Luận văn ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HIỀN MA TRẬN DƯƠNG VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HIỀN MA TRẬN DƯƠNG VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Tuấn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu để em hoàn thành luận văn Em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới q thầy, giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em mặt suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong ý kiến đóng góp từ Thầy, Cơ giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018 Trần Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn trực tiếp TS Hồng Ngọc Tuấn Luận văn khơng trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Thu Hiền Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU MA TRẬN DƯƠNG 1.1 Các đặc trưng 1.2 Một số định lý 1.3 Ma trận khối 14 1.4 Chuẩn tích Schur 19 1.5 Tính lồi tính đơn điệu 21 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 26 2.1 Sự biểu diễn 26 2.2 Ánh xạ tuyến tính dương 28 2.3 Một số tính chất ánh xạ tuyến tính dương 30 2.4 Một số ứng dụng 2.5 Ánh xạ dương hệ toán tử 38 35 KẾT LUẬN 43 Tài liệu tham khảo 44 LỜI MỞ ĐẦU Trong toán học, đặc biệt lĩnh vực đại số tuyến tính ứng dụng, giải tích ma trận nghiên cứu ma trận tính chất đại số chúng Một số chủ đề bật kể đến, phép tốn ma trận, hàm ma trận giá trị riêng ma trận Giải tích ma trận sử dụng hầu hết lĩnh vực khoa học, từ phương trình vi phân, xác suất thống kê, tối ưu, kinh tế lượng tới lĩnh vực ứng dụng đại khai thác liệu nhận dạng mẫu Trong giải tích ma trận, lý thuyết ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương có nội dung phong phú Các định lý lý thuyết không phức tạp chứng minh song có ứng dụng mạnh lý thuyết đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu, Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương giúp ta giải nhiều toán thực tế Hiện nay, lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Với mong muốn tìm hiểu sâu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương, hướng dẫn TS Hồng Ngọc Tuấn, chọn đề tài “Ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương ” để thực luận văn Mục đích luận văn hệ thống hóa tính chất, kết nghiên cứu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương Với nội dung nghiên cứu này, ngồi phần lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương Ma trận dương Trong chương này, ta nghiên cứu ma trận dương Cụ thể, trước tiên luận văn trình bày đặc trưng LỜI MỞ ĐẦU ma trận dương Tiếp đó, ta nghiên cứu số định lý |A| A∗ ma trận khối Từ đây, với ma trận A, ma trận dương A |A∗ | Ngoài ra, luận văn quan tâm đến Định lý Schur Cuối chương, ta đến với định lý tính lồi tính đơn điệu hàm f (A) = Ar Chương Ánh xạ tuyến tính dương Ta nghiên cứu ánh xạ tuyến tính khơng gian ma trận Trước tiên, luận văn trình bày biểu diễn Mn Mk khái niệm ánh xạ tuyến tính dương unita Tiếp đó, ta nghiên cứu số tính chất ánh xạ dương unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye Từ đây, ta thu Φ = Φ(I) , xem kết chương Sau cùng, số ứng dụng vài định lý ánh xạ dương hệ toán tử quan tâm Chương MA TRẬN DƯƠNG Trong chương này, ta nghiên cứu ma trận dương Cụ thể, trước tiên luận văn trình bày đặc trưng ma trận dương Tiếp đó, ta nghiên cứu số định lý ma trận khối Từ đây, với |A| A∗ ma trận A, ma trận dương Ngoài ra, luận văn A |A∗ | quan tâm đến Định lý Schur Cuối chương, ta đến với định lý tính lồi tính đơn điệu hàm f (A) = Ar Tài liệu tham khảo cho chương [1], [2], [7] [8] 1.1 Các đặc trưng Cho H khơng gian Hilbert n chiều Cn Tích hai véc-tơ x y viết x, y (hay x∗ y ) Ta quy ước tích tuyến tính liên hợp theo biến thứ tuyến tính theo biến thứ hai Đồng thời ta ký hiệu: L(H) khơng gian tất tốn tử tuyến tính H Mn (C) (hay viết gọn Mn ) không gian ma trận cỡ n × n với phần tử phức Mỗi phần tử A L(H) đồng với ma trận sở chuẩn tắc {ej } Cn Ta sử dụng ký hiệu A cho ma trận Trước đến đặc trưng ma trận dương, ta bắt đầu với định nghĩa sau đây: Chương MA TRẬN DƯƠNG Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A ma trận Khi đó, (1) A gọi nửa xác định dương (positive semi-definite) x, Ax ≥ 0, ∀x ∈ H; (2) (1.1) A gọi xác định dương (positive definite) x, Ax > 0, ∀x = (1.2) Nhận xét 1.1.2 Một ma trận nửa xác định dương xác định dương khả nghịch Sau đây, ma trận xác định dương nửa xác định dương, gọn, ta dùng thuật ngữ ma trận dương (positive matrix ) Còn muốn nhấn mạnh rằng, ma trận ma trận xác định dương, đơi khi, ta nói ma trận dương chặt (strictly positive matrix ) Ta ký hiệu A ≥ O để A ma trận dương A > O để ma trận dương chặt Cho A tốn tử khơng gian Hilbert H, tốn tử liên hợp A toán tử A∗ : H −→ H cho x, Ay = A∗ x, y với x, y ∈ H Mệnh đề sau nói đến đặc trưng ma trận dương ma trận dương chặt Mệnh đề 1.1.3 Cho A ma trận Khi đó, (a) A dương Hermitian (A = A∗ ) tất giá trị riêng khơng âm; A dương chặt tất giá trị riêng dương (b) A dương Hermitian tất định thức khơng âm; A dương chặt tất định thức dương (c) A dương A = B ∗ B với ma trận B đó; A dương chặt B không suy biến (non-singular) Chương MA TRẬN DƯƠNG (d) A dương A = T ∗ T với ma trận tam giác T Hơn nữa, T chọn để có phần tử đường chéo khơng âm Nếu A ma trận dương chặt, T (Khai triển Cholesky A); A dương chặt B không suy biến (e) A dương A = B với ma trận dương B Như thế, B Ta viết B = A1/2 gọi bậc hai (dương) A; A dương chặt B (f) A dương tồn x1 , , xn H cho aij = xi , xj ; (1.3) A dương chặt véc-tơ xj (1 ≤ j ≤ n) độc lập tuyến tính Trong mệnh đề ta chứng minh ý thứ đặc trưng (f) Chứng minh (f) Trước hết, ta xem phần tử Cn véc-tơ cột Giả sử x1 , , xm véc-tơ thế, ta viết [x1 , , xm ] để ma trận cỡ n × m mà cột x1 , , xm Liên hợp ma trận viết sau   x∗1       x∗m Đó ma trận cỡ m × n mà dòng véc-tơ (dòng) x∗1 , , x∗m Ta ký hiệu [[aij ]] để ma trận với số i, j có phần tử aij Tiếp theo, giả sử x1 , , xn phần tử Cn Khi đó, ta có   x∗1 .  [[x∗i xj ]] =    [x1 , , xn ] x∗n Từ đây, có dạng B ∗ B nên ma trận dương Điều chứng tỏ rằng, (1.3) điều kiện đủ A ma trận dương Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Có thể nói ánh xạ dương xem tốn tử lấy trung bình (ma trận) khơng giao hốn Giả sử C(X) khơng gian hàm liên tục không gian metric compact Cho ϕ hàm tuyến tính C(X) Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn độ đo có dấu µ X cho ϕ(f ) = f dµ (2.3) Hàm tuyến tính ϕ gọi dương ϕ(f ) ≥ với hàm không âm f (theo điểm) Với ϕ vậy, độ đo µ độ đo dương Nếu ϕ ánh xạ từ hàm f ≡ đến số 1, ϕ gọi unita, µ độ đo xác suất Tích phân (2.3) viết sau ϕ(f ) = Ef, (2.4) gọi kỳ vọng (expectation) f Mỗi hàm tuyến tính, unita, dương C(X) kỳ vọng (đối với độ đo xác suất µ) Do đó, ánh xạ tuyến tính, unita, dương Φ xem hệ mơ hình hóa khơng giao hốn (noncommutative analogue) ánh xạ kỳ vọng 2.3 Một số tính chất ánh xạ tuyến tính dương Trong mục này, luận văn trình bày số tính chất quan trọng ánh xạ dương thông qua định lý bất đẳng thức Kadison, Định lý Choi Định lý Russo-Dye Bổ đề 2.3.1 Mỗi ánh xạ tuyến tính dương bảo toàn liên hợp, tức Φ(T ∗ ) = Φ(T )∗ Chứng minh Ta Φ(A) Hermitian A Hermitian Mỗi ma trận Hermitian A có phân tích Jordan (Jordan decomposition) A = A+ − A− A± ≥ O 30 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Do Φ(A) = Φ(A+ ) − Φ(A− ) hiệu số hai ma trận dương Từ đó, ta có Φ(A) Hermitian Mặt khác, ma trận T có phân tích Cartesian (Cartesian decomposition) T = A + iB, A, B Hermitian Thành thử Φ(T )∗ = Φ(A) − iΦ(B) = Φ(A − iB) = Φ(T ∗ ) Và điều cần chứng minh Định lý 2.3.2 (Bất đẳng thức Kadison) Giả sử Φ dương unita Khi Φ(A)2 ≤ Φ(A2 ), (2.5) với Hermitian A Chứng minh Trước hết, theo định lý phổ, ta có A = λj Pj , λj giá trị riêng A Pj phép chiếu tương ứng thỏa mãn Pj = I Khi A2 = λ2j Pj Φ(A) = λj Φ(Pj ), Φ(A2 ) = λ2j Φ(Pj ), Φ(Pj ) = I Tiếp theo, Pj dương, nên Φ(Pj ) dương Từ Φ(A2 ) Φ(A) Φ(A) I λ2j λj = λj ⊗ Φ(Pj ) Vì số hạng tổng cuối dương, tổng dương Cuối cùng, theo Định lý 1.3.6 ta có Φ(A2 ) ≥ Φ(A)I −1 Φ(A) = Φ(A)2 31 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Định lý chứng minh Định lý 2.3.3 (Choi) Giả sử Φ dương unita Khi Φ(A)Φ(A∗ ) ≤ Φ(A∗ A), Φ(A∗ )Φ(A) ≤ Φ(A∗ A), (2.6) với ma trận chuẩn tắc A Chứng minh Một cách tương tự phần chứng minh Định lý 2.3.2, ta có A= A∗ = λj Pj , λ j Pj A∗ A = |λj |2 Pj Như Φ(A∗ A) Φ(A) Φ(A∗ ) I |λj |2 λj = λj ⊗ Φ(Pj ) dương Từ đó, với ma trận chuẩn tắc A, ta có Φ(A∗ A) ≥ Φ(A)Φ(A∗ ) Φ(A∗ A) ≥ Φ(A∗ )Φ(A) Định lý 2.3.4 (Bất đẳng thức Choi) Giả sử Φ dương chặt unita Khi Φ(A)−1 ≤ Φ(A−1 ), (2.7) với ma trận dương chặt A Chứng minh Cũng tương tự phần chứng minh Định lý 2.3.2, ta có A= λj Pj với λj > Thế A−1 = λ−1 j Pj Φ(A−1 ) I I Φ(A) λ−1 j = 32 λj ⊗ Φ(Pj ), Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG dương Do đó, theo Định lý 1.3.6 ta nhận Φ(A−1 ) ≥ Φ(A)−1 Định lý chứng minh Định lý 2.3.5 (Russo-Dye) Nếu Φ dương unita, Φ = Chứng minh (Cách ) Giả sử U unita, trước hết ta Φ(U ) ≤ Trong trường hợp này, giá trị riêng λj số phức có mơ đun Vì thế, từ U = I Φ(U ) Φ(U )∗ I λj Pj ta có λj = λj ⊗ Φ(Pj ) ≥ O Do đó, theo Mệnh đề 1.3.3 ta nhận Φ(U ) ≤ Bây giờ, A phép co bất kỳ, ta viết A = (U + V ), U, V unita (Sử dụng phân tích giá trị suy biến A, đồng thời để ý ≤ s ≤ 1, ta có s = (eiθ + e−iθ ) với θ đó.) Vì thế, ta có Φ(U + V ) ≤ ( Φ(U ) + Φ(V ) ) ≤ Φ(A) = Suy Φ ≤ Nhưng Φ unita, nên Φ = (Cách ) Cho A ≤ Khi đó, A có phép giãn unita (unitarily dilation) A A= A −(I − AA∗ )1/2 (I − A∗ A)1/2 A∗ (2.8) Tiếp theo, giả sử Ψ ánh xạ nén (compression map) từ việc lấy ma trận cỡ 2n × 2n co thành ma trận cỡ n × n góc bên trái Khi Ψ 33 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG dương unita Vì thế, phép hợp thành Φ ◦ Ψ dương unita Đến đây, áp dụng bất đẳng thức Choi (2.6) ta nhận [(Φ ◦ Ψ)(A)][(Φ ◦ Ψ)(A∗ )] ≤ (Φ ◦ Ψ)(I) Mà điều có nghĩa Φ(A)Φ(A∗ ) ≤ I Từ đó, với A ≤ 1, ta có Φ(A) ≤ Và ta có Φ = Sự kiện sau xem mở rộng cho định lý với ánh xạ tuyến tính dương Hệ 2.3.6 Nếu Φ ánh xạ tuyến tính dương, Φ = Φ(I) Chứng minh Trước hết ta đặt P = Φ(I) giả sử P khả nghịch Nếu cho Ψ(A) = P −1/2 Φ(A)P −1/2 , Ψ ánh xạ tuyến tính unita dương Khi đó, ta có Φ(A) = P 1/2 Ψ(A)P 1/2 ≤ P Ψ(A) ≤ P A Suy Φ ≤ P Mặt khác, Φ(I) = P nên ta có Φ = P Điều khẳng định Φ(I) khả nghịch Trường hợp tổng quát suy từ việc xét họ Φε (A) = Φ(A) + εI, 34 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG đồng thời cho ε ↓ Tóm lại, với ánh xạ tuyến tính dương Φ, ta ln có Φ = Φ(I) Hệ chứng minh 2.4 Một số ứng dụng Trong Ví dụ 2.2.3, ta xét vài ví dụ ánh xạ dương Bằng cách sử dụng Định lý Russo-Dye, ta tính tốn chuẩn cách dễ dàng Chẳng hạn, với tốn tử Φ(A) = Pj APj (xem Ví dụ 2.2.3 (7)), ta có C(A) ≤ A (2.9) (Có nhiều cách chứng minh cho kết luận này, cụ thể xem [2] trang 50 97) Nếu A dương, nhân tử Schur SA ánh xạ dương Vì SA = SA (I) = A ◦ I = max aii (2.10) Sự kiện chứng minh nhiều cách Trong Định lý 1.4.3 trước đó, ta thấy điều Trong Nhận xét 1.2.9 (3) Ví dụ 2.2.3 (9) ta thảo luận phương trình Lyapunov A∗ X + XA = W, (2.11) A tốn tử mà phổ chứa nửa mặt phẳng phải mở Việc giải phương trình đồng nghĩa với việc tìm nghịch ảnh tốn tử Lyapunov LA định nghĩa LA (X) = A∗ X + XA Ta biết L−1 A ánh xạ tuyến tính dương Trong vài trường hợp W chưa biết rõ, ta có phương trình nhiễu (perturbed equation) A∗ X + XA = W + 35 W (2.12) Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Nếu X X + X nghiệm (2.11) (2.12), ta mong muốn tìm cận X Đây tốn điển hình giải tích số Rõ ràng X ≤ L−1 A W Từ L−1 A dương, ta có −1 L−1 = LA (I) A Điều làm đơn giản hóa tốn đặt áp dụng cho phương trình Stein (xem Nhận xét 1.2.9 (5)) Giả sử ⊗k H tích ten xơ cấp k (k -fold tensor product) H ⊗ · · · ⊗ H cho ⊗k A tích cấp k (k -fold product) A ⊗ · · · ⊗ A toán tử A H Với ≤ k ≤ n, cho ∧k H không gian ⊗k H sinh ten xơ phản đối xứng Và gọi tích ten xơ phản đối xứng (antisymmetric tensor product), tích ngồi (exterior product), hay tích Grassmann Tốn tử ⊗k A bỏ không gian bất biến thu hẹp ⊗k A, ký hiệu ∧k A Nó gọi lũy thừa Grassmann thứ k (k th Grassmann power ), lũy thừa (exterior power ) A Xét ánh xạ A −→ ⊗k A Đạo hàm ánh xạ A, viết D ⊗k (A), ánh xạ tuyến tính từ L(H) vào L(⊗k H) xác định D ⊗k (A)(B) = d |t=0 ⊗k (A + tB) dt Do đó, ta có D ⊗k (A)(B) = B ⊗ A ⊗ · · · ⊗ A + A ⊗ B ⊗ · · · ⊗ A + · · · · · · + A ⊗ · · · ⊗ A ⊗ B (2.13) Điều kéo theo D ⊗k (A) = k A k−1 (2.14) Bây giờ, ta tìm biểu thức cho D ∧k (A) Nhắc lại ∧k nhân, ∗ - bảo toàn unita (nhưng khơng tuyến tính) Giả sử A = U SV 36 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG phân tích giá trị suy biến (singular value decomposition) A Khi đó, ta có d |t=0 ∧k (A + tB) dt d = |t=0 ∧k (U SV + tB) dt d = |t=0 ∧k U ∧k (S + tU ∗ BV ∗ ) ∧k V dt d = ∧k U |t=0 ∧k (S + tU ∗ BV ∗ ) ∧k V dt D ∧k (A)(B) = Suy D ∧k (A)(B) = D ∧k (S)(U ∗ BV ∗ ) , D ∧k (A) = D ∧k (S) Thành thử, để tính D ∧k (A) , ta giả thiết A ma trận chéo dương Tiếp theo, để ý A dương, với B dương, biểu thức (2.13) dương Vì thế, D ⊗k (A) ánh xạ tuyến tính dương từ L(H) vào L(⊗k H) Tốn tử D ∧k (A)(B) thu hẹp (2.13) thành không gian bất biến ∧k H Do ∧k (A) ánh xạ tuyến tính dương Từ đó, ta có D ∧k (A) = D ∧k (A)(I) Cho A = diag(s1 , , sn ) với s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn ≥ Khi ∧k A ma trận chéo cỡ n k mà phần tử chéo si1 si2 · · · sik , ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n Sử dụng điều này, cho ta đa thức đối xứng có bậc k − D ∧k (A) = pk−1 (s1 , , sk ), (2.15) với đối số s1 , , sk Hiệu việc thay D ∧k (A)(B) D ∧k (A)(I) để từ tốn khơng giao hốn cấp cao, ta quy toán giao hoán đơn giản 37 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 2.5 Ánh xạ dương hệ toán tử Định nghĩa 2.5.1 Một khơng gian tuyến tính S Mn gọi hệ tốn tử (operator system) ∗ đóng (tức là, A ∈ S , A∗ ∈ S ) chứa I Cho S hệ toán tử Mn , Ss.a tập phần tử tự liên hợp S S+ tập phần tử dương Ta thấy rằng, T ∈ S , ReT = (T + T ∗ ) (T − T ∗ ) 2i nằm S Tuy nhiên, A ∈ Ss.a , phần dương âm A± ImT = phân tích Jordan A không thiết nằm S+ Chẳng hạn, ta có ví dụ sau: Ví dụ 2.5.2 Ta xét tập S = {A ∈ M3 : a11 = a22 = a33 } Đây hệ toán tử Ma trận   0    A= 0   0 nằm S Các thành  1 A+ =  2 phần Jordan    1 −1   1 0 0 A = 0 −   2 −1 không thuộc S Tuy vậy, với phần tử Hermitian A S , ta viết A = P+ − P− P± ∈ S+ 38 (2.16) Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Ta chọn P± = A I ±A (2.17) Do đó, với T ∈ S ta viết T = A + iB (A, B ∈ Ss.a ) = (P+ − P− ) + i(Q+ − Q− ) (P± , Q± ∈ S+ ) Sử dụng phân tích ta chứng minh bổ đề Bổ đề 2.5.3 Nếu Φ ánh xạ tuyến tính dương từ hệ toán tử S vào Mk , Φ(T ∗ ) = Φ(T )∗ với T ∈ S Nhận xét 2.5.4 Nếu ta đặt A = P1 − P2 P1 , P2 dương, A ≤ max( P1 , P2 ) Định lý 2.5.5 Giả sử Φ ánh xạ tuyến tính dương từ hệ toán tử S vào Mk Khi (1) Φ(A) ≤ Φ(I) A với A ∈ Ss.a ; (2) Φ(T ) ≤ Φ(I) T với T ∈ S (Từ đây, Φ unita, Φ = khơng gian Ss.a Φ ≤ S ) Chứng minh Nếu P phần tử dương S , O ≤ P ≤ P I Do đó, ta có O ≤ Φ(P ) ≤ P Φ(I) 39 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Nếu A phần tử Hermitian S , áp dụng phân tích (2.16) Nhận xét 2.5.4, ta có Φ(A) = Φ(P+ ) − Φ(P− ) ≤ max( Φ(P+ ) , Φ(P− ) ) ≤ max( (P+ ) , (P− ) ) Φ(I) ≤ A Φ(I) Từ đó, khẳng định (1) chứng minh hoàn toàn Khẳng định (2) suy từ phân tích Cartesian T Định lý 2.5.6 Nếu ϕ hàm tuyến tính dương hệ tốn tử S , ϕ = ϕ(I) Chứng minh Giả sử T ∈ S T ≤ Ta |ϕ(T )| ≤ ϕ(I) Nếu ϕ(T ) số phức reiθ , ta nhân T e−iθ suy ϕ(T ) số thực dương Vì thế, T = A + iB phân tích Cartesian, ϕ(T ) = ϕ(A) Do đó, theo khẳng định (1) Định lý 2.5.5, ta có ϕ(T ) ≤ ϕ(I) A ≤ ϕ(I) T Từ đó, ta có ϕ = ϕ(I) Định lý cho ta biết điều khẳng định ngược lại Định lý 2.5.7 Giả sử ϕ hàm tuyến tính S cho ϕ = ϕ(I) Khi ϕ dương Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử ϕ(I) = Cho A phần tử dương S giả sử σ(A) phổ Ta đặt a = σ(A) b = max σ(A) 40 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Ta ϕ(A) nằm đoạn [a, b] Thật vậy, điều khơng xảy ra, tồn hình tròn D = {z : |z − z0 | ≤ r} cho ϕ(A) nằm D D chứa [a, b], σ(A) Từ điều kiện sau cùng, suy σ(A − z0 I) chứa hình tròn {z : |z| ≤ r} A − z0 I ≤ r Bằng cách sử dụng điều kiện ϕ = ϕ(I) = 1, ta có đánh giá |ϕ(A) − z0 | = |ϕ(A − z0 I)| ≤ ϕ A − z0 I ≤ r Nhưng ϕ(A) khơng thể nằm D Điều chứng tỏ ϕ(A) số không âm, khẳng định định lý Theo Định lý Hahn-Banach, hàm tuyến tính ϕ (một khơng gian tuyến tính) S thác triển thành hàm tuyến tính ϕ Mn với ϕ = ϕ Bây giờ, ta quan tâm đến tính dương chuẩn Vì thế, câu hỏi đặt ra, có hay khơng hàm tuyến tính dương ϕ hệ tốn tử S Mn thác triển thành hàm tuyến tính dương ϕ Mn Câu trả lời có Đây gọi Định lý thác triển Krein mà luận văn trình bày sau Khi này, từ ϕ = ϕ(I), ta có ϕ = ϕ(I) Định lý 2.5.8 (Định lý thác triển Krein) Giả sử S hệ toán tử Mn Khi đó, hàm tuyến tính dương S thác triển thành hàm tuyến tính dương Mn Chứng minh Giả sử ϕ hàm tuyến tính dương S Áp dụng Định lý 2.5.6 ta có ϕ = ϕ(I) 41 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Từ Định lý Hahn-Banach, ϕ thác triển thành hàm tuyến tính ϕ Mn thỏa mãn ϕ = ϕ = ϕ(I) Khi đó, sử dụng Định lý 2.5.7 ta có ϕ dương Như vậy, hàm tuyến tính dương S thác triển thành hàm tuyến tính dương Mn Thay cho lời kết Chương 2, ta đến với định lý sau đây, cho ta biết điều kiện ánh xạ tuyến tính xác định hệ tốn tử dương Định lý 2.5.9 Nếu S hệ toán tử Φ : S −→ Mk ánh xạ tuyến tính unita thỏa mãn Φ = 1, Φ dương Chứng minh Với véc-tơ đơn vị x Ck , ta đặt ϕx (A) = x, Φ(A)x , A ∈ S Đó hàm tuyến tính unita S Từ đánh giá |ϕx (A)| ≤ Φ(A) ≤ A , ta có ϕx = Do đó, áp dụng Định lý 2.5.7 ta có ϕx dương Nói khác đi, A dương, ϕx (A) = x, Φ(A)x ≥ 0, với véc-tơ đơn vị x Từ đây, ta có Φ dương 42 KẾT LUẬN Luận văn “Ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương ” trình bày số vấn đề sau: Hệ thống lại kiến thức ma trận dương Trong bao gồm đặc trưng ma trận dương, số định lý ma trận dương ma trận khối Trình bày Định lý Schur định lý tính lồi tính đơn điệu hàm f (A) = Ar Trình bày biểu diễn Mn Mk khái niệm ánh xạ tuyến tính dương unita Trình bày số tính chất ánh xạ dương unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye Từ đây, ta thu Φ = Φ(I) , xem kết luận văn Bên cạnh đó, luận văn trình bày số ứng dụng vài định lý ánh xạ dương hệ toán tử 43 Tài liệu tham khảo [1] Bhatia R (1997), Matrix analysis, Springer [2] Bhatia R (2007), Positive definite matrices, Princeton University Press [3] Bhatia R., Davis C (2000), A better bound on the variance, Am Math Monthly, 107, pp 602–608 [4] Bhatia R., Friedland S (1981), Variation of Grassman powers and spectra, Linear algebra Appl., 40, pp 1–18 [5] Bhatia R., Kittaneh F (1998), Norm inequalities for positive operators, Lett Math Phys., 43, pp 225–231 [6] Davis C (1957), A Schwarz inequality for convex operator functions, Proc Am Math Soc., 8, pp 42–44 [7] Lax P (1997), Linear algebra, John Wiley [8] Zhang F (1999), Matrix theory: Basic results and techniques, Springer 44 ... Tuấn, tơi chọn đề tài Ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương ” để thực luận văn Mục đích luận văn hệ thống hóa tính chất, kết nghiên cứu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương Với nội dung nghiên... 25 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Trong chương ta nghiên cứu ánh xạ tuyến tính khơng gian ma trận Ký hiệu Φ ánh xạ tuyến tính từ Mn vào Mk Trong trường hợp k = ánh xạ gọi hàm tuyến tính ký hiệu... lồi tính đơn điệu hàm f (A) = Ar Chương Ánh xạ tuyến tính dương Ta nghiên cứu ánh xạ tuyến tính khơng gian ma trận Trước tiên, luận văn trình bày biểu diễn Mn Mk khái niệm ánh xạ tuyến tính dương