Rèn tư duy cho học sinh phổ thông qua dạy giải bài tập mặt cầu, hình học nâng cao lớp 12

BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN - Năm học 2016 - 2017 năm học Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT Quốc Gia mơn tốn hình thức trắc nghiệm nên số nội dung giảng dạy theo phương pháp truyền thống khơng phù hợp, cần có hướng khai thác phát huy tư học sinh để đạt hiệu cao - Chuyên đề "Mặt cầu" nội dung quan trọng mơn hình học lớp 12 Nếu hệ thống tập khai thác sử dụng hợp lý rèn luyện cho học sinh khả phát triển tư biểu mặt như: khả tìm hướng (khả tìm nhiều lời giải khác cho tốn), khả tìm kết (khai thác kết toán, xem xét khía cạnh khác tốn), khả sáng tạo toán sở toán quen thuộc - Nhận thức tầm quan trọng vấn đề nêu nên tác giả chọn đề tài: " Rèn luyện tư cho học sinh thơng qua dạy giải tập mặt cầu, hình học nâng cao lớp 12" làm sáng kiến kinh nghiệm II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trước tạo sáng kiến chuyên đề giảng dạy theo hướng tự luận, tập trung nhiều vào toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp khơng có hệ thống, tập rời rạc khơng khai thác logic tính kế thừa qua toán Ưu điểm: Học sinh hiểu rõ phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Nhược điểm: - Chuyên đề mặt cầu chưa khai thác tính kế thừa tốn, mơ hình nhỏ mơ hình lớn ngược lại - Tập trung nhiều vào toán xác định tâm mặt cầu hình thức thi chủ yếu tập trung vào tốn tính tốn 2 Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Sau tạo sáng kiến chuyên đề giảng dạy theo hướng tự luận kết hợp trắc nghiệm, tập có tính hệ thống, khai thác logic tính kế thừa qua tốn - Học sinh hiểu rõ phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Học sinh nắm cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bản, từ mở rộng hình khác, khai thác tính kế thừa tốn, mơ hình nhỏ mơ hình lớn ngược lại Phần 1: Cơ sở lý thuyết Cơng thức tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu bán kính R ) VKC   R 3 ) S MC  4 R Khái niệm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Điều kiện để hình chóp nội tiếp mặt cầu Cách xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1A A n - Xác định điểm I cách tất điểm S, A1, A2, …,An Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có: R=SA1=SA2=…=SAn Trong q trình làm xác định điểm I phương pháp sau :  Phương pháp + Bước : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d (là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp O đáy vng góc với mặt đáy) + Bước : Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên (Q) + Bước : Xác định I=d  (Q) Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Phương pháp + Bước : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d1 + Bước 2: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác mặt bên d2 + Bước 3: Xác định I  d1  d2 Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lưu ý: + Phương pháp 1: có cạnh bên đồng phẳng với d cần dựng đường trung trực cạnh bên thay cho (Q) + Phương pháp 2: dễ dàng thực d1 d2 nằm mặt phẳng xác định Phần 2: Nội dung + Năm học 2016-2017 mơn Tốn kì thi THPT quốc gia thi hình thức trắc nghiệm, tốn chủ yếu tập trung vào việc tính tốn bán kính mặt cầu, thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Do SKKN tác giả tập trung chủ yếu vào việc giải tốn tính tốn bán kính mặt cầu, thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp để rèn luyện tư học sinh + Muốn tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ta phải tính kính mặt cầu; để giúp rèn luyện tư cho học sinh tác giả chia mơ hình bản; học sinh trước tiên phải hiểu cách tính bán kính mặt cầu mơ hình từ tác giả đưa tốn lớn có chứa đựng mơ hình để học sinh phát vấn đề giải vấn đề nhiều cách khác I DẠNG Hình chóp có trục đường tròn ngoại tiếp đáy đồng phẳng với cạnh bên Bài tốn Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy S M I C A O B Nhận xét: Trục đường tròn ngoại tiếp đáy d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy song song với cạnh bên vng góc với mặt đáy Do đó: -Tâm I giao điểm d đường trung trực cạnh bên vng góc với mặt đáy a2 -Bán kính mặt cầu: R  r  (Trong đó: r : bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, a : độ dài cạnh bên vng góc với mặt đáy) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , SA=2a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp trường hợp sau 1) AB=5a, AC=8a, BAC  600 2) Tam giác ABC vuông C, AC= 2a , BAC  600 Lời giải Trong ví dụ ta thấy hình chóp có SA  ( ABC ) nên ta cần biết độ dài cạnh SA bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, từ tính thể tich khối cầu S 1) C A B Ta có BC  AB  AC  AB AC.cos A = (5a)  (8a)  2.5a.8a.cos600 = 49a Suy BC=7a Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ta có BC a  2r nên r  sin A suy bán kính khối cầu ngoại tiếp S ABC R  61 183 Vậy VKC   R  a 54 SA2 49 61  r  a2  a2  a 12 2) S Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Vì tam giác ABC vng C nên bán r  AB  2a SA2 R  r  a  4a  a C A 20 Vậy VKC   R  a 3 B Lưu ý: Khi tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cần phải kiểm tra xem tam giác có đặc biệt hay khơng Nhận xét: Như ta biết cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Trong nhiều trường hợp hình chóp cho ban đầu cần tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khơng có kiện cạnh bên vng góc với đáy ta cần tìm cách để chuyển mơ hình cách vẽ lại hình mở rộng hình ban đầu Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, hai mặt phẳng (SAD) (SAB) vng góc với mặt đáy ; AB=BC=a, AD=SA=2a Gọi K trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDK S K A *Phân tích : B D C Ở ta dễ nhận thấy hình chóp S.CDK khơng có cạnh bên vng góc với mặt đáy dựa vào hình vẽ chứng minh CK  ( SAD) Do cần đổi đỉnh hình chóp thành C ta có tốn tương tự ví dụ 1.Ta có hình vẽ sau C K Lời giải D S Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp KSD   SA  2a  ; SD  2a Suy ra: Ta có: sin S KD  sin SKA SK a 5 r SD a 10  2sin SKD CK a 11 Vậy bán kính mặt cầu là: Rmc  r   2 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B,   SCB   900 , góc AB mp  SBC  300 Tính bán kính AB  2a, SAB mặt cầu ngoại tiếp S ABC S C A B *Phân tích : Ta dễ nhận thấy hình chóp S.ABC khơng có cạnh bên vng góc với mặt đáy dựa vào hình vẽ nhận thấy S.ABC phần hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng SD   ABCD  Ta có hình vẽ S D C M A B Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy cạnh bên a Gọi H, K hình chiếu O SC SD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.CDKH S K A H D O B C * Phân tích: Ta thấy hình chóp O.CDKH khơng có cạnh bên vng góc với đáy hình chóp C.ODK có CO   ODK  mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.CDKH mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.ODK Như ta quy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.ODK Cách 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.CDKH mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.ODK mà hình chóp C.ODK có CO   ODK  quy toán Cách 2: Chứng minh điểm O, H, K nhìn CD góc 900 Bài tốn 2: Hình chóp có mặt phẳng (P) chứa cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nằm giao tuyến  (P) mặt đáy * Nhận xét - Dựa vào tính chất hai mặt phẳng vng góc ta có đường thẳng  ' qua đỉnh vng góc với  vng góc với mặt đáy - Trục đường tròn ngoại tiếp đáy cắt cạnh bên hai cạnh bên hình chóp - Cách xác định tâm tính bán kính: + Trên  xác định điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Từ kẻ Ox song song với  ' suy ra: Ox trục đường tròn ngoại tiếp đáy + Giả sử (P) chứa SA: Gọi A’ điểm đối xứng với A qua O Khi tâm mặt cầu ngoại tiếp I trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAA’ bán kính mặt cầu bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAA’ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB=a, BC= a Hình chiếu vng góc S mặt đáy trùng với trọng tâm G tam giác ABC, biết góc SB mặt đáy 600 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải x S A B G O C 10 *Phân tích: (P) mặt phẳng chứa cạnh bên SB vng góc với mặt đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng giao tuyến GB nên ta giải tốn sau Gọi O trung điểm AC Do tam giác ABC vuông B suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Kẻ Ox song song với SG suy ra: Ox  (ABC) nên Ox trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S x Gọi D điểm đối xứng B qua O M Trong SBD kẻ My trung trực SB Gọi I  Ox  My Suy ra: I tâm mặt cầu I D O y Từ giả thiết ta có: SBG  600 , SG  GB tan 600  SD  SG  GD  Suy : Rmc  SI  G B 2a , 7a SD 21a  2sin 60 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh 2a, (SAC) vng góc với mặt đáy Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trường hợp sau : a) ASC  1200 b) ASC  900 S A D O B C 11 *Phân tích : Trong ví dụ (P) chứa hai cạnh bên SA, SC vng góc với mặt đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp đáy trung điểm AC Khi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC Lời giải a)Tâm mặt cầu I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ASC Rmc  AC 6a  2sin120 b)Tâm mặt cầu I trùng O (Vì tam giác ASC vuông S) *Một số lưu ý : Khi (P) chứa hai cạnh hình chóp tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có hai cạnh bên cạnh nằm giao tuyến (P) mặt đáy   600 , Ví dụ Cho hình chóp S ABCD , đáy hình thoi cạnh a, DCB SA  SB  SD  a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S BCD S C D I H A B Phân tích: Ta có mặt phẳng (SAC) chứa SC vng góc với đáy chứa tâm đường tròn ngoại tiếp BCD nên mp (SAC) chứa tâm mặt cầu ngoại tiếp S BCD mà H thuộc đường tròn ngoại tiếp BCD nên tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S BCD tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp SHC 12 Bài tốn Hình chóp có cạnh bên (hoặc cạnh bên tạo với mặt đáy góc nhau) Nhận xét: - Trục đường tròn đường thẳng qua đỉnh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Cách xác định tâm tính bán kính: Giả sử trục d SO, cạnh bên SA Trong (SAO) dựng trung trực My SA cắt SO I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp SA2 Ta có : SI.SO=SM.SA nên SI= 2SO l2 *Công thức tổng quát : Rmc  2h (Trong S M I O A l: độ dài cạnh bên; h: độ dài chiều cao hình chóp)  Một số lưu ý: - Nếu SO=OA I trùng O - Nếu SO > OA I nằm đoạn SO - Nếu SO < OA I nằm ngồi đoạn SO (trên tia đối tia OS) - Hình chóp trường hợp đặc biệt loại Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  a , AD  a Các cạnh bên hình chóp Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trường hợp sau: a) SB  2a b) SB  a c) SB  a 13 Lời giải Gọi O giao điểm AC BD S Suy ra: OA=OB=OC=OD Dễ dàng CM SO  ( ABCD) M Vậy SO trục đường tròn ngoại tiếp đáy I A a) SB  2a  SO  a D O B C SB 2 = a (I nằm đoạn SO) Rmc = 2SO b) SB  OB  a suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Rmc  a 2 c) SB  a  SO  a SB 3a = ( I nằm đoạn SO (trên tia đối tia OS)) Rmc = 2SO Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB=a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a? C' A' *Phân tích: Bài tốn u cầu tính bán kính mặt cầu ngoại B' tiếp hình tứ diện nằm hình lăng trụ cần dựa vào đề để xác định tính chất G hình vẽ sau vẽ hình chóp bên ngồi để thuận tiện A cho việc xác định tính tốn sau C D B Chúng ta dễ dàng chứng minh G.ABC hình chóp Từ ta vẽ hình chóp G.ABC có lời giải sau 14 G A C O B Gọi O tâm tam giác ABC Ta có GO trục đường tròn ngoại tiếp hình chóp G.ABC GA2 Rmc  2GO Ta có: GH  7a 7a AA ' a a ; GA2  Do đó: Rmc   ; AH  12 12 3 Ví dụ 10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a, a d  O,  SAD    Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD S H A D M O B C Như tốn cách xác định tính chất hình chóp có cạnh bên (hoặc cạnh bên hợp với mặt đáy góc nhau) đưa phương án tìm tâm cơng thức tổng qt để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 15 II DẠNG Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy  Phương pháp: Giả sử ta có (SAB) vng góc với mặt đáy + Gọi O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp đáy SAB ; H trung điểm AB Suy ra: O1H  AB O2 H  AB Mặt khác ta có: (SAB) vng góc với mặt đáy nên: O1H  ( SAB) O2 H  mặt đáy +Trong (O1HO2 ) : kẻ O1 x song song O2 H O2 y song song O1H Suy : O1 x  mặt đáy O2 y  ( SAB) Vậy O1 x O2 y trục đường tròn ngoại tiếp đáy SAB +Gọi I  O1x  O2 y Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Rmc  r12  r22  AB (trong : r1 , r2 bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy SAB ) x S y O2 I B C O1 H A Lưu ý - Nếu tâm O1 nằm AB O1 trùng H tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB - Nếu đáy tam giác đổi vị trí mặt đáy mặt bên ta có kết tương tự 16 Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trường hợp sau : a) ASB  b) AS B  900 Lời giải a) Rmc  r12  r22  AB b)Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O, Rmc  a 2 Ví dụ 12 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  AB  AC  a cạnh SC   SBC    ABC  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp a , S ABC A S B M C * Phân tích: SA  AB  AC  a nên chân đường cao trùng tâm đường tròn ngoại tiếp đáy mà  SBC    ABC  nên tâm mặt cầu trùng tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SBC vng S 17 Ví dụ 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAB vng S, SCD Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD S D A B C I Cách 1: Mặt cầu ngoại tiếp S ABCD mặt cầu ngoại tiếp D.SAC mà hình chóp D.SAC có DS  DA  DC  a nên ta quy mơ hình để làm Cách 2: Chứng minh  SAB    SCD  nên làm cách xác định trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB SCD III MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC Ví dụ 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  a , BC  3a Tam giác SBD vuông S Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ? *Phân tích : Ở ví dụ ta thấy khơng có dấu hiệu để sử dụng hai dạng đồng thời chưa dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy Do tim điểm cách tất đỉnh hình chóp cách sử dụng kiến thức lớp học kiến thức quan trọng học đường tròn ngoại tiếp đa giác điểm nhìn cạnh góc vng Lời giải 18 S A D O B C Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình chữ nhật tam giác SBD vng S nên ta có : OA  OB  OC  OD  OS Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính mặt cầu : Rmc  AC  2a Ví dụ 15 Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SA  a , AB  a, AC  2a ,   600 , H K hình chiếu A SB SC Tính thể tích khối BAC cầu ngoại tiếp A.BCKH S K H A C O B D * Hướng dẫn: Gọi D đối xứng A qua O khí ta chứng minh A.BCKH nội tiếp mặt cầu đường kính AD 19 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Gọi R bán kính , S diện tích V thể tích khối cầu Công thức sau sai? A S   R C V   R B S  4 R D 3V  S R Câu Cho mặt cầu  S1  có bán kính R1 , mặt cầu  S2  có bán kính R2 R2  R1 Tỉ số diện tích mặt cầu  S2  mặt cầu  S1  1 A B C D 4 Câu Cho hình cầu có bán kính R Tính diện tích mặt cầu cho A 4 R B 2 R C  R D 6 R Câu Cho hình cầu có bán kính R Tính thể tích khối cầu cho A 4 R B 3 R3 C 2 R D 3 R Câu Gọi  S  mặt cầu có tâm O bán kính R ; d khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) , với d=8 12B6 38 giải hay, mạch lạc 25 15 làm tốt 25 Đối với lớp 12B3 trường THPT Giao Thủy không dạy thử nghiệm kết đạt sau: Lớp Sĩ số Số học sinh Số học sinh có cách Số học sinh có kĩ đạt điểm >=8 12B3 36 giải hay, mạch lạc 24 làm tốt ... nhỏ giải vấn đề dạy học theo định hướng rèn luyện tư học sinh Năm học 2016 - 2017 dạy thử nghiệm lớp 12B6 trường THPT Giao Thủy kết đạt sau: Lớp Sĩ số Số học sinh Số học sinh có cách Số học sinh. .. tích khối cầu, diện tích mặt cầu ta phải tính kính mặt cầu; để giúp rèn luyện tư cho học sinh tác giả chia mơ hình bản; học sinh trước tiên phải hiểu cách tính bán kính mặt cầu mơ hình từ tác... phương pháp làm tốn hình học khơng gian, giúp học sinh học hình khơng gian hứng thú, đặc biệt có hiệu học sinh lớp 12 học sinh ôn thi THPT quốc gia - Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho giáo viên tiếp