Bài Tập giải tích số (Hoạt động Nhóm)

Bài tập Giải tích số Nhóm BÀI Tập GIẢI TÍCH SỐ Nhóm _ Lớp: CN Tốn K5 Câu 1: Dùng cơng thức Simpson tính gần tích phân dx 1  x , số đoạn chia n=5 đánh giá sai số Giải: Chia đoạn [0,1] thành đoạn điểm chia xi  a  ih , h= 1-0 = 0,2 ; i = 0,…,5 i � xi 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x i f i+ 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0,9091 0,7692 0,6667 0,588 0,5263 3,4595 Theo công thức Símpson, ta có: f +f h �5 I sim = � f �i �i=0 � 2h + f � � � i=0 i+ fi 0,8333 0,7143 0,6250 0,5556 0,5 4,2282 Bài tập Giải tích số Nhóm = 0,2 (4,2282-0,75)+ 2.0,2 � 3,4595=0,69314667 Đánh giá sai số:  Có f ( 4) ( x)  � M  max f 24 (1  x ) (4) �x � ( x )  24 Áp dụng cơng thức đánh giá sai số, ta có: M (b  a ) 24.(1  0) E= I-I sim � h  � 0,  0, 00001333 2880 2880 Câu 2: Cho bảng giá trị hàm y=f(x) x f(x) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0  hàm số y=f(x); Tính gần f(1,25) Giải: Lập bảng tính tỷ sai phân hàm f(x): x f(x) TSP B1 TSP B2 TSP B3 TSP B4 Bài tập Giải tích số Nhóm 1 -1 3 5 6   10   11 120 Ta có: Pn ( x )  Pn ( x0 )  ( x  x0 )Pn ( x , x0 ) Pn ( x , x0 )  Pn ( x0 , x1 )  ( x  x1 )Pn ( x, x0 , x1 ) � � � Pn ( x , x0 , , xn 1 )  Pn ( x0 , , xn )  ( x  xn )Pn ( x, x0 , , xn ) � Pn ( x )  f ( x0 )  ( x  x0 ) f ( x0 , x1 )  ( x  x0 )( x  x1 ) f ( x0 , x1 , x )   ( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xn 1 ) f ( x0 , x1 , , xn ) � 2� �3 � P4 ( x )   ( x  0).1  ( x  0)( x  2) � � ( x  0)( x  2)( x  3) � � � 3� �10 � � 11 �  ( x  0)( x  2)( x  3)( x  5) � � � 120 � 2 11 2   x  ( x  x )  x ( x  x  6)  ( x  x )( x  x  15) 10 120 Bài tập Giải tích số Nhóm 2 3 15 11  1 x  x  x  x  x  x  ( x  10 x  31x  30 x ) 3 10 10 120  11 120 x  73 60 601 x  120 x  413 60 x 1 Vậy đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0  hàm số y=f(x) là: P4 ( x )   11 120 x  73 60 x  601 120 x  413 60 x 1 � f (1, 25) ; P4 (1, 25)  11 � 1, 25  120 ; 3,9312 73 60 � 1, 25  601 120 � 1, 25  413 60 � 1, 25  20� �8 3 � � � � ,b  � 33� Câu 3: Cho hệ phương trình Ax=b với A  �4 11 1� � � �6 12� � 36� � � � � Giải hệ phương pháp Jacobi, tính lặp lần cho biết sai số, với xấp xỉ ban đầu x(0)  (0;0;0)T Bài tập Giải tích số Nhóm Giải: Ma trận A có tính chất chéo trội nên ta sử dụng phương pháp lặp Jacobi Ta có dãy lặp: x ( k 1)  Bx � �0 � � B�  � 11 � � � Với: (k)  g 1�  � 4� � �, 11 � � � � �5 � �� �2 � g  �3 � �3 � �� �3 � q  max � , , �  0, 75  �4 11 4 Vì x ( 0)   0, 0,  T , đó, xấp xỉ tính bởi: � ( k 1) ( k ) ( k )  x2  x3  �x1 � (k ) (k ) � ( k 1)   x1  x3  �x2 11 11 � � ( k 1) (k ) (k)   x1  x2  �x3 � Lập bảng: , k  0,1, 2, Bài tập Giải tích số Nhóm (k ) x1 n 2,5 2,875 3,1364 (k ) x3 2,3636 2,0455  0, 75 0,9716 Vậy: sau bước lặp ta tìm nghiệm là: 0, 75 (k ) x2 �x (k ) x ( k 1) � 0,9545 3,1364 � � � �, với sai số x � 2, 0455 � � 0, 9716 � � � * 0,9545 Câu 4: Cho bảng giá trị hàm y=f(x) x f(x) 1 10 Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0  , dùng đa thức tính gần f(0,5) Giải: Lập bảng tính sai phân tiến hàm y=f(x): Bài tập Giải tích số Nhóm x f(x) 10 fi Đặt x  x0  th    fi  fi -1 3-0 t t � P3 ( x0  th )  f  t  f  t (t  1)  f0 2!  t (t  1)(t  2)  f0 3!   t (  1)  t (t  1) �  t (t  1)(t  2) � 2! 3! 2   t  t  t  t (t  3t  2)  t  2t  Vậy đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0  hàm y=f(x) là: P3 (t )  t  2t  � f(0,5) ; P3 (0,5)  0,5  2.0,5   0,625 Bài tập Giải tích số Nhóm Câu 5: Tìm đa thức nội suy hàm y  3x đoạn [-1,1] dựa vào giá trị hàm điểm x0  1; x1  0; x2  Sử dụng đa thức tính gần Giải: Ta có: x -1 y 1 Áp dụng đa thức nội suy Lagrange, ta có: ( x  0)( x  1) ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  0) P2 ( x )  �  1�  3� (   0)(   1) (0  1)(0  1) (1  1)(1  0)   x x x  �  x 1 1  3( x  x ) x 1 �1 �  ; P2 � � �  �   1,833 �2 � 3 Câu 6: Giống câu Bài tập Giải tích số Nhóm 3 � 20� � � � � � , b � 33 Câu 7: Cho hệ phương trình Ax=b với A  �4 11 1� � � � � � 12� 36� � � � Giải hệ phương pháp Gauss-Seidel với xấp xỉ ban đầu x ( 0)   0, 0,  , tính lặp lần cho biết sai số T Giải: Ma trận A có tính chất chéo trội nên ta sử dụng phương pháp lặp Gauss-Seidel Ta có dãy lặp: x Với: ( k 1)  Bx � �0 � � B�  � 11 � � � (k )  g 1�  � 4� � �, 11 � � � � �5 � �� �2 � g  �3 � �3 � �� �3 � q  max � , , �  0, 75  �4 11 4 Vì x ( 0)   0, 0,  T , đó, xấp xỉ tính bởi: Bài tập Giải tích số Nhóm � ( k 1) ( k ) ( k )  x2  x3  �x1 � ( k 1) ( k ) � ( k 1)   x1  x3  �x2 11 11 � � ( k 1) ( k 1) ( k 1)   x1  x2 3 �x3 � , k  0,1, 2, Lập bảng: (k ) n x1 2,5 2,9773 3,0098 (k ) (k ) x2 2,0909 2,0289 1,9968 x3 1,2273 1,004132 0,9959 0, 75  0, 75 �x (k ) x ( k 1) � 7,5 1,4319 0,0975 3, 0098 � � Vậy: sau bước lặp ta tìm nghiệm: * � �với sai số x � 1,9968 � � 0,9959 � � � 0,0975 � Phương pháp Gauss-Seidel có độ xác cao phương pháp Jacobi Câu 8; Tính tổng S n 1    n 10 Bài tập Giải tích số Nhóm � f ( x )  P2 ( x ) � 3x  x   x  1  x    x  3  15   31 2( x  1) ( x  2) 2( x  3) Câu 12: Dùng phương pháp truy đuổi giải hệ đường chéo Ax=b với 1   5 A  2  0   0   3    0  21  ; b    2      1    Giải: Vì 1 nên ma trận A khơng thỏa mãn điều kiện áp dụng phương pháp truy đuổi đường chéo Câu 13: Giống câu Câu 14: Tính tổng S n 1     (3n  1) Giải: Ta có:  Sn  Sn 1 -Sn  [3( n  1)  1]  (3n  4) 2 2  Sn   Sn 1 - Sn  [3( n  1)  4]  (3n  4)  3(6 n  11)  18 n  33 17 Bài tập Giải tích số Nhóm 2  Sn   Sn 1 - Sn  18( n  1)  33  18n  33  18 � Sn đa thức bậc Ta có bảng: n Sn 17 66  Sn 16   48n  297   48n   81n  99 18 51 100 (vì h  30 n (3n  1)  n (3n  1)(3n  2) n  297 135  Sn 33 49 166 ( x  x0 ) n     3n Với t  h Sn   48n   Sn 99 n  n  99 33 2 n  n(9 n  n  2) n  81n  81n  18n n 1 18  ) , ta có: Bài tập Giải tích số Nhóm   Câu 15: Hãy xác định giá trị hàm số: u ln x  y ; x 0,97 ; y 1,132 với sai số tuyệt đối sai số tương đối ứng với giá trị đối số cho với chữ số có nghĩa đáng tin Giải:  Xác định giá trị hàm số: Với x  0,97 ; y  1,132 ta có: u  ln(0,97  1,132)  0, 728948593  Tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối: Gọi  x ,  y ,  u số gia x, y, u  x ,  y ,  u sai số tuyệt đối Vì cho chữ số có nghĩa đáng tin nên sai số tuyệt đối không lớn 3 2 nửa đơn vị chữ số cuối Vậy:  x  0,5.10 ,  y  0,5.10 Có  u �du  � u � � u � x 2x x y � 2x x y x  �u x  x  � y y  x y x y 2x x y y y 19 x  x y y Bài tập Giải tích số Nhóm  2.0,97 0,97  1,132  4,921.10 3 � 0,5 � 10  0,5.10 2  0,97  1,132 � 0,5 � 10 3 2 � u �u  4,921.103  0,5.102 Vậy chữ số đáng tin � u = 0,72  Sai số tương đối:  x 0,5.102 x    5,155.103 x 0,97 y 0,5.103 y    4, 417.104 y 1,132  u 4,921.103 u    6,835.103 u 0, 72 Câu 16: Hãy lập hàm Spline bậc để xấp xỉ hàm sinx đoạn cho,  với nút nội suy: x1 0; x2  ; x3  Giải: Đặt f ( x )  s inx Hàm Spline cần tìm đa thức bậc 3: 20 Bài tập Giải tích số Nhóm S ( x )  a  bx  cx  dx �� 0, � a) Trên đoạn � : � 2�  điều kiện nội suy: S (0)  f (0)  sin   � � � � S � � f � � sin  �2 � �2 �  điều kiện biên: S � (0)  f � (0)  c os0   � � � � � S�  f  c os 0 � � �� �2 � �2 � Ta hệ: �a  �    �a  b  c d 1 � � � b 1 � �   � b  � c  3� d  � � � S ( x )  x  0, 057 x  0,111x  �  � b)Trên đoạn � ,  �, h  �2 � 21 �a  � b 1 � � c   0, 057 � � �d   0,111 Bài tập Giải tích số Nhóm � � �2 � � � �2 �  điều kiện nội suy: S � � f � � sin  1 S     f     sin   � � �2 � � � �2 �  điều kiện biên: S � � � f � � � c os  0    f �     c os    S� Ta hệ: �    c d 1 �a  b  � 2 � �a   b   c   d  �   � b  2� c  3� d  � � � b   c   d 0 � � �a   0,8584 � b  2, 6394 � � c   1,101 � � �d  0,1107 � S ( x )   0,8584  2, 6394 x  1,101x  0,1107 x � � � � � �S1 �2 � S �2 �  ��� ��  Tại điểm x  ta có: � � � � � � �S �  S2 � � � � � �2 � � �2 � 22 Bài tập Giải tích số Nhóm � Hàm spline bậc liên tục, khả vi  � Thỏa mãn điều kiện ghép trơn Câu 17: Tự lấy ví dụ phương trình phi tuyến bậc giải phương pháp Newton, phương pháp lặp đơn; hệ phương trình đại số tuyến tính giải phương pháp Jacobi Viết chương trình tính tốn minh họa Giải: VD1: Giải phương trình: x  x   , với độ xác 10 2 phương pháp Lặp đơn phương pháp Newton Biết khoảng phân ly nghiệm (1,2) Viết chương trình tính tốn minh họa Phương pháp Lặp đơn  Lời giải: Đặt f ( x )  x  x  ( x )  ,  x �[1; 2] Ta có: f � ( x)  x  , f � m  f � ( x)  , [1;2] � q  1 m M  M  m ax f � ( x )  59 [1;2] 56 59 23 Bài tập Giải tích số Nhóm x   ( x)  x  f ( x)  x  M 2x  5x  59  59   x  64 x   Chọn xấp xỉ ban đầu x0  1,5 �[1;2] Các xấp xỉ tính bởi: xn   ( xn 1 )  2 x  59 n 1  64 xn 1   Ta có bảng tính toán: n xn 1,4894 1,4827 1,4784 1,4756 1,4738 1,4727 1,4719 1,4714 Vậy: sau bước lặp ta tìm xn  xn 1 56 / 59  56 / 59 0,0106 0,0067 0,0043 0,0028 0,0018 0,0011 0,0008 0,0005 nghiệm xn  xn1 0,1978667 0,1250667 0,0802667 0,0522667 0,0336 0,0205333 0,0149333 0,0093333 phương trình là: * x  1, 4714 với sai số 0,0093333  Chương trình: Kết quả: clear all; clc; x0=1.5; x=x0; eps=0.01;saiso=10; count=0;thoigian=cputime; 24 x = 1.4715 count = saiso = Bài tập Giải tích số Nhóm while saiso>eps; xluu=x;count=count+1; x=(-2*x^4+64*x+2)/59; saiso=(56/3)*abs(xxluu); end; x count saiso thoigian=cputime-thoigian 0.0092 thoigian = Phương pháp Newton  Lời giải: Đặt f ( x )  x  x  ( x )  ,  x �[1; 2] Ta có: f � ( x)  x  , f � � � ( x )  ,  x �[1; 2] f� ( x )  24 x , f � ( x) , Chọn m1 , M thỏa mãn:  m1 � f � � M2 �f � ( x ) ,  x �[1; 2] � �m1  �M  96 � � Chọn x0  1,5 �[1; 2] x0 điểm Fourier thỏa mãn: � f (1,5) f � (1,5)  (2.1,5  5.1,5  2)(24.1,5 )  33,75  25 Bài tập Giải tích số Nhóm Các xấp xỉ tính bởi: 4 f ( xn 1 ) x  x  xn 1  xn  xn 1   xn 1  n1 n 1  � f ( xn 1 ) xn 1  xn 1  Ta có bảng tính tốn: n xn xn  xn 1 xn  xn 1 96 2.3 xn  xn 1 4 8, 0656.10 1,4716 0,0284 0,01290496 6 5 3 1,1.10 1, 21.10 1,4705 1,936.10 Vậy: sau bước lặp ta tìm nghiệm phương trình là: 5 * x  1, 4705 với sai số 1,936.10  Chương trình: Kết quả: clear all; clc; x0=1.5; x=x0; eps=0.01;saiso=10; count=0;thoigian=cputime; while saiso>eps; xluu=x;count=count+1; x=(6*x^4+2)/(8*x^3-5); saiso=16*(abs(xxluu))^2; end; x 26 x = 1.4705 count = saiso = 1.7636e-005 thoigian = Bài tập Giải tích số Nhóm count saiso thoigian=cputime-thoigian �3 1 � �� � � �� , b  �� VD2: Cho hệ phương trình Ax=b với A  �1 1� � �� 1 � � � �� Giải hệ phương pháp Jacobi, tính lặp lần cho biết sai số, với xấp xỉ ban đầu x(0)  (0;0;0)T  Lời giải: Ma trận A có tính chất chéo trội nên ta sử dụng phương pháp lặp Jacobi Ta có dãy lặp: x Với: ( k 1) � �0 � �1 B�  �5 �1 � �7  Bx   (k ) g 1�  � 3� � �, � � � � �5 � �� �3 � g  �1 � �8 � � �� � �7 � 2 3� � q  max � , , �  0, 66  � 27 Bài tập Giải tích số Nhóm Vì x ( 0)   0, 0,  T , đó, xấp xỉ tính bởi: (k ) (k ) � ( k 1) x   x2  x3  �1 3 � (k ) (k ) � ( k 1)   x1  x3  �x2 5 � � ( k 1) ( k ) ( k )  x1  x2  �x3 7 � , k  0,1, 2, Lập bảng: (k ) (k ) (k ) n x1 x2 x3 0 0 3 0,9524 1,0032 0,8952 1,0286 1,0952 1,0231 Vậy: sau bước lặp ta tìm nghiệm: là: 0,2668  Chương trình: clear all; 28 2/3 1 / �x (k ) x ( k 1) � 3,3333 1.4286 0,2668 1, 0032 � � , với sai số * � � x � 1, 0286 � � 1, 0231 � � � Bài tập Giải tích số Nhóm clc; format short g; N=3; L=2; for j=1:N; x(j)=0; end; xd(1)=0; xd(2)=0; xd(3)=0; A=[3 1; -1; -1 7]; b=[5; 5; 8]; for j=1:N; for i=1:N; if or (j>i,i>j); C(i,j)=-A(i,j)/A(i,i); else; C(i,j)=0; end; end; end; for j=1:N; for i=1:N; D(i)=b(i)/A(i,i); end; end; eps=0.001; saiso=10; count=0; thoigian=cputime; while count