Tổng hợp bất phương trình từ đề thi thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh 10 từ năm 2009 2017 Tổng hợp bất phương trình từ đề thi thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh 10 từ năm 2009 2017 Tổng hợp bất phương trình từ đề thi thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh 10 từ năm 2009 2017 Tổng hợp bất phương trình từ đề thi thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh 10 từ năm 2009 2017 Tổng hợp bất phương trình từ đề thi thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh 10 từ năm 2009 2017
Chủ đề 12: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH ĐH-THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUN TỐN Trong kì thi học sinh giỏi mơn Tốn THCS, THPT kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ xuất cách đặn đề với tốn ngày khó Trong chủ đề này, tuyển chọn giới thiệu số toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ trích đề thi học sinh giỏi mơn tốn cấp tỉnh đề thi chuyên toán năm gần 1 1 9 a b c Bài a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng: a b c b) Cho số dương a, b, c thoả mãn a b c Chứng ming rằng: 2009 670 2 ab bc ca a b c Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a b c abc; 1 1 3 a b c abc a b c a1 b1 1c Suy Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c a b c ab bc ca b) Ta có ab bc ca a b2 c2 3 2007 669 ab bc ca Suy Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có 1 2 a b c 2ab 2bc 2ca 2 ab bc ca ab bc ca a b c 1 1 Suy a b2 c2 ab bc ca abc Do ta 2009 670 a b2 c2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Bài Với số tự nhiên n Chúng minh Sn Với Sn Với n , ta có 1 5 2 2n 1 n n 1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giải http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 2n 1 n n 1 n 1 n 2n 4n2 4n n 1 n n +1 - n 4n2 4n n 1 n n n 1 1 2 n n 1 Do ta Sn 1 1 1 1 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Chứng minh m n n2 3 , với số nguyên m, n Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình năm 2009-2010 Lời giải Vì m, n số nguyên nên m m số hữu tỉ số vô tỉ nên n n Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m , ta n m2 2n2 m2 2n2 hay m 2n Từ suy 2n2 1 2 n n 2 2 n n2 n2 n n m , ta + Trường hợp 2: Với n m n 3 m2 2n2 m2 2n2 hay m 2n Từ suy m m 2n 1 2 2 2 n n n n 22 n2 2 n2 n Vậy toán chứng minh Bài Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh rằng: http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, n2 n2 3 a2 b2 c2 b c c a a b 2 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c ab bc ca 2 bc ca ca a b ab bc bc ca a b Mà ta lại có ab bc ca bc ca ca a b ab bc ab a b bc b c ca c a a b b c c a 1 a b b c c a a b b c c a a b c Do bất đẳng thức trở thành bc ca a b Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b2 c2 ab bc ca a 2b b2c c2a Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b c giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a b2 c2 Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có ab bc ca 4 a 2b b2c c2a a b2 c2 a b c a b2 c2 a b3 c3 a 2b b2c c2a ab2 bc2 ca Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a ab2 2a2b; b3 bc2 2b2c; c3 ca2 2c2a a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a Suy Do ta a b2 c2 ab bc ca ab bc ca a b2 c2 2 2 a bb cc a a b2 c2 Phép chứng minh hoàn tất ta ab bc ca 4 a b2 c2 2 a b c a b2 c2 4 a b2 c2 a b2 c2 Hay Đặt t a2 b2 c2 http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Từ giả thiết a b c a2 b2 c2 , ta t Bất đẳng thức trở thành 9t 2t2 t 8t t 2t 2t Bất đẳng thức cuối t Vậy toán chứng minh xong t Bài Cho biểu thức P a2 b2 c2 d2 ac bd , ad bc Chứng minh rằng: P Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Ta có ac bd ad bc 2 a 2c2 2abcd b2d2 a 2d2 2abcd b2c2 Vì ad bc nên ac bd a b c d a c2 d2 b2 d2 c2 a b2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a P a2 b2 c2 d2 ac bd Suy ta P ac bd 2 c d2 (1) c b2 d2 ac bd ac bd Rõ ràng P ac bd ac bd Đặt x ac bd , ta P x2 x P2 x2 4x x2 x2 x2 4x x2 4x2 Hay P2 x2 2x Do ta P Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ad bc 2a 3d c 2b 3c d Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a2 b2 c2 d2 ac bd ad bc Hay a2 b2 c2 d2 ac bd a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a 3d c a b 3c d b2 Cộng theo hai bất đẳng thức ta 3d c 3d c b 3c d a2 3c d b2 a2 b2 c2 d2 ac bd a 3d2 3cd c2 3d2 3cd c2 3d c b 3c d Bài toán chứng minh xong http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Bài Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2 a b2 c2 a b2 c2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải 2 Cách 1: Vì a b c nên ta có x y z2 a b2 c2 b c a 2 b c a2 a c b2 a b2 c 2 x 2 y 2 z 2 a2 b2 c2 2 2 2 b c a a b2 c a c b 2x2 2y2 2z2 x y z 2 a b c2 Giả sử a b c, c2 a2 0; c2 b2 Với c cạnh lớn góc nhọn nên c2 a2 b2 Do ta có b2 c2 a2 0; a2 c2 b2 0; a2 b2 c2 Suy 2 b2 c2 a a b2 c a c b 2x 2y 2z x y z a2 b2 c2 2 2x 2y 2z2 2 2 x2 y2 z2 a b2 c2 2x2 2y2 2z2 b c a x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2 Hay Bài toán chứng minh xong a b c a b2 c2 Hay Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 2x2 y2 2y2 z2 2z2 0 a a b2 c2 b2 a b2 c2 c2 a b2 c2 x2 b2 c2 a y2 a c2 b2 z a b2 c 2 2 2 0 a a b2 c2 b a b2 c c a b2 c Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên a2 b2 c2 ; b2 c2 a2 ; c2 a2 b2 Nên ta b2 c2 a2 0; a2 c2 b2 0; a2 b2 c2 Do bất đẳng thức ln Bài tốn chứng minh xong Bài a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau: k 1 b) Chứng minh rằng: 1 2 k k 1 k 1 2010 2009 88 45 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010 Lời giải http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với k 1 k k 1 2 k k k 2k k k k 1 k 0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT 1 2010 2009 1 2 2 2 2 3 2010 2009 88 1 VP 1 45 45 2010 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 3a 8b2 14ab b2 c2 3b2 8c2 14bc 3c2 8a 14ca abc Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a2 8b2 14ab 3a2 8b2 12ab 2ab 4a2 9b2 12ab 2a 3b a2 Suy 3a 8b2 14ab a2 a2 2a 3b 2a 3b Áp dụng tương tự ta thu a2 3a 8b2 14ab b2 3b2 8c2 14bc c2 3c2 8a 14ca a2 b2 c2 2a 3b 2b 3c 2c 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta abc a2 b2 c2 abc 2a 3b 2b 3c 2c 3a a b c Do ta a2 3a 8b2 14ab b2 abc 3c2 8a 14ca Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a b c Bài 10 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x, y, z x y z Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: 3b2 8c2 14bc c2 M x y4 z4 12 x y z Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Đặt a x 1; b y 1; c z , ta 1 a; b; c a b c Biểu thức M viết lại thành http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, M a b4 c4 a b3 c3 a b2 c2 a b c 12abc Để ý a b c a b3 c3 3abc nên biểu thức thử thành M a b4 c4 a2 b2 c2 Theo đánh giá quen thuộc a b4 c4 abc a b c abc a b2 c2 0 Do suy M hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a b c hay x y z Mặt khác 1 a; b; c nên ta có a ; b ; c Từ ta có a a2 a ; b4 b2 b ; c4 c2 c Suy M a b4 c4 a2 b2 c2 a b c Mà ta lại có a b c nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b c bc a Đến ta có M 14 a 17 hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a 1; b 1; c hoán vị hay x 2; y 0; z hoán vị Bài 11 a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a b b c c a ab bc ca a b2 c2 2 26 b) Cho a 0; b Chứng minh a b 2a b 2009 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b b c c a 2 2 12 a b Hay 13 b c 2 a b b c c a 2 26 2007 c a 2009 0 Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a b c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b 2a b Đặt c b , b nên ta c , bất đẳng thức viết lại thành a c 2a c Theo đánh giá quen thuộc ta 2 2.4 a c 2a c 2a c 2a c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a b http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a 2b Chứng minh ab2 1a 1 b Bài 12 Cho a, b số dương thỏa mãn Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Quảng Bình năm 2015-2016 Lời giải a 2b a b x y Đặt x ;y Suy a ;b 1a 1 b 1a 1 b 1 x 1y Khi ta x 2y bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Từ giả thiết xy2 1 x 1 y Từ giả thiết ta suy x 2y; y x y nên lại viết bất đẳng thức cần chứng minh thành xy2 2y x y 4xy x y Đánh giá cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a b Bài 13 Cho x, y, z số thực dương cho xyz x y z Chứng minh rằng: xy yz zx Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải Giả thiết toán viết lại thành Đặt a 1 x 1 y 1 z 1 1 ;b ;c Khi ta a b c Từ suy x 1 y 1 z 1 x 1a b c 1b c a 1c a b ;y ;z a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành ab b c c a bc c a a b ca a b b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ab b c c a bc c a a b ca a b b c 1 b a 2bc ca 1 c b 2ca a b 1 a c 2a b bc Cộng theo vế bất đẳng thức ta ab b c c a bc c a a b ca a b b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài 14 Cho số thực không âm a, b, c cho ab bc ca Chứng minh rằng: http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 1 1 a 2 b 2 c 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 1 a b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta abc abc a2 b2 c2 1 a b2 c2 a b2 c2 a b2 c2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài 15 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x 2y 3z 18 Chứng minh rằng: 2y 3z 3z x x 2y 51 1 x 2y 3z Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh, 2009 – 2010 Lời giải Đặt a x; b 2y; c 3x , giả thiết trở thành a b c 18 bất đẳng thức viết lại thành b c c a a b 51 1a 1 b 1 c Bất đẳng thức tương đương với bc5 ca5 ab5 51 1 1 1 3 1a 1 b 1c 1 72 abc6 1 a b c Hay Phép chứng minh hoàn tất ta 1 1a 1 b 1 c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 9 a b c a b c 21 Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a b c hay x 6; y 3; z Bài 16 Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x y z xy z 2x2 2y2 Chứng minh rằng: xy 1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐH KHTN Hà Nội năm 2010-2011 Lời giải Ta quy toán việc chứng minh bất đẳng thức bậc xy z x y z 2x 2y2 x y z xy 1 x z y z 2x 2y2 x y z xy http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 2x2 2y2 x y Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có z x z y z Do ta cần chứng minh xy Bất đẳng thức tương đương với z2 xy z x y z2 xy 2z xy z x y 0 ; z Bài 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c ab bc ca Chứng minh rằng: a b3 c a b2 c2 b c a Bài tốn chứng minh hồn toàn Đẳng thức xảy x y Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐHNN Hà Nội năm 2010-2011 Lời giải a b3 c a b2 c2 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức b c a Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a b2 c2 a b3 c b c a ab bc ac 2 Theo đánh giá quen thuộc ta có a b c ab bc ca a a b Do ta a b2 c2 Nên ta có b2 c2 ab bc ca c2 a b2 c2 ab bc ac 3 a b c a b2 c2 b c a 2 + Chứng minh a b c Do ta suy Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a2 b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a2 2ca; a2 2a; b2 2b; c2 2c Cộng theo vế bất đẳng thức ta a2 b2 c2 ab bc ca a b c 12 Hay a2 b2 c2 a b3 c a b2 c2 Kết hợp hai kết ta b c a Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a b c Bài 18 Cho số dương a, b, c thoả mãn a b c abc Tìm giá trị lớn biểu thức: S a bc a b ca b2 c ab c2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Kết hợp với giả thiết ta có bc a2 bc a2bc bc a a b c a ba c Hoàn toàn tương tự ta http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a b c 81 16 a b c 9 1215 ; 16 a b c Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta a b c 81 a b c 1215 135 16 135 153 4 153 17 Từ kết ta S 17 Đẳng thức xẩy a b c 2 Bài 143 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: bc ca ab P a bc b ca c ab Như giá trị nhỏ S Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Lâm Đồng năm học 2013-2014 Lời giải Kết hợp với giả thiết ta viết lại biểu thức P thành b2c2 c2a a 2b2 P ab ac ab bc ca bc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ab bc ca b2c2 c2a a 2b2 ab bc ca P ab ac ab bc ca bc ab bc ca Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta ab bc ca 3 a2b2c2 3 Suy ta P hay giá trị nhỏ P Đẳng thức xẩy a b c 2 Bài 144 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a; b; c Chứng minh rằng: a b c 1a 1b 2c b c 1 c a 1 a b 1 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh An Giang năm học 2014-2015 Lời giải Từ giả thiết ta a; b 1; a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1 Suy ta 1 a 1 b a b 1 1 a 1 b a b 1 1a 1b a b 1 Vì c nên ta c 1a 1b 2c a b 1 a b 1 (1) c 1a 1 b a b 1 c Suy Hay 1 a 1 b2 c a 2 b c http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a 2a Thật vậy, biến đổitương đương bất đẳng thức ta b c 1 a b 1 a a b 2a b c a b 2c a Ta chứng minh b 2b a c 1 a b 1 Tương tự ta Từ kết ta a b c 1a 1b 2c b c 1 c a 1 a b 1 2a 2b 2 a b 1 a b 1 a b 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b 0; c Bài 145 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 1 a b3 c3 ab bc ca a b c Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015 Lời giải 1 1 18 Do ta a b c a bc Dễ thấy a b3 c3 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a 3a; b3 3b; c3 3c Ta quy toán chứng minh a b c ab bc ca Hay a b c ab bc ca , đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài 146 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a bc a2 b c b ca b2 c a c ab c2 a b Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thái Bình năm học 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a bc bc a bc Suy ta a bc a2 b c a bc bc b c 4a 3b 3c 4a 4a 3b 3c b c 4a 3b 3c 4a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 91 4a a a 92 1 4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a b c a http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a bc Suy ta a bc 27a 25 25 a b c Áp dụng hoàn toàn tương tự ta b ca b2 c a Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta a bc b c c ca 27b ; 25 c2 c a 25 a b c b ac a2 c a b2 c ab a b c2 27c 25 25 a b c 6 25 a b c 25 27 a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 147 Cho a, b, c số thực không âm cho a b c Chứng minh rằng: a 9bc b c b 9ca c a c 9ab a b 2 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố hải Phòngnăm học 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a 9bc b c b 9ca c a c 9ab a b a b c a b c 27abc 4a b c 4b c a 2 Phép chứng minh hoàn tất ta 27abc 4a b c 4b c a Hay 4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc abc 2 Để ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành a b c 4c a b 4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc Biến đổi tương đương ta abc a b c b c a c a b Hay 4c a b a b3 c3 3abc ab a b bc b c ca c a Bất đẳng thức bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a b c a b ; c hoán vị Bài 148 Cho x, y, z số thực không dương Chứng minh rằng: xy3z3 x yz y z3 yz3 x y zx z x3 zx y3 z xy x y3 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 2014-2015 Lời giải Dễ dàng chứng minh y3 z3 y z y z2 yz y2 z2 http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Và lại có x2 yz 2x yz Nhân theo vế hai kết ta x yz y3 z3 2xyz y2 z2 Suy ta xy3z3 x2 yz y z3 xy3z3 x2 yz xyz y2 z2 y z2 x2 y2 x2z2 y 3z yz3 y z2 x2 y2 x2z2 2y2z2 Hoàn toàn tương tự ta xy3z3 x yz y z3 yz3 x y zx 2 yz x2 y2 x2z2 2y2z2 z x3 zx y z xy 2 x y xz 2x 2z2 y2z2 x y3 2x y x y2 x 2z2 2y2z2 Ta càn y2z2 x2z2 x y2 x2 y2 x2z2 2y2z2 x2 y2 2x2z2 y2z2 2x2 y2 x2z2 2y2z2 Đặt a x2 y2 ; b y2z2; c z2x2 Khi bất đẳng thức viết lại thành a b c 2a b c a 2b c a b 2c Bất đẳng thức tương đương với bc ac ab 2a b c a 2b c a b 2c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 2a 2b 2c bc ac ab 2a b c a 2b c a b 2c a b2 c2 ab bc ca Phép chứng minh hoàn tất ta 2 a b c ab bc ca a b c a b c ab ba ca a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2 2 2 Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x y z Bài 149 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x2 y y2 z z2 x 4x 5y 4y 5z 4z 5x Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta x y z P2 xy yz zx 4x 5y 4y 5z 4z 5x http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Đặt Q 5y x y z 1 5z 5x 3 4x 5y 4y 5z 4z 5x 4x 5y 4y 5z 4z 5x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta xyz 5y 5z 5x 4x 5y 4y 5z 4z 5x xy yz zx x2 y2 z2 xyz xy yz zx 1 3 4 xy yz zx Khi ta suy P2 xy yz zx 3 xy yz zx Đặt a xy yz zx a Khi ta a 9a P2 a 6a 6a Do ta Q 5 xy yz zx Ta chứng minh 6a a 9a Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 3a 10 27a , đánh giá Do bất đẳng thức chứng minh 1 Suy P hay giá trị lớn P 3 Đẳng thức xẩy x y z Bài 150 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng: 0a 3 a b c 2 9b ca 9c ab 9a 2bc a b c 18 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 3 a b2 c2 a b c 2 9b ca 9c ab 9a 2bc a b c 9abc ab bc ca a b c Dễ thấy a b2 c2 a để ý đến giả thiết ab bc ca ta b2 c2 a b c 9abc ab bc ca a b c a b c 9abc http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Do ta có abc a3 b3 c3 9b2ca 9c2ab 9a 2bc a b c 9abc Phép chứng minh hoàn tất ta a b c a b c 18 a b c 9abc Hay a b c 9abc Để ý đến giả thiết ab bc ca , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a b c a b c ab bc ac 3 abc.3 a 2b2c2 9abc Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy a b c Bài 151 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 5a 4bc 5b2 4ca 5c2 4ab a b2 c2 ab bc ca Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Quảng Nam năm học 2014-2015 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 5a2 4bc bc 5b2 4ca ca 5c2 4ab ab a b2 c2 Hay 5a 5a 4bc bc 5b2 5b 4ca ca 5c2 5c 4ab ab a b2 c2 Hay a b2 c2 5a 5b2 5c2 5b2 4ca ca 5c2 4ab ab 5a 4bc bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 5a 4bc a b2 c2 8a 3b2 3c2 4bc bc a b c 2 4.3 bc a b2 c2 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta 5a2 4bc bc 3a 3b2 3c2 9bc a b2 c2 3bc a b2 c2 10a 5b2 5c2 10bc Suy 10a 5a 4bc bc a b2 c2 10a 10a 5b2 5c2 10bc Lại có 10bc 5b2 5c2 nên ta 10a 10a a2 10a 5b2 5c2 10bc 10a 10b2 10c2 a b2 c2 http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Do ta 10a 5a 4bc bc a b2 c Chứng minh hoàn toàn tương tự ta 5a 2 2 5a 4bc bc a b c a2 a b2 c2 5b2 5b2 4ca ca 5c2 4ab ab 5c2 a2 b2 c2 1 a b2 c2 b2 a c2 c2 b2 a Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a b c Bài 152 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a 3b 4b 8c P a 2b c a b 2c a b 3c Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Quảng Nam năm học 2014-2015 Lời giải Đặt x a 2b c; y a b 2c; z a b 3c Khi ta a 5y x 3z; b x z 2y; c z x Biểu thức P viết lại thành P 4x 2y 8y 4z 17 y x z y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P 4x 2y 8y 4z 4x 2y 8y 4z 17 2 17 12 17 y x z y y x z y Vậy giá trị nhỏ P 12 17 Đẳng thức xẩy 4x 2y 2 y x 2x y z 2y 2x 2 8y 4z 2y z z y Bài 153 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy xz Xh]ngs minh rằng: 3yz 4zx 5xy 4 x y z Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Tuyên Quang năm học 2014-2015 Lời giải Biến đổi vế trái bất đẳng thức sau 3yz 4zx 5xy yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy x y z x y x z y z Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy 2z; 4y; 6x x y x z y z Do ta 3yz 4zx 5xy 6x 4y 2z x y z Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta 6x 4y 2z x y x z xy xz xy xz http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 3yz 4zx 5xy 4 x y z Do ta suy Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x y z Bài 154 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y4 z4 x2 y2 z2 12 x2 y2 z2 Tìm giá trị nỏ biểu thức: P y 2z z 2x x 2y Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Yên Bái năm học 2014-2015 Lời giải Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết tốn Áp dụng đánh giá quen thuộc ta có x y4 z4 x2 y2 z2 x2 y2 z2 Khi ta x2 y2 z2 12 Hay x2 y2 z2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x y z2 x2 y2 z2 P y 2z z 2x x 2y x2 y y2z z2 x xy2 zx2 yz2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta x x y y z z2 x x 2 y z2 y z2 x y x 2 y z2 z2 x y z2 x y z 2 x y z2 Hoàn toàn tương tự ta xy2 yz2 zx2 x2 y2 z2 x Do ta P y z2 x y z2 x y z2 x2 y2 z2 x y z2 1 Vậy giá trị nhỏ P Đẳng thức xẩy x y z Bài 155 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c b c a c a b a b c b c a c a b 2 2 2 2 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2014-2015 Lời giải a b c a b c Để ý 2 a b c 2c a b 2c a b a b c a b c 2 2 2 Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a bc a2 b c b ca b2 c a c ab c2 a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a bc bc a bc a bc a2 b c bc b c 4a 3b 3c Suy ta a bc 4a 4a 3b 3c b c 4a 3b 3c 4a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 91 4a a a 92 1 4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a b c a a bc 27a 25 a2 b c 25 a b c Suy ta Áp dụng hoàn toàn tương tự ta b ca b2 c a Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta a bc b c a2 c ca 27b ; 25 c2 c a 25 a b c b ac c a b2 c ab a b c2 27c 25 25 a b c 6 25 a b c 25 27 a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài 156 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz Chứng minh rằng: x y z 1 2 2 2y z xyz 2z x xyz 2x y xyz 2 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Gia Lai năm học 2014-2015 Lời giải Giả thiết toán viết lại thành 1 1 1 Đặt x ; y ; z ta a b c x y z a b c Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab Chú ý đến giả thiết a b c , ta có bc bc bc bc 1 a b c a 2a bc a a b c bc ab ac Hoàn toàn tương tự ta ca 2b ca ca 1 ab ab 1 ; b c a b 2c ab ca bc http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Cộng theo vế bất đẳng thức ta bc ca ab 2a bc 2b ca 2c ab bc 1 ca 1 ab 1 abc 1 a b c a bc a b c a b c Như bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x y z Bài 157 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y2 z2 x yz y zx z xy P Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Cần Thơ năm học 2015-2016 Lời giải Đặt a 1 ; b ; z , suy abc Biểu thức P viết lại thành x y c P a 2bc 2a bc a 2a b ca 1 2b c ab 1 2c 2 ca ab b 2b c 2c P Hay bc ca ab a b c 2a 2b2 2c2 Ta viết biểu thức P thành P bc ca ab bc ca ab a b c Dễ dàng chứng minh bc ca ab Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta abc a2 b2 c2 a b c 3 abc bc ca ab abc 2 3 Vậy giá trị nhỏ P 2 2 Đẳng thức xẩy a b c x y z DO ta P Bài 158 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c ab bc ca 3 a b2 c2 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015-2016 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c ab bc ca a b2 c2 3 Hay a b c 27 ab bc ca a 2 b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c a b c 2 2 2 2 Vậy bất đẳng 27 thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Bài 159 Cho a, b, c số thực khơng âm khơng có hai số Chứng minh rằng: 1 2 ab bc ca a ab b b bc c c ca a Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016 Lời giải Vì vai trò biến nên khơng tính tổng qt ta giả sử c số nhỏ ba số a, b, c Khi ta a ac c a c a c a ab bc ca ab c a b ab b2 bc c2 b2 c b c b2 2 2 Từ ta có 1 1 2 2 a ab b b bc c c ca a a ab b a b ab bc ca ab Và có Phép chứng minh hoàn tất ta 1 a b2 a ab b2 ab Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1 1 1 0 a ab b2 ab a ab b2 ab ab ab a ab b2 2ab a b2 0 a 3b ab3 a ab b2 ab a 2b2 a ab b2 Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh xong Bài 160 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c Chứng minh rằng: 4 1 9 ab bc ca a b c Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố Hà Nội năm học 2015-2016 Lời giải Cách 1: Để ý đến giả thiết lại viết lại bất đẳng thức thành abc a b c a b c a b c a b c a b c ab bc ca a 4c 4a 4b bc ac ab 12 12 ab bc ca a b c 4c 4a 4b bc ac ab ab bc ca a b c b http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, c 1 , ta x y xy 1 1 1 1 1 ab bc ca a b c c a b c b a c a b 4a 4b 4c bc ca ab Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4 1 9 1c 1a 1b a b c 18c Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1c c Ta chứng minh 2c 1 5c c c 18c 5c 21c2 3c 18c3 3c Do a, b, c ba cạnh tam giác a b c nên 2c 2c a b c c a b Do bất đẳng thức Vậy tốn chứng minh xong Bài 161 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c a b c Tìm giá trị lớn b c a biểu thức: P a b 1 b c 1 c a 1 3 3 a b b c c a3 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường Đại học Vinh năm học 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho giả thiết ta abc a b c 3 b c a Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức cho giả thiết ta a b c abc a b c ab bc ca a b c b c a ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki ta có a b 1 a b 1 a b 1 2 a b 1 a a b 1 3 a b a b2 3 Hoàn toàn tương tự ta thu P 2 a b b c c a2 1 1 1 Ta chứng minh 2 a b b c c a2 Do ta Thật vậy, bất đẳng thức viết lại thành a b2 b2 c2 c2 a 2 a b2 b2 c2 c2 a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, b2 a b2 b2 c2 c2 a a b2 b2 c2 c2 a a b b c c a 2 2 2 a b2 c2 Phép chứng minh hoàn tất ta a b2 b b c2 2 c2 Áp dụng tương tự ta a b2 b c a2 a2 c b2 b c2 b2 ac b c2 c a2 c2 a b2 c c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a a b2 b2 c2 c2 a 2 a a b2 c c a2 c a2 a b2 c2 ab bc ca Mà từ giả thiết ta ab bc ca Do ta a b2 b b c2 c2 c c a2 a2 c a a b2 c2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Suy giá trị nhỏ P Đẳng thức xẩy a b c Bài 162 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 ab bc ca Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a bc b ca a bc b ca 2 a b c 1 b ca c ab 2 2 a b c 1 Khi ta a bc 2 c ab Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 1 2 c ab Bài toán quy chứng minh 2 a b c 1 c ab a b c c ab c 1 c ab b c c a c abc bc ca c a 1 b 1 a b c c ab a b b c c a Theo ngun lí Dirrichlet ba số a, b, c ln tìm hai số phía với Vì vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử hai số a b Khi bất đẳng thức cuối ln Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy Bài 163 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: x 2x2 x x yz y3 2y2 y y zx z3 2z2 z z xy 3 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015-2016 http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Lời giải Áp dụng giả thiết x y z ta x 2x2 x x yz x 1 x x 1 x x 1 x x x x Áp dụng tương tự ta x 2x2 x x yz y 2y2 y y zx z3 2z2 z z xy x y z x x x yx z x y z x x x y x z Ta cần chứng minh Từ x y z 3 x y z Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có x x y y z z Do ta x x y y z z x y z x x y y z z xyz Tư ta có x y z x x x yx z 3 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x y z Bài 164 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 Chứng minh rằng: a2b2 b2c2 c2a2 a b c Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2015-2016 Lời giải Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với a b c a b b c c 2a a c a b c a c 9 a b4 c4 a b c a b4 c4 a 2b2 b2c2 c2a b4 b2 Vậy ta cần chứng minh a b4 c4 a b c Hay a a a b4 b b c c c Điều hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy ba số ta có a a a 3 a a.a 3a b4 b b 3 b4 b.b 3b2 c4 c c 3 c4 c.c 3c2 Bài toán giải Bất đẳng thức xảy a b c Bài 165 Cho a, b, c số thực dương thả mãn abc Chứng minh rằng: 2a 2b 2c a b4 c a b c 9 2 b c a c a b2 Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Thái Nguyên năm học 2015-2016 Lời giải http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, Dễ dàng chứng minh a b ab a b 4 2 a b2 c Áp dụng hoàn toàn tương tự ta a b4 c a2 b2 b2 c2 c2 a c a b Bài toán quy chứng minh a2 b2 b2 c2 c2 a 4a 4b 4c 2 a bc 18 2 c a b b c a c a b2 Áp dụng bất đẳng thức Caychy ta a2 b2 4c b2 c2 4a c2 a 4b 4; 4; 4 2 c a b a b b c c a2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b2 b2 c2 c2 a 4a 4b 4c 12 2 c a b b c a c a b2 Phép chứng minh hoàn tất ta a b c , đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Vậy toán chứng minh xong http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, ... giáo án dạy thêm, đề luyện thi, n2 n2 3 a2 b2 c2 b c c a a b 2 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009- 2 010 Lời giải Bất đẳng thức cần... máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, 1 1 a 2 b 2 c 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Phú Thọ năm 2009- 2 010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương... 2009 88 45 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009- 2 010 Lời giải http://topdoc.vn - Đánh máy sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề luyện thi, a) Bất đẳng thức cần chứng