Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 5-2-0143-0156

g/; ww w bio log iez en tru m at 143 /w ww bi od ive rsi t ylib r ary or ÜBER DIE BEZIEHUNGEN, htt p:/ ZWISCHEN DEN WURZELN IRREDUCTIBELER GLEICHUNGEN eL ibr ary STATTFINDEN, WENN DER GRAD DERSELBEN He rita g EINE PRIMZAHL IST ive rsi ty INSBESONDERE iod VON THEODOR SCHÖNEMAM, A H rom Th eB MATHEMATICUS AM GYMNASIUM ZU BRANDENBURG XIX APRIL MDCCCLII.) MA ); O rig i na l Do wn loa df (GELESEN IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM einer allgemeinen Theorie der höheren rid g e, Ungefähr zwei Jahre, nachdem meine Abhandlung: „Grundzüge gezeichnet i der Abhandlung sei in Galois Liouville darauf aufmerksam, dass der Hauptsatz jener Abhandlung bereits von oo log Jacob Sur : la theorie des nombres , 14 der von Seite J auf- her- eZ Professor leider zu früh verstorbene y( Ca mb Congruenzen etc." (Crelle's Journal, Bd 31) erschienen war, machte mich der und forderte mich zugleich , Co tome XI, 1846) auf, den Principien der algebraischen Untersu- of et applique'es, mp ara tiv ausgegebenen „ Oeuvres mathematiques d'Evariste Galois." (Extrait du Journal de Mathematiques pures Mu nach dem Tode des Prof höheren Algebra gelangte tiefen Sätze der of und die mir bis dahin gänzlich Jacob Es geschah i unbekannt zu einem Einblick dies bei dem Beweise in eines ibr ary diese einfachen ich leider erst the gewesen waren, bewirkten es, dass se um chungen von Galois nachzuforschen Die Dunkelheit dieser Schriften, ay rL Satzes, der mir durch gewisse Eigenthümlichkeiten der höheren Congruenzen zu einem hohen Grade der Dieser Satz heisst: Zwischen den Wurzeln einer irreductibelen Glei- kann keine Gleichung des ersten Grades mit rationalen Coefficienten ausser der bekannten, dass die ive , Un stattfinden ist, rsi ty, chung, deren Grad eine Primzahl Er ns tM Wahrscheinlichkeit erhoben war der irreductibelen Gleichung Indem ich nun der Wurzeln gleich in dem negativen the Ha Satzes mittheile, habe ich vorzüglich die Absicht, die Principien, von welchen by noch nicht aufgeklärten Memoire sur ed ten, aber bis jetzt les conditions Licht zu stellen Ich Galois in seinem berühm- de resolubilite des equations par ausging, ohne sie vollständig auszusprechen, in ein klares Dig itis radicaux (S 33 der Oeuvres mathematiques') ersten Coefficienten den folgenden Blättern den strengen Beweis dieses rva rd ist Summe bemerke sogleich, dass der Satz des § der zugehưrige Beweis aber von Galois Der Satz des § aber weder hervorgehoben noch bewiesen worden ; von ist Abel herrührt, ebenso der Satz des § 4, von Galois zwar mehrfach angewendet, eben so verhält es sich mit dem Satze des § Auf die übrigen Sätze und Beweise glaube ich einen gerechten Anspruch zu haben, höchst wahrscheinlich ist, dass Galois dieselben gekannt und angewendet hat 1 obgleich es ) Theodor Schưnemann 144 Erklärung und Lehrsatz § nicht in der Art in zwei Factoren von Bedeutet irgend eine ganze Function von x, welche sich fx Grade zerfallen niedrigerem Factoren wieder rationale Functionen der Coefficienten von fx sind lässt dass die Coefficienten dieser , so heisst , fx Aus- ein irreductibeler Ausdruck von x ist so kann derselbe mit keinem anderen Ausdrucke , iez en ein irreductibeler tru Wenn fx m at druck von x dessen Coefficienten ebenfalls rationale Functionen der Coefficienten von f x, fx sind, eine Wurzel ge- bio log x , g/; ww w ohne dass f x durch fx ohne Rest theilbar sei Beweis Bestimmt man nach den gewöhnlichen Methoden den grössten gemeinschaftlichen Theiler zwischen fx und f x so ist dieser offenbar ebenfalls ein Ausdruck von x dessen Coefficienten rationale Functionen der Coefficienten von fx sind Wäre dieser Theiler nun nicht fx selbst so wäre er von niex ary or meinschaftlich haben , rsi t ylib r , O— — /w ww bi od p:/ htt (x — cpa„) iod eB fax bezeichnet werden oder die Potenz eines irreductibelen rom , (ax) m qx m bedeuten, und eine , rig i fx wo ax und qx rationale Ausdrücke von x und den Coeffiganze Zahl ist, ferner ax irreductibel und kein Factor von qx ist, Do wn Gesetzt f? x sei ); O auch na l Beweis : MA ist cpa ) der Ausdruck soll loa df Ausdruckes so a n die Wurzeln des irreductibelen Ausdruckes entweder selbst irreductibel ist einen solchen Factor und den Coefficienten von fx, so , heissen, und durch fx Der transformirte Ausdruck (x cpa,) , Th der transformirte Ausdruck von cienten von x eine rationale Function von fx ary Sind a 1; a also ive rsi ty fx, und bedeutet yx Demnach müsste ersten Grade ist Erklärung und Lehrsatz § ive vom , eL ibr fx als was gegen die Voraussetzung , He rita g drigerem Grade haben und mindestens mb y( Ca oo log = wo qx und q x q x sein, fx x ganze rationale Functionen von ebenfalls t fx sind qt x Im tiv q{$x) eZ und es muss daher oder rid g e, = (?*— ?«0 0?x — + + ò3 ( òo ô> tM A 4+ + 4 + + + + 4) = « ,): (4 , (D m (—1) 4- • • • )= Jf ist die Form m(D -2 ü> + > wm Ha rva • • 4„ nicht sämmtlich unter einander gleich, und rsi ty, ive 4- rd co ô> ^- (4 ) so kann kein Ausdruck von der Un m Do wn Bezeichnet man durch ed by the verschwinden, weil bekanntlich die Gleichung + x 4- x% + a;"- = Dig itis irreductibel ist, wenn n eine Primzahl mithin sämmtliche ist, + x ~ + ^n gemeinschaftlich haben müsste, 4=4=4= • • • == l 4- Wurzeln mit der Gleichung 4#= wenn jener Ausdruck verschwände, und ist Da nun keiner der rechten dies Factoren nur stattfinden kann, wenn in jenen Gleichungen ver- Schönemann Über Th schwindet, so müssen — Man Faetoren bis auf den letzten verschwinden alle linken erhält mithin folgende Gleichungen: i + h + k 03-1+ k „>*(-»+ + -° K' + h* or ary ylib r rsi t ive /w ww bi od durch die zweite , aber A t , A , na l man nämlich MA Aß = Wurzeln B t ß, + a einen andern Werth , B und t + B , 2 + ß2 ß2 B y( Ca oo log eZ tiv B Co B2 n , Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se x , of B als , ist s = A n, n + + A ß n durch jede annehme Bezeichnet B setzt: B a ßn , — B» aber unmưglich, weil dadurch, dass man von allen Zahlen mp ara Au Dies + A A einen bestimmten Zahlwerth z abzieht, notwendigerweise eine andere Zahlenreihe entum und addirt sämmt- nicht gleiche ßt mb n % t gleich irgend einem Zahl werthe z sein Gleichung x —B =A —B = A —B At , rid g e, + A, ß t +,4, ß (ll_1)m A B ); O rig i dieselben Werthe, aber in anderer Folge, mit so müsste stehen muss (o Th nachweisen, dass leicht Permutation ungleicher Werthe der Ausdrücke A durch rom loa df nun lässt sich Do wn Zusatz Es t , n ßt weil eine irreduetibele nicht stattfinden, haben kann A e eB Gleichung kann l)' iod Pi Diese = oder ß m ive rsi ty —jP~ = n He rita g Gleichungen, so erhält man liche (n die = — p:/ 2m u> htt wm durch o eL ibr dividirt die erste + 1+ ary + = (»-if pi Gleichung die und kM Pi Pi Fügt man hinzu noch g/; ww w bio log iez en tru n die Beziehungen zwischen den Wurzeln irreductibeler Gleichungen m at 156 die aus den Werthen von A t , A , A a zusammengesetzt sein soll  ... Bildungsweise der folgenden Werthe, und die Zahl der ist man zu dem Ende das Betrachtet kennen zu lernen letzte Beispiel des § , nämlich ibr ary of Glieder oder F, , = in jene so erhält um Die Folge der. .. wird, als das kleinste Vielfache § 10 m der zweite t, Glieder in sich ist wenn der Index dass : p:/ m m Theile zerfällt, von denen der erste 3X2 und zwei Gliedern gebildet eL ibr m die zweite aus... die Indices der Perioden, welche in g/; ww w F V enthalten sind, durch blosse Veränderungen der Abtheilungen, in die Indices der Perioden übergehen, welche in F V enthalten sind, oder dieselben