Chuyên đề hệ thức vi ét có lời giải và phân loại bài tập

CHỦ ĐỀ LUYỆN THI LỚP 10 : HỆ THỨC VI-ÉT ƠN TẬP LÝ THUYẾT * Định lí Vi-ét: (thuận) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) b � x1  x   � � a � c � x1 x  � a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - c a * Định lí Vi-ét: (đảo) uvS � Nếu hai số u, v thỏa mãn � hai số hai nghiệm phương u.v  P � trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P �0) 2.PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng tốn 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn * Phương pháp: Trước áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm hay khơng (Tức kiểm tra a �0,  �0   ' �0  có thỏa mãn khơng) * Ví dụ 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 2x2 - 17x + = b) 25x2 + 10x + = Giải a) 2x2 - 17x + = (a = �0, b = -17, c = 1) Ta có:    17   4.2.1  281  � Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b 17 c Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x    , x1.x   a a b) 25x2 + 10x + = (a = 25 �0, b = 2b’ = 10, c = 1) Ta có:  '  52  25.1  � Phương trình có hai nghiệm x1, x2 b 10 c Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x       , x1.x   a 25 a 25 * Ví dụ 2: Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, tính tổng tích x2 +  m  1 x + m2 = nghiệm theo m: Giải x2 +  m  1 x + m2 = (a = �0, b = 2b’ =  m  1 , c = m) 2   m  1 � Ta có:  '  � � � 1.m  m  2m   m   2m '  1 2m Để phương trình có nghiệm ���� m Vậy với m � , phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2  m  1 c m2 x1  x       m  , x1.x    m2 a a Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn *Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a �0 ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp (Trường hợp đặc biệt):  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - c a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = Ta thực theo bước:  Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x x2 �x1  x  b � �x1.x  c  Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) - Nếu m + n �- b, ta chuyển sang bước  Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n  Chú ý: Thuật toán có tính dừng hiểu sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu khơng tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp khơng nhẩm nghiệm * Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = b) x2 - 49x - 50 = c) x2 + 6x + = Giải a) 35x2 - 37x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c  a 35 b) x2 - 49x - 50 = Nhận thấy phương trình có a - b + c = - (-49) + (-50) = Do phương trình có c  50   50 nghiệm x1 = - 1, x2 = -   a c) x2 + 6x + = Ta thấy  '  32  1.8   Do phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn � �x1  x  6 �x1  x   2    4  � � � �x1.x    2   4  �x1.x    2   4  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = - x2 = - Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm * Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm lại x2 ? b Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1  x =  Thay x1 = m vào hệ thức, a b b c ta có x    x1    m ta dùng hệ thức x1.x  Thay x1 = m a a a �c � �c � : x1  � � :m vào hệ thức, ta có x  � � �a � �a � * Ví dụ: a) Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + = có nghiệm x = tìm nghiệm x2, giá trị m tương ứng Giải a) x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b 2 2 2 � x2   x1    3    = a 3 3 b) 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c  Mà x1 = nên suy ra: a 3 5 x  : x1  :  3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b  m  3  m  3 � 5 � 16  2m  � m  11 = a 3 Vậy x2 = 5, m = 11 Dạng tốn 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng * Phương pháp: uvS � Nếu hai số u, v thỏa mãn � hai số hai nghiệm phương u.v  P � trình x2 – Sx + P = (1)  Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P �0) ta được: u  x1 u  x2 � � � � �v  x �v  x1 * Ví dụ : Tìm hai số u v biết: u + v = 32, u.v = 231; Giải Ta có u + v = 32, u.v = 231 Do u v nghiệm phương trình: x2 - 32x + 231 =    32   4.231  100  �   100  10 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  32  10 32  10  21; x   11 2 Vậy u = 21, v = 11 u = 11, v = 21 Dạng tốn 5: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà không giải phương trình * Phương pháp: Biểu thức đối xứng nghiệm x1 x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) biểu thức có giá trị khơng thay đổi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 x2 Ta thực theo bước:  Bước 1: Xét biệt thức   b  4ac  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc  '  )  Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S x1x2 = P phương trình, thay vào biểu thức Chú ý: Một số phép biến đổi: (1) x12  x 22   x1  x   2x1x  S2  2P; (2) x13  x 32   x1  x   3x1x  x1  x   S3  3SP; (3) x14  x 24   x12    x 22    x12  x 22    x1x    S2  2P   2P ; (4) 2 2 1 x1  x S    ; x1 x x1x P 1 x12  x 22 S2  2P (5)    x1 x  x1 x  P2 * Ví dụ Cho phương trình x2 – 6x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: a) A = x12  x 22 ; b) B = 1  ; x1 x c) C = x12  x 22 Giải Phương trình x2 – 6x + = có  '   3  1.8     � phương trình có S  x1  x  � hai nghiệm phân biệt x1, x2 Theo định lí Vi-ét ta có: � P  x1x  � a) A = x12  x 22 =  x1  x   2x1x  S2  2P = 62 – 2.8 = 36 – 16 = 20 Vậy A = 20 b) B = 1 x1  x S      Vậy B = x1 x x1x P 4 2 c) C = x1  x   x1  x   x1  x   S. x1  x    x1  x  Mà ta có:  x1  x   x12  x 22  2x1x   x1  x   4x1x  S2  4P  62  4.8  � x1  x  �2 Vậy C = �12 Dạng tốn 6: Tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số * Phương pháp: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( a �0,  �0 a �0,  ' �0 ) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số Bước 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số * Ví dụ Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - = (x ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình x2 – 2mx + 2m - = có:  '  m  2m    m  1   với m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 S  x1  x  2m (1) � Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � P  x1x  2m  (2) � Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta S – P = � x1 + x2 - x1x2 = (không phụ thuộc vào m) * Ví dụ Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m �0 � m �0 m �0 � m �0 � � � � �� �� �� � � 9 0  2m  3  4m  m    �28m   �m  28 � � � 2m  3 � S  x1  x  2 � � m m Áp dụng hệ thức Vi-ét: � m4 � P  x 1x  1 � m m 12 � 4S   (1) � � m �� 12 � 3P   (2) � m Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Khơng phụ thuộc vào m) Nhận xét: Ngồi cách cộng vế theo vế, ta m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m Trong trình làm tránh vội vàng áp dụng hệ thức Vi-ét mà quên bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 Dạng tốn 7: Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước * Phương pháp: Ta thực theo bước sau:  Bước 1: Tìm điều kiện tham số (giả sử tham số m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức cho  �0  ' �0 ) �x1  x  S  f (m) (I)  Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: � �x1x  P  g(m)  Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thơng qua hệ (I) để tìm m  Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện trả lời * Ví dụ Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = a) Với giá trị m phương trình có nghiệm b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, tính tổng bình phương hai nghiệm phương trình theo m Giải a) Phương trình có nghiệm �  ' �0 �  m  1  7m �0 (đúng với m) Vậy với giá trị m phương trình ln có nghiệm b) Gọi x1 x2 nghiệm phương trình � 2  m x  x  S  � �1 (I) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x x  P  m � � Theo bài, ta có hệ thức: x12  x 22 =  x1  x   2x1x (II) Thay (I) vào (II), ta có: 2   m  � �m � 18m  8m  � 2 x1  x  � � � 2.� 7 49 � � � � * Ví dụ Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  Giải Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: � ��� '   3  m m m (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo bài: x1  x  (3) Giả hệ gồm (1) (3), ta được: 2x1  10 � x1  � x   x1    Thay x1 = 5, x2 = vào (2), ta có: 5.1 = m � m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = x1  x  * Ví dụ Cho phương trình: x - 2(m +1)x + 2m = (1) (với ẩn x ) a) Giải phương trình (1) m =1 b) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Giải a) Khi m = ta có phương trình x2 – 4x + = Giải phương trình x1   2; x   b) Ta có  '  m   với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt * Ví dụ Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (có ẩn số x) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ y = x12  x 22 Giải a) Ta có  '   m  1   2m    m  2m   2m    m     với 2 m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt �x1  x  2(m 1)  2m  (1) b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � (2) �x1x  2m  Theo bài: y = x12  x 22 =  x1  x   2x1x (3) Thay (1) (2) vào (3), ta có: y =  2m     2m    4m  12m  12   2m    2 Vì  2m  3 �0 với m nên suy y =  2m  3  �3 Dấu “=” xảy � 2m   � m  3 Vậy ymin = � m  2 Dạng toán 8: Xét dấu nghiệm * Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x 1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) dựa kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1   x � P  c  a �  �0   ' �0  - Phương trình có hai nghiệm dấu � � P0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm dương � � � S0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm âm � � � S0 � * Ví dụ Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu � P  c 1 m  � m 1 a Vậy với m < phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x1  x � '  m  3m  � � � �� P0 �� 1 m  �  m  � �2 m   S0  � � Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 10 * Ví dụ Cho phương trình mx2 - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 �x  a �0 � �  ' �0 � �� P0 � � S0 � m �0 � � m �0  m �0 � � � 3 �m �3 �m � � � 0 �� � 3 �m   �m � �6 � m0 � � 0 �m Vậy với 3 �m  phương trình có hai nghiệm âm 11 12 ... làm sau: Dùng hệ thức Vi- ét x1  x =  Thay x1 = m vào hệ thức, a b b c ta có x    x1    m ta dùng hệ thức x1.x  Thay x1 = m a a a �c � �c � : x1  � � :m vào hệ thức, ta có x  � � �a... cách cộng vế theo vế, ta m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m Trong trình làm tránh vội vàng áp dụng hệ thức Vi- ét mà quên bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 Dạng tốn 7:... + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Theo hệ thức Vi- ét, ta có: x1  x =  b 2 2 2 � x2   x1    3    = a 3 3 b) 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi- ét, ta có: x1.x  c  Mà x1 = nên suy