Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 96 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
96
Dung lượng
4,33 MB
Nội dung
Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY A Kiến thức cần nhớ Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Cơsi) Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM – GM (AM viết tắt Arithmetic mean GM viết tắt Geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức Cauchy Thật cách gọi tên khơng xác Cauchy khơng phải người đề xuất bất đẳng thức mà người đưa phép chứng minh đặc sắc cho Tuy nhiên, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi Bất đẳng thức Cauchy(Côsi) Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều Toán bất đẳng thức cực trị Trong phạm vi chương trình Tốn THCS, quan tâm đến trường hợp riêng bất đẳng thức Cauchy Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cauchy a Dạng tổng quát + Cho x1, x2, x3 , , xn số thực khơng âm ta có: Dạng 1: x1 + x2 + + xn ≥ n Dạng 2: x1 + x2 + + xn ≥ n.n x1.x2 xn Dạng 3: x1 + x2 + + xn ÷ ÷ ≥ x1.x2 xn n n x1.x2 xn n Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn + Cho x1, x2, x3 , , xn số thực dương ta có: Dạng 1: 1 n2 + + + ≥ x1 x2 xn x1 + x2 + xn 1 1 + x + x + + + ≥ n2 ÷ n ÷ xn x1 x2 Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn Dạng 2: b Một số dạng đặc biệt n Điều kiện (x ) n=2 x, y ≥ Giáo viên: Đoàn Công Nam n=3 x, y, z ≥ x+y ≥ Dạng x+ y+z ≥ xy Dạng x + y + z ÷ ≥ xyz 1 + + ≥ x y z x+ y+ z Dạng ( x + y) x1 + y1 ÷ ≥ ( x, y > 0) ( x, y > 0) xyz x + y ÷ ≥ xy 1 + ≥ x y x+ y Dạng ( x, y, z > 0) ( x + y + z) x1 + y1 + 1z ÷ ≥ ( x, y, z > 0) Đẳng thức xẩy x=y x=y=z Một số bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức Cauchy ( ) ( 3( x + y ) − xy ≥ ) + x2 + y2 ≥ 2xy; x2 + y2 ≥ x + y ; ( ) x+y ≥ x + y + x2 + y2 + x + y + z ≥ xy + yz + zx 2 ( ) ( ) + x2 + y2 + z2 ≥ x + y + z ( ( ≥ xy + yz + zx ) ) 2 2 2 + x y + y z + z y ≥ xyz x + y + z ( ) ( + x4 + y4 + z4 ≥ xy + yz + zx ) ( ) ≥ 3xyz x + y + z B Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải Trong chuỗi đánh giá, ta hay quên cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy mà ta hay gọi bảo toàn “Điểm rơi” Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho bất đẳng thức định đến nửa thành công cho cơng việc tìm lời giải Ý tưởng chọn điểm rơi việc xác định dấu đẳng thức xảy để sử dụng đánh giá hợp lý Trong trình chứng minh bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm áp dụng bất đẳng thức Cauchy mà quên dấu đẳng thức xảy đâu Trước tìm hiểu kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ta xét số ví dụ chọn “Điểm rơi” ta hiểu vấn đề dạng đề cập Bài tốn Cho số thực a ≥ Tìm giá trị nhỏ của: A = a + a Giáo viên: Đồn Cơng Nam 1 ≥ a × = Vậy giá trị nhỏ A a a Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ A ⇔ a = ⇔ a = 1, điều a không xẩy theo giả thiết a ≥ Sai lầm thường gặp là: A = a + Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy giá trị a tăng A tăng, ta dự đốn A đạt giá trị nhỏ a = Khi ta nói A đạt giá trị nhỏ “Điểm rơi a = ” Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a 1 khơng thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy Vì ta phải tách a a a để áp dụng bất đẳng thức Cauchy thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy Giả sử ta a 1 ÷ cho “Điểm rơi a = ” k a sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , a = , ta có sơ đồ sau: k a a = a = ⇒ k a ⇒ = ⇒ k = k 1 = a a 3a Khi ta A = a + = + + ta có lời giải a 4 a Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta A = a+ a 3a a 3a 3.2 = + + ≥2 × + ≥ 1+ = a a 4 a 4 Đẳng thức xẩy a = Vậy giá trị nhỏ A a 1 k a 1 a Chú ý: Ngồi cách chọn cặp số , ÷ ta chọn các cặp số sau: ka, ÷ k a a, ÷ a, 1 ÷ ka Bài tốn Cho số thực a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = a + a = 2 Sơ đồ điểm rơi: a = ⇒ k a ⇒ = ⇒ k = k 1 = a Sai lầm thường gặp là: A= a 7a a 7a + 2+ ≥2 + = a 8 a 7a + ≥ 2a Giáo viên: Đồn Cơng Nam 7.2 + = 2.2 a2 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ A đáp số cách giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: a ≥ ⇒ Lời giải đúng: A= ≥ 2a sai 2.2 a a 6a a a 6a 6.2 + + 2+ ≥ 3.3 × × + ≥ + = 8 a 8 a 8 Đẳng thức xẩy a = Vậy giá trị nhỏ A Bài toán Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ab + ab Phân tích: Dự đốn dấu đẳng thức xẩy a = b = Theo bất đẳng thức Cauchy 2 a + b ta có ab ≤ ÷ ≤ Khi ta có điểm rơi sau: ab = ab ⇒ = ⇒ k = ab = ⇒ k 4k 16 1 =4 ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a + b 1 ab ≤ ÷ ≤ ⇒ −ab ≥ − 4 1 17 − 15ab ≥ 16ab − 15ab ≥ − 15 = ab ab 4 17 Đẳng thức xẩy a = b = Vậy giá trị nhỏ A Do ta A = 16ab + Bài toán Cho số thực a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a2 + Phân tích: Ta có A = a2 + 18 9 = a2 + + a a a 18 a Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt giá trị nhỏ a = Ta có sơ đồ điểm rơi: a2 = 36 a = 6⇒ k a ⇒ = ⇒ k = 24 9 k = a Lời giải a2 9 23a2 a2 9 23a2 23.36 + + + ≥ 33 × × + ≥ + = 39 24 a a 24 24 a a 24 24 Đẳng thức xẩy a = Vậy giá trị nhỏ A 39 Ta có A= Giáo viên: Đồn Cơng Nam Bài tốn Cho số thực dương a, b, c thỏa a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ + + a 2b c Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt a + 2b + 3c = 20 điểm rơi a = 2, b = 3, c = A = a+ b+ c+ biểu thức: Sơ đồ điểm rơi: a = a = ⇒ k a ⇒ = ⇒ k = k 3 = a b = 3 b = ⇒ m 2b ⇒ = ⇒ m= m = 2b c = c = ⇒ n c ⇒ = 1⇒ n = n 4 = c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3a b c a b 3c A = + ÷+ + ÷+ + ÷+ + + a 2b c 4 3a b c a + 2b + 3c ≥2 × +2 × +2 × + ≥ + + + = 13 a 2b c Đẳng thức xẩy a = 2, b = 3, c = Vậy giá trị nhỏ A 13 Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab ≥ 12; bc ≥ Chứng minh rằng: 1 121 + + ÷+ ≥ ( a + b + c) + 2 ab bc ca abc 12 Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt ab = 12; bc = ,tại điểm rơi a = 3; b = 4; c = Khi ta ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho nhóm sau: a b a c b c ; ; ÷, ; ; ÷, ; ; ÷, 18 24 ab ca 16 bc Lời giải a c b ; ; ; ÷ 12 abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b a b + + ≥ 33 × × = 18 24 ab 18 24 ab a c a c + + ≥ 33 × × = ca ca Giáo viên: Đồn Cơng Nam b c b c + + ≥ 33 × × = 16 bc 16 bc a c b a c b + + + ≥ 44 × × × = 12 abc 12 abc 13a 13b + ≥2 18 24 13b 13c + ≥2 48 24 13a 13b × ≥2 18 24 13b 13c × ≥2 48 24 13 13 13 × ×12 = 18 24 13 13 13 × ×8 = 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 121 + + ÷+ ≥ ( a + b + c) + 2 ab bc ca abc 12 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = 3; b = 4; c = Bài toán Cho a, b số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= a+ b ab + ab a+ b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a b nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a = b Khi ta có sơ đồ điểm rơi: a+ b ab = a = b ⇒ k ab a + b ⇒ = ⇒ k = k ab = a + b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( ) a+ b ab a + b a+ b ab 3.2 ab A = + ì + = 1+ = ữ+ ab a + b÷ 2 ab ab a + b ab Đẳng thức xẩy a = b Vậy giá trị nhỏ A Bài toán Cho a, b, c số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= a b c b+ c c+ a a+ b + + + + + b+ c c+ a a+ b a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a = b = c Khi ta có sơ đồ điểm rơi: a b c = = = a = b = c ⇒ b + c c + a a + b ⇒ = ⇒ k = k b + c = c + a = a + b = ka kb kc k Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Giáo viên: Đồn Cơng Nam a b c b + c c + a a + b 3 b + c c + a a + b A = + + + + + + + ÷+ ÷ 4a 4b 4c a b c b+ c c+ a a+ b a b+ c b c+ a c a + b 3 b c c a a b ≥2 × +2 × +2 × + + + + + + ÷ b + c 4a c + a 4b a + b 4c 4 a a b b c c 1 1 15 + + ữ + ì + + = + = 2 2 2 ( ) Đẳng thức xẩy a = b = c Vậy giá trị nhỏ A 15 Bài toán Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 + a + b 2ab A= biểu thức: Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a= b= Khi ta có sơ đồ điểm rơi: k = =2 a2 + b2 2ab a= b= ⇒ ⇒ 2k = ⇒ k = =2 2ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có A= 1 4 + ≥ ≥ 2ab a2 + b2 + 2ab a2 + b2 a+ b ( ) ≥4 a2 + b2 = 2ab ⇔ a= b= Đẳng thức xẩy a + b = Vậy giá trị nhỏ A Bài toán 10 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 + 2 + a + b 2ab Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt a = b = Khi ta có sơ đồ điểm A= biểu thức: rơi: a= b= 1 ⇒ = = ⇒k=3 2 2kab 1+ a + b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có A= ≥ 1 1 + + ≥ + 3ab + a2 + b2 6ab 3ab + a2 + b2 6ab ( ) + = + 2 + a + b + 6ab 3ab a + b + + 4ab 3ab 2 ( ) Giáo viên: Đồn Cơng Nam ≥ + ≥ 4 + = 2.1 + 3.1 a + b a + b + + 4 ÷ 3 ÷ 1 + a2 + b2 = 6ab ⇔ a=b= Đẳng thức xẩy a = b a + b = Vậy giá trị nhỏ A ( a + b) Bình luận: Qua tốn ta thấy, giải tốn chứng minh bất đẳng thức đánh giá trung gian phải bảo toàn dấu đẳng thức Cho nên việc xác định vị trí điểm rơi xẩy tránh cho ta sử dụng đánh giá trung gian sai lầm Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm rơi cho ta cách chọn đánh giá hợp lí chuỗi đánh ta cần phải sử dụng Bây ta tìm hiểu kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thơng qua số ví dụ sau Ví dụ 1.1: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: (a )( )( ) + b2 b2 + c2 c2 + a2 ≥ 8a2b2c2 Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a = b = c Trong bất đẳng thức 2 2 2 vế trái có đại lượng a + b ; b + c ; c + a vế phải chứa đại lượng 8a2b2c2 Để ý ta nhận thấy 8a2b2c2 = 2ab.2bc.2ca , tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 2 2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x2 + y2 ≥ x2y2 = xy , ta có: a2 + b2 ≥ ab ≥ 2 b + c ≥ bc ≥ c2 + a2 ≥ ca ≥ Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: (a )( )( ) + b2 b2 + c2 c2 + a2 ≥ a2b2c2 = 8a2b2c2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Nhận xét: - Chỉ nhân vế bất đẳng thức chiều (kết bất đẳng thức chiều) vế không âm - Để ý ta sử dụng cách đánh giá x2 + y2 ≥ x2y2 = xy chưa xác định x, y âm hay dương - Nói chung ta gặp toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ví dụ 1.2: Cho a, b số thực dương không âm tùy ý Chứng minh rằng: Giáo viên: Đồn Cơng Nam ( a+ b ) ( ) ≥ 64ab a + b Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a = b Trong bất đẳng thức trên, vế trái có đại lượng ( ) ( a+ b ) ( = a + b + ab ) vế phải có đại lượng ( ) 64ab a + b Để ý ta nhận thấy a = b a + b = ab a + b = 4ab , tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho hai số a + b ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x2 + y2 ≥ x2y2 = 2xy , ta được: ( a+ b ) = ( a + b + ab ) ≥ 2 a + b ( ) ab = 64ab a + b ( ) Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b Ví dụ 1.3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh rằng: 1 + + 4ab ≥ a2 + b2 ab Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy a = b = 1 Khi ta có a2 + b2 = 2ab 4ab = Để ý đại lượng 4ab ( ) a2 + b2 nằm mẫu nên ta cần tìm cách thêm vào 2ab để tạo thành a + b , 1 4 + ≥ = ≥ Như tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá 2 a + b2 2ab a2 + b2 + 2ab a+ b ( ) + 4ab , đến ta sử dụng cách ghép hai đại lượng 2ab 1 nghịch đảo 4ab + ta cần ≥ Như lúc ta thấy vế trái lại 4ab 4ab ≥ Điều làm khó ta dễ nhận 4ab lúc bên vế trái lại ( ) 4ab ≤ a + b ≤ Đến ta trình bày lại lời giải sau Lời giải Ta viết lại biểu thức vế trái thành 1 1 + + 4ab = + + 4ab + ÷+ 2 2 4ab 4ab a + b ab a + b 2ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có đánh giá sau: 1 4 + ≥ = ≥4 2 a + b 2ab a + b + 2ab a+ b ( 4ab + ) 1 ≥ 2; 4ab ≤ a + b ≤ ⇒ ≥1 4ab 4ab ( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta Giáo viên: Đồn Cơng Nam a2 + b2 + 1 + 4ab + ≥ + 4ab + ≥7 ÷+ 2ab 4ab 4ab (a + b)2 4ab a+ b ( ) 1 + + 4ab ≥ a + b ab Hay Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho ví dụ sau Ví dụ 1.4: Cho số thực a Chứng minh rằng: a2 + 2 a +1 ≥2 Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh a2 + ≥ a2 + Để ý ta nhận thấy a2 + = a2 + + 1; a2 + = a2 + 1.1, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức Ngoài ra, Để ý ta viết a2 + a2 + = a2 + + a2 + = a2 + + a2 + , đến ghép cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x + y ≥ xy , ta có a2 + = a2 + + ≥ a2 + 1.1 = a2 + Hay a2 + 2 a +1 ≥ Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a2 + = ⇔ a = Ta trình bày lời giải sau: Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số ta có a2 + 2 a +1 = a2 + + a +1 = a2 + + ≥2 a +1 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a2 + + a +1 ⇔ a2 + = ⇔ a = Ví dụ 1.5: Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a > b Chứng minh rằng: a+ ≥3 b a− b ( ) Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải không chứa biến, nên áp dụng áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết biến, ta cần phải có đại lượng a − b; b , chiều bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Để ý a = b + a − b ta áp dụng đánh giá cho số dương a − b; b; b a− b Giáo viên: Đoàn Công Nam ( ) x y2 + + y z2 + + z x2 + = x ( y + x) ( y + z) + y ( z + x ) ( z + y) + z ( x + y) ( x + z) 2x 2y 2z + + x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z ≥ 2x 2y 2z + + ≥ x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z Ta cần chứng minh Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 2x 2y 2z 2x2 2y2 2z2 + + = + + x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z x x + 2y + z y x + y + 2z z 2x + y + z ( ) ( 2( x + y + z) 2( x + y + z) ≥ ≥ ( x + y + z) + xy + yz + zx x + y + z + ( x + y + z) ( ) ( ) ) 2 2 = Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 6.7: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a + b + 3c a + 3b + c 3a + b + c 15 + + ≥ 3a + 3b + 2c 3a + 2b + 3c 2a + 3b + 3c Phân tích: Để đơn giản hóa đại lượng vế trái ta đặt 3y + 3z − 5x a= x = 2a + 3b + 3c 3z + 3x − 5y y = 3a + 2b + 3c ⇒ b = z = 3a + 3b + 2c 3x + 3y − 5z c = Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành x + y y + z z + x 27 15 + + ≥ ÷− 8 z x y 8 Đến ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá tiếp Lời giải Đặt x = 2a + 3b + 3c; y = 3a + 2b + 3c; z = 3a + 3b + 2c , ta a= 3y + 3z − 5x 3z + 3x − 5y 3x + 3y − 5z ;b= ; c= 8 Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x + y y + z z + x 27 15 + + ≥ ÷− 8 z x y 8 Theo bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh x+ y y+ z z+ x + + ≥6 z x y Do ta x + y y + z z + x 27 7.6 27 15 + + ≥ − = ÷− 8 z x y 8 8 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 6.8: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: Giáo viên: Đồn Cơng Nam a+ b b+ c c+ a 16 + + ≥ a + b + c b + c + 4a a + c + 16b 15 Lời giải x = a + b + c Đặt y = b + c + 4a ⇒ z = c + a + 16b 3a = y − x 15b = z − x 15c = 21x − 5y − z Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành −6x + 5y + z 20x − 5y 16x − z 16 + + ≥ 15x 15y 15z 15 y 3x z 16x 16 28 + + + ≥ + = 3x 4y 15x 15z 15 15 Hay Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có y 4x z 16x + ≥ ; + ≥ 3x 3y 15x 15z 15 a+ b b+ c c+ a 16 Đẳng thức xẩy + + ≥ a + b + c b + c + 4a a + c + 16b 15 y 4x 5c = a = 3x 3y ⇔ 3c z = 16x b = 15x 15z Do ta Bài tốn chứng minh xong Ví dụ 6.9: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: (a 1 3 a + b b + c c + a + b3 + c3 + + ÷ ≥ + + ÷ c a b a b c ) Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chưa thấy có dấu hiệu đặt biến phụ, ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước Ở ta chọn biến đổi vế trái trước ( 1 1 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3 + c3 + + ÷ = + + + b c c3 a3 b3 a ) Quan sát biểu thức sau biến đổi ta thấy cần phải đánh giá a3 + b3 c3 a + b 3 ÷ , điều có nghĩa ta cần chứng minh a + b ≥ k a + b , ý đến c dấu đẳng thức xẩy ta tìm k = Như ta chứng minh a3 + b3 ≥ a + b , đánh giá chứng minh cách sử ( ( ) ) dụng bất đẳng thức Cauchy a+ b b+ c c+ a bất đẳng thức cần ; y= ; z= c a b 3 3 x+ y+z chứng minh viết lại thành + x + y + z ≥ Chú ý lúc đẳng Đến ta đặt x = ( Giáo viên: Đồn Cơng Nam ) thức xẩy x = y = z = ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh toán Lời giải Bất đẳng thức viết lại a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 a + b b + c c + a 3+ + + ≥ + + ÷ 2 c a b c3 a3 b3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( ) ( ) ( )( a3 + b3 = a3 + b3 + a3 + b3 = a3 + b3 + a + b a2 + b2 − ab ( ) ( ) ) ≥ a3 + b3 + 3ab a + b = a + b ( ) a+ b a3 + b3 ≥ c3 4c3 Suy 3 Áp dụng tương tự ta có bất đẳng thức ( ) a+ b a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + ≥ c3 a3 b3 4c3 ( b + c) + 4a3 Ta cần chứng minh ( a + b) 3+ 4c3 Đặt x = ( b + c) + 4a3 ( c + a) + 4b3 ( c + a) + 4b3 3 a + b b + c c + a + + ÷ 2 c a b ≥ a+ b b+ c c+ a , bất đẳng thức trở thành ; y= ; z= c a b x3 + y3 + z3 x + y + z 3+ ≥ 3 12 + x + y + z ≥ x + y + z ( Hay ) ( ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x3 + + ≥ 12x; y3 + + ≥ 12y; z3 + + ≥ 12z Suy ( ) ( ) ( ) x3 + y3 + z3 + 48 ≥ 12 x + y + z = x + y + z + x + y + z Hay ( ( ) ≥ x + y + z + 36 ) 12 + x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 6.10: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c 3 a + b b + c c + a + + + + ÷ ≥ ÷ 2 c a b b c a Phân tích: Cũng tương tự ví dụ ta cần biến đổi bất đẳng thức trước đưa cách đổi biến Trong ví dụ ta chọn biến đổi vế phải a+ b b+ c c+ a a b b c c a + + = + + + + + c a b c c a a b b Giáo viên: Đồn Cơng Nam a b c ; ; , lại để ý ta nhận b c a a a b b b c c c a a b c thấy = ; = ; = Do ta đặt x = ; y = ; z = , c b c a c a b a b b c a ta xyz = bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Lúc để ý ta thấy hai vế xuất đại lượng ( x + y + z) = ( ) xy + yz + zx + x + y + z Đến ta có lời giải sau Lời giải Đặt x = a b c ; y = ; z = suy xyz = b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành ( ) x+ y+z = ( ) xy + yz + zx + x + y + z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x + y + z ≥ 33 xyz = Nên Ta có Do ta Hay ( x + y + z) ≥ 3( x + y + z) ( x + y + z) ≥ 3( xy + yz + zx) 2( x + y + z) ≥ 3( xy + yz + zx ) + 3( x + y + z) 3( xy + yz + zx + x + y + z) ( x + y + z) = 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 6.11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn c = 8ab Chứng minh rằng: c c + + ≤ 4a + 2b + 4bc + 3c + 2ac + 3c + Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy khác biệt giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh so với ví dụ Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trò a, b Do ta dự đốn dấu đẳng thức xẩy a = b Mặt khác ta thấy tử biểu thức thứ hai thứ ba có biến c, ta viết lại hai biểu thức biểu thức thứ mẫu xuất đại 1 , tự nhiên ta nghĩ đẳng thức xẩy a = b = , ta viết lại c c giả thiết 8ab = Đến ta thấy cách đặt x = 2a; y = 2b; z = bất c c lượng đẳng thức viết lại thành 1 1 + + ≤ 2x + y + 2y + z + 2z + x + Tuy nhiên từ hình thức bất đẳng thức ta thấy tương tự bất đẳng thức quen thuộc 1 1 + 2 + ≤ 2 2x + y + 2y + z + 2z + x + 2 Do ta chọ cách đặt x2 = 2a; y2 = 2b; z2 = để đưa toán dạng quen thuộc c Lời giải Giáo viên: Đồn Cơng Nam Đặt x2 = 2a; y2 = 2b; z2 = Khi từ giả thiết ta xyz = c Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành P= 1 1 + + ≤ 2x2 + y2 + 2y2 + z2 + 2z2 + x2 + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) 2x2 + y2 + = x2 + y2 + x2 + + ≥ xy + x + Do ta P≤ Ta chứng minh 1 + + xy + x + yz + y + zx + z + ( ) ( ) ( ) 1 + + = theo cách sau xy + x + yz + y + zx + z + Cách 1: Do xyz = 1, nên tồn số dương x, y, z để x = m n p ;y= ;z= n p m Khi ta có 1 1 1 + + = + + xy + x + yz + y + zx + z + m m n n p m + +1 + +1 + +1 p n m p n m np pm mn = + + =1 mn + np + pm mn + np + pm mn + np + pm Cách 2: Do xyz = 1, nên ta 1 xyz y + + = + + xy + x + yz + y + zx + z + xy + x + xyz yz + y + xyz + yz + y yz y = + + =1 yz + y + yz + y + yz + y + Suy P ≤ Vậy bất đẳng thức chứng minh xong ; c = 2 Ví dụ 6.13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 2abc Chứng 1 1 + + ≥ minh rằng: 2 2 a 2a − b 2b − c 2c − Đẳng thức xẩy x = y = z = hay a = b = ( ) ( ) ( ) Phân tích: Dễ dàng dự đốn đẳng thức xẩy a = b = c = toán viết lại thành Giả thiết 1 + + = 2, để đơn giản hóa giả thiết ta a b c 1 ; y = ; z = , giả thiết x + y + z = với < x, y,z < a b c 1 Cũng từ cách đặt ta suy a = ; b = ; c = , thay vào bất đẳng thức x y z đổi biến x = cần chứng minh Giáo viên: Đồn Cơng Nam x3 ( − x) y3 + ( − y) z3 + ( − z) 2 ≥ Đến ta chứng minh bất đẳng thức cách thêm bớt sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải 1 + + = a b c Từ giả thiết ab + bc + ca = 2abc suy 1 ; y = ; z = , ta có x + y + z = a b c x3 y3 z3 + + Bất đẳng thức viết lại 2 2− x 2− y 2− z Đặt x = ( ) ( x3 Hay ( y + z) + ) ( y3 ( z + x) + ) z3 ( x + y) ≥ ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( y + z) + y + z y + z 3x + ≥ 8 ( z + x) + z + x z + x 3y + ≥ 8 ( x + y) + x + y x + y 3z + ≥ 8 x3 y3 z3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta x3 ( y + z) Hay + y3 ( z + x) x3 ( y + z) + + z3 ( x + y) y3 ( z + x) + + ( ) x+ y+z x+ y+z ≥ 24 z3 ( x + y) ≥ x+ y+z = Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Nhận xét: Ngoài cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Ví dụ 6.14: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥1 ca2 + 2c2 ab2 + 2a2 bc2 + 2b2 Lời giải Từ giả thiết ab + bc + ca = 3abc ta 1 + + = a b c 1 ; y = ; z = Khi ta x + y + z = a b c x2 y2 z2 + + ≥1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x + 2y2 y + 2z2 z + 2x2 Đặt x = Giáo viên: Đồn Cơng Nam Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 x2 + 2xy2 − 2xy2 2xy2 2xy2 23 x2y2 = = x − ≥ x − = x − x + 2y2 x + 2y2 x + y2 + y2 23 xy4 Áp dụng tương tự ta y2 22 y2z2 z2 22 z2x2 ≥ y− ; ≥ z− 3 y + 2z2 z + 2x2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta x2 y2 z2 + + ≥ x + y + z − x + 2y2 y + 2z2 z + 2x2 ( ) ( x2y2 + y2z2 + z2x2 ) Mạt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có xy + xy + 2xy + = 3 yz + yz + 2yz +1 2 yz ≤ = 3 zx + zx + 2zx +1 2 zx ≤ = 3 Suy x2y2 ≤ x2y2 + y2z2 + z2x2 ≤ ( xy + yz + zx ) + ≤ 2( x + y + z) +1= x2 y2 z2 2.3 + + ≥ 3− = 2 x + 2y y + 2z z + 2x Do ta Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 6.15: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn minh rằng: a + 3b + b + 3c + c + 3a a + b c = Chứng ≤1 Phân tích: Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết cách đặt x = , giả thiết viết lại thành + a; y = b; z = c 1 + + = bất đẳng thức cần chứng x y z minh trở thành x2 + 3y2 Chú ý đến giả thiết + y2 + 3z2 + z2 + 3y2 ≤1 1 + + = ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh x y z x2 + 3y2 + y2 + 3z2 + z2 + 3y2 ≤ 1 1 + + ÷ 2 x y z Để ý theo bất đẳng thức Cauchy ta có x2 + 3y2 = x2 + y2 + y2 + y2 ≥ 44 x2y6 , ta x2 + 3y2 ≤ x2y6 ≤ 1 1 1 1 2 1 3 ÷≤ + + ÷= + ÷ + x2y2 y4 ÷ x y y x y Giáo viên: Đồn Cơng Nam Đến áp dụng tương tự ta Lời giải Đặt x = 1 + + =2 x y z a; y = b; z = c Khi ta Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x2 + 3y2 + + y2 + 3z2 z2 + 3y2 ≤1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 + 3y2 = x2 + y2 + y2 + y2 ≥ 44 x2y6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy khác ta 1 1 ÷ ≤ = ≤ + 2 2 ÷ 4 2 x + 3y y 4x y x y y xy 1 3 ≤ + + ÷= + ÷ 8 x y y 8 x y 1 3 1 3 ≤ + ÷; ≤ + ÷ Tương tự ta có y2 + 3z2 y z z2 + 3y2 z x 1 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có x2 + 3y2 + y2 + 3z2 + z2 + 3y2 ≤ 1 1 + + ÷= 2 x y z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Nhận xét: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức x2 + 3y2 ≤ 3 + ÷ 8 x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta ( ) ( )( ) ( x2 + 3y2 = + + + x2 + y2 + y2 + y2 ≥ x + 3y ) Do ta x2 + 3y2 = ( x2 + 3y2 ) ≤ ( x + 3y) = 3 ≤ + ÷ x + 3y x y Ví dụ 6.17: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ab c + ab ab Phân tích: Để ý c + ab = + bc a + bc + ca b + ca ≤1 c ab +2 , ta đặt x = Lời giải Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Giáo viên: Đồn Cơng Nam a bc ;b = b ca ;z = c ab ab c + ab + bc ca + a + bc b + ca = c ab a Đặt x = bc b ;b= ca c ;z= ab Biểu thức P viết lại thành + b +2 ca + +2 a bc +2 , suy xyz = 1 1 + + ≤ x+2 y+2 z+2 Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( x + 2) ( y + 2) + ( y + 2) ( z + 2) + ( z + 2) ( x + 2) ≤ ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) Triển khai thu gọn ta xy + yz + xz ≥ Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy xyz = Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Nhận xét: Ta chứng minh tốn theo cách khác sau Biểu thức vế trái viết lại ab bc ca c a b + + + + ÷= − ÷ c + ab a + bc b + ca ÷ c + ab a + bc b + ca 2 M = Đặt c c + ab a + a + bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b + b + ca ab ≤ a + b; bc ≤ b + c; ca ≤ c + a Do ta có M = c c + ab + a a + bc + b b + ca ab Suy c + ab + ≥ c a b + + =1 a + b+ c a + b+ c a + b+ c bc + a + bc ca b + ca ≤1 Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 6.18: Cho a, b, c số thực dương không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a a + b b + c c − abc ≤ 3 Lời giải Đặt x = a; y = b; z = c Từ giả thiết ta x2 + y2 + z2 = Khi bất đẳng thức trở thành P = x3 + y3 + z3 − xyz ≤ 3 Khơng tính tổng qt ta giả sử x ≥ y ≥ z Khi ta có z2 ≤ xy; x2 + y2 = − z2 ≤ ( ) x3 + y3 + z z2 − xy ≤ x3 + y3 Do ta có Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có (x +z ) = ( x + y) ( x 2 − xy + y )(x − xy + y ) ( x2 + y2 ≤ Giáo viên: Đồn Cơng Nam ) ≤ 27 Suy x3 + y3 ≤ 3 nên ta P ≤ 3 Đẳng thức xẩy x = 3; y = z = 0và hoán vị ⇔ a = 3; b = c = hoán vị Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = 3; b = c = hoán vị Nhận xét: Qua ví dụ ta nhận thấy, đổi biến có vai trò to lớn chứng minh bất đẳng thức, đổi biến làm bất đẳng thức trở nên đơn giản, đổi biến đưa bất đẳng thức hoán vị bất đẳng thức đối xứng Chúng ta tham khảo thêm số ví dụ khác sau để thấy độc đáo kỹ thuật đổi biến Ví dụ 6.19: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c +3 +3 >2 b+ c c+ a a+ b Lời giải Đặt a = x ; b = y ; c = z , x, y, z > Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở 3 thành x3 y3 + + y3 + z3 z + x3 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau z3 >2 x3 + y3 x3 > y3 + z3 x2 y2 + z2 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với x3 x2 2 > 2÷ ⇔ y +z 3÷ y +z y +z ( ) ( > y3 + z3 ) ( ) ⇔ 3y2z2 y2 + z2 > 2y3z3 Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Áp dụng tương tự ta x3 y3 + + y3 + z3 z3 + x3 Ta cần chứng minh z3 > x3 + y3 x2 y2 + + y2 + z2 z + x2 x2 y2 + + y2 + z2 z2 + x2 z2 x2 + y2 z2 ≥2 x2 + y2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 y2 + + y2 + z2 z2 + x2 z2 = x2 + y2 ≥ ( x2 x2 y2 + z2 ) + ( y2 y2 z2 + x2 ) + ( z2 z2 x2 + y2 ) 2x2 2y2 2z2 + + =2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Ví dụ 6.20: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 1 1 a − + ÷ b − + ÷ c − + ÷ ≤ b c a Lời giải Do abc = nên ta đặt a = x y z ; b = ; c = với x, y, z số thực dương y z x Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại Giáo viên: Đồn Cơng Nam x z y x z y − + ÷ − + ÷ − + ÷ ≤ y z z x x y ( )( )( xyz ≥ x + y − z y + z − x z + x − y Hay ) Do x, y, z có vai trị nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử x≥ y≥ z> Như x + y − z > 0; x + z − y > Như ta xét trường hợp - Nếu y + z − x < bất đẳng thức hiển nhiên - Nếu y + z − x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có ( x − y + z) ( y − z + x) ≤ x; ( y − z + x ) ( z − x + y) ≤ y; ( z − x + y ) ( x − y + z) ≤ z Nhân theo vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Ví dụ 6.21: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = a + b + c + Chứng minh rằng: a+ b+ c≤ abc Lời giải Biến đổi giả thiết abc = a + b + c + ta ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) = ( a + 1) ( b + 1) + ( b + 1) ( c + 1) + ( c + 1) ( a + 1) 1 + + =1 a+ b+ c+ a 1 Đặt x = suy x + y + z = ;y= ;z= a+1 b+1 c+ a 1− x y + z 1− y z + x 1− z x + y = ;b= = ; c= = Từ suy a = x x y y z z ⇔ Và bất đẳng thức viết lại thành y+z z+ x + + x y Hay x+ y ≤ z ( x + y) ( y + z) ( z + x) x y y z + + y+ z z+ x z+ x x+ y xyz z x ≤ x+ y y+z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y 1 x y ≤ + ÷ y + z z + x 2 y + z z + x y z 1 y z ≤ + ÷ z + x x + y 2 z + x x + y z x 1 z x ≤ + ÷ x + y y + z 2 x + y y + z Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu điều phải chứng minh Ví dụ 6.22: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca + 2abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a+ b+ c a b c ( ) Lời giải Giáo viên: Đồn Cơng Nam 1 1 + + +2= a b c abc x y z ;b= ; c= Đặt a = , với x, y,z > 0; x + y + z = y+ z z+ x x+y Từ giả thiết suy Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y+ z z+ x x+ y y z + + ≥ 4 + + ÷ x y z y + z z+ x x + y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x x 4x y y 4y z z 4z + ≥ ; + ≥ ; + ≥ y z y+ z x z z+ x x y x+ y Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta x y+ z z+ x x+ y y z + + ≥ 4 + + ÷ x y z y + z z+ x x + y Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 6.23: Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh rằng: a b c d + + + >2 b+ c+ d c+ d+ a d+ a+ b a+ b+ c Lời giải Khơng tính tổng quát ta chọn a + b + c + d = Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c d + + + >2 1− a 1− b 1− c 1− c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có a = 1− a Hồn tồn tương tự ta có a ( 1− a) a b ≥ 2b; 1− b ≥ a 1− a + a ( ) = 2a c d ≥ 2c; ≥ 2d 1− c 1− d Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức ta được: a b c d + + + ≥2 1− a 1− b 1− c 1− c Ở dấu đẳng thức không xẩy nên a b c d + + + >2 1− a 1− b 1− c 1− c Bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn Khi đưa lời giải cho toán trên, hẳn bạn đọc thắc mắc lại chọn a + b + c + d = chọn a + b + c + d = k tốn có giải khơng? Và ngồi cách chọn điều kiện chọn theo cách khác (chẳng hạn abcd = 1) không? Câu trả lời hoàn toàn được, thực chất việc chọn bắt nguồn từ việc đổi biến Sau cách đổi biến dẫn đến kết a + b + c + d = Ta thực biến đổi hạng tử bên vế trái sau: Giáo viên: Đồn Cơng Nam a a+ b+ c+ d = b+ c+ d a+ b+ c+ d a = b+ c+ d a a+ b+ c+ d b c d + + a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d Tới ta đổi biến sau: x= a b c d ;y= ;z= ;t= a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a = b+ c+ d Thay vào biểu thức ta được: x x + y + z + t = y+ z+ t Áp dụng cho vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta x y + + y+ z+ t z+ t + x Và x + y + z + t = z + t+x+y t >2 x+ y+z Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hoàn toàn giống bất đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện giả thiết cho biến x + y + z + t = Ví dụ 6.24: Cho a, b , c số thực dương tùy ý Chứng minh ( a + b + c) ( ab + bc + ca) ≤ 89 ( a + b) ( b + c) ( c + a) Lời giải Đây bất đẳng thức đơn giản chứng minh phép biến đổi tương đương kết hợp với bất đẳng thức Cauchy Ta thử chứng minh phương pháp đổi biến xem Bất đẳng thức tương đương với ( )( ) ( )( )( a + b + c ab + bc + ca ≤ a + b b + c c + a ( ) Chia hai vế cho abc ( )( ta ) a + b + c ab + bc + ca abc b ) ≤ ( )( )( a+ b b+ c c+ a ) abc bc a c ab ca ÷ ⇔ 8 + + + + ÷ 3 2 ÷ 3 abc abc abc (abc) (abc) (abc) a b b c a c ≤ 9 + + + ÷ ÷ ÷ 3 abc abc abc abc abc abc a b c ;y= ;z= ⇒ xyz = Đặt x = 3 abc abc abc Thay vào bất đẳng thức ta ( )( ) ( )( )( x + y + z xy + yz + zx ≤ x + y y + z z + x ) Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hồn tồn giống bất đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện cho biến xyz = Bây ta chứng minh bất đẳng thức với điều kiện biến xyz = 1.Thật vậy: Giáo viên: Đồn Cơng Nam ( )( ) ( )( )( x + y + z xy + yz + zx ≤ x + y y + z z + x ( ) ( ) ⇔ + x2y + y2z + z2x + xy2 + yz2 + zx2 ≤ + x2y + y2z + z2x + xy2 + yz2 + zx2 ⇔ ≤ x2y + y2z + z2x + xy2 + yz2 + zx2 ⇔ ≤ x x y y z z + + + + + y z x z x y ) Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh hồn tồn Ví dụ 6.25: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: ( ) a b+ c ( b + c) + + a2 ( ) b c+ a ( c + a) + b2 ( ) c a+ b + ( a + b) Lời giải Khơng tính tổng quát ta chọn a + b + c = ( ) a 1− a + − 2a + 2a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) b 1− b − 2b + 2b ( + c2 ) c 1− c + − 2c + 2c ( ) a+1 2a + − a 2a − a ≤ = ÷ ( ) ( Suy ( ) a 1− a − 2a + 2a2 2 ) ( ) 4a − a ≤ ≤ ( a + 1) = ( 1− a) ( a + 3) ≥ 1− − 2a + 2a2 = − 2a − a Do ta ≤ = ( 1− a) ( a + 3) a = a+ >0 4 − ÷ a + 3 Hồn tồn tương tự ta a 1− a b 1− b c 1− c + + ≤ − ÷ + 1− ÷ + 1− ÷ 2 a + 3 b + 3 c + − 2a + 2a − 2b + 2b − 2c + 2c 3.9 ≤ 4 − ÷≤ a + b + c + 9 Vậy toán chứng minh xong Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 6.26: Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 + + ≥ a b+ c b c+ a c a+ b ( ) ( ) ( ) Lời giải Đặt x = Ta có 1 ; y = ; z = ta thu xyz = a b c x2 x2yz x = = = 1 y+z y+ z a2 b + c + y z ( ) Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x y z x y z + + ≥ ⇔ + 1÷ + + 1÷ + + 1÷ ≥ y+ z z+ x x+ y y+z z+ x x+y 1 ⇔ x+ y+z + + ÷≥ y + z z + x x + y ( ) Giáo viên: Đồn Cơng Nam Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ 6.27: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ( 2a + 2b − c) a + b + 4c ( 2b + 2c − a) + b + c + 4a ( 2c + 2a − b) + c + a + 4b ≥ ( a + b2 + c2 ) Lời giải Đặt x = 2a + 2b − c; y = 2b + 2c − a; z = 2c + 2a − b Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên x;y;z số dương Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x3 y3 x3 x2 + y2 + z2 + + ≥ y+ z z+ x x+ y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) ( ) ( ) x y+z y z+ x z x+y x3 y3 z3 + ≥ x2; + ≥ y2; + ≥ z2 y+z y+z x+y Cộng theo vế bất đẳng thức ta x3 + y+z x3 ⇔ + y+z y3 + z+ x y3 + z+ x x3 xy + yz + zx + ≥ x2 + y2 + z2 x+ y x xy + yz + zx ≥ x2 + y2 + z2 − x+y Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ta x3 y3 x3 x2 + y2 + z2 + + ≥ y+ z z+ x x+ y Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Giáo viên: Đồn Cơng Nam ... + + ≥ 33 × × = 16 bc 16 bc a c b a c b + + + ≥ 44 × × × = 12 abc 12 abc 13 a 13 b + ≥2 18 24 13 b 13 c + ≥2 48 24 13 a 13 b × ≥2 18 24 13 b 13 c × ≥2 48 24 13 13 13 × ? ?12 = 18 24 13 13 13 × ×8 = 48 24... + ≥ ; + + ? ?1 ab 18 24 bc 16 ca a b c 13 a 13 b 13 13 c 13 b 13 + + + ≥ ; + ≥ ; + ≥ abc 12 18 24 24 48 Cộng vế bất đẳng thức ta 1 1 13 13 12 1 a + b + c + 2 + + ÷+ ≥ + + 1+ + + = 3 12 ab bc ca... c 1 = 1? ?? + 1? ?? = + ≥ a +1 b +1 c +1 b +1 c +1 b ≥ b +1 Tương tự ta có Khi ta ( ( c + 1) ( a + 1) ab ≥ a +1 b +1 c+ )( ) ( Áp dụng tương tự ta bc ≥ ; c ≥ c+ ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) ( b + 1) ( a + 1)