Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 41-2-0057-0098

mm bio log m\mu iiiE nEHTEi ive rsi tyl ibr ary org iiiii /; w ww DAS onit'öEii iez en tru m at 67 bio d ANTON PICHTA, eL ibr ary htt p:/ /w ww Ph,l Dr PKIVATDOCENTEN AN DER PRÄGER INIVERSITAT DER SITZUNG PER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTI.ICHEN CI.ASSE AM MÄRZ 1879 rom IN ;O rig ina lD ow nlo a df VORGELEGT Th e Bio div ers ity He rita g (^Jd'it StiCefl*.) (C am bri d ge , MA ) Einleitung»• die Untersncbuiigen, welcbe Prof Felix in den matbematisclien Annalen, Bd IX, XII über das Ikosaeder publicirte, Zo olo gy Der vorliegende Aufsatz bat die Aufgabe, etc Klein in Müncben entsprechender Weise — — auf das Oktaeder auftritt ara t ive wobei selbstverständlich neben grosser Analogie auch manche Verschiedenheit in und Tetraeder auszudehnen, um ist, in gewissem Sinne einerseits alle Archimedeischen Körper, of dodekaeder schon im Ikosaeder subsummirt Co mp biedurch, da auch hier der Würfel von selbst hinzutritt, und das l'entagon- m eu us sofern sie regulär sind, vom Standpunkte der Klein'sehcn Arbeit zu betrachten, und ist, zu bringen Schon hieraus erhellt, in dass der vorliegende Aufsatz sowohl als Einleitung mit den einfacheren regulären Körpern befasst, als auch als rL ibr Klein'schen, insofern ay er sich Dass mir dabei Herr Prof Klein, zumal Er ns tM bezeichneten Sinne aufgefasst werden kann welche ich im Grossen und Ganzen nocli im Sommersemester 1878 iu München in zum Ergänzung im den ersteren Par- ausarbeitete, stets auf Un ive rsi ty, tien, auch die Analogie mit der Gleichung fünften Grades, soweit dies ary möglich of the M Theorie der Gleichung dritten und vierten Grades aiidererseils zuvorkommendste Weise mit Kath und Beieiirung zur Seite stand, und mich auch iu dieser Richtung sehr verpflichtete, muss ich sofort bemerken, da hieraus schon erhellt, welcher Dank von meiner Seite Herrn Prof gebührt he Klein Ha rva rd die bemerken, dass die grosse Ausfülirlichkeit und Breite Überlegung zu bringen, in Dig itis Auseinandersetzung einmal ed by t Vielleicht darf ich noch als dem Bestreben begründet ist, in der nachstehenden mir selbst jeden einzelnen Punkt zur allseitigeu auch andererseits dem mit den hier gebrauchten Vorstellungen und Schlüssen nicht Vertrauten das Verständniss derselben zu erleichtern Was nun die oben erwähnten regulären Körper selbst dass ihr analytischer Ausdruck, trisch als formen iiire betrifft, so besteht ihre Haupteigenschaft darin, Gleichungen, durch gewisse lineare Substitutionen, welche sich geome- Rotationen im gewöhnlichen Sinne interpretiren, und darum auch die Covarianten dieser Grund- in sich selbst übergehen, und biedurch zu gewissen Gruppen von Substitutionen im Galois'schen DeDkachrirten der mathem.-Daturw Cl XLI Bd Abhaudluugeu vou Nichtmitglitdern h Anton 58 Anlass geben, was Folge hat, 7Air wodurch man nothwendiger Weise zur Untersuchung, 'riausfoniiationen in sich selbst !;esfattct, licrurliger Gieicliungeii schnitte, von die \i'ranla.s,st denen der Jede liomogene Glcicliung zwischen Covaiianten gleichfalls ilnss erste die Aufstellung der Lösungen der üktaedergleiehung zum Zwecke eder auftretenden Resolventen hat, und der dritte die Ab- Aufstellung der wichtigsten beim Okta- letzte die entwickelte Theorie auf die allgemeine ;w ww bi olo gie ze ntr u Gleichung vierten Grades anwendet, und so dieselbe von diesem neuen Standpunkte lösen „Mathematischen Annalen' besonders folgende: Clebscli's „Hinäre Formen" für reine y.o rg/ Borchardt's Journal lehrt seinen zahlreichen Arbeiten in den Klein und Als Quellen benützte ich ausser den Vorträgen von Prof hypergeonietrische Reihen" im 75 Bande von vier in erwähnten Gruppe von Substitutionen verfolgt, der zweite während der entliält, Lösung resp Mit Kücksicht hierauf gliedert sich das Nachfolgende wird m at Hiniie I'uchta Schwarz's Aufsatz „Über und angewandte Mathematik; den Comptes rendus, ])S.5S etc rar yh ttp ://w ww bi od ive rsi t ylib rar llermite's Aufsatz: „Sur la resolution de l'öquation du cinquieme degre" in ; rita ge Lib Erster Abschnitt Das Oktaeder und Tetraeder mit ihren Covarianten als Ii Träger sämmtlicher Werthe der coniplexen Variabein k = x-k-yi vom Radius ^, welche mir im Folgenden stets eine Kugel ich die -»y-Ebene der analytischen Geo- ad fro m denke Th e Bio d div Als Interpretationsgebiet, ers ity He § LTm dann nämlich den Punkt zu ow a;, -i-y,»' dargestellt ist, ina ^j = lD welcher auf der Kugel durch finden, nlo metrie auf Seite der positiven s im Coordiiiatenanfangspunkte berührt ;O rig welcher die beiden Punkte von den Coordinaten {x=^0, y suche = 0, = l) c man den und (a; = wodurch man den Repräsentanten des Werthes y = y^, s = 0) verbin^ erhält Zur = «^ a3j, |, -i- ?/, ge ,M A) det, mit der bezeichneten Kugel, Schnittpunkt des Strahles, grösseren Symmetrie werde ich mich zugleich der iiomogenen Schreibweise bedienen, und also statt am bri d '£, als der den Südpol und ^^=0 den Nordpol der Eiuheits- Zo olo = so derselbe ist Kugel eingeschrieben zu betrachten, und jeder Punkt, der auf einer Seitenfläche eines liegt, durch einen Radius der Kugel ist immer solclien auf die Oberfläche derselben zu projiciren, so dass also m of Körpers £, ferner im Folgenden von einem regelmässigen Körper die Rede, Ist etc B sofort ergibt, dass mp ara tiv e kugel bedeutet immer z gy schreiben, woraus sich Co J (C f welche die Ecken eines eingeschriebenen Würfels bestimmen of th ist, sich nun sofort, dass die Function Er ns tM ay rL ibr Aus dem Gesagten ergibt ary verstellen eM us eu strenge genonmien unter einem Würfel im Folgenden der Complex jener acht Punkte der Einheitskugel zu welche gleich Null gesetzt, die sechs Wurzeln 0, oo (entsprechend dem h-1, —1, -f-z, —i gibt, rsi ty, t,^=^()), rva +' vier Punkte des Äquators bezeichnen, welche von einander um einen Winkel by Es handelt sich jetzt zunächst Dig itis die Invarianten betrifft, so besitzt F ergibt, gleich —o ab- um die Bildung des vollständigen Formensystems von F Was zuerst nur eine, da ja alle Oktaeder ähnlich sind und zur Deckung gebracht werden können, wenn der Radius der umgeschriebenen Kugel gleich sich aus -^ Ha , ed stehen ±\ the Kugel und rd Un ive durch die sechs Eckpunkte eines Oktaeders dargestellt wird, indem ja 0, oo den Nord- und Südpol der ist in beiden Fällen; sie ist hier, wie he rd Ha rva ty, Un ive rsi ary rL ibr ay tM Er ns m eu us of the M of ive ara t Co mp Zo olo gy (C am bri d ge , rom df nlo a ow lD ina ;O rig MA ) Th e ity ers div Bio ary eL ibr He rita g p:/ /w ww htt ary ive rsi tyl ibr bio d /; w ww org m at tru iez en bio log Form ed by t Als Hcss'sche Dig itis Das Oktaeder and erhält man die Gleicimng vierten Grades 59 weiter 6*5» : Anton (jO L'uokta ein Gleiches //,/uud von gilt i, Bezug auf das von einander als z /'" als H B F, ganz gleichberechtigt zu betrachten sind Gruppe der Substitutionen von Fund/ Symmetrie-Ebenen des Oktaeders erhalten wir folgende zwei Coraplexe von symmetrisch ver- die Punkten theilten // nachzuweisen; ;w ww bi olo gie ze ntr u Durch Co Varianten von Mühe, nachzuweisen, dass l'berluuipt hätte es keine Verhältniss als C'ovarianten § als m at T in T und und nur die grössere Einfachheit der Intcrpredation bewog mich, Ausgangspunkt der Entwicklung zu nehmen, und F um auch // hätte als Grundform zu Gründe legen können, wenn das Oktaeder, Punkte und umgekehrt in auf der Kugel bestimmten ttp ://w ist, F=0 durch es bei gewissen Substitutionen, zu denen wir gleich gelangen, offenbar der Fall decken, was sich d h die sechs, ww bi od ive rsi t ihrer Totalität sich decken, ylib rar y.o rg/ A Acht Punkte, welche den Mittelpunkten der Seitenflächen des Oktaeders auf der Kugel entsprechen; sind dies die acht Punkte U, welche offenbar einen Würfel oder zwei Tetraeder/ und h bMden und ; es sind dies Lib Eine leichte Über- ge durch die Mittelpunkte der Seiteuflächen oder Kanten des rita T, legung ergibt ferner, dass h und wie von den acht //-Punkten gilt, resp t He Punkte von die zwölf von welchen das Gleiche rar yh B Zwölf Punkte auf der Kugel, welche den Kantenmittelpunkten des Oktaeders entsprechen div ers ity Tetraeders f dargestellt werden, und hiedurch erhellt einerseits die oben erwähnte Gleichberechtigung und F Selbstver- auch rechnerisch auf sehr einfache Weise sich die Behauptung klar machen, was ich kann man Aus dem Späteren wird ad wie es Fig projiciren, lD angenommen wurde, und dass die vier Punkte /, ergeben, nlo Weise sieh in der resp h auf die angibt, wobei der unendlich ferne Punkt der s-Axe die stärker markirten ;O rig ina Projectionspunkt als sich ow jedoch übergebe »y-Ebene fro m ständlich t Th e Bio der betrachteten Formen und andererseits die Nothwendigkeit der Congruenz von der Kugel liegen, die anderen aber unterhalb derselben; bilden sie offenbar den ,M A) in Punkte oberhalb der Äquatorebene ihrer Totalität drei Gruppen von Punkten beim Oktaeder, (C denke mir nun die genannten also von sechs, acht, resp gy Ich am bri d ge Würfel H i^, Dann F^, F^, H^ E^, 2\ ,T^ , F^^^ (-t-«', — *') ist? ist klar, dass F^, welches die Axe auf der Ebene der vier Punkte 0, -+-i, —1) (-4-1, — oo, — i sein soll, im Mittel- und desshalb eine Rotation durch ^, 2-—, us eu steht, m punkte derselben senkrecht of Co während F^^E (0, oo) und mp ara tiv e bezüglich mit Zo olo zwölf Punkten, immer zu je zweien auf einem Durchmesser der Kugel liegend, und bezeichne die letzteren eM während F^^{-+-1, —1) festbleibt, das Oktaeder jedoch in seiner Totalität ungeändert of th vertauscht, und ebenso desshalb auch diese vier Punkte cyklisch T und die ausser diesen noch möglichen Man beachte rL ibr ary seine Covarianten // und bleibt, ay jedoch hiebei, dass ausser den bezeichneten drei Gruppen symmetrisch vertheilter Punkte keine weiteren Nimmt man desshalb tM die drei Axen Ganzen zu 3.3 F^, F^, F^, so geben diese im = Rotationen Er ns stiren exi- Un ive drehen, nur die Periode haben, da schon die zweifache rd erhellt, dass die sie durch " ed by man um tz Axen II^ H^ zu Ha Ebenso the gibt rva welche durch rsi ty, von der Periode Anlass, da eine solche, 4mal wiederholt, ohne Einfluss Dig itis bringt; dies gibt 4.2 resp , =8 der Periode Anlass, ^ Substitutionen 2;: wobei jedoch drei davon, Anwendung derselben die Identität je zwei Substitutionen der Periode Anlass geben, um Ausserdem geben um n, eine beliebige Axe Axen 7\ T^ zu je einer Substitution von zusammen nach Hinzulügung der Identität, die so dass wir entspricht, im eder erhalten, welche dasselbe mit sich selbst zur Deckung bringen Ganzen 24 Substitutionen beim Okta- Dass es nicht mehrere gibt, der obigen Bemerkung, dass es nur die drei Giuppen symmetrisch vertheilter Punkte, F, Beim Tetraeder erhält indem drehen kann, und dabei das Oktaeder wieder mit sich selbst zur Deckung durch Dreliungen welche einer Drehung durch ist, man zunächst vier H und T folgt gibt Axen, welche je einen Eckpunkt desselben mit dem punkte der gegenüberliegenden Seitenfläche verbinden; es sind dies die vier Geraden //, //, aus Mittel- vom Oktaeder, Dan Oktaeder und in Fii;ui- I /', : drohen Ivann, tutionen um das Tetraeder wieder mit Periode iler 2k dureli , 2n resp , ^ zur Deckung zu bringen, so resultircn zunäelist, acht Substi- t^icli Ausser diesen tinden ö H, und da man um Jede die Diagonalen des Wiufels d h //, /,,//,, Grades die Gleicluiiiy vierten die oben mit F^, l'\, sieli uoeii bezeichneten Axcn, welche F.^ welche wir oben schon her- je einer Substitution der Periode sind, t verbinden und Träger vorhoben; somit cxistiren beim Tetraeder einschliesslich der Identität im Ganzen 12 Substitutionen, welche alle unter den 24 Oktaedersubstitulionen enthalten sind, also genau die Hälfte derselben, welcher Umstand ^vur/.el trat F dass wir von ausgehend, die Covariante H bei der Spaltung von — auf durch Adjunction einer Quadratbio log — 2/^~ // zwei ganz äquivalenten Tetraeder h und /; w ww darin seinen Grund hat, iez en tru m at je zwei Punkte in die t org Folge dessen nur jene von den 24 Oktaedersul)stitutionen beim Tetraeder/ betrachteten, welche/ immer nur in/, und darum auch /* immer nur in h überführten, also alle jene ausschlössen, welche und in Umstand, der ja bekanntlich der Reduction nach Galois immer der Theorie der Gleichungen bei in auftritt ary htt einem beliebigen Punkte der Kugel durch die Anwendung der 24 Okta- ~ resp der 12 Tetraedersubstitutionen immer von je 24, resp 12 zusammengehörigen eL ibr — eder gibt das Gesagte, dass aus ein ('omplex He rita g Nun Punkten wird, und dass der Grad der Vielfacbheit für die Punktgruppen F 24 zusammengehörigen Punkten, resp 12 beim je durch resp /l-t-i+oo /; w ww bio log U t,, t^ auf beiden Seiten An ton gS l'uchta In Folge dessen lautel die Gleichung sechsten Cinides lür die -^ ^- lÜ ^- kann man nun behaupten, dass dieser Gleichung dadurch, dass bei gegebenem 11 und 7'* also aucli /', '^ 16 sie algebraisch lösbar ist, und erkennt dies einmal aus der Oktaedergleichung f algebraisch gefunden m at Von ^- /_: tritt Da nämlich wodurch lässt, sechs quadratischen die sicii Formen in -^ Al /.2 ^^ V"'! ^i) rita = He ^'3=/5 7.G ge Lib rar yh ttp ://w -'^l by the Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of th eM us eu m of Co mp ara tiv e Zo olo gy (C am bri d ge ,M A) ;O rig ina lD ow nlo ad fro m Th e Bio div ers ity und hat dann ed drei ww bi od ive rsi t den Gleichungen Dig itis die algebraische Lösbarkeit ebenfalls zu Ebenen zu je zweien vertheilen ein solches Paar von y als Unbekannte einführen, und gelangen dadurch zu immer lassen, so können wir Grades zurückführen y.o rg/ Tage drei Gleichungen zweiten ylib rar und ;w ww bi olo gie ze ntr u \Yerden kann, nacii dem im zweiten Abschnitte Gesagten, wodurch Xi -Zt! gegeben sind, und amleverseits durch die Überlegung, dass die Gleichung sechsten Grades für die / sich auf eine Gleichung dritten Grades : : Das Oklaeihr und sciicn Betraciitung die höheren Periode u s w ferner die Oktacdergleic!iung aurh durcli hypergeometrische Reihen lösen kann, so Coctficienten aus/, h t und t auch bei ihm die Aufgabe sich Klein im Form der Tetraedergleichung die linearen stellen, Wurzeln einer Gleicliung auf/Jifassen ganz und rational aufbaut, doch w.'ise hier nur auf ein derartiges Beispiel, das will welche ihre hierauf nicht weiter eingehen und ver- icii Bande der Mathem Annalen, 14 , p 154 gibt, wobei voraussetzt a? -^ ax-\-b Wurzeln folgenden Functionen von f, setzt ihre htt Form = 0, gleich: fj , der x^, x^, x^ als die drei Hauptaxen eines Oktaeders auffassen, und bringt die Lösung der obigen lD kann man ina so ow nlo a df rom Th e Bio div ers ity und in ary Grades an die allgemeine Gleichung dritten eL ibr Nimmt man p:/ /w ww dritten Grades, Cardanische Formel Lưsung der allgemeinen Gleichung He rita g § bio d ive rsi tyl ibr er allerdings eine andere man B in geeigneten Potenzen als ' m at weiter das Tetraeder betriift, so könnte Factoren von/, h und die Glei- tru Xf-Xs ist solche Reihen lösba- neben der algebraischen Lösung f1'"''-''i iez en '''"'''' bio log Was enthält Galois'schen Gruppe keine Suhstitution einer ihrer in /; w ww für als Gleichung sechsten Grades Folge der geonietri- in org Da man chung des im vorlieigehenden Paragraphen Gesagten, wonacli Anwendung die ary Eiiisiclit gibt 89 Gleichung vierten Grades die mau vergleicht -^ und also setzt H=-a, (C am bri d der Parameter der Oktaedergleichung, den Werth im zweiten Abschnitte lautet jetzt — «3 -^i=-t2 haben, und die Gleichung I") ive § = b, us eu m of Co mp ara t des A', 4F* Zo olo gy denn dann wird Gleichung ge , für sie mit der MA ) ;O rig Gleichung dritten Grades sofort auf eine Oktaeder- oder Tetraedergleichung, wenn Wahl des Werthes von of the M aus welcher Gleichung bei geeigneter für eine Wurzel x sofort nach Auflösung einer rL ibr ary quadratischen Gleichung der Werth tj, 3 ty, Er ns tM ay umn' \/-',-fm^ ist rd « := / vergleiche hiezu die berühmte Ha rva Man wo Un ive rsi 3_ fliessen muss, Abhaudkiug von Lagrauge aus dem Bande der neuen Memoiren sich tiudet, Buch, 277 Damit will ich diesen Abschnitt schliesseu und übergehe dazu, die p Dig itis Michclscn, ed by t he der königl Akademie der Wissenschaften, wie sie in Euler's Analysis des Unendlichen, herausgegeben von allgemeine Gleichung vierten Grades mit die cyklischc Permutation zweier Wurzeln oder dreier {x^ x^) ihr geometrisches Bild in resp durch 2^,4- um dem Oktaeder , (a;, x^) {x^ x^ zu verknüpfen, wobei ich nur noch bemerke, dass als und (.r, x^ x^ {x^ x^ x^) den Drehungen durch n um irgend eine der drei Axen (0 oo), (-t-1 —1), (h-»' — 0> irgend eine Diagonale des Würfels H, welche einander völlig coordinirt sind, finden UciikJchriften der niathcm.-iialurw CI XLI lld Abhan-ilungcn von Nichtmitgliedern m Anton aa Oktaede?- aml Gleictmng vierten Grades ilie Substitutionen der Periode gibt es weiter offenbar M^ fasseu kann und jede = 8, l weil ich mal drei Elemente heraus- wegen der Periode iiieraus gebildete Substitution zu zweien Anlass jribt; die aclit Substitutionen entsprechen den acht //-Substitutionen und sind folgende: 124), .b) (234), (134), z Anordnungen der Wurzel bedingt B folgende zwei wovon aber drei die Periode IhViViVi) bio d Anordnungen die ist; Wiederholungen, wobei die mittlere die Periode 2/2^42/32/1 He rita g 3) und ihre Wiederholungen bedingt, die mittlere entspricht der Substiity (1 und endlich 2/82A 2/32/1 ist 2/3 2/« 2/4 2/1 2/jiy4 2/1^3' 2/42/12/32/2 Th e ; Bio div ers sind durch die Substitution tution (14) (23), 2/42/32/12/2' ) eL ibr ary hat und durch (13) (24) zu bezeichnen ihre •••c) p:/ /w ww und (1, 2, 3, 4) '/iViViUs^ htt hervorgerufen durch die Substitution ive rsi tyl ibr werden folgende Anordnungen der Wurzeln bedingt: ytUaUkl/i, haben, durch sie org neun, ary man Endlich Substitutionen der Periode erhält /; w ww bio log die erste iez en wo tru m at (123), df sich die vier nlo a wenn man ow erkennt diese Anordnungen sofort, um Elemente äquidistant auf einem Kreise eine verticale Axc durch das Centruni um g dreht; dass dieses in der That so zu denken ergibt sich daraus, dass diese neun Substitutionen den ist, MA ) TZ ;O rig ina der Reihenfolge der Substitution angeordnet denkt, und dann lD Man in rom durch (13 4) hervorgerufen und (12) (34) die mittlere logie treten, (C am bri d ge , /•Substitutionen entsprechen, und wie sich später zeigen wird, die y mit den vier Würfeldiagonalen wodurch die bezeichneten Anordnungen sofort auf einmal zu man von ergibt sieh daraus, dass der Anordnung ive existirt, Zo olo gy Dass keine anderen Substitutionen von einer Periode unter fünf Periode Tage existiren in Ana- treten und auch keine einer höheren ausgehend, zu einer beliebigen 2/12/22/32/4 ist die Congruenz Co mp ara t der 24 möglichen durch die oben bezeichnete Substitution übergehen kann In Folge dessen of der Gruppen von Substiiutionen beim Oktaeder und der Gleichung vierten Grades evident, und aus dieser welche die Wurzeln (2/1 ary rL ibr 2/3 -^ 2/3 (.y — — — 2/2 = W^ = ^^\ 2/4)' 2/4)* oder (2/1 2/2 (y, y^ — 2/.1 2/4)* - y^ y^f -^y.-y^- 2/4)' ^'"3 =(2/12/4-2/2 2/3)' hat, eigentlicii ideutiscli in ist beiden Fällen, und man kann nach einem bekannten nicht weiter eingehen Diese Congruenz der beiden Grujjpen man d h sehr allgemeinen Satze übergehen, welcher Satz für die Glei- Analogen in will ich nun seine Coordinaten eines Parameters aufgefasst werden können, wodurch ihr W in Bezug auf doch yiy will = ich und die 1/, y^ y^ y^ als -//^ 24 Oktaedersubstitutionen rMtionale Functionen — einschliesslich 24 Collineationen haben, so dass wir für die ganze Betrachtung in ans einem durch die genannten 24 (.'olliiieationeu Fällen, die leicht angebbar sind, weniger aber entstehen, und welche darum mehrfach zählende (iru])pe enthalten der der y-Ebene wieder eine geometrische Ansdiaulielikeit erhalten, indem immer 24 Punkte zusammengehören, die lich iiicrnuf nämlich die y als plane VierlinienCoordinaten, so hat dies zur Folge, dass jeder Punkt des genannten Kegelschnittes, • zu den sich höchst wahrscheinlich einfach geometrisch beweisen lässt, noch klarer machen Fasst Identitọt ô Ha rva chung vierten Grades rd der That rational und ganz von den he in ed by t Lagrange Dig itis von Un ive rsi ty, «'3 -t- 2/8 ay «'! = (y = = tM ''"i of the M mittelst der kubischen Gleichung, Er ns Grades us eu m Betrachtung ergibt sich auch, dass vom Standpunkte der Substitutionen aus die Lösung der Gleichung vierten säinnit- nur in besonderen Für diese letzteren erhält ed Dig itis by the rd rva Ha ty, rsi ive Un ary rL ibr ay tM ns Er m us eu eM of th of Co mp ara tiv e gy Zo olo lD ina ;O rig A) ,M ge bri d am (C ad nlo ow m fro Th e Bio ity ers div rita He ge ww bi od ive rsi t ://w ttp rar yh Lib y.o rg/ ylib rar l-l— ;w ww bi olo gie ze ntr u i m at Da,-i Demnach bat man ^' — Oktaeder und die Gleicliung vierten Graden 93 hier !/i >jt Dieses Ergebniss hätte !h !/' ^ d/i -^!/i-^ y-i) -+- (.'/i ?/2 -+- (vt ?/*) -^ ys man voraussehen können, denn da JT ändert bleibt, so nniss es, weil ein Factor sowohl z yj- den Subslitiilionen (12/5) unver- B bei symmetrisch als linear den F'actor ist, tru m at in ji^ij^y^ -+- ?/») ii/t -t- 2/3 -I- = 0, den Factor y^ enthalten, etc so findet ninn für sie die betrifft, org Punkte he Ha rva rd Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL ibr ary of the M us eu m of Co mp ara t ive Zo olo gy (C am bri d ge , MA ) ;O rig ina lD ow nlo a df rom Th e Bio div ers ity He rita g eL ibr ary htt p:/ /w ww bio d ive rsi tyl ibr ary ?/l ed by t bio log Sy die Coordinaten der 12 doi)pelt zählenden Dig itis Was Werthe /; w ww oder kürzer, wegen iez en «(yi-t-yj-i-y:!)-»-«^!/* An ton Puchta 94 einer Substitution (Ici- Periode z.B o, + »S0 + der durcli den Sciiwerpunkt der drei Punkte 0, mit den Reiten ?/, -+-11/^=0, '/j-i-y.i^O, um welciie durch ,, = 0, 3/3-1-2/1 rechtfertiat geiit, t 1, erhält so einen Durclnnesiser der Kugel dreht, denn nimmt man das Dreieck sicli hier, man das resp zweiten fest- hei der ersten, bleibende Element als gegeben durch 2/4 und —3% — ylib rar um vergleiche, die Nothwendigkeit dieses Ergebnisses einzusehen, hiemit das ww bi od ive rsi t Man Eindeutiges Entsprechen zwischen und t des ersten § j/fi/iy^^y^ rar yh ttp im f= ^' Lib der Parameter, welcher den 24 Oktaedersubstitutionen unterworfen wird, so behaupte ich die rita ge Ist ://w Abschnittes Gesagte § ^• y.o rg/ ;w ww bi olo gie ze ntr u y» m at — ~ —2 _ ~ -^ ^3) (Vi -+- y») -+- (y» linearen rationalen Function /' He Existenz einer in den Wurzeln (»/i.'/j 2/3 ?//,), welche so mit ^ in Bezie- ity ?/, yj.'/g.'/,, dass durch die in vorhergehenden Paragraphen angegebenen 24 Vertauscimngen der y das ^ Bio div steht, ers /' Nimmt man den Kegelschnitt lD ow nlo auf folgende Weise fro m gelangt zur Einsicht in die Richtigkeit dieser Behauptung und zugleich zur Kenntniss der Function ad Man Th e sämmtliche Oktaedersubstitutionen erfährt man sehr einfach erhält, die Tangente im Punkte 1) F' (§ 2), A) wie t, am bri d ge -1, ~i = 0- Zo olo gy (C yi-t-«'?/s— 2/3— ^v, nach a) des Co § 1) — mit 2), der die Coordinaten 1, mp ara tiv e Die Gerade ferner, welche den Punkt lautet mit den Coordinaten 1, ,M so lautet, = ^, ;O rig ina y\-^yl-- Dig itis Mit Hilfe der Gleichungen 7) erhält man uuu JJ3^ Schluss die Oktaedergleichuug _ 2'« £3 TƯ8^F*(|)""~ 3^1*' so dass also der Parameter X in t)eukschrit*teu der matheni.-naturw Gl der Oktaedergleichung des zweiten Abschnittes den Werth hat XLI Bd Abhaudlungeu von Nichtmitgli ederii .0^) Anton 98 und Ohtaerter die Gleichung vierten Grades man nun nach dem Früheren die Oktaedergleicbung ^ algebraisch oder mittelst hypergeometrischer man C und nach geeigneter Normirung von ^^ dann und durch die Formeln /3) des dritten Reihen, so findet l^, , 7) gegebenen Werthe Beachtet man ;/, y^y^y^ kann man auch Selbstverständlich die Resolveute für die f benutzen, Gleichung für in die

l y.o rg/ ;w ww bi olo gie ze ntr um at ibr ar und ay llftaPiiei' tM >uf lila "•'-'' die tileidiims vierten Grades^ TalVI I iir.i! 11 ... ich dort in Bezug wieder eine der nur andeutete, wodurch die Natur des Zo olo gy Oktaeders, oder besser gesagt, der Oktacdersubstitutioneu, ganz durchsichtig wird, und ich andererseits Gleichung... betrachteten Formen und andererseits die Nothwendigkeit der Congruenz von der Kugel liegen, die anderen aber unterhalb derselben; bilden sie offenbar den ,M A) in Punkte oberhalb der Äquatorebene ihrer... Reduction nach Galois immer der Theorie der Gleichungen bei in auftritt ary htt einem beliebigen Punkte der Kugel durch die Anwendung der 24 Okta- ~ resp der 12 Tetraedersubstitutionen immer von