Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 28-1-0243-0278

;w ww bi olo gie ze ntr um at 243 /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o rg/ DER REST DER TAYLOR'SCHEN REIHE VON ibr ary ht t p:/ ANTON WINCKLER, DK AKAHEMIE TER WISSENSCHAKTEN iod ive rsi ty He ri tag eL WIRKLICHEM MITOUEDE DER KAISERLICHEN LT JII.I ISCT.) rig ina lD ow nlo ad fro m Th eB (VOErTELKGT IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCHNATrUWISSENSCHAPTLR'HEN CLASSE AM ge von d'Alenibert (1754) aufgestellte lutegralform nicht gerechnet wird, hängen insgesammt rid hier die zuerst ,M A) ;O JJie verschiedenen Ausdrücke, welche den sogenannten Rest der Taylor'schen Reihe bilden, und zu welchen y( Ca mb von einem nicht näher bestimmten positiven echten Bruch ab, welcher des Zuwachses der Variabein log auftritt Setzt Factor des Restausdruckes, man nämlich ara Co mp hn-l + 1.2 in—X) A" («— ])-'(a.-) 1.2 w of kann bekanntlich für • ?/ einer der Ausdrücke: the Mu se so + /^)=/(x) + V(^)+- um /(x- tiv e Zo o theils als Coefficient theils als n - in) of ^ (x + sh) Cauchy Lagrange ^ ix + sh) r («— 1) (»i— Ii Roche -/(X) (1-.) Ha rva rd Un ive rsi t P tM («) Er ns W- -P y, 7} -(1-0 ay rL ibr ary •' Sturm + ih -/,, werden , worin t jedesmal einen andern positiven echten Bruch und itis gesetzt ed by t he {r Dig bezeichnet In vielen Fällen und namentlich, wenn es sich nur darum p eine der Zahlen von bis n handelt, das Verschwinden des Restes für ein ohne Ende wachsendes « nachzuweisen, sind diese Ausdrücke zureichend, obgleich jeder von ihnen den Werth des Restes innerhalb gewisser, unter Umständen ziemlich weiter Grenzen unbestimmt lässt Sie sind aber nicht in gleichem Masse dienlich, wenn der Rest als Fehler der bis zu einem gewissen GHede fort- und mit einiger Genauigkeit bestimmt werden soll Es ist daher schon dieses Umstandes wegen die Frage, ob sich die Grenzen x und r-\-h des Arguments x-\-ih, wenigstens unter bestimmten Voraussetzungen, etwa enger stellen lassen, und in welcher Form alsdann der gesetzten directen Summirung der Reihe betrachtet Restausdruck erscheinen würde, von einigem Interesse Mit dieser Frage des so vielfach behandelten woran dann einige andere DciikdchnftHti (iur Themas wird das Folgende zunächst die Restformel betreffende mathem.-oaturw Cl X.XVIII Bd Bemerkungen sich ansehliessen sich beschäfligen, werden 32 Anton Windeier 244 Die Resultate sind meines Wissens neu; insofern aber bereits bekannte Rede kommen, werde in ich sie jede gewissermassen die erste Näherung des Restes dar, welche stellen Bedingungen der Continuität erfüllende Function die und giltig bleibt, werden, haben mindestens das mit einander gemein, dass sie erhalten ;w ww bi olo gie ze ntr Die vorhin angegebenen Ausdrücke für um at ausdrücklich als solche bezeichnen die Methode, durch welche ohne Unterscheidungen bezüglich sie, /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o rg/ der Function oder deren Differentialquotienton zu erfordern, Resultate liefern, welche äusserlich zwar ver- schieden, doch als blosse erste Annäherung nahezu von gleicher Bedeutung sind In besonderen Fällen sein als das andere, aber jedes leidet an einer für die meisten das eine bequemer zu gebrauchen gen zu beträchtlichen Unbestimmtheit welchen er genähert darstellen , nächsten liegenden Anhaltspunkte hiefUr gewährt die in Wege die bisherigen soll, verlassen, genauer eingehen Die am ibr ary und auf die Beschaffenheit dos Ausdruckes muss man hiernach ht t p:/ schärfere Eingronzungen des Restes zu finden, Reihenform unmittelbar gegebene Bedeutung von ti, tag eL Um mag Anwendun- ad fro m Th eB iod ive rsi ty He ri vermöge welcher nämlich und aus welcher unter vorerst festzuhaltenden Hypothesen sich mehrere Ausdrücke ableiten lassen, die ow nlo ist, lD u innerhalb viel engerer Grenzen als die oben bemerkten Formen richtig darstellen s ina ge rid ist sie Ca mb nur die Reihe an sich in Frage steht, so Zunächst y( vergire f, liegenden Werthe von s endlich bleiben, die Reihe also für die Werthe Da angenommen werden, soll frener log -^-h , die Glieder 1, 2, , , für zwischen x alle von n con- durch die vorausgesetzte Convevgenz legitimirt nehmen dem Zahlenwerthe nach schon vom ersten Zo o und X («4-1) (n) dass/ diejenige, ,M A) ;O rig Zu diesen Hypothesen gehört hauptsächlich ara tiv e an beständig ab Co mp Es wird Sache einer weitem Erörterung , von diesen beschränkenden Annahmen zu die Ergebnisse se um of befreien sein the Mu sehr rL ibr ary of Von den bezeichneten Annahmen ausgehend, kann man zu der gewöhnlichen Form des Restes gelangen, wenn man die beiden Fälle unterscheidet, ob die Glieder der Reihe u, beziehungsweise f hf /i^f , gleiche Zeichen haben, oder ob zwischen ihnen ein regelmässiger Zeichen- rsi t y, Er ns tM ay leicht Ha rva rd Glieder alle dasselbe Zeichen, so liegt u offenbar zwischen M und Dig itis ed by t he Haben Un ive Wechsel bestehe (n) =4) + '' (") oder also zwischen Haben dagegen /' , _(n + l) h* fô +172^-) ^'./(,, + 2) + (") und /" • • (») ,, die Glieder in [1 2( und kann einen folglich unter der Form f einfachen Zeichen Wechsel, («-I-1) r 1 ^ , so gedacht werden nehmen in + die Glieder der Reihe Der Best der von Anfang an ab und es ebenfalls ist daher M, wobei, wie im Folgenden durchgehend —M ^ , das obere oder untere Zeichen , nachdem/ je gilt, ;w ww bi olo gie ze ntr ist Da positiv oder um at negativ 245 Taylor^sehen Reihe ferner: »7+1 +(«+!) -^(^J (ô + + 2)Ax; so folgt aus gleichem Grunde /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o rg/ ""''"'" : u — ^ j ht t p:/ von u schon von Anfang an und in dass die Reihe auch ohne Zeichenwechsel convergirt / h eB {n\ bringe mit dieser Reihe die Entwickelung von in Verbindung und setze : Th Man kleiner, die Glieder ^ n+ ' lD ow nlo ad fro m dem Masse werden es He ri regelmässiger Zeichen Wechsel und ein + 2) {x) tag eL hf ibr ary (h (n) / (x) "r es bestehe zwischen den endlich bleibenden Grössen iod ive rsi ty zu Grunde gelegt und + 2) y(.v) "=-^,r)+„-|_l-/(u,-) /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o rg/ : diese Reihe einen regelmässigen Zeichenwechsel besitzen ,M vermöge der Voraussetzungen auch vor Ca : log y( besteht in den beiden Reihen mb rid Anfang an abnehmen und convergiren Nun , ge so wird A) ;O rig ina »+1 tiv e Zo o p ara Co mp (n+iy + 2) of (ô um 1_ 97 se l (ô+!)ô' + 3) (w+l)(«+2)(«+3)-'(* («+2)(«+3) (.^) 3!J {" ^iY^(x) + the Mu + n+2 ; .(M und sind beide von den ersten Gliedern an abnehmend Die rL ibr ary of oflenbar ein regelmässiger Zeichenwechsel Er ns tM ay den ersten Glieder haben aber entgegengesetzte Zeichen, folghch u ist — u^ ^ oder »0 ^ »' ^ oder u ^ u^ obere oder das untere Zeichen ?^j, in) gilt, je nachdem f positiv oder negativ ist Hieraus folgt nun Dig itis ed by t he wo das Ha rva rd Un ive rsi t y, und bei- nnd es Hegt o also u und « zwischen u,.^f, ü '(.VI =/ ^ , {r+ ) 71+1 Unter den gemachten Voraussetzungen kann also der Factor w =f,(x+ .) th , n+1 gesetzt werden Unter denselben Voraussetzungen, jedoch mit die Reihe Beseitigung des Zeichen Wechsels, verbinde : Denkschriften der matbera.-naturw Cl XXVIIl Bd 33 man Anton 252 Wincl-ler + u und vergleiche die Reihe (71 («+l)(«+2) mit der obigen für u — u^ so sieht man, dass , + 2) + w, 2! um at l) : ;w ww bi olo gie ze ntr + (n („,-|-l)(.«-j-2)(«+3) : u — ^ oder u ^ m u — ««e^ oder ti ^ v nnd ^l^ u, (n (m) je gilt, nachdem / />/ , ^ -^W + l) positiv oder negativ sind , Man ibr ary : u^=f es liegt u zwischen ) das- eB l wenn sämmtliche Glieder von so dass, , {x + h) ' n+ : ad fro m Th selbe Zeichen haben imd ?/,^/" ^ (x+ iod ive rsi ty und He ri tag eL hat also untere Zeichen 3!j ht t p:/ wo das obere oder das ~'{x + h) • rg/ r flir • /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o mit jener (ô) + t) ina lD werden kann zn A) ;O rig gesetzt + ow nlo (•^ ge ,M dem und welche y( log Zo o als specieller Fall einer Gleichung, Umformung unendlicher Reihen" im 51 Bande der Sitzungsberichte heisst x darin für rsi t man (n) r^, h für x, Un ive Setzt y, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of hergeleitet habe, werden Diese Transformation ergibt sich Aufsatze „Über die ara welche hier angeführt zu ich in Co mp u beruhend, verdient sie doch als auf einer bemerkenswerthen Transformation der Reihe stützt, so tiv e Convergenzbedingungen Ca mb rid Obgleich die folgende Begründung der beiden vorhin erhaltenen Resultate sich ebenfalls auf gewisse und man erhält nh , fUi" /, , ferner « wie leicht zu sehen ^"+1), «+l-^(-^ + A) + w h ! (" = , y =w+ ? «o verwandelt sich die : + 2) n 1i' («+2) A'-'-i-) ! (ô4- (n + 3) 3)^(^ + A) + (1) Dig itis ed by t he Ha rva rd erste Reihe in jene für u f übrigens kann Die Brüche, welche (w-|-l) (w-f-2) (w-|-8) man in hierzu gelangen, ohne jene allgemeine Gleichung als bekannt vorauszusetzen der ursprünglichen Reihe für u vorkommen, und deren Nenner (k-|- 1) (w -f 2) w+r brüche zerlegen Die Partialbrüche, deren Nenner von u, welches mit h f {x) gemein ist , sind, lassen sich nämlich insgesammt auf folgende Art in ihre einfachen Partial- multiplicirt ist, ist, entspringen und kommen dann in zum ersten Male aus jedem folgenden Gliede wieder nun der jenen Nenner enthaltende Partialbruch, welcher aus dem Gliede ^r + v (« + l)(w + 2) {n + r+ («-l-r+v)-^W dem V) Gliede vor All- Anton Windeier welcher in den letzten Stellen durch die Zahlen 235 und 282 weit genauer durch die Zahlen 38 und 282 eingegrenzt Auch ist hier stellt der nach der gewöhnlichen Formel als neue Ausdruck den Rest sehr auf Einheiten der letzten Decimale, dar, während der gewöhnliche mit seiner der Einheit sehr nahe liegt Für die Function man, da hier > a; , von gleichem Zeichen alle Differentialquotienten sind, /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o erhält e"' rg/ = f{x) Man Einheiten abweicht scharl', dem wahren Werthe am dass sieht, in s u,^ bis näch- auch hier ;w ww bi olo gie ze ntr sten kommenden obern Grenze von dem Reste um 44 um at 264 : ibr ary ht t p:/ («-!)! die Gleichung für /(a;) eine der Functionen sin«, cosa; gesetzt, He ri Wird tag eL .somussman, um das Argument von Formen enthalten iod ive rsi ty angeben zu können, unterscheiden, ob n in der einen oder andern der Th {n) =- («+1) = + sm x, cos x, f^^^ /^^^ in-\-'-2, u nälicv Ani-\- : + 2j (« = + cos x, = — sin /'^^ v : ,M erhält also die Gleichung A) ;O Man rig ina lD ist f^^^ sind die folgenden a; ad fro m (re— 1) n=-im Für ^ sin x und > ow nlo Die Ergebnisse für/(a') , eB ist 4to, Am-\- x^ a;*"'-l mb 5! (4»»_1)! (4»m) sx ' 4m-|-l ! («—2) =— cosa;,/, Zo o w=4?h+1 (ra— 1) tiv e ist /" ^ {«) = sma;, /, ^ ^(«-1-1) ^cosx,f ^ = — sm.r, (« + 2) / = — cos.p findet man : um = — 3! + 5! — a; tt^ se a: ?-; • • • Mu sin ^im+l ^im—l of und Co mp ara Für log y( Ca 3! a-*"» , rid , ge x^ — (4??t— ttt x (4w+l)! ' ! , , cos — —— j-, —;- (4m+lj£+l ( of the 1) —, -|- ta ist /, rL ibr ary (n-l) , = + cos x, / («) (m+1) — = == sin x, f, — cos x, (» + 2) f =+ siii /• Er ns man die Gleichung ; Un ive rsi t y, folglich hat tM ay Für n=^im-\-2 he Ha rva rd '^°* ed by t Für «=4»(-[-3 ist m+2 ^ ^ (« =cosa:, ix) /, — 1) , = — sin.r, (n) /(*) , = — cos.c, lu /' W ^ + (« lj =sin.'-, + 2i =cosa- /' («) itis (-«j ^^^ Dig und man erhält '' j,4 \ = -^-3l + 5l +(4».4-l)!-(4^;^+27!''"4;;r:F3 (n— 2) /' ' ^im + ^b j,3 si„.r Analog würden Um = r— x^ a'* "' x'' gj+^— + "*" ^ a;* "• +^ x ^^^ (4m-|-l)!~(4m+3)!''°\4wi+3)€+l sich vier Gleichungen für cos x ergeben hier ebenfalls die Genauigkeit der Eingrenzung, welche diese Formeln gewähren, in einem bestimm- ten Falle darzulegen und mit jener der üblichen Formeln zu vergleichen, will ich die Gleichungen (1) und (4), welche hinsichtlich der Form des Restes x und in anwenden In der Gleichung (1) sei / = , />< = am meisten von einander abweichen, für besondere Werthe von D'r Rest der Die untere Grenze des Kestes in diesen beiden Formeln sowohl hier ist 265 Taylor' sehen Reihe der gewöhnlichen Fonnel in (1) als in =0 Dagejcen sind : „im die oberen Grenzen = Sin 00000 02750 ;w ww bi olo gie ze ntr um at (4w)!"'""4»M+l = 0-0000 20870 sina; (4»*)! — _4to "^5l~ 3l = 0-8414 (4»i— 1)! smx 68254 == 0-8414 70985 = 0-0000 02731 Summe ht t p:/ also der Rest der berechneten rg/ ist /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o Ferner welchem m = Man , findet hierfür +3 „4 »s Grenze X cos (4»i+3) 4«i+4 1969 rig ! = 0-000 ina cos- : (4»j+3) ,M Am +3 ge cosO =0-000 1984 Ca mb rid (4m+3) ist + -• = 0-841 Zo o x" a-" 6667 (4w-|-l) Co mp ara tiv e 3l "^öl log y( Ferner 1072 A) ;O Grenzen lD Am-yZ die oberen = 0-000 ow nlo die gemeinschaftliche untere : eB «= iod ive rsi ty der Einheit sehr nahe s Th hier liegt also In der Gleichung (4) sei ad fro m Auch He ri tag eL ibr ary die obere Grenze des neuen Restgliedes bis auf 19 Einheiten der letzten Decimalen nahekommt, während derselbe von der obern Grenze des gewöhnlichen Restausdruckes um 18139 Einheiten abweicht of sinx =0-841 4710 = 0-000 um : se Summe 1957 the Mu also der Rest der berechneten um 27 Einheiten davon abweicht Übrigens zeigt liegt rsi t als Ha rva rd x zunächst Un ive : positiv f{x) betrachtet Da = (l+xY hierfür: ed by t gesetzt und sehr nahe an he Es werde noch £ y, auch hier, dass der Rest sehr gross Er ns tM ay rend der gewöhnliche in seiner obern, genauesten Grenze sich m der neue Restausdruck doch bis auf 12 Einheiten der letzten Decimalen nahe, währL ibr kommt demselben ary of Obgleich hier in Folge des absichtlich sehr klein angenommenen Werthes von ist, (a-«+l)(l+a;)''~" Dig itis /^^"^=a(a— 1)(«-2) ist, so sieht mau, dass, sobald n den Werth von a überschritten hat, ein regelmässiger Zeichenwechsel zwi- schen den aufeinander folgenden Dififerentialquotienten eintreten, und also der erste Fall des im Artikel aufgestellten Satzes seine (^l-f-x) Anwendung = l-|-air-f- a{a — 1) finden wird .x*+ + + Man erhält somit für w>a die g(a— l)(a— 2) .(g— w + 2) 1.2.3 («— 1) 1.2.3 (« : „_i a(a— l)(a— 2) Gleichung "" — w+l) tX n—a ^i+,i+t) Anton 266 er sich der liest für Anders gestaltet = (l—xy f{x) Hier W ine kl U0 aber sehr leicht analoges, auf die vorstehende Aufgabe allgemein anwendbares Verfahren Weiteren nicht berühren zu sollen Von den mannigfachen Betrachtungen welche sich an die Frage des Restes der Taylor'schen Reihe , knüpfen lassen, möge nur noch die folgende erwähnt werden haben alle Glieder der Entwickelung es : ibr ary ht t p:/ Angenommen, Ich glaube dieselbe, so wie ist ;w ww bi olo gie ze ntr hier des B für/(a;) z falsi rg/ besonderen Fällen, wie /w ww bi od ive rsi tyl ibr ary o dert, in auch ein anderes der Regula um at stand einer weitern Betrachtung sein, die übrigens allgemein geführt, umständlichere Unterscheidungen erfor- He ri Gliede dieser Reihe an sei ferner jedes folgende Glied kleiner als ein Bruchtheil des unmitteliod ive rsi ty r : j + s) in :S a s ^r , < « hat man folgt, wenn die geometrische Reihe summirt wird: um of Co mp ara tiv e und hieraus Zo o log y( Ca mb rid ge ,M A) ;O rig ina lD Dann ow nlo ad fro m , eB Vom bar \orhergehenden, also allgemein Th chen tag eL dns gleiche, und, wie ohne der Allgemeinheit zu schaden, vorausgesetzt werden kann, das positive Zei- An + r) se ^ Mu the (n+l){7i + (n+r) 2) (^) -^{x) aber auch rL ibr ist Ha rva rd Un ive rsi t y, Er ns tM ay Unter den gemachten Annahmen ary of + 1—a he "•1.2.3 .r.^r ed by t und diese beiden Ungleichheiten können nun (-) J(:c) bestimmten Werth von für einen p Art, dass Dig itis gesetzt werden Die Anfangsglieder beider Reihen stimmen mit einander Uberein; auch die letzten Glieder einander gleich werden, man lässt sich nachweisen, dass die Divisoren der früheren Glieder grösser als die entsprechenden Divisoren in der Entwicklung (2) sind kung, dass der Ausdruck: A= \n+\){n + 2) {n^q) \[ l DenkBchnfsen der mathem.-uaiurw CK Xi.VIH Bd, q \ r, _ [ [ p in der ]^, der Entwicklung (1) insgesammt in Um dies zu zeigen, genügt die -.1 , (y+l) (g+2) l einander in Relation setze also: r(i_^) {n-\-l){n-^2) i:H+r) dann mit man bestimme nun (g+.,) ] n \ 35 Bemer- Art ton Winckler 268 g beständig abuimmt, oder also der auf q bezogene Differentialquotient von man negativ bleibt Setzt dA wegen -^ der Kürze A_ + !7+l = A', + ?+2 ' man so erhält - ^ [log (