Tổng hợp bất phương trình từ đề thi thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh 10 từ năm 2009 2017

Chủ đề 12: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH ĐH-THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUN TỐN Trong kì thi học sinh giỏi mơn Tốn THCS, THPT kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ xuất cách đặn đề với tốn ngày khó Trong chủ đề này, tuyển chọn giới thiệu số toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ trích đề thi học sinh giỏi mơn tốn cấp tỉnh đề thi chuyên toán năm gần    1 1   9 a b c Bài a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng: a  b  c  b) Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Chứng ming rằng: 2009   670 2 ab  bc  ca a b c Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a  b  c      abc; 1 1   3 a b c abc a  b  c   a1  b1  1c   Suy Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c a  b  c  ab  bc  ca  b) Ta có ab  bc  ca  a  b2  c2 3 2007  669 ab  bc  ca Suy Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có   1 2     a  b  c  2ab  2bc  2ca  2 ab  bc  ca ab  bc  ca  a b c 1   1 Suy a  b2  c2 ab  bc  ca abc   Do ta   2009   670 a  b2  c2 ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Bài Với số tự nhiên n  Chúng minh Sn  Với Sn  Với n  , ta có  1   5 2    2n  1  n  n 1  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giải http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 2n  1  n  n 1    n 1  n  2n  4n2  4n  n 1  n n +1 - n 4n2  4n  n 1  n n  n  1 1     2 n n 1 Do ta Sn  1 1 1  1       1    1   2 2 n n 1 2 n 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Chứng minh m   n n2  3  , với số nguyên m, n Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình năm 2009-2010 Lời giải Vì m, n số nguyên nên m m   số hữu tỉ số vô tỉ nên n n Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m  , ta n m2  2n2  m2  2n2  hay m  2n  Từ suy 2n2  1   2  n n 2 2 n      n2   n2       n n   m  , ta + Trường hợp 2: Với n m   n  3 m2  2n2  m2  2n2  hay m  2n  Từ suy m m 2n  1   2  2   2  n n n n  22 n2  2   n2      n    Vậy toán chứng minh Bài Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh rằng: http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, n2  n2 3   a2 b2  c2   b  c  c  a  a  b 2 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a b c  ab bc ca         2  bc ca ca a b ab bc bc ca a b               Mà ta lại có  ab bc ca   bc ca ca a b ab bc         ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a   a  b  b  c  c  a     1 a  b  b  c  c  a  a  b  b  c  c  a   a b c  Do bất đẳng thức trở thành      bc ca a b Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b2  c2  ab  bc  ca a 2b  b2c  c2a Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a  b  c  giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a  b2  c2  Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có    ab  bc  ca 4 a 2b  b2c  c2a  a  b2  c2  a  b  c a  b2  c2   a  b3  c3  a 2b  b2c  c2a  ab2  bc2  ca Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a  ab2  2a2b; b3  bc2  2b2c;  c3  ca2  2c2a     a2  b2  c2  3 a2b  b2c  c2a  Suy Do ta a  b2  c2  ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c2  2 2 a bb cc a a  b2  c2 Phép chứng minh hoàn tất ta ab  bc  ca 4 a  b2  c2 2  a  b  c a  b2  c2  4 a  b2  c2 a  b2  c2  Hay     Đặt t  a2  b2  c2 http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Từ giả thiết a  b  c   a2  b2  c2  , ta t  Bất đẳng thức trở thành 9t   2t2   t  8t  t  2t   2t Bất đẳng thức cuối t  Vậy toán chứng minh xong  t   Bài Cho biểu thức P  a2  b2  c2  d2  ac  bd , ad  bc  Chứng minh rằng: P  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Ta có ac  bd  ad  bc  2  a 2c2  2abcd  b2d2  a 2d2  2abcd  b2c2    Vì ad  bc  nên   ac  bd    a  b  c  d     a c2  d2  b2 d2  c2  a  b2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a P  a2  b2  c2  d2  ac  bd   Suy ta P   ac  bd  2 c  d2  (1) c  b2   d2  ac  bd   ac  bd Rõ ràng P   ac  bd   ac  bd Đặt x  ac  bd , ta     P   x2  x  P2   x2  4x  x2  x2   x2  4x  x2  4x2  Hay P2    x2  2x    Do ta P  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ad  bc   2a  3d  c  2b   3c  d Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành  a2  b2  c2  d2  ac  bd  ad  bc Hay a2  b2  c2  d2  ac  bd  a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a   3d  c  a     b  3c  d  b2  Cộng theo hai bất đẳng thức ta 3d  c      3d  c  b  3c  d    a2   3c  d   b2  a2  b2  c2  d2  ac  bd  a 3d2  3cd  c2  3d2  3cd  c2   3d  c  b  3c  d Bài toán chứng minh xong http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi,  Bài Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y2 z2 2x2  2y2  2z2    a b2 c2 a  b2  c2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải 2 Cách 1: Vì a  b  c  nên ta có   x y z2  a  b2  c2     b c  a 2   b  c  a2  a  c  b2   a  b2  c  2  x 2    y 2    z 2   a2 b2 c2       2 2 2 b c a     a  b2  c  a c b  2x2  2y2  2z2  x   y   z   2 a b c2        Giả sử a  b  c, c2  a2  0; c2  b2  Với c cạnh lớn góc nhọn nên c2  a2  b2 Do ta có b2  c2  a2  0; a2  c2  b2  0; a2  b2  c2  Suy 2  b2  c2  a     a  b2  c  a c b 2x  2y  2z  x  y  z   a2 b2 c2       2  2x  2y  2z2 2 2  x2 y2 z2  a  b2  c2      2x2  2y2  2z2 b c  a x2 y2 z2 2x2  2y2  2z2 Hay    Bài toán chứng minh xong a b c a  b2  c2  Hay  Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 2x2 y2 2y2 z2 2z2      0 a a  b2  c2 b2 a  b2  c2 c2 a  b2  c2 x2 b2  c2  a y2 a  c2  b2 z a  b2  c  2  2  2 0 a a  b2  c2 b a  b2  c c a  b2  c             Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên a2  b2  c2 ; b2  c2  a2 ; c2  a2  b2 Nên ta b2  c2  a2  0; a2  c2  b2  0; a2  b2  c2  Do bất đẳng thức ln Bài tốn chứng minh xong Bài a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau:  k  1 b) Chứng minh rằng:  1   2   k k 1  k 1     2010 2009  88 45 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010 Lời giải http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  k  1 k k 1 2 k  k k     2k   k k     k 1  k  0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT  1     2010 2009    1     2      2    2  2 3 2010     2009     88  1   VP   1    45 45 2010     Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2  3a  8b2  14ab b2 c2  3b2  8c2  14bc 3c2  8a  14ca abc  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta  3a2  8b2  14ab  3a2  8b2  12ab  2ab  4a2  9b2  12ab  2a  3b a2 Suy 3a  8b2  14ab  a2  a2  2a  3b 2a  3b Áp dụng tương tự ta thu a2 3a  8b2  14ab  b2 3b2  8c2  14bc  c2 3c2  8a  14ca a2 b2 c2    2a  3b 2b  3c 2c  3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta   abc a2 b2 c2 abc     2a  3b 2b  3c 2c  3a a  b  c   Do ta a2 3a  8b2  14ab  b2   abc 3c2  8a  14ca Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a  b  c Bài 10 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: 3b2  8c2  14bc c2    M  x  y4  z4  12  x  y  z  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Đặt a  x  1; b  y  1; c  z  , ta 1  a; b; c  a  b  c  Biểu thức M viết lại thành http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi,       M  a  b4  c4  a  b3  c3  a  b2  c2  a  b  c   12abc Để ý a  b  c  a  b3  c3  3abc  nên biểu thức thử thành   M  a  b4  c4  a2  b2  c2  Theo đánh giá quen thuộc   a  b4  c4  abc a  b  c  abc  a  b2  c2   0 Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  y  z  Mặt khác 1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có a  a2  a ; b4  b2  b ; c4  c2  c     Suy M  a  b4  c4  a2  b2  c2   a  b  c  Mà ta lại có a  b  c  nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b  c  bc  a Đến ta có M  14 a   17 hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a  1; b  1; c  hoán vị hay x  2; y  0; z  hoán vị Bài 11 a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a  b  b  c  c  a   ab  bc  ca  a  b2  c2 2 26   b) Cho a  0; b  Chứng minh a b 2a  b 2009 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b  b  c  c  a  2 2  12 a  b Hay 13   b  c 2  a  b    b  c   c  a   2 26  2007 c  a  2009 0 Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a b 2a  b Đặt c  b , b  nên ta c  , bất đẳng thức viết lại thành   a c 2a  c Theo đánh giá quen thuộc ta 2 2.4      a c 2a c 2a  c 2a  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a  b http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a 2b   Chứng minh ab2  1a 1 b Bài 12 Cho a, b số dương thỏa mãn Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Quảng Bình năm 2015-2016 Lời giải a 2b a b x y   Đặt x  ;y Suy a  ;b 1a 1 b 1a 1 b 1 x 1y Khi ta x  2y  bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Từ giả thiết xy2 1  x 1  y   Từ giả thiết ta suy  x  2y;  y  x  y nên lại viết bất đẳng thức cần chứng minh thành xy2  2y x  y    4xy  x  y   Đánh giá cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a  b Bài 13 Cho x, y, z số thực dương cho xyz  x  y  z  Chứng minh rằng: xy  yz  zx  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải Giả thiết toán viết lại thành Đặt a  1    x 1 y 1 z 1 1 ;b ;c Khi ta a  b  c  Từ suy x 1 y 1 z 1 x 1a b  c 1b c a 1c a  b  ;y  ;z  a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành ab  b  c  c  a   bc  c  a a  b   ca a  b  b  c    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ab  b  c  c  a  bc  c  a a  b  ca  a  b  b  c   1 b a     2bc ca  1 c b     2ca a b  1 a c     2a b bc Cộng theo vế bất đẳng thức ta ab  b  c  c  a   bc  c  a a  b   ca a  b  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Bài 14 Cho số thực không âm a, b, c cho ab  bc  ca  Chứng minh rằng: http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 1   1 a 2 b 2 c 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2   1 a  b2  c2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta     abc abc a2 b2 c2     1 a  b2  c2  a  b2  c2  a  b2  c2  ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Bài 15 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  2y  3z  18 Chứng minh rằng:   2y  3z  3z  x  x  2y  51    1 x  2y  3z Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh, 2009 – 2010 Lời giải Đặt a  x; b  2y; c  3x , giả thiết trở thành a  b  c  18 bất đẳng thức viết lại thành b  c  c  a  a  b  51    1a 1 b 1 c Bất đẳng thức tương đương với bc5 ca5 ab5 51 1 1 1  3 1a 1 b 1c  1  72 abc6     1 a  b  c   Hay  Phép chứng minh hoàn tất ta 1    1a 1 b 1 c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 9       a  b  c  a  b  c 21 Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  6; y  3; z  Bài 16 Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z  xy  z  2x2  2y2 Chứng minh rằng:  xy 1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐH KHTN Hà Nội năm 2010-2011 Lời giải Ta quy toán việc chứng minh bất đẳng thức bậc   xy  z x  y  z  2x  2y2 x  y  z  xy  1  x  z  y  z   2x  2y2  x  y  z  xy http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 2x2  2y2  x  y Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  z  x  z  y   z  Do ta cần chứng minh xy Bất đẳng thức tương đương với   z2  xy  z x  y  z2  xy  2z xy  z  x y  0 ; z  Bài 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a b3 c    a  b2  c2  b c a Bài tốn chứng minh hồn toàn Đẳng thức xảy x  y  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐHNN Hà Nội năm 2010-2011 Lời giải a b3 c    a  b2  c2 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức b c a Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta   a  b2  c2 a b3 c    b c a ab  bc  ac 2 Theo đánh giá quen thuộc ta có a  b  c  ab  bc  ca    a a  b Do ta a  b2  c2 Nên ta có   b2  c2 ab  bc  ca  c2    a  b2  c2 ab  bc  ac 3 a b c    a  b2  c2 b c a 2 + Chứng minh a  b  c  Do ta suy Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a2  b2  2ab; b2  c2  2bc; c2  a2  2ca; a2   2a; b2   2b; c2   2c Cộng theo vế bất đẳng thức ta     a2  b2  c2   ab  bc  ca  a  b  c  12 Hay a2  b2  c2  a b3 c    a  b2  c2  Kết hợp hai kết ta b c a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a  b  c  Bài 18 Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  abc Tìm giá trị lớn biểu thức: S  a bc  a    b ca  b2    c ab  c2  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Kết hợp với giả thiết ta có     bc  a2  bc  a2bc  bc  a a  b  c  a  ba  c  Hoàn toàn tương tự ta http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, ... giáo án dạy thêm, đề luyện thi, n2  n2 3   a2 b2  c2   b  c  c  a  a  b 2 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009- 2 010 Lời giải Bất đẳng thức cần... máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 1   1 a 2 b 2 c 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Phú Thọ năm 2009- 2 010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương... 2009  88 45 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009- 2 010 Lời giải http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a) Bất đẳng thức cần chứng