PP hai duong vuong goc

PHƯƠNG PHÁP HAI ĐƯỜNG VNG GĨC Trong chương tơi trình bày tốn gốc phương pháp hai đường vng góc cách chi tiết có phân tích yếu tố q trình thực Sau tơi trình bày ví dụ áp dụng đơn giản phương pháp 2.1 Bài toán gốc Cho mặt phẳng    chứa đường thẳng AB Đường thẳng SH vuông góc với    H ( H �AB ) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB) Lời giải Kẻ HI  AB( I �AB ) Khi AB  ( SHI ) Suy ( SAB)  (SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  (SAB) Do d ( H , ( SAB ))  HK Do SHI vuông H nên HK  Vậy d ( H , ( SAB))  HS HI HS  HI HS HI HS  HI 2.2 Phân tích tốn gốc Bài tốn gốc trình bày tốn tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Hầu hết tốn tính khoảng cách kỳ thi đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia xuất phát quy toán gốc Bài tốn gốc tốn tính khoảng cách đề thi thường có mối liên hệ sau: - Điểm S tốn gốc đỉnh hình chóp đỉnh hình lăng trụ - Đường thẳng AB cạnh đáy hình chóp cạnh đáy hình lăng trụ - Điểm H chân đường cao hình chóp hình lăng trụ - Mặt phẳng (SAB) mặt bên hình chóp mặt bên hình lăng trụ * Lưu ý: Nhận thấy tất tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kỳ thi Đại học, Cao đẳng, thi THPT Quốc gia có dạng “Tính khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đáy (điểm khơng phải chân đường cao) đến mặt bên hình chóp hình lăng trụ” Và tốn dạng quy tốn gốc Do việc nắm cách giải toán gốc sở để giải tốn tính khoảng cách khơng gian 2.3 Phương pháp hai đường vng góc Với liệu cho toán gốc, ta có phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sau: Bước (kẻ đường vuông góc thứ nhất): Từ chân đường cao (điểm H) kẻ đường thẳng vng góc với giao tuyến mặt bên xét với mặt phẳng đáy (chính cạnh AB) Khi ta chứng minh AB  ( SHI ) Bước (kẻ đường vng góc thứ 2) Từ điểm H kẻ đường thẳng HK vng góc với giao tuyến SI hai mặt phẳng (SHI) (SAB) Khi HK khoảng cách cần tính Bước Tính đoạn HK dựa vào tam giác vng HIK 2.4 Một số lưu ý thực phương pháp hai đường vng góc - Ở Bước kẻ HI  AB , ta phải vào tính chất mặt phẳng đáy để xác định xác vị trí điểm I để tính HI Bước Trong trường hợp đặc biệt điểm I trùng với điểm A điểm B - Phương pháp hai đường vng góc áp dụng để � xác định góc hai mặt phẳng  ( ), ( SAB)   SIH 2.5 Ví dụ minh họa Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB=a, BC=3a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SB tạo với mặt đáy góc 45 Tinh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Lời giải Kẻ AI  BC ( I �BC ) � BC  ( SAI ) � ( SBC )  ( SAI ) theo giao tuyến SI Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SBC ) Do d ( A, ( SBC )  AK Ta có AC  BC  AB  9a  a  2a � AI  AB AC AB  AC  a.2a a  8a  2a �  450 � SA  AB.tan 450  a Do ( SB, ( ABC ))  SBA Vậy d ( A,( SBC )  AK  2a 2a   17 AS  AI 8a a2  AS.AI a CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong mục tơi trình bày số tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phương pháp hai đường vng góc, có phân tích hướng dẫn cụ thể Trở lại toán gốc, ta thấy điều kiện để áp dụng phương pháp hai đường vng góc điểm H chân đường cao hình chóp hình lăng trụ Trong trường hợp H khơng phải chân đường cao ta xử lý nào? Để giải vấn đề ta tính gián tiếp thơng qua chân đường cao cách áp dụng thuật toán rời điểm sau: Thuật toán rời điểm 1.1 Rời điểm song song: Cho mặt phẳng    đường thẳng AB / /    Khi d ( A,( ))  d ( B, ( )) 1.2 Rời điểm cắt nhau: Cho    đường thẳng AB d ( A, ( )) IA cho AB �    I Khi d ( B, ( ))  IB 1.3 Nhận xét Thuật toán rời điểm cho phép ta chuyển việc tính khoảng cách từ điểm khơng phải chân đường cao tính khoảng từ điểm chân đường cao Trong số tốn ta kết hợp hai thuật tốn rời điểm song song rời điểm cách để tính sau: d ( A, ( ))  d ( B, ( )) � � �d ( B, ( )) IB �d (C , ( ))  IC � 3.1.2 Một số tập áp dụng Bài 1(Đề minh họa năm 2015): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AC = 2a, � ACB  300 Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH  a Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Phân tích - Bài tốn có dạng “tính khoảng cách từ điểm C nằm mặt đáy đến mặt bên” - Do SC khơng vng góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm chân đường cao H - Từ H kẻ đường thẳng HI vng góc với giao tuyến mặt bên với mặt đáy (chính đường thẳng AB) ta thu điểm I (I trung điểm AB) - Từ H kẻ đường thẳng vng góc cắt đường thẳng SI Khi d ( H , ( SAB))  HK d ( H ,( SAB) AH - Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy d (C , ( SAB)  AC Tính d (C , ( SAB)) Lời giải * Tính d ( H , ( SAB)) Kẻ HI  AB( I �AB ) � AB  ( SHI ) � ( SAB)  (SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SAB) Do d ( H , ( SAB)  HK Ta có BC  AC.cos � ACB  2a � HK  a  a � HI  BC  2 a  a 66  11 HS  HI 3a 2a  a HS HI * Mặt khác ta có d ( H ,( SAB) AH 2a 66   � d (C ,( SAB)  2d ( H , ( SAB )  d (C , ( SAB) AC 11 Bài 2(Khối A năm 2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD  3a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “tính khoảng cách từ điểm mặt đáy tới phẳng qua đỉnh S đường thẳng nằm mặt phẳng đáy” - Do SA khơng vng góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm chân đường cao H - Từ H kẻ đường thẳng HI vng góc với giao tuyến mặt phẳng xét với mặt đáy (chính đường thẳng BD) ta thu điểm I (trong BI  BD ) - Từ H kẻ đường thẳng vuông góc cắt đường thẳng SI K Khi d ( H , ( SAB))  HK d ( H ,( SBD) BH - Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy d ( A, ( SBD)  BA Tính d ( A, ( SBD)) Lời giải * Tính d ( H , ( SBD)) Kẻ HI  BD( I �BD) � BD  ( SHI ) � ( SBD)  ( SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SBD) Do d ( H , ( SBD)  HK + HD  AH  AD  + HI  AC  � HK  a2 a 9a 5a  a2  � SH  SD  HD   a 4 a a a  HS  HI a2 a2  a HS HI d ( H , ( SBD) BH 2a * Mặt khác ta có d ( A, ( SBD))  BA  � d ( A, ( SBD)  2d ( H , ( SBD)  Bài 3(Khối B năm 2014): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt phẳng đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “tính khoảng cách từ điểm mặt đáy tới mặt bên hình lăng trụ” - Điểm A’ đóng vai trò tương tự điểm S bài toán gốc AC giao tuyến mặt phẳng cần xét với mặt đáy - Do A’B không vng góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm chân đường cao H - Từ H kẻ đường thẳng HI vng góc với giao tuyến mặt phẳng xét với mặt đáy (chính đường thẳng AC) ta thu điểm I - Từ H kẻ đường thẳng vng góc cắt đường thẳng A’I K Khi d ( H , ( ACC ' A '))  HK d ( H , ( ACC ' A ') AH - Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy d ( B, ( ACC ' A ')  AB Tính d ( B, ( ACC ' A ')) Lời giải * Tính d ( H , ( ACC ' A ')) Kẻ HI  AC ( I �AC ) � AC  ( A ' HI ) � ( ACC ' A ')  ( A ' HI ) theo giao tuyến A’I Kẻ HK  A ' I ( K �A ' I ) � HK  ( ACC ' A ') Do d ( H , ( ACC ' A ')  HK a a  2 �  + HI  AH sin IAH + A ' H  CH tan � A ' CH  � HK  HA '.HI HA '2  HI * Mặt khác ta có  a 3a 3 2 a 3a  3a 13 26 3a 9a  16 d ( H , ( ACC ' A ') AH 3a 13   � d ( B,( ACC ' A ')  2d ( H , ( ACC ' A ')  d ( B, ( ACC ' A ')) AB 13 Bài 4(Khối A năm 2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, � ABC  300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “tính khoảng cách từ điểm mặt đáy tới phẳng qua đỉnh S đường thẳng nằm mặt phẳng đáy” - Do SC khơng vng góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm chân đường cao H - Từ H kẻ đường thẳng HI vng góc với giao tuyến mặt phẳng xét với mặt đáy (chính đường thẳng AB) ta thu điểm I (I trung điểm AB ) - Từ H kẻ đường thẳng vng góc cắt đường thẳng SI K Khi d ( H , ( SAB))  HK d ( H ,( SAB) BH - Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy d (C , ( SAB)  BC Tính d (C , ( SAB)) Lời giải * Tính d ( H , ( SAB)) Kẻ HI  AB( I �AB ) � AB  ( SHI ) � ( SAB)  (SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SAB) Do d ( H , ( SAB)  HK + BC  a � SH  a 2 a 2 ABC  a  � HI  AC  + AC  BC.sin � � HK  HS HI HS  HI * Mặt khác ta có  a a a  a 39 26 3a a  16 d ( H , ( SAB) BH a 39   � d (C , ( SAB)  2d ( H , ( SAB)  d (C , ( SAB)) BC 13 Bài 5(Khối B năm 2013): Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD hình vng cạnh a Mặt SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) theo a Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “tính khoảng cách từ điểm mặt đáy tới phẳng qua đỉnh S đường thẳng nằm mặt phẳng đáy” - Do SA khơng vng góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm chân đường cao H - Từ H kẻ đường thẳng HI vng góc với giao tuyến mặt phẳng xét với mặt đáy (chính đường thẳng CD) ta thu điểm I - Từ H kẻ đường thẳng vng góc cắt đường thẳng SI K Khi d ( H , ( SCD))  HK - Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy d ( A, ( SCD))  d ( H , ( SCD)) Tính d ( A, ( SCD)) Lời giải * Tính d ( H , (SCD)) Kẻ HI  CD( I �CD) � CD  ( SHI ) � ( SCD)  ( SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SCD) Do d ( H , ( SCD)  HK + HI  a + AB  a � HS  � HK  a a HS HI a 21   2 HS  HI 3a a2  a * Mặt khác ta có AH / /(SCD) � d ( A, SCD)  d ( H ,( SCD))  a 21 3.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 3.2.1 Nhận xét: Bài tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không gian toán thường gặp kỳ thi Đại học, Cao đảng, THPT Quốc gia Để giải toán ta thường dùng phương pháp sau: - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d (a, b)  MN - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng song song với d (a, b)  d (a, ( ))  d ( M , ( ))  MH - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song với chứa hai đường thẳng Tuy nhiên thực tế, tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia chủ yếu sử dụng cách thứ hai để tính Bài tốn phát biểu dạng tổng quát sau: Cho đường thẳng b �( ) , a �( )  A , a b chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng a b Vấn đề đặt “Hãy trình bày quy trình thực cách thứ hai để áp dụng chung cho tốn” chưa đưa quy trình Sau tơi trình bày quy trình thực để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo theo cách thứ 3.2.2 Quy trình tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Với kiện trên, ta có quy trình để tính khoảng cách hai đường thẳng a b sau: Bước 1: Từ điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng b Khi b / /(a; Ax) Bước 2: d (a, b)  d (b;(a; Ax))  d ( H ;(a; Ax)) Bước 3: Tính d ( H ;(a; Ax)) theo phương pháp hai đường vng góc 3.2.3 Nhận xét - Bài tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thực chất toán mở rộng toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tuy nhiên cho dạng ẩn mà ta phải làm thêm Bước Bước để đưa tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Mối liên hệ toán tổng quát tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo đề thi: + Đường thẳng b cạnh nằm mặt phẳng đáy + Đường thẳng a cạnh hình chóp hình lăng trụ + Điểm A giao điểm cạnh hình chóp mặt phẳng đáy - Ở bước thứ kẻ đường thẳng Ax ta cần dựa vào tính chất mặt đáy để xác định xác vị chí đường thẳng Trong trường hợp đặc biệt đường thẳng Ax có sẵn khơng cần kẻ thêm 3.2.4 Bài tốn áp dụng Bài 1(THPT QG năm 2015): Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SC (ABCD) 45 Tính khoảng cách SB AC Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “Tính khoảng đường thẳng nằm mặt đáy cạnh bên hình chóp.” - Từ giao điểm B kẻ đường thẳng Bx song song với đường thẳng nằm mặt đáy Khi AC / /( SB, Bx ) - Khi ta quy d ( SB, AC )  d ( AC , ( SB, Bx)  d ( A, ( SB, Bx)) - Tính d ( A, ( SB, Bx)) theo phương pháp hai đường vuông góc Lời giải Kẻ Bx / / AC � AC / /( SB, Bx) Khi d ( SB, AC )  d ( AC, ( SB, Bx)  d ( A, ( SB, Bx)) * Tính d ( A, ( SB, Bx)) Kẻ AI  Bx( I �Bx) � Bx  ( SAI ) � ( SB, Bx)  ( SAI ) theo giao tuyến SI Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SB, Bx) Do d ( A, ( SB, Bx))  AK + HI  AB.sin 450  + AS  AC  a a 2 � AK  a 2  a 10  AS  AI a2 2a  AS AI Do d ( A, ( SB, Bx))  a a 10 a 10 Vậy d ( SB, AC )  5 Bài 2(Khối D năm 2014): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt phẳng bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “Tính khoảng đường thẳng nằm mặt đáy cạnh bên hình chóp.” - Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm mặt đáy Khi BC / /(SA, Ax ) - Khi ta quy d ( SA, BC )  d ( BC ,( SA, Ax)  d ( H , ( SA, Ax)) - Tính d ( H , ( SA, Ax)) theo phương pháp hai đường vng góc Lời giải Kẻ Ax / / BC � BC / /(SA, Ax ) Khi d ( SA, BC )  d ( BC ,( SA, Ax)  d ( H ,( SA, Ax)) * Tính d ( H , ( SA, Ax )) Do ABC vuông cân A nên HA  Ax � Ax  ( SHA) � ( SA, Ax)  ( SHA) theo giao tuyến SA Kẻ HK  SA( K �SA) � HK  ( SA, Ax ) Do d ( H , ( SA, Ax))  HK + HA  BC  + HS  a a � HK  HS HA  HS  HA2 Do d ( H , (SA, Ax))  aa a 2  a 3a  4 a a Vậy d ( SA, BC )  4 Bài 3(Khối A năm 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc hai đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “Tính khoảng đường thẳng nằm mặt đáy cạnh bên hình chóp.” - Từ giao điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng nằm mặt đáy Khi BC / /(SA, Ax ) - Khi ta quy d ( SA, BC )  d ( BC , ( SA, Ax)  d ( B, ( SA, Ax)) - Tính d ( B, ( SA, Ax)) theo phương pháp hai đường vng góc Lời giải Kẻ Ax / / BC � BC / /(SA, Ax ) Khi d ( SA, BC )  d ( BC, ( SA, Ax)  d ( B, ( SA, Ax)) * Tính d ( H , ( SA, Ax )) Kẻ HI  Ax ( I �Ax ) � Ax  ( SHI ) � ( SA, Ax)  ( SHI ) theo giao tuyến SI Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SA, Ax ) Do d ( H , ( SA, Ax))  HK + HI  AH sin 600  2a a  3 + HS  HC.tan 600  a a 21 3 3 � HK  a 21 a 3  a 42  12 HS  HI 21a 3a  9 HS HI Do d ( H , ( SA, Ax))  Mặt khác a 42 12 d ( H , (SA, Ax)) AH a 42   � d ( B, ( SA, Ax))  d ( H ,( SA, Ax))  d ( B, ( SA, Ax)) AB Vậy d ( SA, BC )  a 42 Bài 4(Khối A năm 2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “Tính khoảng đường thẳng nằm mặt đáy cạnh bên hình chóp.” - Từ giao điểm N kẻ đường thẳng Nx song song với đường thẳng nằm mặt đáy Khi AB / /(SN , Nx ) - Khi ta quy d ( AB, SN )  d ( AB, ( SN , Nx))  d ( A, ( SN , Nx)) - Tính d ( A, (SN , Nx)) theo phương pháp hai đường vng góc Lời giải Kẻ Nx / / AB � AB / /( SN , Nx) Khi d ( SN , AB)  d ( AB, ( SN , Nx)  d ( A, ( SN , Nx)) Kẻ AI  Nx (I �Nx ) � Nx  ( SAI ) � ( SN , Nx)  ( SAI ) theo giao tuyến SI Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SN , Nx) Do d ( A, ( SN , Nx))  AK + SA  AB.tan 600  2a  2a + AI  BC  a � AK  AS AI AS  AI  Do d ( A, ( SN , Nx))  2a 3.a 12a  a  2a 39 13 2a 39 2a 39 Vậy d ( AB, SN )  13 13 Bài 5(Khối A năm 2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH  a Tính khoảng cách hai đường thằng DM SC theo a Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “Tính khoảng đường thẳng nằm mặt đáy cạnh bên hình chóp.” - Từ giao điểm C kẻ đường thẳng Cx song song với đường thẳng nằm mặt đáy DM Khi DM / /( SC , Cx) - Khi ta quy d ( DM , SC )  d ( DM , ( SC , Cx))  d ( H , (SC , Cx)) - Tính d ( H , ( SC , Cx)) theo phương pháp hai đường vng góc Lời giải Kẻ Cx / / DM � DM / /( SC , Cx) Khi d ( DM , SC )  d ( DM , ( SC , Cx))  d ( H , ( SC , Cx)) Do CN  DM � HC  Cx � Cx  ( SHC ) � ( SC , Cx)  ( SHC ) theo giao tuyến SC Kẻ HK  SC ( K �SC ) � HK  ( SC , Cx) Do d ( H , ( SC , Cx))  HK �  DC DC  a a  2a HC  DC cos HCD + NC a + SH  a � HK  2a 5  2a 57  19 HS  HC 4a 3a  HS HC Do d ( H , ( SC , Cx))  a 2a 57 2a 57 Vậy d ( DM , SC )  19 19 Bài 6(Khối D năm 2008): Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB=BC=a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C Phân tích - Bài tốn thuộc dạng “Tính khoảng đường thẳng nằm mặt đáy cạnh thuộc mặt bên hình lăng trụ.” - Từ giao điểm C kẻ đường thẳng Cx song song với đường thẳng nằm mặt đáy AM Khi AM / /( B ' C , Cx) - Khi ta quy d ( AM , B ' C )  d ( AM , ( B ' C , Cx))  d ( M , ( B ' C , Cx)) - Tính d ( B, ( B ' C , Cx)) theo phương pháp hai đường vng góc Lời giải Kẻ Cx / / AM � AM / /( B ' C , Cx) Khi d ( AM , B ' C )  d ( AM , ( B ' C , Cx)  d ( M , ( B ' C , Cx)) * Tính d ( B, ( B ' C , Cx)) Kẻ BI  Cx (I �Cx ) � Cx  ( B ' BI ) � ( SA, Ax)  (SHA) theo giao tuyến B’I Kẻ BK  B ' I ( K �B ' I ) � BK  ( B ' C , Cx) Do d ( B,( B ' C , Cx))  BK + BB '  AA '  a AB a 2a �  BC sin � BI  BC sin ICB AMB  BC  a  + BM a � BK  2a 5  2a  BB '2  BI 4a 2a  BB '.BI a Do d ( B, ( B ' C , Cx))  Mặt khác 2a d ( M , ( B ' C , Cx)) CM 1 a   � d ( M , ( B ' C , Cx))  d ( B, ( B ' C , Cx ))  d ( B, ( B ' C , Cx )) CB 2 Vậy d ( AM , B ' C )  a 7 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a, SA ^ ( ABC ) , góc mp( SBC ) mp( ABC ) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC a/ Tính khoảng cách từ M đến mp( ABC ) b/ Gọi G trọng tâm D SAC Tính khoảng cách từ G đến mp( SBC ) c/ Tính khoảng cách đường thẳng SC AB � = 300, SA = AC = a Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, BAC SA vng góc với mp( ABC ) a/ Tính khoảng cách từ A đến mp( SBC ) b/ Tính khoảng cách đường thẳng SA BC c/ Tính khoảng cách đường thẳng SB AC Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a , SA ^ ( ABCD ) mặt bên ( SCD ) hợp với mặt phẳng đáy ABCD góc 600 a/ Tính khoảng cách từ điểm O đến mp( SCD ) b/ Gọi G trọng tâm D ABC Tính khoảng cách từ G đến mp( SCD ) c/ Tính khoảng cách đường thẳng SO CG Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có SO vng góc với đáy vớiO giao điểm AC BD Giả sử SO = 2, AC = 4, AB = M trung điểm SC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM Bài 5: Hình chóp S.ABC có BC = 2a , đáy ABC tam giác vuông C , SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết mp( SAC ) hợp với mp( ABC ) góc 600 a/ Tính khoảng cách từ B đến mp( SAC ) b/ Tính khoảng cách đường thẳng SA BC c/ Tính góc hợp đường thẳng SB IK với I , K trung điểm đoạn AB AC Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , cho AB = a, AC = a , mặt bên ( SBC ) tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy a/ Tính khoảng cách từ B đến mp( SAC ) b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng CB SA Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đều, D SBC có đường cao SH = a mp(SBC ) vng góc với mp( ABC ) Biết SB hợp với mp( ABC ) góc 300 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC c/ Lấy điểm E cạnh AB thỏa: BF = Tính khoảng cách từ điểm E đến BC mp( SAC ) Bài 8: Cho tứ diện ABCD có D ABC D BCD tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Biết AD = a a/ Tính thể tích khối tứ diện b/ Gọi G trọng tâm D BCD Tính khoảng cách điểm G đến mp( ACD ) Bài 9: Cho tứ diện ABCD có D ABC tam giác đều, D BCD tam giác vuông cân D Mặt phẳng ( ABC ) vng góc với mặt phẳng mp( BCD ) AD hợp với mp( BCD ) góc 600 , biết AD = a a/ Gọi G trọng tâm tam giác VBCD Tính khoảng cách từ G đến mp( ACD ) b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng CB SA Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a , hai mp( SAB ) mp( SAC ) vng góc với mp( ABC ) Gọi M trung điểm AB , mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mp( SBC ) mp( ABC ) 600 a/ Tính thể tích khối chóp S.BCNM b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) , cho BC = a , mặt bên ( SBC ) tạo với đáy ( ABC ) góc 600 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC b/ Trên cạnh AC lấy điểm D thỏa mãn: AD = AC Tính khoảng cách điểm D đến mp( SBC ) Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , mặt ( SAC ) ( SBD ) vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) , mặt bên ( SCD ) tạo với đáy góc 600 a/ Gọi G trọng tâm VSAB Tính khoảng cách điểm G đến mp( SAD ) b/ Tính khoảng cách đường thẳng SA BC � = 600 , I �BC I B = 2IC Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a , BSA a Tính thể tích khối chóp S.ABC thể tích khối chóp S.ABI b Tính khoảng cách từ điểm C đến mp( SAB ) c Tính khoảng cách đường thẳng SA BC Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao h , góc đỉnh mặt bên 600 a/ Tính thể tích khối chóp b/ Tính khoảng cách hình chiếu điểm S mp( ABC ) đến mp( SAB ) Bài 15: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 3a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ A đến mp( SBC ) Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC a/ Chứng minh: SA ^ BC b/ Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a c/ Tính khoảng cách từ I đến mp( SAB ) Bài 17: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A 'B 'C ' có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường thẳng AB A 'C a 15 a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' b/ Tính khoảng cách từ A đến mp( A 'BC ) Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Biết AB ' hợp với mặt bên ( BCC 'B ') góc 300 a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' b/ Tính khoảng cách từ C đến mp( AB 'C ') Bài 19: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác cạnh 4( cm) biết diện tích tam giác A 'BC 8( cm) a/ Tính thể tích khối tứ diện A 'CB 'C ' b/ Gọi G trọng tâm VAA 'C ' Tính khoảng cách từ G đến mp( BB 'C ) Bài 20: Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC a/ Mặt phẳng ( AMB ') chia khối lăng trụ ABC A 'B 'C ' thành phần Tính tỉ số phần b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , B 'C ...  d ( M , ( ))  MH - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song với chứa hai đường thẳng Tuy nhiên thực tế, tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo kỳ thi Đại học,... toán ta thường dùng phương pháp sau: - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d (a, b)  MN - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ đường thẳng đến... thứ hai để tính Bài tốn phát biểu dạng tổng quát sau: Cho đường thẳng b �( ) , a �( )  A , a b chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng a b Vấn đề đặt “Hãy trình bày quy trình thực cách thứ hai