin cos 2 2 2 A−C A+C A C A C A C A C  cos = 2cos  cos cos + sin sin = 2cos cos − 2sin sin 2 2 2 2 2 A C A C A C A C  3sin sin = cos cos  tan tan =  tan tan = 2 2 2 2 u1 = 2018 Câu 10 : (MEGABOOK-2018) Cho dãy số  (n  u n −1 = n ( u n −1 − u n ) A 2018 B 2017 C 1004 * ) Tính lim u n D 1003 Đáp án D Ta có u n −1 = n ( u n −1 − u n )  u n = n2 −1        u n −2 u = − u = − − n −1   2  n −1  n2  n   n   ( n − 1)        1 −  u1 = = 1 −  1 −    n   ( n − 1)    Do u n = ( n − 1)( n + 1)( n − ) n ( n − 3)( n − 1) 4.2.3.1 = n + 2018 2 2n n ( n − 1) ( n − ) 32 22  n +1  2018  = 1004 Suy lim u n = lim   2n  Câu 11: (MEGABOOK-2018) Cho a + b + c =  cota, cotb, cotc tạo thành cấp số cộng Gía trị cota.cotc A Đáp án C Ta có B C D a+b+c =   cot a.cot b − 1    a + b =  cot ( a + b ) = cot  − c  = tan c  = 2 cot a + cot b cot c 2    cot a.cot b − 1    a + b =  cot ( a + b ) = cot  − c  = tan c  = 2 cot a + cot b cot c 2   cot a.cot b.cot c = cot a + cot b + cot c a+b+c = Mà cot a+ cot c = 2cot b Do ta cot a.cot b.cot c = 3cot b  cot a.cot c = Câu 12 (MEGABOOK-2018)Cho số hạng dương a, b, c số hạng thứ m, n, p (b− c) cấp số cộng cấp số nhân Tính giá trị biểu thức log2a A B b(c−a) c(a− b) C D Đáp án C Ta có a, b, c số hạng thứu m, n, p cấp số cộng cấp số nhân nên: a = u1 + ( m − 1) d = a1q m −1 a − b = ( m − n ) d   n −1  b − c = ( n − p ) d b = u1 + ( n − 1) d = a1q   p −1 c = u1 + ( p − 1) d = a1q c − a = ( p − m ) d b −c c −a a −b Do P = log a ( ) b( ) c( ) = log ( a1q m −1 ) ( n − p )d (a q ) p −1 ( m − n )d = log a10q = Câu 13: (MEGABOOK-2018)Biết số nguyên tố abc có chữ số theo thứ tự lập thành cấp số nhân Giá trị a + b + c2 A 20 B 21 C 15 D 17 Đáp án B Số 421, số nguyên tố (chỉ chia hết cho nó) Ta thấy 4, 2, theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q = Giá trị a + b + c2 21 Câu 14: (MEGABOOK-2018) Cho dãy số ( u n ) Tính lim A u1 =  n thỏa mãn u = u = 2u − u + n +1 n  n+2 ( un n +1 B C D * ) Đáp án C Ta có u n +2 = 2u n +1 − u n +  u n +2 − u n +1 = u n +1 − u n +  +1 − + 1( = u n +1 − u n ) Do v n lập cấp số cộng công sai nên u n +1 − u n = = v1 + ( n −1) d = + n −1 = n + Từ ta có u n − u1 = ( u n − u n −1 ) + ( u n −1 − u n −2 ) + + ( u − u1 ) = n + n − + n − + +  u n = n + n − + n − + + + = Vậy lim n ( n + 1) n ( n + 1) un = lim = n +1 n2 +1 2 ( ) Câu 15 : (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC có góc A, B, C tạo thành cấp số nhân công bội Khẳng định sau đúng? A 1 = + a b c B 1 = + b a c C 1 = + c a b D 1 + = =1 a b c Đáp án A   A =  2  Ta có B = 2A, C = 2B = 4A mà A + B + C =   B =  4  C =  4 2 sin + sin 1 1 7 = sin  = + = Thế vào + = b c 2R sin 2 2R sin 4 2R sin 4 sin 2 2R a 7 7 Câu 16 : (MEGABOOK-2018)Cho ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị lớn biểu thức P = a + 8bc + ( 2a + c ) +1 có dạng x y ( x, y  ) Hỏi x + y bao nhiêu: A B 11 C 13 D Đáp án B Ta có: a + c = 2b  a = 2b − c  a = ( 2b − c )  a + 8bc = 4b + 4bc + c  a + 8bc = ( 2b + c ) 2 2b + c + Do P = ( 2b + c ) +1 = t +3  10 với t = 2b + c , dấu xảy 2b + c = t2 +1 Vậy x + y = 11 u1 + u + u + u = 15 Câu 17 (MEGABOOK-2018): Có hai cấp số nhân thỏa mãn  với 2 u1 + u + u + u = 85 công bội q1 ,q Hỏi giá trị q1 + q là: A B C D Đáp án C  u ( q − 1)2  u1 ( q − 1)  = 225  = −15 q − 1) ( q − 1) 225 (  q −1  ( q − 1)   = Biến đổi giả thiết thành  2 ( q − 1) ( q8 − 1) 85  u1 ( q − 1)  u12 ( q8 − 1) = 85   = 85  q −1  q − 1  q=  14q − 17q − 17q − 17q + 14 =   q = Do q1 + q = Câu 18 : (MEGABOOK-2018) Cho cấp số cộng ( u n ) gọi Sn tổng n số hạng Biết S7 = 77, S12 = 192 Tìm số hạng tổng quát u n cấp số cộng A u n = + 4n B u n = + 2n C u n = + 3n D u n = + 5n Đáp án B 7.6d  7u1 + = 77 S7 = 77 7u1 + 21d = 77 u =     d = 12u1 + 66d = 192 S12 = 192 12u + 12.11d = 192  Khi u n = u1 + ( n −1) d = + ( n −1) = + 2n ( ) Câu 19(MEGABOOK-2018)Đặt f ( n ) = n + n + + Xét dãy số un = ( un ) cho f (1) f ( 3) f ( ) f ( 2n − 1) Tính lim n u n f ( ) f ( ) f ( ) f ( 2n ) A lim n u n = B lim n u n = C lim n u n = D lim n u n = Đáp án D ( 4n − 2n + 1) + f ( 2n − 1) Xét g ( n ) =  g (n) = f ( 2n ) ( 4n + 2n + 1) + a = 4n + 1 a  2b = ( 2n  1) Đặt  b = 2n  a = b + a − b ) + a − 2ab + b + a − 2ab + a a − 2b + ( 2n − 1) + (  g (n) = = = = = 2 ( a + b ) + a + 2ab + b2 + a + 2ab + a a + 2b + ( 2n + 1) + n 10 ( 2n − 1) +  u n =  g ( i ) = = 10 26 ( 2n + 1) + ( 2n + 1)2 + i =1 2 2n  lim n u n = lim = 4n + 4n + 2 Câu 20 : (MEGABOOK-2018) Biết x, y, x + theo thứ tự lập thành cấp số cộng x + 1, y + 1, 2y + theo thứ tự lập thành cấp số nhân với x, y số thực dương Giá trị x + y là: A B C D Đáp án D Từ giả thiết ta có:  y = x + x =  y = x + ( x + ) = 2y     x = −3  y = −1   ( x + 1)( 2x + ) = ( x + 3) ( x + 1)( 2y + ) = ( y + 1) Do giá trị x + y Câu 21: (MEGABOOK-2018) Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Giá trị lớn 1 1 biểu thức P = a b c  + +  + − ( a + b3 + c3 ) x y (1  x, y  a b c  x + y3 có giá trị là? A 35 B 16 C 54 D 10 Đáp án B Ta có ac = b 2 2 2 acc2 ( b ) a 2ac 1 1 bc ac ab a b c  + + 3= + + = + + = a + b + c3 a b c a b c a b c  2 2 ) Hỏi 1 1 Suy P = a b c  + +  + − ( a + b3 + c3 ) a b c  = a + b + c3 + − ( a + b + c3 ) = t + − t = f ( t ) Dùng đạo hàm ta tìm max f ( t ) = f t −2;2 ( 2) = 2 nên x + y3 = 16 x x Câu 22: (MEGABOOK-2018) Tìm x để ba số ln2; ln(2 − 1); ln(2 + 3) theo thứ tự lập thành cấp số cộng A C log B D log Đáp án C Áp dụng tính chất cấp số cộng: u k −1 + u k +1 = 2u k , k  ln + ln (2 x + 3) = 2ln (2 x − 1)  ln ( 2.2 x + ) = ln (2 x − 1)  2x = −1( )  − 4.2 − =   x  x = log  = 2x x Câu 23 : dãy (MEGABOOK-2018)Cho số (u n ) thỏa  u1 =  Tính lim u n  u = u + 4u + + , n  * ( ) n + n n  ( A ) B C D Đáp án C u n +1 = ( ) u n + 4u n + +  ( 4u n +1 + 1) =  4u n +1 + = 4u n + +  ( ( 4u n + + ) ) 4u n +1 + − = 4u n + − (*) Đặt = 4u n + − 1 Lúc (*)  v n +1 = v n , cấp số nhân với q = , v1 = 3 mãn   n −1   +    −1 n −1 v n + ) −     ( 1 Do v n =    u n = = , n  * 4 3 Vậy lim u n = Câu 24 : (MEGABOOK-2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2018, công sai d = −5 Hỏi số hạng cấp số cộng nhận giá trị âm C u 405 B u 403 A u 406 D u 404 Đáp án C Ta có: Số hạng tổng quát u n = u n + ( n −1) d = 2018 − ( n −1) Gọi u k số hạng nhận gía trị âm, ta có: u k = u k + ( k − 1) d = 2018 − ( k − 1)   2018  5k −  k  Vì k  2023 nên ta chọn k = 405 Vậy bắt đầu số hạng u 405 nhận giá trị âm Câu 25: (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC cân A Biết độ dài cạnh BC, trung tuyến AM cạnh AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với cơng bội q Tìm cơng bội q cấp số nhân đó? A q = 1+ 2+2 B q = 2 C q = −1 + 2 D q = −2 + 2 Đáp án B Tam giác ABC cân A có trung tuyến AM nên tam giác AMB vuông M, với M trung điểm BC (Dethithpt.com) Đặt BC = a  AM = aq, AB = aq Theo định lí Py-ta-go, ta có:  2+2 q = 1+ 2  q2 =   q = − + 2  AB2 = BM + AM = BC + AM  1+ q = a 2 2  a q = +a q  q −q − =   4  1− ( L) q =  2 ... 1;2;3;4 nên có số hạng dương dãy Câu (MEGABOOK-2018)Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu Sn tính theo cơng thức Sn = 5n + 3n, ( n  A u1 = −8,d = 10 ) Tìm số hạng đầu u cơng sai d cấp số cộng B u1... a.cot c = Câu 12 (MEGABOOK-2018)Cho số hạng dương a, b, c số hạng thứ m, n, p (b− c) cấp số cộng cấp số nhân Tính giá trị biểu thức log2a A B b(c−a) c(a− b) C D Đáp án C Ta có a, b, c số hạng thứu...  q2 =    1− q = − + 2  (L) q =   Câu 4: (MEGABOOK-2018) Tổng n số hạng cấp số cộng Sn = n + 4n với n * Tìm số hạng tổng quát u n cấp số cộng cho A u n = 2n + B u n = 3n + C u n =