Mặt phẳng chính quy trong r3 (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN VĂN THẾ MẶT CHÍNH QUY TRONG R3 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội – Năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* NGUYỄN VĂN THẾ MẶT CHÍNH QUY TRONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN NGHỊ HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực khóa luận em nhận giúp đỡ thầy khoa Tốn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cô, đặc biệt TS.Trần Văn Nghị, người trực tiếp tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cô trường ĐHSP Hà Nội tận tình dạy bảo em suốt trình học tập khoa Khóa luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Văn Thế LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Mặt quy R3 ” hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn TS Trần Văn Nghị Khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận Em xin chịu hồn tồn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Văn Thế Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide 1.2 Đường cong tham số 1.3 Đường cong quy độ dài cung 1.4 Tính chất địa phương đường cong tham số theo 1.5 độ dài cung Định lí hàm ngược Mặt quy R3 2.1 Định nghĩa mặt quy R3 2.2 Hàm khả vi mặt 19 2.2.1 Hàm khả vi mặt 20 2.2.2 Phép vi phôi 25 2.2.3 Mặt tham số 27 2.3 Mặt phẳng tiếp xúc 29 2.4 Vi phân ánh xạ 33 2.5 Dạng thứ diện tích 35 2.5.1 36 Dạng thứ iii MỤC LỤC 2.5.2 2.6 Diện tích 39 Định nghĩa hình học diện tích 42 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 48 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Hình học vi phân ngành hình học nghiên cứu tính chất định tính định lượng hình hình học nhờ cơng cụ giải tích mà trực tiếp phép tính vi tích phân Siêu mặt Rn đối tượng quan trọng ngành học Ở khái niệm mặt quy R3 kiến thức liên quan hàm khả vi mặt, mặt phẳng tiếp xúc, diện tích, khai thác phát triển Với mong muốn tìm hiểu sâu đối tượng nói hướng dẫn thầy hướng dẫn, định chọn đề tài để trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu mặt quy R3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Mặt quy R3 - Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tập mặt quy R3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu làm rõ định nghĩa mặt quy R3 kiến thức liên quan đến mặt quy với kiến thức chuẩn bị : không gian Euclide, đường cong tham số, đường cong quy, kiến thức giải tích số kiến thức khác Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Mặt quy R3 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide Định nghĩa 1.1.1 E n không gian Euclide n chiều, tức không gian afin liên kết với − → không gian vectơ Euclide n chiều E n → − → − − − Tích vô hướng hai vectơ → a b kí hiệu → a · b , chuẩn − − − − − − vectơ → a kí hiệu → a , → a 2=→ a ·→ a =→ a Khoảng cách −−→ hai điểm M, N thuộc E n M N Định nghĩa 1.1.2 − − − Mục tiêu afin E n họ (O, → e1 , → e2 , , → en ), O ∈ E n gốc tọa − → − − − độ, (→ e1 , → e2 , , → en ) sở E n Điểm M ∈ E n có tọa độ n −−→ − (x1 , x2 , , xn ) mục tiêu có nghĩa OM = xi · → ei Các i=1 n n hàm số x , x , , x E gọi hàm tọa độ Cũng kí hiệu mục tiêu (hệ tọa độ) afin Ox1 x2 xn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế − − − Khi sở (→ e1 , → e2 , , → en ) trực chuẩn, tức → − − ei · → ej = δij =   i = j (i, j = 1, n)  i = j ta hệ Descartes vng góc Khi đó, điểm M có tọa độ (x1 , x2 , , xn ), N có tọa độ (y , y , , y n ) khoảng cách M, N tính n (y i − xi )2 d(M, N ) = i=1 Chú ý: Sau chọn hệ tọa độ Descartes vng góc E n ta đồng E n với Rn với cơng thức tính khoảng cách Rn thường gọi không gian tọa độ thực Nội dung khóa luận nghiên cứu mặt quy khơng gian R3 nên định nghĩa tính chất liên quan đến mặt quy sử dụng nội dung khóa luận ta xét khơng gian 1.2 Đường cong tham số Không gian R3 tập hợp tất số thực (x, y, z) Một hàm số biến số thực khả vi (hoặc trơn) có đạo hàm cấp điểm Các tập định nghĩa cách tự nhiên thông qua hàm số khả vi Định nghĩa 1.2.1 Cho I = (a, b) khoảng mở R Mỗi ánh xạ α : I → R3 đường cong tham số R3 Mỗi ánh xạ khả vi α : I → R3 đường cong tham số khả vi R3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế Ví dụ 2.4.1 Hàm độ cao vectơ đơn vị v ∈ R3 , h : S → R cho h(p) = v · p, p ∈ S điểm thể tích vơ hướng R3 , h(p) độ cao p so với mặt phẳng vng góc với v qua gốc O R3 Để tính dhp (ω), ω ∈ Tp (S) ta chọn đường khả vi α : (−ε, ε) → S cho α(0) = p, α (0) = ω Vì h(α(t)) = α(t) · v d nên ta có hp (ω) = h(α(t)) t=0 = α (0) · v = ω · v dt Ví dụ 2.4.2 Cho S ⊂ R3 mặt cầu đơn vị, S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y + z = 1} Rz,θ : R3 → R3 phép quay góc θ quanh trục z Khi đó, Rz,θ bị giới hạn S ánh xạ khả vi S Để tính (dRz,θ )(ω), p ∈ S , ω ∈ Tp (S ) ta chọn α : (−ε; ε) → S đường khả vi với α(0) = p · α (0) = ω Khi Rz,θ tuyến tính nên (dRz,θ )p (ω) = d (Rz,θ ◦ α(t)) dt t=0 = Rz,θ (α (0)) = Rz,θ (ω) (Rz,θ theo cực bắc N = (0, 0, 1) cố định (dRz,θ )N : TN (S) → TN (S) phép quay góc θ mặt phẳng TN (S).) 2.5 Dạng thứ diện tích Trong phần trước ta nói đến tính khả vi mặt điểm Nội dung phần quan trọng giúp ta nghiên cứu sâu tính chất hình học mặt mà chủ yếu giới thiệu dạng thứ công cụ để giải câu hỏi định lượng mặt quy độ dài đường cong, diện tích thiết diện, 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.5.1 Nguyễn Văn Thế Dạng thứ Định nghĩa 2.5.1 Cho Tp (S) ⊂ R3 mặt phẳng tiếp xúc mặt quy S p có tích vơ hướng w1 , w2 p , w1 , w2 ∈ Tp (S) (như tích vơ hướng hai vectơ R3 ) Tích vơ hướng có song tuyến tính đối xứng (nghĩa w1 , w2 = w2 , w1 w1 , w2 tuyến tính hai w1 w2 ) nên có tương ứng dạng tồn phương xác định Ip (w) = w, w = |w|2 > Dạng toàn phương Ip Tp (S) xác định gọi dạng thứ Từ Định nghĩa 2.5.1 ta có nhận xét sau: Nhận xét 2.5.1 Dạng thứ hiểu đơn giản biểu thức mặt S để kế thừa tự nhiên tích vơ hướng R3 Dạng thứ cho phép ta thực phép đo mặt (độ dài đường cong, góc vectơ tiếp xúc, diện tích thiết diện) mà khơng đề cập trở mặt R3 Cho vectơ tiếp xúc w ∈ Tp (S) vectơ tiếp xúc đường tham số α(t) = X(u(t), v(t)), t ∈ (−ε; ε), p = α(0) = X(u0 , v0 ) Khi biểu diễn dạng thứ sở {Xu , Xv } tham số hóa X(u, v) p là: Ip (α (0)) = α (0), α (0) p = Xu · u + Xv · v , Xu · u + Xv · v = Xu , Xu p (u )2 + Xu , Xu p · u · v + Xv , Xv p (v )2 = E(u )2 + 2F · u · v + G(v )2 , 36 p Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế giá trị hàm liên quan tính t = E(u0 , v0 ) = Xu , Xu p , F (u0 , v0 ) = Xu , Xv p , G(u0 , v0 ) = Xv , Xv p hệ số dạng thứ sở {Xu , Xv } Tp (S) Cho p chạy lân cận tọa độ tương ứng với X(u, v) ta hàm E(u, v), F (u, v), G(u, v) khả vi lân cận Ví dụ 2.5.1 Một hệ tọa độ cho mặt phẳng P ⊂ R3 qua p0 = (x0 , y0 , z0 ) gồm vectơ trực chuẩn w1 = (a1 , a2 , a3 ), w2 = (b1 , b2 , b3 ) xác định X(u, v) = p0 + uw1 + vw2 , (u, v) ∈ R2 Để tính hệ số dạng thứ điểm p tùy ý, ta thấy Xu = w1 , Xv = w2 Vì w1 w2 pháp vectơ đơn vị, hàm E, F, G số cho E = 1, F = 0, G = ( Trong trường hợp đơn giản, dạng thứ chất định lý Pytago: bình phương độ dài vectơ w(a, b) sở {Xu , Xv } a2 + b2 ) Ví dụ 2.5.2 Mặt trụ với đáy đường tròn x2 +y = chứa tham số hóa X : U → R3 (xem Hình 2.12) X(u, v) = (cos u, sin u, v), U = {(u, v) ∈ R2 , < u < 2π, −∞ < v < +∞} Để tính hệ số dạng thứ nhất, ta thấy Xu = (sin u, cos u, 0), Xv = (0, 0, 1) nên E = sin2 u + cos2 u = 1, F = 0, G = (Mặt trụ mặt phẳng mặt phân biệt dạng thứ giống nhau.) 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế z p v y O u x Hình 2.12: Mặt trụ Ví dụ 2.5.3 Đường xoắn ốc cho (cos u, sin u, au) Qua điểm đường xoắn ốc vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng xy giao với trục z Mặt sinh đường thẳng có tham số hóa dạng X(u, v) = (v cos u, v sin u, au), < u < 2π, −∞ < v < +∞ Để tính hệ số dạng thứ nhất, ta thấy X áp dụng vào mảnh mở với chiều rộng 2π mặt phẳng uv lên phần đường xoắn ốc mà tương ứng với phép quay 2π dọc theo đường xoắn ốc Thử lại thấy đường xoắn ốc mặt quy đơn giản Các hệ số dạng thứ tham số hóa cho E(u, v) = v + a2 , F (u, v) = 0, G(u, v) = 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế Ví dụ 2.5.4 Tính dạng thứ mặt cầu điểm lân cận tọa độ cho tham số hóa X(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) Ta có: Xθ (θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ); Xϕ (θ, ϕ) = (− sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0) Do đó: E(θ, ϕ) = Xθ , Xθ = 1; F (θ, ϕ) = Xθ , Xϕ = 0; G(θ, ϕ) = Xϕ , Xϕ = sin2 θ Vậy ω vectơ tiếp xúc mặt cầu điểm X(θ, ϕ) đưa sở liên hợp đến X(θ, ϕ) : ω = aXθ + bXϕ Khi bình phương độ dài ω |ω|2 = I(ω) = Ea2 + 2F ab + Gb2 = a2 + b2 sin2 θ 2.5.2 Diện tích Nội dung mục giúp ta ứng dụng dạng thứ để xử lý vấn đề diện tích mặt quy mà khơng cần đến khơng gian R3 cụ thể tính độ dài đường tham số (diện tích R độ dài) diện tích miền bị chặn mặt quy Định nghĩa 2.5.2 (Độ dài đường tham số) Cho đường tham số α : I → S Độ dài đường tham số α từ đến t t t |α (t)|dt = S(t) cho S(t) = I α (t) dt Nếu α(t) = X u(t), v(t) gồm lân cận tọa độ tương ứng với tham 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế t E(u )2 + 2F u v + G(v )2 dt số hóa S(u, v) S(t) = Định nghĩa 2.5.3 (Diện tích miền bị chặn) Miền mở mặt quy S tập mở liên thơng có biên ảnh đường tròn qua phép đồng phơi khả vi quy (đạo hàm khác 0) trừ số hữu hạn điểm Miền S gồm miền mở biên Một miền mở S ⊂ R3 gọi bị chặn S chứa hình cầu R3 Cho R ⊂ S miền bị chặn mặt quy chứa lân cận tọa độ tham số hóa X : U ⊂ R2 → S Khi số dương Xu ∧ Xv dudv, (Q = X −1 (R)) A(R) = Q gọi diện tích R, |Xu ∧ Xv |2 + Xu , Xv √ |Xv |2 , |Xu ∧ Xv | = EG − F = |Xu |2 · Chú ý: Hầu hết ví dụ hạn chế miền R chứa số lân cận tọa độ không quan trọng tồn lân cận tọa độ mà phủ tồn mặt (trừ số đường cong) mà khơng ảnh hưởng tới diện tích Ví dụ 2.5.5 Tính diện tích mặt xuyến T , xét lân cận tương ứng với tham số hóa X(u, v) = ((a+r cos u) cos v, (a+r cos u) sin v, r sin u), < u < 2π, < v < 2π Lời giải Ta thấy lân cận tọa độ ứng với tham số hóa X(u, v) phủ S trừ đường vĩ tuyến đường kinh tuyến Ta tính hệ 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế số dạng thứ E = r2 , F = 0, G = (r cos u + a)2 √ Do EG − F = r(r cos u + a) Xét miền Rε ảnh Qε (xem Hình 2.13) qua X với Qε = {(u, v) ∈ R2 , + ε ≤ u ≤ 2π − ε, + ε ≤ v ≤ 2π − ε} 𝑣 𝜀 𝑧 2𝜋 𝜀 Q𝜀 𝑂 𝑦 𝐱 𝜀 𝑥 𝜀 2𝜋 𝑢 2𝜀 2𝜀 Hình 2.13: Mặt xuyến Miền Rε phủ gần hết T trừ hai dải nhỏ chứa đường kinh tuyến vĩ tuyến nêu Khi ε → A(Rε ) tiến dần diện tích T 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế Ta có r(r cos u + a)dudv A(Rε ) = Qε 2π−ε 2π−ε (r2 cos u + ra)du = 0+ε dv 0+ε = r2 (2π − 2ε)(sin(2r − ε) − sin ε) + ra(2π − 2ε)2 Cho ε → ta A(T ) = lim A(Rε ) = 4π ε→0 2.6 Định nghĩa hình học diện tích Nội dung phần chủ yếu giới thiệu việc định nghĩa diện tích theo quan điểm hình học chứng minh cơng thức trường hợp miền bị chặn mặt quy theo quan điểm Trước vào định nghĩa hình học diện tích ta cần hiểu định hướng đường, mặt không gian phép phân hoạch đường, mặt Định nghĩa 2.6.1 Mặt quy S ⊂ R3 gọi định hướng phủ kín họ lân cận tọa độ mà điểm p ∈ S thuộc hai lân cận họ lân cận Khi Jacobian p phép đổi tọa độ dương việc chọn họ gọi định hướng S Nếu chọn họ S gọi khơng định hướng Định nghĩa 2.6.2 Cho S ⊂ R3 mặt quy Miền R ⊂ S xét cách chia miền R thành miền Ri (R = 42 i Ri ) đường Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế biên hai miền Ri ∅ giới hạn tất điểm giao hai miền Mỗi phép chia gọi phân hoạch R kí hiệu P Đường kính Ri khoảng cách lớn hai điểm Ri (xem Hình 2.14) Đường kính lớn Ri cho phép phân hoạch P gọi chuẩn µ P 𝑅𝑖 N 𝑝𝑖 𝑅𝑖 S 𝑅 𝑅𝑖 Hình 2.14: Minh họa phép phân hoạch Định nghĩa 2.6.3 Cho phép phân hoạch R = ∪Ri R, chọn tùy ý điểm pi ∈ Ri chiếu Ri xuống mặt phẳng tiếp xúc Ri theo hướng đường thẳng vng góc pi Phép chiếu kí hiệu Ri có diện tích A(Ri ) Tổng A(Ri ) xấp xỉ diện tích R Nếu i chọn phép phân hoạch P1 , P2 , , Pn , ngày nhỏ cho A(Ri ) giới hạn chuẩn µn Pn hội tụ 0, tồn giới hạn i không phụ thuộc vào việc lựa chọn phép phân hoạch Khi diện 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế tích A(R) R xác định A(R) = lim µn →0 i A(Ri ) Một miền bị chặn mặt quy có diện tích Ta thu hẹp miền bị chặn chứa lân cận tọa độ Khi ta thu biểu thức cho diện tích hệ số hạng thức sở hệ tọa độ tương ứng Cụ thể ta xét định lý Định nghĩa 2.6.4 (Tập compact) Cho tập A ⊂ R3 Điểm p ∈ A gọi điểm giới hạn A lân cận p A chứa điểm A khác p Tập A gọi đóng chứa tồn điểm giới hạn Tập A bị chặn chứa hình cầu R3 Tập A compact A đóng bị chặn Định lý 2.6.1 (Số Lebesgue) Cho A ⊂ R3 tập compact {Uα } họ tập mở A cho α Uα = A Khi tồn số δ > cho với hai điểm p, q ∈ A có khoảng cách d(p, q) < δ p, q thuộc tập họ Uα Số δ gọi số Lebesgue họ tập mở {Uα } Chứng minh Giả sử không tồn số δ > thỏa mãn điều kiện định lý Điều có nghĩa với số tự nhiên n tồn điểm pn , qn cho d(pn , qn ) < pn , qn không thuộc tập mở họ n {Uα } Cho n = 1, 2, ta thu hai dãy vô hạn họ {Uα } có điểm giới hạn p, q tương ứng Vì d(pn , qn ) < nên ta chọn n điểm giới hạn theo cách để p = q Nhưng p ∈ Uα với α đó, 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học mà p ∈ A = α Uα Nguyễn Văn Thế Uα tập mở nên tồn mặt cầu mở Bε (p) tâm p cho Bε (p) ⊂ Uα Do tồn p điểm p điểm giới hạn pn , qn Bε (p) n đủ lớn, nghĩa pn , qn thuộc Uα (mâu thuẫn với giả thiết) Định lý 2.6.2 Cho mặt quy S ⊂ R3 tham số hóa X : U ⊂ R2 → S cho R = X(Q) miền bị chặn S chứa X(U ) Khi diện Xu ∧ Xv dudv tích R xác định A(R) = Q Chứng minh Xét phép phân hoạch R = i Ri R Vì R bị chặn kín, ta giả sử phép phân hoạch đủ nhỏ hai đường vng góc Ri khơng trực giao Thật vậy, đường vng góc biến thiên liên tục S với p ∈ R tồn lân cận p S mà hai pháp tuyến khơng trực giao, lân cận họ tập mở bao phủ R Xét phân hoạch R mà có chuẩn nhỏ số Lebesgue (Định lý 2.6.1) thỏa mãn điều kiện cần Cố định miền Ri phân hoạch chọn pi ∈ Ri = X(Qi ) Để tính diện tích phép chiếu vng góc Ri Ri lên mặt phẳng tiếp tuyến pi ta xét hệ trục pi xyz R3 phép tịnh tiến Opi từ Oxyz Bằng phép quay trục z thành đường pháp tuyến pi , hai hệ có định hướng theo trục (xem Hình 2.15) nên tham số hóa viết X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) Vectơ X(u, v) thu từ vectơ X(u, v) phép tịnh tiến giống ánh xạ tuyến tính trực giao 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế 𝑧ҧ z p 𝑥ҧ 𝑦ത O y x Hình 2.15: Cơng thức diện tích miền bị chặn mặt quy ∂(x, y) = mà z gồm pháp vectơ Ri ∂(u, v) hai đường pháp tuyến trực giao Ri nên mâu thuẫn giả ∂(x, y) thiết Biếu thức A(Ri ) cho A(Ri ) = dxdy Vì = 0, ta ∂(u, v) Ri xét phép đổi tọa độ x = x(u, v), y = y(u, v) Biểu thức trở thành ∂(x, y) A(Ri ) = dudv Qi ∂(u, v) Ta thấy pi vectơ X u X v thuộc mặt phẳng xy ∂z ∂z ∂(x, y) ∂X ∂X ∂(x, y) = = pi Vậy = × pi − ∂u ∂v ∂(u, v) ∂u ∂v ∂(u, v) ∂X ∂X ∧ = εi (u, v), (u, v) ∈ Qi , εi (u, v) hàm liên ∂u ∂v tục Qi , εi (X −1 (pi )) = Do chiều dài bảo toàn phép Ta có Qi , tịnh tiến ánh xạ tuyến tính trực giao nên ∂X ∂X ∂X ∂X ∂(x, y) × = × = − εi (u, v) ∂u ∂v ∂u ∂v ∂(u, v) 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế Cho Mi mi giá trị lớn giá trị nhỏ ∂(x, y) − hàm liên tục εi (u, v) miền compact Qi Khi mi ≤ ∂(u, v) ∂X ∂X ≤ Mi hay ∧ ∂u ∂v ∂X ∂X dudv ≤ Mi ∧ ∂u ∂v dudv ≤ A(Ri ) − mi Qi Qi dudv Qi Tương tự với tất Ri ta được: mi A(Qi ) ≤ i Xu ∧ Xv dudv ≤ A(Ri ) − i Mi A(Qi ) i Q Phép phân hoạch nhỏ nữa, chuẩn µ → Mi → mi Do ∂X ∂X tồn giới hạn A(Ri ) xác định A(R) = dudv ∧ ∂u ∂v i Q độc lập với phép chọn phân hoạch điểm pi phép phân hoạch 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Văn Thế KẾT LUẬN Trong khóa luận này, em trình bày vấn đề liên quan đến mặt quy R3 Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho thân số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng nội dung em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Kính mong q thầy bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện 48 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Đình Đơ, Hình học vi phân, NXB Đại học Sư phạm, (2010) [2] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, (2009) [3] Trương Đức Hinh, Đoàn Quỳnh, Trần Đình Việt, Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, (1993) [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn Giáo trình giải tích tập 1, tập 2, tập 3, NXB ĐHQGHN, (2000) [5] M.P.do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, (1976) 49 ... sâu mặt quy R3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Mặt quy R3 - Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tập mặt quy R3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu làm rõ định nghĩa mặt quy. .. khóa luận Chương Mặt quy R3 2.1 Định nghĩa mặt quy R3 Khác với nghiên cứu đường cong Chương mặt quy định nghĩa tập hợp ánh xạ Nội dung phần chủ yếu mô tả điều kiện để tập R3 mặt quy Từ ta xây dựng... hiệu Gf , xác định Gf = {(x, y, z) ⊂ R3 : z = f (x, y)} mặt quy Nếu f : U ⊂ R3 → R hàm khả vi a ∈ f (U ) giá trị quy f f −1 (a) mặt quy R3 Cho S ⊂ R3 mặt quy p ∈ S Khi tồn lân cận V p S cho V