BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Cho toán (I): f(x) = x1 - px2 > Min x1 + 3x2+x3+x4 = 15 2x1+6x2 + x4 ≥ 50 x1, x2, x3, x4 ≥ Trong đó: p tham số a Giải toán (I) với p = GỢI Ý TRẢ LỜI a Với P = toán trở thành f(x) = x1 - 2x2 > Min x1 + 3x2+x3+x4 = 15 2x1+6x2 + x4 ≥ 50 x1, x2, x3, x4 ≥ - Đưa toán dạng tắc tương đương (bài tốn II): f(x) = x1 - 2x2 > Min x1 + 3x2+x3+x4 = 15 2x1+6x2 + x4 - x5 = 50 x1, x2, x3, x4,x5 ≥ - Nhận thấy toán II chưa phải dạng chuẩn vì: + Phương trình ràng buộc thứ có biến x3 với hệ số đồng thời khơng có mặt phương trình ràng buộc lại (phương trình ràng buộc thứ 2) + Tuy nhiên phương trình ràng buộc thứ khơng có biến với hệ số đồng thời khơng xuất phương trình > Khơng biết thơng tin phương án tốn (bài tốn có PA? có PACB? chưa trả lời được) - Xây dựng toán phụ toán II với mục đích trả lời xem tốn II có PA hay khơng? có có có PACB? P(x,xg) = xg > Min x1 + 3x2+x3+x4 = 15 2x1+6x2 + x4 - x5 + xg = 50 x1, x2, x3, x4,x5,xg ≥ (việc đưa biến xg vào phương trình ràng buộc thứ nhằm làm cho toán Phụ trở thành toán dạng chuẩn) + Bài tốn phụ có PACB: (0; 0; 15; 0; 05) với sở đơn vị + Lập bảng đơn hỡnh gii bi toỏn ph: Biên soạn: Lê Anh §øc BÀI TẬP CHƯƠNG Hệ số Cơ sở PACB X1 X2 X3 X4 X5 Xg X3 15 [3] 1 0 Xg 50 -1 1 P X2 Xg P 50 20 20 1/3 0 6* 0 1/3 -2 -2 1/3 -1 -1 -1 -1 -1 0 - Chọn Max{∆}=∆2 = > loại x2 khỏi cột sở - chọn Min{15/3;50/6} = 15/3 > chọn x3 loại khỏi sở - Biến đổi để có đơn hình tương ứng với PACB - Tất ∆ Bài tốn phụ có PATƯ: X* = (0; 5; 0; 0; 0; 20) P* = 20 < > Xg* = 20 Kết luận: Bài tốn Phụ có PATƯ > tốn II khơng có PA > Bài tốn I khơng có PA (tức khơng giải được) b Viết toán đối ngẫu toán (I) cặp ràng buộc đối ngẫu - Để viết toán đối ngẫu toán I trước hết ta đưa toán I dạng tắc tương đương (bài tốn II): f(x) = x1 - px2 > Min x1 + 3x2+x3+x4 = 15 2x1+6x2 + x4 - x5 = 50 x1, x2, x3, x4,x5 ≥ - Viết toán đối ngẫu toán II (và toán đối ngẫu toán I) f~(y) = 15y1+50y2 > max y1+2y2 ≤1 3y1+6y2 ≤-p y1 ≤0 y1+ y2 ≤0 -y2 ≤0 - Để xác định cặp ràng buộc đối ngẫu toán I toán đối ngẫu nó, ta xác định cặp bất đẳng thức tương ứng toán Cặp 1: y1+2y2 ≤1 x1 ≥ Cặp 3y1+6y2 ≤-p x2 ≥ Cặp y1 ≤0 x3 ≥ Cặp y1+ y2 ≤0 x4 ≥ Cặp -y2 ≤0 2x1+6x2 + x4 ≥ 50 c Với P = 2, kết luận kết cục toán đối ngẫu Với P = tốn I khơng giải khơng có phương án > tốn đối ngẫu khơng giải (nhưng ngun nhân có PA f~(y) > + ∞ tập PA tốn, tức khơng xác định PATƯ) Biên soạn: Lê Anh Đức BI TP CHNG Bài 2: Cho toán (I): f(x) = 3x1 - px2+2x3 > Min x1 - 2x2+2x3 ≥ -x1-x2 +3x3 ≥ -11 x1, x2, x3 ≥ Trong đó: p tham số a Giải toán (I) với p = GỢI Ý TRẢ LỜI - Đưa tốn dạng tắc tương đương (bài tốn II), (có vế phải ≥ 0): (nhân ràng buộc thêm biến vào ) - Bài toán II f(x) = 3x1 - 3x2+2x3 > Min x1 - 2x2+2x3 - x4 =3 x1 + x2 -3x3 + x5 = 11 x1, x2, x3,x4 ≥ LÀM CÁC BƯỚC THEO TƯƠNG TỰ BÀI Hệ số Cơ sở PACB (3)0 X1 (-3)0 X2 (2)0 X3 (0)0 X4 (0)0 X5 Xg Xg -2 [2] -1 X5 11 1 -3 P -2 2* -1 0 (2)0 X3 3/2 1/2 -1 -1/2 1/2 (0)0 X5 31/2 5/2 -2 -3/2 3/2 P 0 0 0 f -2 -1 / (.) hs biến hàm mục tiêu tốn II Tại dòng cuối bảng đơn hình ∆2 = 1> hệ số {-2; -1} < > theo phương tốn có f(x) > -∞, tức tốn khơng xác định PATƯ (mặc dù có PACB (0; 0; 3/2; 0; 31/2) Chú ý: - Nếu với P ∆2 > > tốn khơng giải f(x) > -∞ (trên tập PA) b Viết toán đối ngẫu toán (I) cặp ràng buộc đối ngẫu c Với P = 2, kết luận kết cục toán đối ngẫu (CÁC BẠN HÃY TỰ TÌM CÂU TRẢ LỜI CHO MèNH) Biên soạn: Lê Anh Đức BI TP CHƯƠNG Bài 3: Cho toỏn QHTT (I): f ( x) = − x1 + px2 − x3 → Min x1 + x2 − x3 ≥ − x1 + x2 + x3 ≤ x ≥ 0( j = ÷ 3) j TƯƠNG TỰ BÀI 1, Bài 4: Cho toỏn QHTT (I): f ( x) = px1 + x2 + x3 → Min 2 x1 − x2 + x3 = − x1 + x2 − x3 ≤ x ≥ 0( j = ÷ 3) j TƯƠNG TỰ BÀI 1, Bài 5: Cho toán (I): f(x) = 3x1 -1/2x2 +px3 > Min 2x1 + 2x2+x3 ≤6 x1 - x2 +2x4 ≥ x1, x2, x3, x4≥ Trong đó: p tham số a Giải toán (I) với p = (Tương tự) b Viết toán đối ngẫu toán (I) cặp ràng buộc đối ngẫu - Để viết toán đối ngẫu toán I trước hết ta đưa tốn I dạng tắc tương đương (bài toán II): f(x) = 3x1 -1/2x2 +px3 > Min 2x1 + 2x2+x3+x4 =6 x1 - x2 +2x4 - x5 = x1, x2, x3, x4,x5 ≥ - Viết toán đối ngẫu toán II (và toán đối ngẫu toán I) f~(y) = 6y1+2y2 > max 2y1+y2 ≤3 (1) 2y1-y2 ≤ -1 (2) y1 +2y2 ≤ p (3) y1 (4) -y2 (5) Biên soạn: Lê Anh Đức BI TP CHNG - xác định cặp ràng buộc đối ngẫu tốn I tốn đối ngẫu nó, ta xác định cặp bất đẳng thức tương ứng toán Cặp 1: 2y1+y2 ≤3 x1 ≥ Cặp 2y1-y2 ≤ -1 x2 ≥ Cặp y1 +2y2 ≤ p x3 ≥ Cặp y1 ≤0 2x1 + 2x2+x3≤ Cặp -y2 ≤0 x1 - x2 +2x4 ≥ c Tìm điều kiện p để y = (0,1/2) PA, PACB, PA tối ưu toán đối ngẫu - Điều kiện để y = (0, 1/2) PA tốn đối ngẫu phải thỏa mãn ràng buộc Thay y = (0, 1/2) vào ràng buộc: + Ràng buộc (1): VT = 1/2 < > thỏa mãn LỎNG + Ràng buộc (2) VT = -1/2 = -1/2 (VP) > Thỏa mãn CHẶT + Ràng buộc (4) VT = = VP > Thỏa mãn CHẶT + Ràng buộc (5) VT = -1/2 < > thỏa mãn LỎNG + Ràng buộc (3) VT = ≤ p +) Nếu p p ≥ + Thỏa mãn chặt ràng buộc độc lập tuyến tính: +) P = > y = (0,1/2) thỏa mãn chặt ràng buộc (3 RB) có ràng buộc độc lập tuyển tính > y = (0, 1/2) PACB +) P > > y = (0,1/2) thỏa mãn chặt ràng buộc độc lập tuyển tính > y = (0, 1/2) PACB Kết luận: với p ≥ y = (0, 1/2) PACB toán - Để xem xét y = (0,1/2) có phải PATƯ tốn hay khơng ta tiến hành theo bước: + Bước 1: Giả sử y = (0, 1/2) PATƯ toán (trước phải PA nên p ≥ 1) Khi đó, theo Định lý đối ngẫu, RB mà y = (0, 1/2) thỏa mãn LỎNG ràng buộc đối ngẫu với thỏa mãn chặt với PATƯ toán đối ngẫu Bước 2: Xét TH: TH1: p >1 +) y thỏa mãn LỎNG RB: Ràng buộc (1): VT = 1/2 < > thỏa mãn LỎNG > x1 = Ràng buộc (3): VT = < p > thỏa mãn LỎNG > x3 = Ràng buộc (5) VT = -1/2 < > thỏa mãn LỎNG > x1 - x2 +2x4 = +) Xét h PT: x1 = Biên soạn: Lê Anh Đức BÀI TẬP CHƯƠNG x3 = x1 - x2 +2x4 = > họ nghiệm: x = (0; 2x4-2; 0;x4) +) Thay họ nghiệm vào RB lại tốn ban đầu: (2x1 + 2x2+x3 ≤ 6) < > VT = 2x1 + 2x2+x3 = 4x4-4 ≤ > x4 ≤ 10/4 (x2 ≥ 0) < > 2x4-2 ≥ > x4 ≥ x4 ≥0 Như họ nghiệm: x = (0; 2x4-2; 0;x4) với điều kiện x4 ≥ thỏa mãn ràng buộc toán ban đầu (tức x = (0; 2x4-2; 0;x4) với x4 ≥ > Điều giả sử (y = (0,1/2) đúng) > y = (0, 1/2) PATƯ toán đối ngẫu TH1: p =1 +) y thỏa mãn LỎNG RB: Ràng buộc (1): VT = 1/2 < > thỏa mãn LỎNG > x1 = Ràng buộc (5) VT = -1/2 < > thỏa mãn LỎNG > x1 - x2 +2x4 = +) Xét hệ PT: x1 = x1 - x2 +2x4 = > họ nghiệm: x = (0; 2x4-2; x3;x4) +) Thay họ nghiệm vào RB lại tốn ban đầu: (2x1 + 2x2+x3 ≤ 6) < > VT = 2x1 + 2x2+x3 = x3+4x4-4 ≤ > x3+x4 ≤ 10 (x2 ≥ 0) < > 2x4-2 ≥ > x4 ≥ (x3 ≥0) (x4 ≥0) ln tìm cặp giá trị (x=0; x2; x3; x4) thỏa mãn đk > Điều giả sử (y = (0,1/2) đúng) > y = (0, 1/2) PATƯ toán đối ngẫu KẾT LUẬN: VỚI p >= y = (0, 1/2) phương án tối ưu CHÚ Ý: Đi thi khơng hỏi tính dài ntn CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI CÁC BẠN TỰ TèM LI GII CHO MèNH Biên soạn: Lê Anh Đức ... Min x1 + 3x2+x3+x4 = 15 2x1+6x2 + x4 - x5 = 50 x1, x2, x3, x4,x5 ≥ - Viết toán đối ngẫu toán II (và toán đối ngẫu toán I) f~ (y) = 1 5y1 +5 0y2 > max y1 + 2y2 ≤1 3y1 + 6y2 ≤-p y1 ≤0 y1 + y2 ≤0 -y2 ≤0 -... 3x1 -1/2x2 +px3 > Min 2x1 + 2x2+x3+x4 =6 x1 - x2 +2x4 - x5 = x1, x2, x3, x4,x5 ≥ - Viết toán đối ngẫu toán II (và toán đối ngẫu toán I) f~ (y) = 6y1 + 2y2 > max 2y1 +y2 3 (1) 2y1 -y2 ≤ -1 (2) y1 ... Bài toán II f(x) = 3x1 - 3x2+2x3 > Min x1 - 2x2+2x3 - x4 =3 x1 + x2 -3x3 + x5 = 11 x1, x2, x3,x4 ≥ LÀM CÁC BƯỚC THEO TƯƠNG TỰ BÀI Hệ số Cơ sở PACB (3) 0 X1 ( -3) 0 X2 (2)0 X3 (0)0 X4 (0)0 X5 Xg