Đặc trưng xác suất của phản ứng trong kết cấu thanh phẳng có vết nứt

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP -o0o - TRẦN VIỆT THẮNG ĐẶC TRƯNG XÁC SUẤT CỦA PHẢN ỨNG TRONG KẾT CẤU THANH PHẲNG CÓ VẾT NỨT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Chuyên ngành: CƠ HỌC KỸ THUẬT Mã số: 60520114 KHOA CHUYÊN MÔN CB HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS DƯƠNG THẾ HÙNG PHÕNG ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN- 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP -o0o - TRẦN VIỆT THẮNG ĐẶC TRƯNG XÁC SUẤT CỦA PHẢN ỨNG TRONG KẾT CẤU THANH PHẲNG CÓ VẾT NỨT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT THÁI NGUYÊN- 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình Tiến sỹ Dương Thế Hùng Các thí nghiệm Luận văn thực Phòng Thí nghiệm Xây dựng – Trường Đại học kỹ thuật công nghiệp, với hỗ trợ kinh phí từđề tài KHCN B2012-TN01-03 Bộ Giáo dục vàĐào tạo Học viên xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Kỹ thuật cơng nghiệp, Phòng Đào tạo, Bộ môn Kiến Trúc, Xây dựng, đặc biệt Tiến sỹ Dương Thế Hùng hướng dẫn tạo điều kiện giúp đỡ học viên hoàn thành Luận văn Cuối học viên xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè tồn thểđồng nghiệp động viên giúp đỡ học viên trình thực Luận văn Thái Nguyên, ngày 30 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu riêng tơi Các số liệu trích dẫn,kếtquả nghiên cứu nêu luận án trung thực chưa cơng bố bấtkỳ cơng trình khác Thái Nguyên, ngày 30 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn v MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .i ĐOAN LỤC LỜI CAM ii MỤC iii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ vi DANH MỤC CÁC BẢNG viii MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1.Ứng xử kết cấu có vết nứt theo mơ hình ngẫu nhiên 1.1.1 Khái niệm tính tốn theo mơ hình ngẫu nhiên 1.1.2 Mơ hình vết nứt phân tích động lực kết cấu hệ 1.2 Một số kết nghiên cứu giới Việt Nam có liên quan đến đề tài luận văn CHƯƠNG LÝ THUYẾT TÍNH TỐN PHẢN ỨNG CỦA KẾT CẤU THANH CĨ VẾT NỨT THEO MƠ HÌNH NGẪU NHIÊN 10 2.1 Mở đầu 10 2.2 Ma trận độ cứng động lực phần tử có vết nứt 11 2.2.1 Phần tử chịu uốn kéo nén đồng thời nguyên vẹn 11 2.2.2 Ma trận độ cứng phần tử có vết nứt 15 2.3 Xác định véc tơ lực nút tương đương phần tử có vết nứt tham số ngẫu nhiên 20 2.4 Chuyển hệ tọa độ chung 20 2.4.1 Các ma trận chuyển từ hệ tọa độ địa phương hệ tọa độ chung 20 2.4.2 Ma trận độ cứng động lực phần tử hệ tọa độ chung………… 20 2.4.3 Véc tơ tải trọng nút phần tử hệ tọa độ chung 21 2.4.4 Ma trận độ cứng động lực véc tơ tải trọng nút kết cấu tọa độ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vi chung 21 2.5 Phương pháp giải toán động lực học ngẫu nhiên có vết nứt 22 2.5.1 Về việc nghịch đảo ma trận độ cứng tổng thể 22 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vi i 2.5.2 Phương pháp khai triển Neumann 22 2.5.3 Biểu thức kỳ vọng, phương sai chuyển vị nút 23 2.5.4 Biểu thức kỳ vọng, phương sai thành phần ứng lực 23 2.6 Kết luận chương 24 CHƯƠNG PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG VẾT NỨT ĐẾN ĐẶC TRƯNG XÁC SUẤT CỦA CHUYỂN VỊ VÀ ỨNG LỰC 25 3.1 So sánh kết tính tốn kỳ vọng chuyển vị ứng lực khung tính theo TK.mw với số chương trình tính khác 25 3.2 Tính tốn chuyển vị dầm có vêt nứt điều kiện biên khác 27 3.2.1 Đặt toán 27 3.2.2 Trường hợp 1: Dầm conson 28 3.2.3 Trường hợp 2: Dầm hai đầu khớp cố định 29 3.2.4 Trường hợp 3: dầm đầu ngàm đầu gối tựa di động 30 3.2.5 Trường hợp 4: dầm hai đầu ngàm 30 3.3 Kết tính chuyển vị biết trước quy luật phân bố xác suất biến ngẫu nhiên 31 3.3.1 Chuyển vị dầm đơn giản chịu tải trọng ngẫu nhiên 31 3.3.2 Chuyển vị trong hệ giàn chịu tải trọng ngẫu nhiên 36 3.4 Khảo sát kết chuyển vị coi vết nứt biến ngẫu nhiên 40 3.4.1 Dầm đơn giản hai đầu khớp có vết nứt 40 3.4.2 Dầm đơn giản hai đầu ngàm có vết nứt 42 3.4.3 Dầm đơn giản hai đầu khớp chịu lực tập trung có vết nứt 42 3.4.4 Dầm đơn giản hai đầu khớp chịu lực tập trung lực phân bố có vết nứt 43 3.5 Kết luận chương 44 CHƯƠNG4 THÍ NGHIỆM KIỂM CHỨNG VÀ ÁP DỤNG VÀO THỰC TẾ 45 4.1 Mơ tả thí nghiệm 45 4.1.1 Thiết bị đo 45 4.1.2 Thiết lập mơ hình thí nghiệm 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vi 4.2 Kết thí nghiệm so sánh với lý iithuyết 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vii 4.2.1 Kết thí nghiệm đo dầm nguyên vẹn 51 4.2.2 Kết thí nghiệm đo dầm có vết nứt 56 4.2.3 So sánh với lý thuyết 59 4.3 Kết luận chương 63 KẾT LUẬN CHUNG 64 KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 65 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC Đà CƠNG BỐ 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn viii viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1: Mơ hình vết nứt tính theo cường độ ứng suất 07 Hình 1.2: Mơ hình vết nứt mở phía qui đổi sang lò xo đàn hồi 08 Hình 2.1 Thanh chịu uốn kéo nén đồng thời 11 Hình 2.2 Phần tử chịu uốn có vết nứt 15 Hình 2.3 Mơ hình phần tử chịu kéo (nén) có vết nứt 18 Hình 2.4 Phần tử đồng thời chịu uốn kéo (nén) có vết nứt 19 Hình 3.1 Khung có vết nứt 25 Hình 3.2 Dầm có vết nứt có tham số EI(x) ngẫu nhiên 27 Hình 3.3 Dầm conson 29 Hình 3.4 Dầm hai đầu khớp cố định 29 Hình 3.5 Dầm đầu ngàm đầu khớp di động 30 Hình 3.6 Dầm hai đầu ngàm 31 Hình 3.7 Dầm đơn giản chịu tải trọng ngẫu nhiên 31 Hình 3.8 Giá trị , thay đổi phụ thuộc vào 34 Hình 3.9 Giá trị , thay đổi phụ thuộc vào 34 Hình 3.10 So sánh giá trị , với mơ Monte-Carlo thay đổi 35 Hình 3.11 So sánh giá trị , với mô Monte-Carlo thay đổi 35 Hình 3.12 Hệ giàn có diện tích tiết diện biến ngẫu nhiên 36 Hình 3.13a Sơ đồ dầm chịu tải trọng phân bố có vết nứt 40 Hình 3.13b Tên phần tử số chuyển vị nút 40 Hình 3.14 Chuyển vị nút số – trường hợp hai đầu khớp 41 Hình 3.15 Sơ đồ dầm hai đầu ngàm có vết nứt 41 Hình 3.16 Chuyển vị nút số – trường hợp hai đầu ngàm 42 Hình 3.17a Sơ đồ dầm chịu tải trọng tập trung có vết nứt 42 Hình 3.17b Tên phần tử số chuyển vị nút 42 Hình 3.18 Chuyển vị nút số – trường hợp hai đầu ngàm 43 Hình 3.19 Sơ đồ dầm chịu tải trọng tập trung phân bố có vết nứt 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Hình 4.18 Kết chuyển vị vị trí Trường hợp 3: Tần số dao động lực kích thích w=13Hz Hình 4.19 Kết đo tải trọng tác dụng Hình 4.20 Kết đo gia tốc vị trí Hình 4.21 Kết vận tốc vị trí Hình 4.22 Kết chuyển vị vị trí Trường hợp 4: Tần số dao động lực kích thích w=14Hz Hình 4.23 Kết đo tải trọng tác dụng Hình 4.24 Kết đo gia tốc vị trí Hình 4.25 Kết vận tốc vị trí Hình 4.26 Kết chuyển vị vị trí 4.2.2 Kết thí nghiệm đo dầm có vết nứt Ta tiến hành đo dầm đơn giản mục 4.3.1 có thêm vết nứt vị trí (cách gối A khoảng 0,3L) Vết nứt có độ sâu 1,7cm (bằng 1/3 chiều cao dầm) Tiến hành đo vị trí ứng với ba tần số lực kích thích =10Hz, =13Hz =14Hz Kết so sánh với dầm không nứt ứng với trường hợp tần số dao động lực kích thích =14Hz 1) Kết chuyển vị, vận tốc gia tốc w=10Hz Hình 4.27 Chuyển vị vị trí 1,2 =10Hz Hình 4.28 Vận tốc vị trí 1,2 =10Hz 57 Hình 4.29 Gia tốc vị trí 1,2 =10Hz 2) Kết chuyển vị, vận tốc gia tốc w=13Hz Hình 4.30 Chuyển vị vị trí 1,2 =13Hz Hình 4.31 Vận tốc vị trí 1,2 =13Hz Hình 4.32 Gia tốc vị trí 1,2 =13Hz 58 3) Kết chuyển vị, vận tốc gia tốc w=14Hz so sánh với dầm khơng nứt Hình 4.33 So sánh kết đo gia tốc vị trí – Khi =14Hz Hình 4.34 So sánh kết đo gia tốc vị trí – Khi =14Hz Hình 4.35 So sánh kết vận tốc vị trí – Khi =14Hz Hình 4.36 So sánh kết vận tốc vị trí – Khi =14Hz 59 Hình 4.37 So sánh kết chuyển vị vị trí – Khi =14Hz Hình 4.38 So sánh kết chuyển vị vị trí – Khi =14Hz 4.2.3 So sánh với lý thuyết Việc tính tốn chuyển vị dầm dựa vào kết đo đạc so sánh với lý thuyết thể hình Khi tính tốn theo lý thuyết ta giả thiết độ cứng uốn EI độ cứng lò xo vết nứt biến ngẫu nhiên mô tả theo công thức: EI ( x) EI e1 g1 ( x) , C e2 g ( x) C (4.1) Trong đó: - EI0 độ cứng trung bình dầm, tính với kích thước tiết diện b.h=(50x50)mm Mô đun đàn hồi E=2.1×10 kN/m ; e1 số; g1(x) biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình khơng có độ lệch chuẩn đơn vị; - C độ cứng lò xo mơ tả vết nứt theo cơng thức (3.1) vết nứt có độ sâu a=1,7cm; e2 số; g2(x) biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình khơng có độ lệch chuẩn đơn vị; Kết tính theo lý thuyết cho trường hợp thay đổi hệ số e1 e2 trường hợp đây, so sánh với kết từ việc đo thực tế Trường hợp 1: Tính theo lý thuyết e1=0,1; e2=0,1 so sánh với kết đo tần số =14Hz Hình 4.39 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết =14Hz Trường hợp 1: Tính theo lý thuyết e1=0,1; e2=0,1 so sánh với kết đo tần số =13Hz Hình 4.40 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết =13Hz Trường hợp 3: Tính theo lý thuyết e1=0,1; e2=0,1 so sánh với kết đo tần số =10Hz Hình 4.41 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết =10Hz Trường hợp 4: Tính theo lý thuyết e1=0,1; e2=0,1 so sánh với kết đo tần số Hz Hình 4.42 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết Hz Trường hợp 5: Tính theo lý thuyết e1=0,05; e2=0,5 so sánh với kết đo tần số =10Hz Hình 4.43 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết Hz Trường hợp 6: Tính theo lý thuyết e1=0,05; e2=0,8 so sánh với kết đo tần số =10Hz Hình 4.44 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết =10Hz Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Trường hợp 7: Tính theo lý thuyết e1=0,05; e2=0,8 so sánh với kết đo tần số =13Hz Hình 4.45 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết =13Hz Trường hợp 8: Tính theo lý thuyết e1=0,05; e2=0,8 so sánh với kết đo tần số =14Hz Hình 4.46 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết =14Hz Trường hợp 9: Tính theo lý thuyết e1=0,05; e2=0,9 so sánh với kết đo tần số =14Hz Hình 4.47 So sánh chuyển vị dựa vào kết đo lý thuyết =14Hz Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 4.3 Kết luận chương Trong chương 4, luận văn đạt kết sau: Đã tiến hành thí nghiệm mơ hình dầm phẳng ngun vẹn dầm phẳng có vết nứt thu số liệu thực nghiệm tin cậy làm sở liệu để so sánh kiểm chứng cho phương pháp tính mơ hình kết cấu có vết nứt So sánh tương đối kết đo với thấy kết tin cậy vì: - Tần số lớn chuyển vị, vận tốc gia tốc lớn - Vị trí đo dầm kết chuyển vị, vận tốc, gia tốc lớn kết đo gần gối tựa - Dầm có vết nứt kết chuyển vị, vận tốc, gia tốc lớn dầm khơng nứt So sánh kết thí nghiệm với phương pháp tính theo mơ hình kết cấu hệ có vết nứt tác giả vận dụng luận văn cho thấy phương pháp lý thuyết phù hợp với kết từ thí nghiệm độ biến thiên vết nứt lớn, cụ thể hệ số biến thiên vết nứt cao (e2=0,8 trường hợp 6,7,9) Việc thí nghiệm phụ thuộc vào mơi trường đo chưa có mơi trường thí nghiệm chuẩn, nhiều yếu tố gây nhiễu Ví dụ đặt tần số dao động xấp xỉ dầm dao động xung quanh vị trí cân với biên độ định (trường hợp mục 4.2.1) Độ nhạy gia tốc kế Loadcell tương đối lớn, cần chạm nhẹ ngón tay làm cho kết sai lệch Ngoài việc chế tạo gối đỡ mơ liên kết khớp chưa thể xác tuyệt đối Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn KẾT LUẬN CHUNG Luận văn đạt kết sau đây: 5- Đã tìm hiểu lý thuyết phân tích kết cấu theo mơ hình ngẫu nhiên, thân kết cấu tồn vết nứt đại lượng EI(x), EA(x), m(x) phân bố ngẫu nhiên 6- Việc kết hợp toán học – tác dụng tải trọng tìm ứng xử kết cấu chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ứng lực - với toán xác suất thống kê xác định đặc trưng xác suất thành phần ứng xử mở rộng tầm hiểu biết tác giả vấn đề tính tốn kết cấu cơng trình Trong chương tác giả giải 10 toán khác 7- Đã tiến hành thí nghiệm mơ hình dầm phẳng nguyên vẹn dầm phẳng có vết nứt thu số liệu thực nghiệm tin cậy làm sở liệu để so sánh kiểm chứng cho phương pháp tính mơ hình kết cấu có vết nứt 8- Đã so sánh kết thí nghiệm với phương pháp tính theo mơ hình kết cấu hệ có vết nứt tác giả vận dụng luận văn cho thấy phương pháp lý thuyết phù hợp với kết từ thí nghiệm độ biến thiên vết nứt lớn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Trên sở kết đạt phần trên, đề tài luận văn tiếp tục nghiên cứu theo hướng sau: - Xây dựng ma trận độ cứng có liên kết nửa cứng có tham số ngẫu nhiên xét đến ảnh hưởng tham số ban đầu ngẫu nhiên - Nghiên cứu toán dao động tự ngẫu nhiên Tính tốn tần số dao động riêng ngẫu nhiên, tính trị riêng ngẫu nhiên - Phát triển tính tốn cho tốn khơng gian - Phát triển nghiên cứu kết cấu khác tấm, vỏ có tham số ngẫu nhiên có liên kết nửa cứng… DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC Đà CƠNG BỐ Dương Thế Hùng, Trần Việt Thắng, Trần Văn Sơn (2015), “Solutions about probabilistic characteristics of displacements in a stochastic truss” Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - Đại học Thái Nguyên, Tập 139, Số 09, Năm 2015; trang 41-46 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Võ Như Cầu (2005) Tính kết cấu theo phương pháp động lực học NXB xây dựng, Hà Nội [2] Võ Như Cầu (2004) Tính kết cấu theo phương pháp ma trận NXB xây dựng, Hà Nội [3] Võ Như Cầu (2003) Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn NXB xây dựng, Hà Nội [4] Phan Bá Châu (2005) Sử dụng Maple toán sơ cấp cao cấp NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] Lê Ngọc Hồng nhóm tác giả (2002) Nghiên cứu khả làm việc tĩnh kết cấu khung bị giảm yếu sau thiết kế Đề tài khoa học cấp bộ, Trường Đại học Xây dựng, Hà nội [6] Lê Ngọc Hồng (2002) Sức bền vật liệu NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [7] Dương Thế Hùng (2010) “Phân tích hệ phẳng có liên kết nửa cứng, vết nứt có độ cứng, khối lượng phân bố ngẫu nhiên” Luận án tiến sỹ kỹ thuật Trường ĐHXD [8] Nội Nguyễn Xn Hùng (1999) Động lực học cơng trình biển NXB KHKT Hà [9] Phạm Xuân Khang (2001), Chẩn đoán kết cấu nhịp cầu phương pháp dao động, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Viện KH CN GTVT, Hà nội [10] Nguyễn Tiến Khiêm (2003) Cơ sở động lực học cơng trình NXB KHKT, Hà Nội [11] Phan văn Khôi (2001) Lý thuyết độ tin cậy NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [12] Trần Văn Liên (2002) Bài toán ngược học số ứng dụng Luận án Tiến sỹ kỹ thuật Trường Đại học Xây dựng, Hà nội [13] Trần Văn Liên (2006) Ứng dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực tính tốn kết cấu Đề tài khoa học cấp bộ, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn [14] Nguyễn Văn Phó (1993), “Một số giảng lý thuyết độ tin cậy tuổi thọ cơng trình”, Bài giảng cho cao học xây dựng Trường Đại học Xây dựng [15] Nguyễn Văn Phó (1985), “Về mơ hình tốn học lý thuyết độ tin cậy”, Tạp chí Cơ học số [16] Nguyễn Văn Phó (2003), “A New method for determination of the Reliability index of parmeter distributed system”,Vietnam journal of Mechanies N [17] Nguyễn Mạnh Yên (1996) Phương pháp số học kết cấu NXB KHKT, Hà Nội Tiếng Anh [18] Adams R.D., Cawley P., Pie C.J and Stone B.J.A (1978), “A vibration technique for non-destructively assessing the integrity of structures”, Journal of Mechanical Engineering Science, 20, 93-100 [19] Benaroya, H and Rehak, M (1988) Finite element methods in probabilistic structural analysis: A selective review, Applied Mechanics Review 41, 201-13 [20] Brenner, C.E (1991), Stochastic finite element method, Internal Working Report No 35-91, Institute of Engineering Mechanics, University of Innsbruck [21] Chondros T.G., Dimarogonas A.D (1998), “Vibration of a cracked cantilever beam”, Transactions of the ASME, Vol 120, 742-746, July [22] Clough R W, Pensien J (1993) Dynamic of structures N.Y [23] Deodatis, G (1990a) “Bounds on Response variability of stochastic finite element systems: effect of statistical dependence” Probabilitistic Enginerring Mechanics 5(2), pp88-98 [24] Deodatis, G (1990b) “Bounds on Response variability of stochastic finite element systems” Probabilitistic Enginerring Mechanics 116(3), pp 565-85 [25] Deodatis, G (1991) “Weighted integral method I: Stochastic stiffness matrix” Journal of Engineering mechanics 117, 1851-64 [26] Deodatis, G (1991) “Weighted integral method II: Response Variability and Reliability” Journal of Engineering mechanics 117, 1865-77 [27] Isaac Elishakoff (2006), Mechanical vibration: where we stand? CISM Course and Lectures No.488 International Centre for Mechanical Sciences Springer Wien NewYork [28] Isaac Elishakoff and Yongjian Ren (2003), Finite Element Methods for Structures with Large Stochastic Variations Oxford University Press [29] Khiem N.T and Lien T.V (2001), “A Simplified Method for Frequency Analysis of Multiple Cracked beam”, Journal of Sound and Vibration, 245(4), 737-751 [30] Khiem N.T and Lien T.V (2002), “The Dynamic Stiffness Matrix Method in Forced Vibration Analysis of Multiple-Cracked Beam”, Journal of Sound and Vibration, 254(3), 541-555 [31] Manohar, C.S and Ibrahim, R.A (1999) Progress in structural dynamics with stochastic parameter variations: 1987-1998, Applied Mechanics Review 52(5),177-96 [32] S.S.Rao (1990), Mechanical Vibrations Second Edition Addison-Wesley Publishing Company [33] Sekhar S (1999), ” Vibration Characteristics of a Cracked Rotor with two Open Cracks”, Journal of Sound and Vibration, 223 (4), 497-512 [34] Shinozuka, M and Yamazaki, F (1988), Stochastic finite element analysis: An introduction, in S.T Ariaratnam, I Schueller and I Elishakoff, eds, Stochastic Structural Dynamics: Progress in Theory and Applications, Elsevier Applied Science, London, pp271-91 [35] Sondipon Adikari and C.S Manohar (1999), “Dynamic analysis of framed structures with statistical uncertainties”, Int, J Numer Meth Engng 44, 1157-78 [36] Takada,T.(1990).“Weighted integral method in stochastic finite element analysis” Journal of Probabilistic Engineering Mechanics 5, 145-56 [37] V.A Svetlitsky (2003) Statistical dynamics and reliability theory for mechanical structures Springer ... văn phân tích ứng xử kết cấu có vết nứt hệ kết cấu phẳng có vết nứt có tham số ngẫu nhiên EI(x), AE(x) m(x) Ứng xử hiểu kết tính tốn phản ứng kết cấu, chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ứng lực chịu... hưởng vết nứt đến đặc trưng xác suất chuyển vị ứng lực Chương trình bày việc ứng dụng lý thuyết tính toán đặc trưng xác suất chuyển vị chương hai vào việc phân tích dầm có vết nứt, liên kết nửa cứng... tích kết đặc trưng xác suất chuyển vị dầm có vết nứt với điều kiện biên khác Đã phân tích kết đặc trưng xác suất chuyển vị kết cấu có tham số ngẫu nhiên mơ đun đàn hồi, diện tích tiết diện có kể