Luận văn về tính trực giao birkhoff

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ ÁNH VỀ TÍNH TRỰC GIAO BIRKHOFF LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ ÁNH VỀ TÍNH TRỰC GIAO BIRKHOFF Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn này! Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả NGUYỄN THỊ ÁNH i Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Trong trình nghiên cứu hồn thành luận văn tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ánh ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclid 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Tích vơ hướng tính trực giao 1.4 Nửa tích vơ hướng Tính trực giao Birkhoff 10 2.1 Trực giao Birkhoff 11 2.2 Trực giao Birkhoff trực giao nửa tích vơ hướng 18 2.3 Đặc trưng theo trực giao Birkhoff 25 2.4 Định lý phân tích trực giao Birkhoff 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 iii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Tính trực giao vấn đề quan trọng lý thuyết khơng gian tích vơ hướng Những định lý quan trọng dựa vào lý thuyết có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu phát triển Tính trực giao nhìn nhiều góc độ khác xét không gian khác có nhiều khái niệm trực giao đề xuất nghiên cứu Trong không gian định chuẩn tính trực giao cần hiểu theo khía cạnh khác tổng quát Tính trực giao Birkhoff (được đề xuất G Birkhoff lần đầu vào năm 1935) từ có nhiều hướng nghiên cứu mở rộng khái niệm khai thác ứng dụng lĩnh vực Tốn học nói riêng tốn thực tế nói chung Với mong muốn hiểu biết sâu tính trực giao, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài cho luận văn là: Về tính trực giao Birkhoff Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trực giao Birkhoff, đặc trưng số ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày cách có hệ thống trực giao Birkhoff khơng gian định chuẩn số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Không gian tuyến tính định chuẩn - Khơng gian tích vơ hướng - Trực giao Birkhoff - Một số đặc trưng trực giao Birkhoff ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Tìm tài liệu, sách, báo liên quan đến kết có tính trực giao Birkhoff không gian định chuẩn để nhận nghiên cứu trực giao Birkhoff Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống trực giao Birkhoff không gian định chuẩn ứng dụng Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Chương Kiến thức chuẩn bị (Kiến thức chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [9].) Chương dành cho việc trình bày số khái niệm dùng suốt luận văn 1.1 Không gian Euclid Định nghĩa 1.1.1 Cho V không gian véc tơ trường R Một tích vơ hướng V ánh xạ xác định sau: , : V × V → R, (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau: i x, x ≥ 0, với x ∈ V ; x, x = x = ii kx, y = k x, y với x, y ∈ V, ∀k ∈ R iii x + x, , y = x, y + x, , y , ∀x, x, , y ∈ V iv x, y = y, x , ∀x, y ∈ V Định nghĩa 1.1.2 Không gian véc tơ V trường số thực R có trang bị tích vơ hướng , gọi khơng gian véc tơ Euclid Kí hiệu: E = (V, , ) với tích vơ hướng , Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) |xi ∈ R}) Với x = n (x1 , x2 , , xn ) , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ta định nghĩa x, y = xi y i i=1 Đây tích vơ hướng Rn E = (Rn , , ) khơng gian véc tơ Euclid Định lí 1.1.4 Cho E khơng gian Euclid Khi với ∀x, y ∈ E ta ln có | x, y | ≤ x y Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.5 Giả sử E không gian véc tơ Euclid Khi đó: ∀x, y ∈ E : x − y ≤ x − y ≤ x + y Định nghĩa 1.1.6 Giả sử V không gian véc tơ trường R, tập C V gọi nón lồi với với vơ hướng dương α, β ∈ R với x, y ∈ C ta ln có αx + βy ∈ C 1.2 Không gian định chuẩn (Trong luận văn xét không gian định chuẩn thực) Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian véc tơ trường số R ánh xạ : X → R Ta nói chuẩn X thỏa mãn tính chất sau: x ≥ 0, với x ∈ X x = ⇔ x = kx = |k| x , với x ∈ X, k ∈ R x + y ≤ x + y , với x, y ∈ X Nếu chuẩn X, ta nói (X, ) khơng gian véc tơ định chuẩn (còn đọc tắt khơng gian định chuẩn) Nếu , tích vơ hướng X ánh xạ x → x, x chuẩn X, gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Ví dụ 1.2.2 Không gian R2 với metric: d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | 2 d2 (x, y) = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) d∞ (x, y) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} x = (x1 , x2 ) y = (y1 , y2 ), x, y ∈ R2 sinh chuẩn tương ứng sau: x−y x−y x−y = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | 2 ∞ = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} Mệnh đề 1.2.3 Cho không gian định chuẩn (X, ) trường số R dãy {xn } , {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ R cho lim xn = x, lim yn = n→∞ y, lim λn = λ Khi đó: n→∞ n→∞ vô hướng 2.2 Trực giao Birkhoff trực giao nửa tích vơ hướng Trong phần này, xét đến tương đương trực giao Birkhoff trực giao nửa tích vơ hướng Nói chung có nhiều nửa tích vơ hướng khác thiết lập chuẩn khơng gian định chuẩn Mỗi nửa tích vơ hướng dẫn tới tính trực giao nửa tích vơ hướng, có nhiều tính trực giao nửa tích vơ hướng khác không gian định chuẩn Cho (X, ) không gian định chuẩn, [.|.] nửa tích vơ hướng X sinh chuẩn (xem Mục 1.4), x, y ∈ X, G tập khác trống X Như ta biết x trực giao với y, x trực giao với G kí hiệu tương ứng x ⊥ y([.|.]) x ⊥ G([.|.]) Từ đó: x ⊥ y([.|.]) [y|x] = 0, x ⊥ G([.|.]) [y|x] = với y ∈ G Phần bù trực giao G y ký hiệu tương ứng G⊥ ([.|.]) y ⊥ ([.|.]) Như vậy: G⊥ ([.|.] := {x ∈ X : x ⊥ G([.|.])}, G⊥ ([.|.] := {x ∈ X : x ⊥ G([.|.])}, 18 Hơn G⊥ ([.|.]) = y ⊥ ([.|.]) Kết sau rằng, trực giao y∈G nửa tích vơ hướng ln trực giao Birkhoff Định lí 2.2.1 Cho (X, ) khơng gian định chuẩn, [.|.] nửa tích vơ hướng X sinh chuẩn , x, y ∈ X Nếu x ⊥ y([.|.]), ta có x ⊥ y(B) Chứng minh Giả sử x ⊥ y([.|.]) Nếu x = 0, kết tầm thường Nếu x = 0, với α ∈ R, ta có: x = [x|x] = [x + αy|x], [y|x] = x x x + αy , x + αy , tức x ⊥ y(B) Chúng ta nhận thấy kết ngược định lí nói chúng khơng Ta xét ví dụ minh họa sau Ví dụ 2.2.2 Xét không gian chuẩn thực (R3 , ), |xk | với x = (s1 , x2 , x3 ) ∈ R3 = k=1 Khi đó: [x|y] = y k=1,y = xk yk , x, y ∈ R3 yk nửa tích vơ hướng R3 sinh chuẩn Xét phần tử 19 x = (1, 1, 0) y = (1, 0, 0) R3 Ta có y y = αx = (1 + α, α, 0) y + αx = |1 + α| + |α| Bây giờ: y =1 |1 + α| + |α| = y + αx với α ∈ R y ⊥ x(B) Tuy nhiên, [x|y] = = 0, điều chứng tỏ y không trực giao nửa tích vơ hướng với x Định lí 2.2.1 Ví dụ 2.2.2 rằng: thơng thường trực giao Birkhoff trực giao nửa tích vơ hướng không tương đương không gian chuẩn Tuy nhiên, ta thấy kết đây, ln tồn tai mơt nửa tích vơ hướng khơng gian chuẩn sinh chuẩn, nửa tích vơ hướng quan hệ trực giao tương ứng tương đương với trực giao Birkhoff Định lí 2.2.3 Cho (X, ) không gian định chuẩn x, y ∈ X Nếu x ⊥ y(B), tồn nửa tích vơ hướng [.|.] X sinh chuẩn cho x ⊥ y([.|.]) Chứng minh Giả sử x ⊥ y(B) Nếu x = 0, kết Nếu x = 0, xét không gian M := span{y} ⊕ span{x} tổng trực tiếp 20 span{y} span{x}, X Định nghĩa phiếm hàm g : M −→ R với g(m) = λ x , m = z + λx với z ∈ span{y} λ ∈ R Xét m = z + λx m = z + λ x nằm M , với z, z ∈ spany λ, λ ∈ R Nếu m = m ta có z − z = (λ − λ)x vơi x khác x ∈ X, z − z ∈ span y (λ − λ)x ∈ span{x} Do M tổng trực tiếp hai không gian con, nên ta có λ − λ = 0, λ x = λ x Như g xác định M Hơn nữa, với moi µ, µ ∈ R, ta có: g(µm + µm ) = g((µz + µ z ) + (µλ + µ λ )x) = (µλ + µ λ ) x , µz + µ z ∈ span{y} = µλ x +µλ x = µg(m) + µ g(m ), tức g tuyến tính M Hơn nữa, g(x) = g(0 + 1.x) = x , g(y) = g(y + 0.x) = Bây với m = z + λx ∈ M , z ∈ span{y} = λ ∈ R, 21 ta có: g(m) |λ| x = m z + λx x = x + λ1 z x = với µ ∈ R, z ∈ span{y} x + µλ y x x ⊥ y(B) x = x , |g(m)| x m Khi g bị chặn M g x Mặt khác, g thực tế g x |g(x)| = x x = x , = x Do vậy, theo Định lý thác triển Hahn- Banach, tồn phiếm hàm f ∈ X ∗ thác triển g X cho f = g = x Khi đó, x, y ∈ M , f (x) = g(y) = x f (y) = g(y) = nên f ∈ J (x), J ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa X Do J (0) = {0}, nên J (x) tập khác trống X ∗ với x ∈ X, {J (x)}x∈X lớp khác trống gồm tập khác trống Khi đó, theo tiên đề chọn, ta thiết lập tập chứa phần tử từ tập J (x), ký hiệu fx Điều xác định phần J˜ : X → X ∗ J xác định J˜(x) = fx với x ∈ X Vì fx thác triển Hahn-Banach g ∈ M ∗ tới X, 22 x, y ∈ M , ta có fx (x) = g(x) = x fx (y) = g(y) = Do đó, [u|v] := ((J˜(v))(u), u, v ∈ X nửa tích vơ hướng X sinh chuẩn Kết là, [y|x] = (J˜(x))(y) = fx (y) = 0, x ⊥ y([.|.]), định lí chứng minh Kết hợp với Đinh lí 2.2.1 Định lí 2.2.3 xây dựng mối liên quan xác trực giao Birkhoff với trực giao liên quan tới nửa tích vơ hướng định lý sau Định lí 2.2.4 Cho (X, ) không gian định chuẩn, x, y ∈ X Khi mệnh đề sau tương đương: (a) x ⊥ y(B); (b) Tồn nửa tích vơ hướng [.|.] X sinh chuẩn cho x ⊥ y([.|.]) Chứng minh Chứng minh chiều (a)⇒ (b) đươc suy Định lí 2.2.3 chứng minh chiều (b)⇒ (a) suy Định lí 2.2.1 Chú ý 2.2.5 Định lí trên không gian định chuẩn (X, ), tồn nửa tích vô hướng sinh chuẩn , nửa tích vơ hướng trực giao Birkhoff trực giao nửa tích vơ hướng tương đương với Tuy nhiên, nửa tích vô hướng không thiết (xem chứng minh Định lý 2.2.3) Do tính thác triển Hahn-Banach nói chung khơng bảo đảm 23 trường hợp X không gian định chuẩn Trong trường hợp khơng gian định chuẩn tồn nửa tích vơ hướng (ví dụ khơng gian định chuẩn trơn) trực giao Birkhoff khơng khác với trực giao nửa tích vơ hướng Ký hiệu J (X) lớp tất nửa tích vơ hướng khơng gian định chuẩn X sinh chuẩn X Khi ta có hệ Định lý 2.2.4 ta có hệ sau Hệ 2.2.6 Cho (X, ) khơng gian định chuẩn, [.|.] nửa tích vô hướng X sinh chuẩn Khi có khẳng định sau: (a) Nếu y ∈ X y ⊥ (B) = y ⊥ ([.|.]); [.|.]∈J (X) (b) Nếu G tập khác trống X, ta có G⊥ (B) = (X)G⊥ ([.|.]) [.|.]∈J (X) Chứng minh (a) Theo Định lí 2.2.4 : x ∈ y ⊥ (B) ⇔ x ⊥ y(B) ⇔ x ⊥ y([.|.]) với [.|.] ∈ J (X) ⇔ x ∈ y ⊥ ([.|.]) với [.|.] ∈ J (X) y ⊥ ([.|.]), ⇔x∈ [.|.]∈J (X) (a) chứng minh 24 (b) Ta có: y ⊥ (B) G⊥ (B) = y∈G y ⊥ ([.|.]) theo (a) = y∈G [.|.]∈J (X) y ⊥ ([.|.]) = [.|.]∈J (X) y∈G G⊥ ([.|.]), = [.|.]∈J (X) tức (b) xác định Chú ý 2.2.7 Cho (X, ) không gian định chuẩn Nếu trực giao Birkhoff X tương đương với quan hệ trưc giao với số nửa tích vơ hướng [.|.] X sinh chuẩn , đó: (i) y ⊥ (B) = y ⊥ ([.|.]) với y ∈ X, (ii) G⊥ (B) = G⊥ ([.|.]) với tập khác trống G X 2.3 Đặc trưng theo trực giao Birkhoff Trong phần trình bày số kết mơ tả xấp xỉ tối ưu khơng gian định chuẩn theo tính trực giao Birkhoff Xin bỏ qua phần chứng minh chi tiết kết Định lí 2.3.1 Cho (X, ) không gian định chuẩn, M không gian X, z ∈ X K = z + M Giả sử có x ∈ X y0 ∈ K Khi mệnh đề sau tương đương: 25 (a) y0 ∈ PK (x); (b) x−y0 −λ(z+y−y0 ) ∈ M ⊥ (B) với y ∈ M với λ ∈ [0, 1]; (c) x − y0 ∈ M ⊥ (B) Ở đây, với không gian định chuẩn X F ⊂ X, PF (x) = {y ∈ F : x − y = dist(x, F )} Như hệ định lí trên, có kết sau khơng gian Hệ 2.3.2 Cho (X, ) không gian định chuẩn, M không gian X, x ∈ X, y0 ∈ M Khi mệnh đề sau tương đương: (a) y0 ∈ PM (x); (b) x − y0 − λ(y − y0 ) ∈ M ⊥ (B) với y ∈ M với λ ∈ [0, 1]; (c) x − y0 ∈ M ⊥ (B) Chứng minh Kết đạt cách cho z = Định lí 2.3.1 Định lí 2.3.3 Cho (X, ) không gian định chuẩn, M không gian X, x ∈ X y0 ∈ M Khi y0 ∈ PM (x) x − y0 ⊥ M (B) Chứng minh Từ quan hệ (a) ⇔ (c) Hệ 2.3.2, có: y0 ∈ PM (x) ⇔ (x − y0 ) ∈ M ⊥ (B) 26 Tuy nhiên, (x−y0 ) ∈ M ⊥ (B) ⇔ (x−y0 ) ⊥ y(B) với y ∈ M ⇔ (x−y0 ) ⊥ M (B) 2.4 Định lý phân tích trực giao Birkhoff Mục dành cho việc trình bày số định lý phân tích trực giao Birkhoff hệ chúng Xin bỏ qua phần chứng minh chi tiết kết Định lí 2.4.1 Cho (X, ) không gian định chuẩn, M không gian X, z ∈ X, M = z + M Khi M gần kề X = M + M ⊥ (B) Chúng ta có kết sau cho khơng gian hệ định lí Hệ 2.4.2 Cho (X, ) không gian định chuẩn, M không gian X Khi M gần kề X−M +M ⊥ (B) Chứng minh Kết đạt cách cho z = Định lý 2.4.1 Sau xét số kết không gian định chuẩn phản xạ Các kết cho ta đặc trưng không gian đóng khơng gian định chuẩn phản xạ theo trực giao Birkhoff 27 Định lí 2.4.3 Cho (X, ) không gian định chuẩn phản xạ, M khơng gian X Khi M đóng X = M + M ⊥ (B) Nếu không gian định chuẩn phản xạ định lí lồi ngặt, phân tích khơng gian thành tổng tổng môt tổng trực tiếp Kết cho ta đặc trưng khơng gian đóng khơng gian định chuẩn phản xạ lồi ngặt theo trực giao Birkhoff Định lí 2.4.4 Cho (X, ) không gian định chuẩn phản xạ lồi ngặt, M khơng gian X Khi M đóng X = M ⊕ M ⊥ (B) Chú ý 2.4.5 Đối với không gian định chuẩn phản xạ, Đinh lí 2.4.3 xem định lí chiếu theo trực giao Birkhoff Ta có nhận xét tương tự Định lí 2.4.4 trường hợp không gian định chuẩn phản xạ lồi ngặt Chú ý rằng, kết Định lý 2.4.3 Định lý 2.4.4 khơng ta xét không gian định chuẩn không phản xạ Bây xét thêm vài hệ định lý phân tích trực giao Birkhoff Như trên, kết trình bày suy từ kết tương ứng trực giao nửa tích vơ hướng với trợ giúp Định lí 2.2.4 Trước hết hệ không gian gần kề Hệ 2.4.6 Cho (X, ) không gian định chuẩn M không gian gần kề X Khi M trù mật X M ⊥ (B) = {0} 28 Và sau hệ tương ứng không gian trù mật không gian định chuẩn phản xạ theo trực giao Birkhoff Hệ 2.4.7 Cho (X, ) không gian định chuẩn phản xạ M không gian X Khi M trù mật X M ⊥ (B) = {0} 29 Kết luận Tính trực giao vấn đề quan trọng lý thuyết khơng gian tích vơ hướng Những định lý quan trọng dựa vào lý thuyết có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu phát triển Tính trực giao nhìn nhiều góc độ khác xét khơng gian khác có nhiều khái niệm trực giao đề xuất nghiên cứu Trong khơng gian định chuẩn tính trực giao cần hiểu theo khía cạnh khác tổng qt Luận văn nhằm trình bày cách có hệ thống số vấn đề sau: a) Khái niệm số tính chất trực giao Birkhoff không gian định chuẩn thực b) Xem xét tương đương tính trực giao Birkhoff tính trực giao nửa tích vơ hướng c) Trính bày số định lý phân tích trực giao Birkhoff hệ Tuy nhiều hạn chế song hi vọng kết đạt luận văn tài liệu tham khảo tốt cho nghiên cứu mở rộng Rất cảm ơn độc giả theo dõi luận văn mong quý độc giả đóng góp ý kiến để luận văn thêm hồn thiện 30 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Hồng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] J Alonso, H Martini and S Wu (2012), On Birkhoff orthogonality and isosceles orthogonality in normed linear spaces, Aequationes Math 83, pp.153 – 189 [4] C Benítez, M Fernández, M.L Soiriano (2007), Orthogonality of matrices, Linear Algebra Appl.422, pp.155 – 163 [5] G Birkhoff (1935), Orthogonality in linear metric spaces, Duke Math J., 1, pp 169–172 [6] J Chmielinski (2005), On an −Birkhoff orthogonality, J Inerqual Pure Appl Math 6, Article 79 31 [7] J Chmielinski and P Wójcik (2013), ρ−orthogonality and its preservation-revisited, in: Recent Developments in Functional Equations and Inerqualities, Banach Center Publ., Vol 99, pp 17-30 [8] J Chmielinski, S Tomasz, P Wójcik (2017), Approximate orthogonality in normed spaces and its applications, Linear Algebra and its applications Appl.531, pp.305 – 317 [9] S.S Dragomir (2004), Semi-Inner Products and Applications, Nova Science Publishers, Inc., Hauppauge, NY [10] R.C.James (1945), Orthogonality in normed linear spaces, Duke Math, J.12, pp 291 – 301 [11] R.C.James (1947), Orthogonality and linear functionals in normed linear spaces, Trans Amer Math, Soc 61, pp 265 – 292 [12] B Mojskerc, A Turnsek (2010), Mappings approximately preserving orthogonality in normed spaces, Non–linear Anal 73, pp.3821 – 3831 [13] L Singer (1970), Best approximation in normal linear spaces by elements of linear subspaces, Grundlehren Math Wiss., Vol 171, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 32 ... kiểu trực giao xuất như: trực giao Birkhoff, trực giao cân, trực giao Phytago, trực giao Singer, trực giao Robert, trực giao nửa tích vơ hướng Trong luận văn này, trước hết xét tới trực giao Birkhoff, ... vơ hướng tính trực giao 1.4 Nửa tích vơ hướng Tính trực giao Birkhoff 10 2.1 Trực giao Birkhoff 11 2.2 Trực giao Birkhoff trực giao nửa... G Birkhoff vào năm 1935 từ nhiều nhà Toán học quan tâm mở rộng theo hướng khác trực giao Birkhoff - James, - trực giao Birkhoff, ρ - trực giao Sau luận văn xem xét tới tính tương đương trực giao