Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

DIỄN ĐÀN DẠY TỐN - HỌC TỐN Tốn Đại học - Toán THPT - Toán THCS - Toán Tiểu học VIETMATHS.NET NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Huỳnh Đức Khánh Click G+1 Like để đăng ký theo dõi thông tin nhất! CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  Bài 01 NGUYÊN HÀM f x hàm số f  x  xác định khoảng F ' x   f x  F x  Nhận xét Nếu với Ký hiệu:  f  x  dx  F  x   C Tính chất    f  x  dx  / x K K Hàm số  f x  gọi nguyên hàm nguyên hàm f  x  f  x  F x THS NET Định nghĩa Cho hàm số F  x   C , C    nguyên hàm   a f  x  dx  a. f  x  dx a  , a  0    f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx TMA Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm  kdx  kx  C , k số x  1  C   1  1  x  dx   dx  ln x  C x e  x dx  e x  C a x dx  ax C ln a  1 ax  b   ax  b dx  a    C  ax  b dx  a ln ax  b  C e  ax b dx  ax b e C a a mx  n dx  a mx  n C m ln a  cos ax  b dx  a sin ax  b   C  sin xdx   cos x  C  sin ax  b  dx   a cos ax  b   C VIE  cos xdx  sin x  C  cos x  sin x 1 dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin ax  b  ax  b  dx  tan ax  b   C a dx   cot ax  b   C a CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số f  x  có nguyên hàm A f x  xác định C f x  có giá trị nhỏ K K nếu: B f  x  có giá trị lớn K K D f  x  liên tục Lời giải Nếu hàm số f  x  liên tục K có ngun hàm K K  THS NET Chọn D Câu Mệnh đề sau sai? A Nếu F  x  nguyên hàm f  x  a; b  f  x  dx  F  x   C với C số B Mọi hàm số liên tục khoảng a; b  có nguyên hàm khoảng a; b  C F x  nguyên hàm f  x  a; b   D   f  x  dx  /  f x  Lời giải Chọn C Sửa lại cho là: '' F  x  nguyên hàm f  x  a; b  f /  x   F  x , x  a; b   F /  x   f  x , x  a; b  '' Câu Xét hai khẳng định sau: 1) Mọi hàm số f  x  liên tục đoạn a; b  có đạo hàm đoạn 2) Mọi hàm số f x  liên tục đoạn a; b  có nguyên hàm đoạn `B Chỉ có 2) C Cả hai TMA Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có 1) sai Lời giải Hàm số có đạo hàm chưa có đạo hàm x0 liên tục x0 Ngược lại hàm số liên tục Chẳng hạn xét hàm số f  x   x0 x điểm Câu Trong khẳng định sau nói nguyên hàm hàm số khoảng D , khẳng định sai? 1) F  x  nguyên hàm f  x  D x 0 f x  x0 Chọn B xác định F '  x   f  x , x  D f  x  có ngun hàm D VIE 2) Nếu f  x  liên tục D D Cả hai 3) Hai nguyên hàm D hàm số sai khác số A Khẳng định 1) sai B Khẳng định 2) sai C Khẳng định 3) sai D Khơng có khẳng định sai Lời giải Chọn D Câu Giả sử F  x  nguyên hàm hàm số f  x  khoảng a; b  Giả sử G  x  nguyên hàm f  x  khoảng a; b Mệnh đề sau đúng? A F  x   G x  khoảng a; b B G  x   F  x  C khoảng a; b , với C số F  x   G x   C với x C số thuộc giao hai miền xác định F x  G x  , C D Cả ba câu sai Lời giải Vì hai ngun hàm B Chọn B D hàm số sai khác số Do Câu Xét hai khẳng định sau: 1)   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  F  x   G  x   C , F x  G x tương ứng nguyên hàm f  x , g  x  a f  x  a  0 tích a với nguyên hàm f  x  THS NET 2) Mỗi nguyên hàm Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có 1) B Chỉ có 2) C Cả hai D Cả hai sai Lời giải Chọn C Câu Khẳng định sau sai? A Nếu  f  x  dx  F  x   C  f u du  F u   C B  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k số C Nếu F x  k  ) G  x  nguyên hàm hàm số f  x  D   f  x   f  x  dx   f  x  dx   F  x   G  x  f  x  dx Lời giải Các nguyên hàm sai khác số nên C đáp án sai Chọn C Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A  0dx  C ( C số) dx  ln x  C x TMA  1 B  C  x  dx  x  C ( C số)  1 ( C số) D  dx  x  C ( C số) Lời giải Chọn C Vì kết khơng với trường hợp Câu Hàm số f x   A 0;  B có nguyên hàm khoảng với khoảng cho sau đây?      ;   2  f x   cos x C ;2  khoảng Chọn B Câu 10 Kí hiệu F  y  nguyên hàm hàm số     ;   2  D xác định liên tục VIE Lời giải Hàm số cos x   1      ;   2  f y , biết nên có nguyên hàm F  y   x  xy  C Hỏi hàm số f  y  hàm số hàm số sau? A f  y   x B f  y   x  y C f  y   y Lời giải Để tìm f  y  ta lấy đạo hàm F  y D f  y   x  y theo biến y (tức x đóng vai trò tham số) Ta có F '  y   x Chọn A Câu 11 Kí hiệu F x  nguyên hàm hàm số f  x  nguyên hàm hàm số hàm số sau? A f sin x  B f cos2 x  C sin xf sin x  D F sin x  xác định sin xf sin x  F sin x  Lời giải Theo định nghĩa, ta có  f  x  dx F  x   C  F   x   f  x  Áp dụng:  F sin x    sin x / F / sin x   sin x f sin x    Chọn D Câu 12 Xác định  f  x  dx biết f  x   x  A  2 x  1 dx  B  2 x  1 dx  C C  2 x  1 dx  x  x D  2 x  1 dx  x  x  C  x  3 A F x   C F x    x  3 B F x    2017 D F x   5  x  3 x THS NET Lời giải Chọn D Câu 13 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f  x    x  34 ?  x  3 Lời giải Xét đáp án A, ta có F '  x    x  3   f  x  Cách trắc nghiệm Ta thấy hàm số F x 1 Chọn A đáp án B, C, D sai khác số nên dung phương pháp loại suy, ta chọn được đáp án A Câu 14 Kí hiệu F x  nguyên hàm hàm số định sau đúng? F x   C F  x   x  x  1 Lời giải Ta có   x  1 Theo giả thiết F 1  F x  Đồ thị Vậy y  F x  x5 2x3   x C D F x   x 2x3   x  biết F 1  F '  x   3x  x  Chọn A đồ thị hàm số B F  x   cos x  e 1 D F  x   x  x  x  e cắt trục tung điểm có tung độ y  F x cắt trục tung e nên ta có F 0   e  C  e Chọn D Câu 16 Kí hiệu F x  đồ thị hàm số y  f x  nguyên hàm hàm số f x   x 1 Đồ thị hàm số B y  F x cắt điểm thuộc trục tung Tọa độ điểm chung hai đồ thị hàm số là: Lời giải Ta có Khẳng F  x    3x  x  1 dx  x  x  x  C F  x   x  x  x  e A 0; 1 28  15 x 2x   x C VIE F  x   x  x  x  Lời giải Ta có F x   dx    x  x  1 dx  điểm có tung độ e A F  x   x  x  e C B 28 28    1  C   C  15 15 Câu 15 Tìm hàm số TMA x 2x   x A f  x    x  1    ; 9   C 0; 1 F  x    4 x  1 dx  x  x  C    ; 9   D 0;1    ;8   Giả sử M 0; m   Oy F x giao điểm đồ thị hai hàm số Ta có hệ phương trình f  x   M  f  x  4.0   m m  1     F x   x  x 1   M  F  x  2.0   C  m C  1  Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số F x  f x  nghiệm phương trình:  x   y  1  x  x   x 1  x 2 x  5    x   y   Chọn C F  x   ax  a  b  x  2a  b  c  x  Câu 17 Biết f  x   3x  x     ; 9   THS NET Vậy tọa độ điểm cần tìm 0; 1 Tính tổng S  a  b  c A S  B S  C S  3 Lời giải Ta có  3x  x  2 dx  x  3x  x  C Suy F  x   x  3x  x  Đồng ta  a  a     b   a b  c  a  b    2a  b  c  c  F 2  F 3 F 3  ln  B F 3  ln  Lời giải Ta có  Theo giả thiết Suy Tính C Chọn A F x  F 3   nguyên hàm hàm số D TMA A x 1 S  D Câu 18 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Biết f x   nguyên hàm F 3   dx  ln x   C x 1 F 2    ln   C   C  F  x   ln x     F 3  ln  Câu 19 Cho hàm số A f 5  ln y  f x  có đạo hàm B f 5  ln f '  x  dx   f ' x   x 1 f 1  Tính f 5 C f 5  ln  D f 5  ln  dx  ln x   C x 1 VIE Lời giải Ta có f  x    Chọn B Theo giả thiết f 1    ln 2.11  C   C  1 Suy f  x   ln x 1    f 5  ln 2.5    ln   ln  Chọn D 2 Câu 20 Tìm hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời f x   2x  x 1 f 0  A f  x   x  ln x  B f  x   x  ln x   C f  x   x  ln x   D f  x   x  ln x   Lời giải Ta có   2x   dx   2   dx  x  ln x   C   x 1 x  1 Theo giả thiết f 0    2.0  ln   C   C  Suy f  x   x  ln x   Chọn C  x  1 F x  Câu 21 Gọi nguyên hàm hàm số f  x   x 2 thỏa mãn F 1   Tính F 2  A F 2    ln B F 2   1  ln  C F 2  1  ln 2 D F 2  x 2  x  x  x  x  2  1  x x 2 x 2 x 2  x  1     x2 dx    x  d x   ln x   C   x 2 x   1 1    ln 1   C   C  2 2 Theo giả thiết Suy THS NET  x  1 Lời giải Ta có F 1  x2  ln x    F 2   ln  1  ln 2 F x   Chọn C  x  1 Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f  x   A F x   x 3x   ln x  2 2x C F x   x 3x 1   2 x 2x  x  1 2x ? B F x   D F x   4x 3  x  1 Lời giải Ta có   x 1 2x dx   4x x  3x  x  dx 2x Chọn C    F x  Câu 23 Biết F x  F 1  F 2  43 Tính 151 B F 2  Lời giải Ta có Theo giả thiết Suy x 3x   ln x  2 2x Chọn A f x  4x  nguyên hàm hàm số F 2  F 2  23 C F 2  45 D F 2   3x x2 86   1 F  x    4 x   3x  dx  x   x  C   x x VIE A TMA x 3  x 3x        dx    ln x  C  2 x x  2 2x 7  45 5F 1  F 2  43     C    C  43  C    2 F x   x  1  x    F 2    22   23 x 2 2 Chọn B Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f  x   A F  x    ln x  ln x 1 B F  x   ln x  ln x 1 C F  x    ln x  ln x  D F  x   ln x  ln x  Lời giải Ta có 1 1    x2 x x  x 1 x x 1  x2 x thỏa mãn    1      dx     dx   ln x  ln x   C  x  x   x x 1 F x  Câu 25 Gọi nguyên hàm hàm số x  3x  f x  thỏa mãn 3 F      F 3 A F 3  ln Lời giải Ta có F 3  ln B C F 3  2 ln F 3   ln D 1 1    x  x   x  1 x  2 x 1 x  THS NET Tính Chọn C    1       dx    dx   ln x 1  ln x   C  x  x    x  x   Theo giả thiết Suy 3 3 F      ln   ln   C   C    2 F  x    ln x 1  ln x    F 3   ln Chọn D Câu 26 Xác định  f  x  dx biết f  x   x   x  3x  A  f  x  dx  ln x   ln x   C B  f  x  dx  ln x   ln x   C C  f  x  dx  ln x   ln x   C D  f  x  dx  ln x   ln x   C Lời giải Ta có  x 3  dx     dx  ln x   ln x   C   x  x   x  3x  2 Câu 27 Cho hàm số f x có đạo hàm phương trình f  x   1 có nghiệm A T  2017 f x   2 x  1 TMA   x 3 x 3    x  3x   x  1 x  2 x  x  B T  C x  x0 Tính T  2017 Chọn B  thỏa  x 1 f 2    Biết T  2017 x0 D T  20173   1 f '  x  dx     dx   C 2 x 1 x 1 2 x 1  x 1  Lời giải Ta có  1 Theo giả thiết f 2       C    C  1 3 x 1 x   2 x  1 Suy f  x   1  x 1  1  x   x  T  2017   x  12 x 1 Câu 28 Tìm nguyên hàm  g  x  dx  A x2 C F x   VIE Suy f  x   F x  Chọn B hàm số f  x  g  x  , x3  F x   biết  f  x  dx  x  C , F 2  x2 x2  B F  x    4 C F x   D x  f  x    g  x  dx  Lời giải Ta có  f  x  dx  x  C  Khi  f  x  g  x  dx   1 xdx  x  C x3   C   g x   x F 2    22  C   C  4 F x   x2  4 Câu 29 Cho I  Suy A I 2 x C Lời giải Ta có Chọn A x ln x I 2 B 2 x dx C Mệnh đề sau sai? x 1 C  I 2 C   2    x  / x / / x ln  x  1 C x x D ln   I 2 x ln x x  1  C Chọn A THS NET Theo giả thiết Cách trắc nghiệm Ta thấy đáp án B, C, D sai khác nên số nên dễ dàng nhận đáp án A không thỏa mãn Câu 30 Tìm giá trị tham số a, b, c nguyên hàm hàm số f  x   20 x để hàm số  30 x  2x 3 F  x   ax  bx  c  x  a  4, b  2, c  B a  4, b  2, c  1 C a  4, b  2, c  D a  4, b  2, c  1 Ta có F 'x   f  x  F '  x   2ax  b  x   Để * xảy 5a  20 a     3b  6a  30  b  2   c  3b  c   * ax  bx  c  2x  x A Lời giải Theo ta có với  5ax  3b  6a  x  3b  c 2x  Chọn C A f  x   x  ln x  C C f  x     ln x  C x2 TMA Câu 31 Nếu  f  x  dx   ln x  C f  x  hàm số hàm số sau? x B f  x    x C x D f  x   x 2 x Lời giải Theo định nghĩa  f  x  dx  F  x    F  x   f  x  /  x  1 x 1     x x x / Câu 32 Cho F x  VIE Do hàm số cần tìm f  x     ln x  C  nguyên hàm hàm số f  x   e 3x sau đúng? A F  x   e x  B F x   e x C F x   e 3x   3 D F x    e 3x   3 Lời giải Ta có  e x dx  e x  C Theo giả thiết Suy F 0    C   C  3 F x   e 3x   3 Chọn C Chọn D thỏa mãn F 0  Mệnh đề F x  Câu 33 Biết f  x   e x 1 nguyên hàm hàm số thỏa e F 0   Tính ln 3 F 1 A ln 3 F 1  64 B ln 3 F 1  8 C ln 3 F 1  81 D ln 3 F 1  27 Lời giải Ta có  e x 1dx  e x 1  C Suy e e e    C   C  3 THS NET F 0  Theo giả thiết   F  x   e x 1   ln 3 F 1  ln 3 e   64   Chọn A Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   e x e x 1 A  e x e x 1dx  e x e x 1  C B  e x e x 1dx  e x 1  C C  e x e x 1dx  2e x 1  C D  e x e x 1dx  e x 1  e x  C Lời giải Ta có  e x e x 1dx   e x 1dx  e x 1  C Chọn B  C ln A F x   C F  x   x ln  C x hàm f  x   2 x 4x C ln B F x   D F x   x C TMA F x  Câu 35 Tìm nguyên hàm x Lời giải Ta có  22 x dx   x dx   C Chọn B ln Câu 36 Hàm số F  x   e x  2018 đây? nguyên hàm hàm số hàm số sau f x   e Lời giải Hàm số B f  x   x F x  đây? A f  x   x C F x   F x  x3 ex     x  e /  2018  e x D f  x   x e x 1 3 / / x3  3x e x Chọn B nguyên hàm hàm số hàm số sau B f  x   3x  e x  ex Lời giải Hàm số ex f x   3x nguyên hàm hàm số f  x  F '  x   f  x  Suy hàm số cần tìm f  x   e x Câu 37 Hàm số e x3 VIE A x3 C f  x   x 12  ex D f  x   x  e x nguyên hàm hàm số f  x  F '  x   f  x     e x   x  e x 3  Suy hàm số cần tìm f  x    x / Chọn D CASIO S H     x  3 dx Do  3 Diện tích tam giác bằng: OAB SOAB  OA.OB  b 2 9 3b0   SOAB  S H   b    b  1 2 Câu 29 Cho hàm số y  f x  y  g x   x f  x  hàm số liên tục  Chọn C có đồ thị đoạn 1;2  THS NET Ycbt hình vẽ bên Biết phần diện tích miền S tơ màu , tính giá trị tích phân I   f  x  dx A I B I C I  10 D I  Lời giải Diện tích phần tơ màu S   g  x  dx Theo giả thiết 5   x f  x  dx  2 t  x   dt  xdx Khi Đổi cận:  x   t    x   t  4  x f  x  dx   f t  dt    f t  dt  1 1 hay  f  x  dx  Chọn D TMA Đặt S Câu 30 Một khung cửa có hình dạng hình vẽ, phần phía parabol Biết a  2,5m , b  0,5m , c  2m Biết số tiền mét vuông cửa triệu đồng Số tiền cần để mua cửa là: A 14 triệu đồng đồng 17 triệu đồng 13 triệu D 17 triệu VIE C B đồng Lời giải Diện tích khung cửa bằng: diện tích hình vng + diện tích parabol Diện tích hình vng S1  2.2  m Diện tích parabol đáy, h 2 S  2.0,5  m 3 (Công thức giải nhanh S Bh chiều cao) Suy diện tích khung cửa S  S1  S2  14 m Khi số tiền cần phải trả: T  14 1 triệu  14 triệu đồng Chọn A với B chiều dài Câu 31 Biết đường parabol  P  : y  x chia đường tròn C  : x  y  thành hai phần có diện tích Khi S  S1  a  dương b c b c S1 , S (hình vẽ bên) với a, b, c nguyên phân số tối giản Tính THS NET S  a  b  c A S  13 B S  14 C S  15 D S  16 Lời giải Đường tròn C  có tâm O 0;0 , bán kính R  2   diện tích Phương trình hồnh độ giao điểm  P  C  là:  y  x  x     x   2  x  y   x  x   Suy 2 S1   x dx 2   x dx  a     S2  S1  4    b   c  4  2   S2  S  S1  6  3 Chọn C TMA Câu 32 Một bồn hình trụ chứa dầu đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn A 11,781 m B 12,637 m C 14,923 m D 8,307 m Lời giải Thể tích bồn (hình trụ) đựng dầu là: V1  r h  .12.5  5m Suy y   1 x VIE Bây ta tính phần dầu bị rút cách: Cách (Dùng tích phân) Chọn hệ tục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ gắn với tâm mặt đáy Đường tròn đáy có bán kính nên có phương trình x  y  Diện tích phần hình tròn đáy bị mất: S    x dx  0, 61m S   Thể tích phần dầu bị rút ngoài: V2  S h   1 x dx 5  3,07m Vậy thể tích khối dầu lại bồn: V  V1 V2  12,637m Chọn B Cách (Áp dụng diện tích cung tròn biết góc tâm trừ diện tích tam giác tạo tâm đầu mút dây cung) với  tính theo đơn vị radian Tính góc cos O 1 R   R.R.sin   R   sin   2 H THS NET Sviên phân  A B tâm:  OH OH   2        OA R 2 3 Diện tích phần hình tròn đáy bị (phần bôi đen) Sviên phân   2 2  R   sin   12   sin   0, 61m  2 3 Câu 33 Cho viên gạch men có dạng hình vng OABC hình vẽ Sau tọa độ hóa, ta có O 0;0, A 0;1, B 1;1, C 1;0 hai đường cong hình đồ thị hàm số y  x y  x Tính tỷ số A B C D TMA diện tích phần tơ đậm so với diện tích phần lại hình vng Lời giải Diện tích hình vng có cạnh Diện tích phần tơ đậm : S2   x  x dx CASIO   m S 1 S  S1  S2    m    2 S VIE Do diện tích phần lại : S1  12  m Chọn D Câu 34 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng /m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ 2a  16  a  Vậy phương trình elip THS NET x2 y2  1 a2 b2 Giả sử elip có phương trình Từ giả thiết, ta có Oxy 2b  10   b    y 64  x x y2       64 25 64  x y     E1  E  Khi diện tích dải vườn giới hạn đường  E1 , E2 , x  4 Do 5 64  x dx   4 S  2   64  x dx  80   m 6   Vậy số tiền mà ông An cần T  80    6 Chọn B x 4  100000  7652891,82  7.653.000  TMA Vấn đề TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Câu 36 Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b a  b , xung quanh trục Ox b A b V    f  x  dx B V   a a b C f  x  dx b V    f  x  dx D a V    f  x  dx a b A VIE Lời giải Chọn A Câu 37 Cho hình phẳng hình bên (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối tròn xoay tạo thành tính theo cơng thức công thức sau đây? V     g  x   f  x  dx a b B V     f  x   g  x  dx a b C V     f  x   g  x  dx a b D V     f  x   g  x  dx a Lời giải Chọn B Câu 38 Viết cơng thức tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x  a, x  b a  b , có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ b A x a  x  b  S  x  b b V    S  x  dx B V    S  x  dx a C V   S  x  dx a D a b a THS NET V    S  x  dx Lời giải Chọn C Câu 39 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 1  x  3 thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh A 3x V 3x  124  B V  32  15 C V 124 D Lời giải Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) S  x   3x 3 Suy thể tích cần tính V   S  x  dx   3x x  2dx CASIO    V  32  15  3x  124 Chọn C Câu 40 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0  x  2 thiết diện phần tư hình tròn bán kính x V  32  B V  64  C V 16  TMA A Lời giải Diện tích thiết diện ( hình tròn) S  x     Suy thể tích cần tính V   D V   2x   x 2 1 x  16  x dx        Chọn C A V  3 VIE Câu 41 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x   , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0  x    thiết diện tam giác cạnh sin x B V  C V  Lời giải Diện tích tam giác S  x   sin x  Suy thể tích cần tính V   sin xdx   cos x Câu 42 Cho hình phẳng V D V 16 15 B V  11 15 C D  Chọn C y  2x  x trục hồnh Tính thể tích quanh trục hồnh V Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: V    sin x giới hạn đường cong khối tròn xoay tạo thành quay A  D 12 15 D V x  2x  x     x  4 15 Thể tích cần tính CASIO V    2 x  x  dx  16 15 Chọn A Câu 43 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2107) Cho hình phẳng trục hồnh đường thẳng tạo thành quay A V 4 D B V  2 C V   Tính thể tích  Câu 44 Cho hình phẳng D V V khối tròn xoay  V  D x  dx     x  1 dx Tính thể tích giới hạn đường cong quanh trục hồnh Lời giải Thể tích cần tính x  e x  0, x  D CASIO  4 Chọn A THS NET y  x 1 , giới hạn đường cong y  ln x , trục hoành đường thẳng khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành A V   e  1 B V   e 1 C V  e D V   e  2 V Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: e Thể tích cần tính V    ln xdx CASIO ln x   x   2,25654 Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn D Câu 45 Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối cầu bán kính đơn vị thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh trục đường cong A y  1 x V1  V2 Ox hình phẳng giới hạn đường thẳng Mệnh đề sau đúng? B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 R 1 Lời giải Ta có V1   R3  V1   (đvtt) 3 TMA x  CASIO  x  1  x    x   Thể tích V2    2 VIE Phương trình hồnh độ giao điểm: 1 x   2 1 x  2 dx    8 x  x dx Vậy V1  V2 Chọn B Câu 46 Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x  (đồ thị hình vẽ) trục Ox quay quanh trục Ox Biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm Tính thể tích V lọ CASIO  4 y  2 x  A B V  15 dm V  8dm C V  7dm D Lời giải Từ giả thiết, suy bán kính hai đáy x 1   x  Thể tích lọ V    1dm dm THS NET Suy V  17dm x 1   x   x  dx     x  1 dx 0 CASIO  15 dm Chọn B Câu 47 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  e x , trục hoành đường thẳng x  0, x  Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay A V e 2 D quanh trục hoành B V   e  1 Lời giải Thể tích cần tính C e 1 V D V    e x  dx    e x dx  0 1 2x e V   e 1  e 1 Chọn D Câu 48 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y   x  1 e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích TMA số quay hình  H  xung quanh trục A V   e V khối tròn xoay thu Ox B V  4  2e   C V  e  D V  e  5  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm:  x 1 e x   x 1   x  1 Thể tích cần tính V    2  x  1 e x  dx  4   x  1 e x dx CASIO  7,50544 y   cos x VIE Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn D Câu 49 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng , trục hoành đường thẳng tạo thành quay D quanh trục hoành A V    B V    1  C  Lời giải Thể tích cần tính V    x  0, x  V    1   cos x   giới hạn đường cong Tính thể tích D  V khối tròn xoay V    dx    2  cos x  dx D CASIO  13,01119 Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn C Câu 50 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V    1 B V  2   1 C V  2 D V  2  Lời giải Thể tích cần tính V     sin x   dx    2  sin x  dx x  với m tham số thực lớn Tìm m  B C  Lời giải Thể tích cần tính V       cos x  sin x  mx  Theo giả thiết V  3 m  m  D   sin x  cos x  m dx    sin x  cos x  m  dx  m  m   1     1    2 2 khối tròn xoay thu 3 2  V THS NET m  y  sin x  cos x  m , y  , x  cho thể tích m quay hình  H  xung quanh trục hoành A  26,02239 Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn B Câu 51 Ký hiệu  H  hình phẳng giới hạn đường CASIO  m 3  m3 2 (thỏa mãn m  ) Chọn C  Cách CASIO Thể tích cần tính V    sin x  cos x  m  dx Đến thử giá trị m đáp án vào, đáp án cho kết Câu 52 Cho hình phẳng 3 2 giới hạn đồ thị hàm số D khối tròn xoay tạo thành quay B 126 V 15 D C V Thể tích cần tính 128 15 V    x     x dx   CASIO  128 15 y  x2 1 D V V  y  x2 1 , 15 C Tính thể tích V trục tung tiếp tuyến đồ thị điểm 1;2  Khi quay hình  H  quanh trục B V  28  yx 131 15 Ox tích V bằng: A Chọn C Câu 53 Hình phẳng  H  giới hạn đường hàm số x2 x  x2 x  x  4 VIE Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm y quanh trục hồnh TMA A 124 V 15 nhận V  15 D V   tạo thành khối tròn xoay Lời giải Tiếp tuyến đồ thị điểm 1;2 có phương trình y  2x Thể tích cần tính y  x2 1 V     x  1  2 x  dx 2 1 xet dau 8 15    x  x  dx     x  x  1 dx  0 Câu 54 Cho hình phẳng D THS NET Chọn C giới hạn đồ thị hàm số y  x2 y   x2 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành A V  10 B V  12 C V  14 D V  16 2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm:  x   x  x  1 Thể tích cần tính V    4  x   2  x  dx    12  12 x dx 2 1 CASIO  16 Chọn D 1 TMA Câu 55 Thể tích V khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y   x y  x  quay quanh trục Ox xác định công thức sau đây? A B V    1 x   x 1 dx 1 C V    1 x    x  1 dx V    1  x  dx 1 1 D 2  V    x  1  1  x   dx   1 VIE Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: 1 x  x 1  x  1 Vì đồ thị hàm số y   x đối xứng với đồ thị hàm số y  x 1 qua trục hồnh nên thể tích khối tròn xoay cần tính thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y  1 x , y  0, x  1, x  quay quanh trục Ox Vậy cơng thức tính thể tích V    1  x  dx Chọn C 1 Câu 56 Cho hình phẳng  H  giới hạn đường  H  quay quanh A V   Ox  x  x  dx tích V y  x2 y  x Khối tròn xoay tạo xác định công thức sau ? B V   0  x   x dx C V     x  x dx D V     x  x  dx 0 Thể tích cần tính x  x2  x    x  THS NET Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: xet dau V    x  x dx     x  x  dx Chọn D Câu 57 Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị y  x, hàm số đường thẳng y  x 2 trục hồnh Khối tròn xoay tạo  H  quay quanh tích sau ? Ox C 2  V     x dx   2  x  dx    B V     2  V     x dx    x  2 dx    D Lời giải  Gọi số xác định công thức y  x V1   trục hoành, đường thẳng  V2  . 2  x  dx 2 4  V     x dx   2  x  dx    x  0, x  x  2, x  4 xung quanh trục xung quanh trục Ox Ox x dx  . 2  x  dx VIE Suy thể tích cần tính V  V1 V2  . Câu 58* Cho hình phẳng  H  giới hạn y  4x thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số V2 y  x 2 ,   x dx   2  x  dx   dx  . x dx  Gọi thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm , trục hoành, đường thẳng  V1  .  x  TMA A V Chọn D đường tròn có bán kính trục hồnh (miền tơ đậm hình vẽ) Tính thể tích cho hình  H  quay quanh trục Ox V R  2, đường cong khối tạo thành A 77  V B V  53  C V 67  40  thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn V1 4 16  V1   R  .23  3  Gọi thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường V2 y   x , y  0, x  0, x  xung quanh trục  V2    4  x  dx  8 Vậy thể tích cần tính V  V1 V2  40 Ox Chọn D Câu 59* Cho hình phẳng  H  giới hạn đường V A Ox THS NET   đường tròn có bán (như hình vẽ), trục hồnh đường thẳng x  xung quanh trục thể tích tạo thành nửa khối cầu bán kính R  R2 kính tích V  x   x  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm:  Gọi D y   x  2, y  x  2, x  Tính thể vật thể tròn xoay quay hình phẳng  H  quanh trục hoành 29 V B V  9 C V  9 D V  55 Lời giải Đây thuộc tốn khó, ta phải vẽ hình phát họa kiểm sốt Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y   x  qua trục hoành ta đồ thị hàm số y  x  Khi thể tích đường y  x  2, y  x  2, cần tính tạo thành cho hình phẳng  H ' giới hạn trục Ox đường thẳng x 1 quay quanh trục hoành VIE TMA V Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x  2 x 2  x 2    x  1 ● Gọi V1 x    x  2 thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng tam giác y  x  2, đường trục hoành đường thẳng x 1 ABC giới hạn quanh trục hoành  V1     x  2 dx  9 2 ● Gọi V2 thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng (phần tô màu) giới hạn đường y  x 2 , y  x  quanh trục hồnh Ngun hàm tích phân ứng dụng 1  V2      x   x   dx  2 Vậy thể tích cần tính   55  6 V  V1 V2  9  Chọn D Nhận xét Bài học sinh làm sai nhiều, lí khơng vẽ hình mà làm theo công thức  V      x  2   x   2    dx  92 đường Gọi y  ex , y0, x 0 THS NET Câu 60 Cho hình phẳng  H  giới hạn k  0 xk thể tích khối tròn xoay quay Vk hình  H  quanh trục Ox Biết Vk  Khẳng định sau khẳng định đúng: A 1 k  B  k  2 C  k  D 0k  k Lời giải Thể tích k Vk    e x  dx    e x dx  0  2x e k   2k e 1 Theo giả thiết Vk    e k 1   e 2k      k        ln     ;1      Chọn C TMA Câu 61 Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x4 quanh trục Ox Đường thẳng x  a 0  a   cắt đồ thị hàm số y x M (hình vẽ bên) Gọi V1 A a2 VIE thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi đó: B a2 C a Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: D a  x   x  Thể tích V    x dx  8 Ta có  M a; a  Khi quay tam giác đáy:  Hình nón  N1  có đỉnh 1  R OK   3 O,  a  a  3a 2 OMH chiều cao quanh trục OK  a , Ox tạo thành hai hình nón có chung bán kính đáy R  MK  a nên tích Ngun hàm tích phân ứng dụng  Hình nón  N  có đỉnh tích 1  R HK   3 V1  Suy H , chiều cao  a  4  a  4a 3 a HK   a , bán kính đáy R  MK  a nên a a  a a   3 Theo giả thiết V  2V1  8  a   a  Chọn D A V  6 Lời giải Ta có B V  6 C x   y  3   y   1 x    , x  1;1  y    x Thể tích cần tính  V      1 x  1    12   x dx  3  CASIO 1 x  59, 21762 1 THS NET Câu 62 Tính thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn C  : x   y  32  quanh trục hoành   dx V  3 TMA Đối chiếu kết với bốn đáp án cho Chọn D A V 260 cm 290 cm C V V V 520 cm VIE Câu 63 Cho hình vng có độ dài cạnh 8cm hình tròn có bán kính 5cm xếp chồng lên cho tâm hình tròn trùng với tâm hình vng hình vẽ bên Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY B D 580 cm Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ D V  6 Nguyên hàm tích phân ứng dụng ● Thể tích khối cầu V1   R3   53  500 ● Gọi V2 3 thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng  H  (phần tơ màu) giới hạn đường thẳng y4, y  25  x đường tròn  V2     25  x  dx  x4 quanh trục hoành 10 y THS NET x -5 -4 O -4 -5 Vậy thể tích cần tính V  V1  2V2  520 cm TMA Câu 64 Bên hình vng cạnh a , dựng hình bốn cánh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình quanh trục Ox A V 5 a 48 B V  5 a C V  a D 16 V  a VIE Lời giải Do hình có tính đối xứng nên ta quay theo trục thẳng đứng hay nằm ngang cho thể tích Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi V thể tích khối tròn xoay cần tính hình phẳng Gọi V1 thể tích khối tròn xoay quay tơ màu hình bên quanh trục hồnh V  2V1 a Ta có a x a  a 5a V1       dx    2 x   dx     2 96 2 a Suy thể tích cần tính V  2V1  5a 48 Chọn A Khi THS NET Câu 65 Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY  40cm cạnh đáy 40cm 60cm , xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trung điểm cạnh đáy tam giác hình vẽ bên Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY A V 40480 cm B V  52000 cm C V 46240 cm D V  1920cm Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: Y  O 0;0, X 40;0, A 0;20, M 40;30 30 Phương trình đường YM : x  y   y  x 20 AX : x  y  40   y  Phương trình 40  x y M A X x Y 16 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường YM AX là: x 40  x   x  16 B Thể tích vật thể cần tính 16 40  40  x   3x  46240 V     d x       dx  cm   16 VIE Chọn C TMA Nguyên hàm tích phân ứng dụng 40 N ...CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  Bài 01 NGUYÊN HÀM f x hàm số f  x  xác định khoảng F ' x   f x  F x  Nhận xét... Chọn B nguyên hàm hàm số hàm số sau B f  x   3x  e x  ex Lời giải Hàm số ex f x   3x nguyên hàm hàm số f  x  F '  x   f  x  Suy hàm số cần tìm f  x   e x Câu 37 Hàm số...  C cos x đề yêu cầu tìm họ nguyên hàm ta chọn A, u cầu tìm ngun hàm ta chọn B '' Ở yêu cầu tìm nguyên hàm, tức phải tìm họ nguyên hàm Chọn A Câu 47 Cho nguyên hàm  f  x  dx  sin x cos