(gv văn phúc quốc ) 10 câu nhị thức newton image marked image marked

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tập hợp A gồm n phần tử ( n  ) Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần số tập hợp chứa phần tử A Tìm số k 1;2; ; n cho số tập hợp chứa k phần tử A lớn A B C D Đáp án A Số tập hợp chứa k phần tử tập A Cnk Ta có Cn4 = 20Cn2  n! n! = 20 4!( n − )! 2!( n − )!  ( n − 2)( n − 3) = 240  n = 18 18! 18!    C  C  k !(18 − k )! ( k − 1)!(19 − k )! Xét  k   k +1 18! 18! C18  C18    k !(18 − k )! ( k + 1)!(17 − k )! k 18 k −1 18 19 − k  k 17 19   k 2 k +  18 − k Do k  nên k = 1  Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Biết khai triển nhị thức Newton  x +  x  n tổng hệ số hai số hạng đầu 24 Gọi S tổng hệ số số hạng chứa x k ( k  0) Hỏi S có tính chất tính chất sau? A S số nguyên tố B S lũy thừa 24 C S số phương D S số lập phương Đáp án C n n 1  Ta có  x +  =  Cnk x n − k x  k =0  Theo đề ta có Cn0 + Cn1 = 24  + n = 24  n = 23 Số hạng chứa x mũ nguyên dương thỏa n − 2k   k  Do k  nên k 1;2;3; ;11 Suy có 12 số hạng chứa x mũ nguyên dương 10 11 + C23 + C23 + + C23 + C23 Do S = C23 22 23 + C23 + C23 + + C23 + C23 = 223 Để ý C23 n 23 = 2 23 22 11 12 = C23 , C23 = C23 , , C23 = C23 C23 nên S = 222 = ( 211 ) Vậy S số phương Câu 3: (Gv Văn Phú − x + (1 − x ) + + n (1 − x ) n Quốc 2018) triển rút gọn biểu thức thu đa thức P ( x ) = a0 + a1 x + + an xn Tính hệ số a8 biết n số nguyên dương thỏa mãn A 79 Khai + = Cn Cn n B 99 C 89 D 97 Đáp án C n   Ta có + =   7.3! + = Cn Cn n  n ( n − 1) n ( n − 1)( n − ) n  n   n=9 n − 5n − 36 = Suy a8 hệ số x8 khai triển (1 − x ) + (1 − x ) Vậy ta thu a8 = 8.C88 + 9.C98 = 89 Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số số hạng hữu tỉ khai triển ( n thỏa mãn C41n +1 + C42n +1 + C43n +1 + + C42nn+1 = 2496 − A 29 B 30 C 31 D 32 Đáp án C Ta có (1 + x ) n +1 = C40n +1 + C41n +1 x + C42n +1 x + C43n +1 x + + C44nn++11 x n +1 Chọn x =  24 n +1 = C40n +1 + C41n +1 x + C42n +1 x + C43n +1 x3 + + C44nn++11 x n +1 = ( C40n +1 + C41n +1 + C42n +1 + C43n +1 + + C42nn+1 ) Suy 24 n = C40n +1 + C41n +1 + C42n +1 + C43n +1 + + C42nn+1 Hay 24 n = 2496  4n = 496  n = 124 Khi ( 3+ ) 124 124 k =  C124 k =0 ( ) ( ) 124− k k 124 124 − k k =  C124 k 54 k =0 Trong khai triển có số hạng hữu tỉ 124 − k k k = 4t   k     t  31 0  k  124 0  k  124 0  k  124  Có 32 giá trị t suy có 32 giá trị k Vậy khai triển có 32 số hạng hữu tỉ Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nguyên dương n cho 3+ ) n biết C21n+1 − 2.2.C22n+1 + 3.22.C23n+1 − 4.23.C24n+1 + + ( 2n + 1) 22n.C22nn++11 = 2019 A 1009 B 1010 C 1011 D 1012 Đáp án A Xét khai triển n +1 (1 + x ) = C20n+1 + C21n+1 x + C22n+1 x + C23n+1 x3 + C24n+1 x + + C22nn++11 x n+1 Lấy đạo hàm hai vế ta ( 2n + 1) x2n = C21n+1 + 2x.C22n+1 + 3x2C23n+1 + 4x3C24n+1 + + ( 2n + 1) x2nC22nn++11 Thay x = −2 vào ta 2n + = C21n+1 − 2.2.C22n+1 + 3.22 C23n+1 − 4.23 C24n+1 + + ( 2n + 1) 22n C22nn++11 Kết hợp với giả thiết toán ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 2n +1 = 2019  n = 1009 Vậy n = 1009 giá trị cần tìm Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau  Cn −1 − Cn −1  An −  C n −  A3  n +1 15 n +1 (Ở Ank , Cnk số chỉnh hợp số tổ hợp chập k n phần tử) A n = C n = B n = D n = 10 Đáp án D Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) n −1   n  Hệ điều kiện ban đầu tương đương: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  ( n − 1)( n − )( n − 3)( n − ) ( n − 1)( n − )( n − 3) −  ( n − )( n − 3)  4.3.2.1 3.2.1   ( n + 1) n ( n − 1)( n − )( n − 3)  n + n n − ( ) ( )  5.4.3.2.1 15 n − 9n − 22    n − 5n − 50   n = 10 n   Vậy n = 10 thỏa yêu cầu tốn Câu (Gv 7: Văn Phú Quốc 2018) Tìm n * Cn1 + 3Cn2 + 7Cn3 + + ( 2n − 1) Cnn = 32 n − 2n − 6480 A n = C n = B n = D n = Đáp án A Ta có (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n n Lấy đạo hàm hai vế, ta n (1 + x ) n −1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + nCnn x n −1 Lấy tích phân hai vế, ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) cho n  (1 + x ) n −1 dx = C n 2  dx + 2C  xdx + 3C  x dx + + nC  x n n n n n −1 dx Tính tốn tích phân trên, ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cn1 + 3Cn2 + 7Cn3 + + ( 2n − 1) Cnn = 3n − 2n Theo đề ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 3n − 2n = 32 n − 2n − 6480  32 n − 3n − 6480 = Giải phương trình mũ ta tìm n = Vậy n = nghiệm phương trình cho Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm hệ số x khai triển 3n   n P ( x ) = 1 + x− x   n−4 với x  Biết n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện An2 + 3Cnn − − Cn3+1 = An2+1 − 2n A 28 B 78 C 218 D 80 Đáp án B An2 + 3Cnn−2 − Cn3+1 = An2+1 − 2n (*) Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) n  , n  Với điều kiện trên, (*) tương đương với: (Gv Văn Phú Quốc 2018) n ( n − 1) + n ( n − 1) − n ( n − 1)( n + 1) = n ( n + 1) − 2n 6  ( n − 1) − ( n − 1) = n + −  n = ( Khi : (Gv Văn Phú Quốc 2018) P ( x ) = + x − x =  C4k ( −3) 4− k x 4− k k =0 k ) = C 4 k =0 k ( −3 ) 4− k x 4− k   1 + x    k i  Cki 2i x i =0 4−k i + =  2k − 3i = Vì i, k  i  k  nên ta suy : (Gv Văn Phú Quốc 2018) k = 4; i = k = 2; i = Như hệ số x khai triển là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hệ số số hạng x ứng với C44 ( −3) C42 22 + C42 ( −3) C20 20 = 78 Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho khai triển nhị thức: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  a b2 b2 3 +  b a a2  −     3n với a  0, b  Hãy xác định hệ số số hạng có tỉ số lũy thừa a b biết 1 10923 3C20n − C21n + C22n − C23n + + C22nn = 2n + A 161280 Đáp án D B 280161 C 280116 D 116280 3 C22nk = C22nk = − C22nk++11 − C22nk++11 2k + 2k + 2n + 2n + Điều kiện toán tương đương với: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 10923 C21n +1 + C23n +1 + + C22nn++11 ) − C22n +1 + C24n +1 + + C22nn+1 ) = ( ( 2n + 2n + n +1 n +1  10923 2 2  − − C20n+1  =  2n + 2n +   Giải phương trình đơn giản ta tìm n = Xét 21 k k 8( 21− k ) −5( 21− k ) 21  − k  =  C21a b b a  k =0  Hệ số số hạng có tỉ số lũy thừa a b − nên: (Gv Văn Phú Quốc 2018) k 5k − 35 + 35 = −  k = 14 k 8k − + 56 − 3 14 = 116280 Vậy hệ số toán thỏa mãn yêu cầu toán C21  a b2 b2 Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  +  b a a2  Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  4) Tìm n biết số phần tử A có 16n tập có số phần tử lẻ A n = B n = C n = 10 D n = 16 Đáp án A Cn1 , Cn2 , Cn3 , số tập A gồm 1;3;5… phần tử Ta ln có Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n  Cn1 + Cn2 + Cn3 + = 2n −1 Từ giả thiết ta có phương trình: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 2n−1 = 16n  2n−5 = n Vì n  4, n  nên ta xét n = thấy khơng thỏa (*), ta xét n  6, n  (*) Xét hàm số f ( x ) = 2x−5 − x liên tục nửa khoảng 6; + ) , x  Ta có f ' ( x ) = 2x−5 ln −1  0, x   f ( x ) liên tục đồng biến nửa khoảng 6; + ) , x  f (8) =  x = nghiệm phương trình 2x −5 − x = 0, x  6, x  Vậy n = thỏa mãn đề  ... t ) A n = C n = B n = D n = 10 Đáp án D Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 201 8) n −1   n  Hệ điều kiện ban đầu tương đương: (Gv Văn Phú Quốc 201 8)  ( n − 1)( n − )( n − 3)( n − ) ( n − 1)( n − )( ... 2n ( *) Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 201 8) n  , n  Với điều kiện trên, ( *) tương đương với: (Gv Văn Phú Quốc 201 8) n ( n − 1) + n ( n − 1) − n ( n − 1)( n + 1) = n ( n + 1) − 2n 6  ( n − 1) −... suy : (Gv Văn Phú Quốc 201 8) k = 4; i = k = 2; i = Như hệ số x khai triển là: (Gv Văn Phú Quốc 201 8) Hệ số số hạng x ứng với C44 ( − 3) C42 22 + C42 ( − 3) C20 20 = 78 Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc