SKKN Bài toán dãy số và giới hạn

MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho em theo định hướng phát giải vấn đề - Luôn hướng dẫn học sinh thực tương tự hóa để tìm lời giải cho tốn - Rèn luyện cho học sinh thực phân chia thành công đoạn để dễ thực giải tốn - Ln linh hoạt giải tốn, kết hợp thành thục phương pháp - Nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm: phương pháp chung giải toán giới hạn tập rèn luyện 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 14 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 15 Tài liệu tham khảo 16 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình lớp chun tốn kì thi học sinh giỏi quốc gia trung học phổ thơng, tốn giới hạn dãy số thực đóng vai trò quan trọng Để giải tốn giới hạn dãy số, đòi hỏi em bước đầu có tư giải tích; biết vận dụng kiến thức hàm liên tục, đạo hàm Hơn nữa, mong mỏi tạo hứng thú học tập, đồng thời giúp em rèn luyện phương pháp xử lí giới hạn mà vận dụng thành thạo tư cho loại tập khác Trong khn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi phần dãy số giới hạn”, tác giả nêu số phương pháp thường dùng để em giải tốn cách khoa học hơn, có sở có tính sáng tạo Từ giúp em củng cố kiến thức, rèn luyện khả nghiên cứu khoa học, trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2018-2019 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm tìm phương pháp giúp học sinh tiếp cận có tảng kiến thức để xử lí tốn dãy số, rèn luyện khả suy nghĩ độc lập, tìm tòi, phát vấn đề 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trường THPT chuyên Lam Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu Dãy số, Giới han, Phương pháp dạy học mơn Tốn, có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học lớp chun Tốn 10,11 nói chung đội tuyển HSG mơn Tốn nói riêng phần Dãy số-Giới hạn Trường THPT chuyên lam Sơn Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc vận dụng dạy học số nội dung phần Dãy số-Giới han vào dạy lớp chuyên Toán 10,11 đội tuyển học sinh giỏi Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Định lí Weierstrass Một dãy số đơn điệu bị chặn có giới hạn hữu hạn (hội tụ) Định lí Lagrange Cho hàm f : [a; b] → R, có đạo hàm tập xác định, tồn c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Nguyên lí kẹp.Nếu dãy (an ), (bn ), (cn ) thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn lim an = lim cn = b hữu hạn (bn ) hội tụ, lim bn = b Định lí Stolz-Cesaro.Cho dãy số thực (an ), (bn ) Giả sử dãy (bn ) đơn điệu, không hội tụ (tức bn → ±∞) lim Thế lim an+1 − an =k bn+1 − bn an = k bn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Học sinh lớp chuyên đội tuyển thường gặp khó khăn gặp toán dãy số Các tài liệu chưa đưa hệ thống tập, phương pháp hiệu để giải toán dãy số 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho em theo định hướng phát giải vấn đề - Luôn hướng dẫn học sinh thực tương tự hóa để tìm lời giải cho toán - Rèn luyện cho học sinh thực phân chia thành công đoạn để dễ thực giải tốn - Ln linh hoạt giải toán, kết hợp thành thục phương pháp - Nêu phương pháp chung để giả toán dãy số với hệ thống tập ví dụ mẫu mực - Đưa phân tích tư duy, nào, cách nghĩ chung để phát lời giải Sau phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: BÀI TOÁN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN BÀI TOÁN Đối với dãy số (an ), người ta quan tâm đến tồn giới hạn (hội tụ) dãy có giới hạn lim an =? Trường hợp Dãy (an ) cho dạng cơng thức tổng qt n+1 Ví dụ an = (an ) có giới hạn lim an = 2n + Trường hợp Dãy (an ) cho dạng công thức truy hồi Ví dụ a) a1 = 1, an+1 = 2an + 3, ∀n ≥ √ b) a1 = 2, an+1 = 2an + 3, ∀n ≥ Ở trường hợp việc tìm giới hạn hay chứng minh tính chất dãy thuận lợi ta có sẵn cơng thức an Với dãy số xác định trường hợp nhiều tốn, việc chứng minh tồn giới hạn tính giới hạn phức tạp Sau đưa vài phương pháp hay sử dụng để giải vấn đề cho trường hợp Một vài phương pháp tìm giới hạn dãy số Phương pháp Đưa dãy công thức tổng quát an 2n = 2bn , b1 = Ta có bn = 2n+1 , suy an = 2n+1 − Bài tập Cho dãy (an ) xác định Ví dụ 2a) Tìm lim Giải Đặt bn = an + bn+1 an Từ lim n = 2 Bài tập Cho dãy (un ) xác định sau : 2016un , ∀n ≥ u1 = , un+1 = 2015un + Tìm số hạng tổng quát dãy số trên, từ tìm giới hạn lim un 2015 xn Giải Đặt xn = ta thu x1 = 5, xn+1 = + , ∀n ≥ Và sau ta có un 2016 2016 xn+1 − = Từ xn = + 1 (xn − 1) = = (x1 − 1) = n 2016 2016 2016n 2016n−1 u = , ∀n ≥ n 2016n−1 + 2016n−1 Suy lim un = Hai tập tính tốn trực tiếp để tìm cơng thức tổng quát dãy tìm giới han Ở tập sau tìm giới hạn gián tiếp - tìm cơng thức tổng qt dãy khác, phụ thuộc dãy ban đầu tìm giới hạn Công cụ với dạng tập đưa công thức sai phân sau cộng tổng để rút gọn Bài tập Cho dãy số thực xn xác định x1 = , xn = x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 , ∀n ≥ x2i CMR dãy số yn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Với số nguyên dương n đặt yn = n i=1 Giải Từ giả thiết ta có xn > 0, ∀n ≥ 2xn−1 > 0, ∀n ≥ 2, +) xn − xn−1 = xn−1 + 4xn−1 + xn−1 Suy (xn ) dãy tăng +) Nếu dãy (xn ) bị chặn lim xn = a hữu hạn, lấy giới hạn vế phương trình dãy suy a = 0, điều xảy Do lim xn = +∞ 1 +) Cũng từ phương trình dãy suy x2n = (xn + 1)xn−1 , ta có = − Do xn xn−1 xn 1 1 yn = + − =6− x1 x1 xn xn +) Do xn −→ +∞ nên suy lim yn = Bài tập Cho dãy xn xác định bởi: x1 = 2019, xn+1 = Đặt un = 2017 x + xn , ∀n ≥ 2018 n 2018 x1 x2 xn + + + , ∀n ≥ Tìm lim un x2 − x3 − xn+1 − Giải +) Ta chứng minh dãy xn tăng ngặt xn −→ +∞ n → +∞ xn 1 +) Hơn = 2018 − , ∀n ≥ xn+1 − xn − xn+1 − 1 +) Từ un = 2018 − , ∀n ≥ x1 − xn+1 − +) Suy lim un = Phương pháp Chứng minh dãy đơn điệu bị chặn Đây phương pháp để chứng minh dãy hội tụ Khi gặp tốn giới hạn nào, ý tưởng nghĩ đến kiểm tra xem dãy có đơn điệu khơng, ước lượng dãy bị chặn số Đây phương pháp dùng để giải tốn khó đánh giá nghiệm, kiểm tra tốc độ hội tụ nghiệm nhiều cơng trình tối ưu hay phương trình đạo hàm riêng Nhắc lại Nếu dãy (an ) đơn điệu bị chặn dãy có giới hạn hữu hạn Từ để chứng minh dãy có giới hạn ta dãy tăng bị chặn dãy giảm bị chặn Trở lại Ví dụ 2b), quy nạp ta có +) ≤ an < 3, ∀n +) an < an+1 , ∀n ( tức dãy tăng) Từ ∃ lim an = b(2 < b ≤ 3) Lấy giới hạn vế phương trình dãy ta b = √ 2b + Suy b = Bài tập Cho dãy (xn ) xác định x0 = 1, 2xn+1 − 2xn + x2n = Chứng minh dãy hội tụ tìm lim xn Giải x2n ≤ xn , suy (xn ) dãy giảm +) Chứng minh quy nạp ta ≤ xn ≤ +) Từ công thức xác định dãy ta có xn+1 = xn − +) Suy dãy hội tụ ta tìm lim xn = Ta xét tập khó sau Bài tập 6.(VMO 1998) Cho dãy (xn ) xác định x1 = a ≥ 1, xn+1 = + ln xn (x2n + 3) + 3x2n Chứng minh (xn ) hội tụ tìm lim xn Giải (xn − 1)3 ) ≥ + ln = Mà x1 = a ≥ nên ta suy + 3x2n xn ≥ ∀n, tức dãy bị chặn • Nếu xn ≥ xn+1 = + ln(1 + • (xn ) dãy giảm Thật xn+1 = + ln(1 + (xn − 1)3 (xn − 1)3 xn (x2n + 3) ) ≤ + = ≤ xn + 3x2n + 3x2n + 3x2n (sử dụng ln(1 + x) ≤ x với ∀x ≥ xn ≥ 1) Suy ∃ lim xn = b Thay vào phương trình dãy giải ta tìm b = Một phương pháp hay sử dụng hiệu dùng đánh giá kiểu Lipschitz Phương pháp đặc biệt có tác dụng với dãy mà không kiểm sốt dãy tăng hay giảm, bị chặn hay khơng Cụ thể sau: Phương pháp Dùng hàm số kiểu Lipschitz Ý tưởng: Ta tồn số K ∈ (0, 1) cho |an − b| ≤ K n−1 |a1 − b| Suy lim an = b Bài tập 7(VMO 2018) Cho dãy số (xn ) xác định x1 = 2, xn+1 = √ xn + − √ xn + Chứng minh dãy (xn ) hội tụ tìm lim xn Giải Từ cơng thức xác định dãy ta có nhận xét: dãy (xn ) có giới hạn giới hạn Dễ thấy xn > 0,∀n ≥ Ta có √ √ |xn+1 − 1| = | xn + − − ( xn + − 2)| = |xn − 1| √ 1 < |xn − 1|| + | = |xn − 1| < < 6 1 −√ xn + + xn + + n |x1 − 1|, ∀n ≥ Từ lim xn = Bài tập Xét (an ): a1 = a ∈ R, an+1 = ln(1 + a2n ) − 1, ∀n ≥ Chứng minh (an ) hội tụ Giải Ta có x ln(1 + x2 ) − có |f (x)| = | | ≤ + x2 - Hàm số g(x) = x − f (x) đồng biến g (x) > 0, g(0).g(−1) < nên g(x) có - Hàm số f (x) = nghiệm x = b 1 Khi |an+1 − b| = |f (an ) − f (b)| = |f (c)(an − b)| ≤ |an − b| ≤ ≤ ( )n |a1 − b| 2 Từ lim an = b Phương pháp Sử dụng nguyên lí kẹp Nhắc lại Nếu dãy (an ), (bn ), (cn ) thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn lim an = lim cn = b hữu hạn (bn ) hội tụ, lim bn = b Bài tập Xét phương trình xn = x + 1, với n ≥ a Chứng minh khoảng (1, +∞), phương trình có nghiệm xn b Tìm lim xn Giải a Xét f (x) = xn − x − f (x) ≥ 0, ∀x ≥ Suy f (x) đồng biến [1, +∞) Mà f (1) < 0, lim f (x) = +∞ nên f (x) có nghiệm xn ∈ (0, +∞) x→+∞ 1 b Lại có (1 + )n > (1 + )2 ≥ + (1 + ), ∀n ≥ n n Từ xn ≤ + , ∀n ≥ n =⇒ < xn ≤ + n Như lim xn = Bài tốn sau có câu hỏi tương tự xuất đề thi VMO 2002 Bài tập 10 Xét phương trình 1 1 + + + = x − 4x − n x−1 n tham số nguyên dương a) Chứng minh với số nguyên dương n, khoảng (1; +∞) phương trình có nghiệm, kí hiệu nghiệm xn b) Chứng minh lim xn = Giải Đặt fn (x) = 1 + + + x − 4x − n x−1 +) fn (x) < x ∈ (1; +∞), tức fn (x) nghịch biến (1; +∞), +) limx→1+ fn (x) = +∞, limx→+∞ fn (x) = Từ suy ra, khoảng (1; +∞)phương trình fn (x) = a) chứng minh có nghiệm xn 1 Để chứng minh để ý fn (4) = (1 − ) < , ∀n ≥ Do xn < 4, ∀n(1) 2n + Lại có 1 1 fn ((2− )2 ) > + + + = n (1 − 1/n)(3 − 1/n) (3 − 1/n)(5 − 1/n) (2n − − 1/n)(2n + − 1/n) 1 1 = ( − ) > , ∀n ≥ 2 − 1/n 2n + − 1/n ) , ∀n ≥ 2(2) n Kết hợp (1) (2) ta suy lim xn = Vì xn > (2 − Bài tập 11(VMO 2015) Cho dãy số (un ) xác định n2 u1 = 3, un+1 = un + 2 4n + a u2n + 3, ∀n ≥ Chứng minh với a ∈ [0; 1] dãy số có giới hạn hữu hạn Giải Bài tốn khó chỗ cơng thức truy hồi dãy có tham số n a nên việc tìm công thức tổng quát không dễ dàng Việc kiểm tra dãy tăng hay giảm phức tạp nhiều so với trước Tuy nhiên từ cách cho tập xác định a đề lại gợi ý cho cách tiếp cận giải Đó ta xét trường hợp đặc biệt a = 0, a = Ta chứng minh dãy hội tụ trường hợp này, dùng nguyên lí kẹp ta thu điều phải chứng minh Xét dãy số (an ), (bn ) xác định sau: 1 a1 = 3, an+1 = an + a2n + 3, ∀n ≥ 1, ứng với a=0 n2 b1 = 3, bn+1 = bn + 2 4n + b2n + 3, ∀n ≥ 1, ứng với a=1 Dễ có an ≥ un ≥ bn , ∀n ≥ • Bằng quy nạp ta chứng minh dãy (an ) giảm, bị chặn nên có giới hạn, tính lim an = • Cũng quy nạp ta chứng minh bn ≥ − , ∀n ≥ n Và từ an ≥ bn , lim an = lim(1 − ) = 1, suy lim bn = n Ta làm cách khác đánh giá |bn+1 − 1| ≤ ( )n |b1 − 1| để thu lim bn = • Kết luận lim un = Bài tốn kiểu tiếp tục xuất VMO 2017 gây nhiều khó khăn cho thí sinh Chúng ta bắt buộc chặn ( chặn dưới), đánh giá kẹp dãy cho qua dãy khác phụ thuộc tham số n tương tự cách làm với dãy (an ) Bạn đọc thử sức với Bài tập 27 phần Phương pháp Sử dụng giới hạn dãy Ý tưởng phương pháp : Nếu dãy dãy ban đầu có giới hạn dãy có số rời nhau, hợp số N dãy cho có giới hạn Chẳng hạn sau • lim x2n = lim x2n+1 = b, suy lim xn = b • lim x3n = lim x3n+1 = lim x3n+2 = b, suy lim xn = b • lim x4n = lim x4n+1 = lim x4n+2 = lim x4n+3 = b, suy lim xn = b nhiều trường hợp khác Bài tập 12 Cho (xn ) xác định xn+2 = √ xn+1 + √ xn ,∀n, x0 ≥ 4, x1 ≥ Chứng minh dãy hội tụ tìm lim xn Giải Từ giả thiết dễ có xn ≥ √ √ √ Giả sử x1 ≤ x0 Khi x2 = x1 + x0 ≤ x0 ≤ x0 x3 = √ x2 + √ √ √ x1 ≤ x + x = x2 Bằng quy nạp, ta chứng minh √ x2n+2 ≤ x2n ≤ x2n , x2n+1 ≤ x2n , ∀n √ Suy (x2n ) giảm, bị chặn Như ∃ lim x2n = a Mà a ≤ a nên a = Lại ≤ x2n+1 ≤ x2n nên lim x2n+1 = Kết hợp lại ta lim xn = Bài tập 13(VMO 2008) Cho dãy số thực (xn ) xác định sau x1 = 0, x2 = 2, xn+2 = 2−xn + , ∀n ≥ 2 Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Giải Xét hàm số f (x) = 2−x + Ta có xn+4 = f (xn+2 ) = f (f (xn ) • Dễ có ≤ xn ≤ 2, ∀n • Đặt g(x) = f (f (x)) f giảm nên g hàm số tăng Suy ra, với k ∈ {1, 2, 3, 4}, dãy (x4n+k ) dãy đơn điệu Từ với k ∈ {1, 2, 3, 4}, dãy (x4n+k ) dãy hội tụ • Phương trình g(x) = x có nghiệm x = đoạn [0; 2] nên suy lim x4n+k = 1, ∀k = 1, 2, 3, • Do ta có lim xn = Phương pháp Sử dụng định lí Stolz-Cesaro Nhắc lại định lí Cho dãy số thực (an ), (bn ) Giả sử dãy (bn ) đơn điệu, không hội tụ (tức bn → ±∞) lim an+1 − an =k bn+1 − bn 10 an = k bn Các trường hợp riêng định lí bn = f (n), với f (n) hàm số đơn điệu √ dần vơ cùng, ví dụ f (n) = n, f (n) = n, Thế lim Bài tập 14 Cho dãy số (xn ) xác định x0 = , xn+1 = xn − x2n , ∀n ≥ Chứng minh lim nxn = Giải +) Ta chứng minh lim xn = +) Khi xn+1 − xn − xn+1 x2n = = = →1 xn xn xn+1 (xn − xn )xn − xn tức lim xn+1 − xn = 1, n+1−n 1 , bn = ta Áp đụng đính lí Stolz-Cesaro cho an = xn n 1 x lim n = lim =1 n nxn Vậy lim nxn = Ngồi tốn trên, có lớp tốn tìm điều kiện tham số để dãy hội tụ Lớp tốn đòi hỏi học sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức phương pháp học, nói chung khó tốn đơn tìm giới hạn Ở tốn cụ thể dùng định lí Stolz-Cesaro để giải Bài tập 15(TST Việt Nam 1993) Cho dãy số (an ) xác định a1 = 1, an+1 = an + √ , ∀n ≥ an Tìm tất số thực α để dãy số aαn n có giới hạn hữu hạn khác Giải • Dễ chứng minh an → +∞ • Xét hiệu 3 an+1 − an = xn3 + xn − (1 + xn )3/2 − x2 + 3xn + 3 = = n → x = n 3/2 xn xn (1 + xn )3/2 + an Từ theo định lí Stolz-Cesaro 3/2 lim an = n 11 Viết lại 3/2 aαn an = aα−3/2 , n n n ý lim an = +∞ Ta suy aαn = +∞ nα a +) Nếu α < 3/2 lim n = n Vạy giá trị thỏa mãn toán α = 3/2 +) Nếu α > 3/2 lim Trên số phương pháp thơng dụng để xử lí tốn giới hạn dãy số Có thể vài cơng cụ khác đề cập đến dịp khác Sau số tập để rèn luyện Bài tập tự luyện Bài tập 16 Cho dãy số (un ) xác định sau x1 = 5, xn+1 = (x2n − xn + 16), ∀n ≥ n Đặt yn = i=1 , tìm lim yn xi + Bài tập 17 Cho dãy số (un ) xác định u1 > 2, un+1 = + un Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn x2n − 1, n = 1, 2, Bài tập 18 Cho dãy số thực (xn ) xác định x1 = , xn+1 = Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài tập 19 Cho dãy số thực (xn ) xác định x1 = 3, xn = n+2 (xn−1 + 2) 3n với n ≥ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n → ∞ tính giới hạn Bài tập 20 Cho dãy số thực (an ) xác định : a1 = 1, an+1 = − an + , ∀n ≥ 2an Chứng minh dãy (an ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn √ Bài tập 21 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x1 = 1, y1 =  xn+1 yn+1 − xn = 0, x + y = n+1 n CMR hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng 12 Bài tập 22 Cho dãy số thực (xn ) xác định x1 = 1, xn+1 2n = (n − 1)2 n−1 xi , ∀n ≥ i=1 Với số nguyên dương n , đặt yn = xn+1 − xn Chứng minh dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn Bài tập 23 Cho số thực a > Đặt fn (x) = a10 xn+10 + xn + + x + 1, (n = 1, 2, ) Chứng minh với n, phương trình fn (x) = a có nghiệm xn ∈ (0; +∞) dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n tiến tới vô cực Bài tập 24 Cho (un ) dãy số xác định u1 = a, un+1 = u2n − un + 1, a) Tìm a cho dãy số (un ) hội tụ b) Tìm giới hạn dãy số hội tụ Bài tập 25.Cho (un ) dãy số xác định u1 = a, un+1 = un + (un − 2018)2 , a) Tìm a cho dãy số (un ) hội tụ b) Tìm giới hạn dãy số hội tụ Bài tập 26 Cho c > Dãy số (xn ) cho xn+1 = c− √ c + xn , n = 0, 1, 2, Tìm tất số thực dương c cho với giá trị ban đầu x0 ∈ (0; c), dãy số xác định với mội giá trị n có giới hạn hữu hạn Bài tập 27(VMO 2017) Cho a số thực xét dãy số (un ) xác định : u1 = a, un+1 = + 2n + un + , ∀n ≥ n+1 a) Khi a = 5, chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn b) Tìm tất giá trị a để dãy (un ) xác định có giới hạn hữu hạn x2 Bài tập 28 Cho dãy số (xn ) xác định x1 = a > 0, xn+1 = xn + n2 , ∀n ≥ n Tìm tất giá trị thực a cho dãy có giới hạn hữu hạn 1 √ ) (gợi ý : chứng minh ≤ xn + n n(n + 1) a Bài tập 29 Cho dãy số (xn ) xác định x0 = 1, xn+1 = xn + √ +√ , n = 0, 1, 2, x x n n xn có giới hạn hữu hạn khác nm Bài tập 30.Dãy số thực (un ) bị chặn thỏa mãn u1 = a, u2 = b, 2un+2 ≤ un + Tìm tất số thực m cho dãy số un+1 , ∀n ≥ CMR dãy số có giới hạn hữu hạn 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Là giáo viên dạy môn chuyên lớp 10, tác giả nhận thấy kết tích cực sau triển khai sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 10T1, 10T2, em đội tuyển HSG trường: Trước hết, em có kiến thức bản, cách tiếp cận tốn giới hạn dãy số làm đề thi hay tập nâng cao Trước áp dụng sáng kiến này: em học sinh lớp 10 chuyên Toán bị động tìm lời giải, có 2,3 em/1 lớp tìm hướng giải ngay, thời gian giải quãng tiếng cho bài, em lớp 11 chuyên hơn, 10 em/1 lớp Sau áp dụng sáng kiến: em có phương pháp giải nên biết thử chọn phương pháp làm, với em lớp 10 trung bình quãng 20 em/1 lớp tìm lời giải, em lớp 11 quãng 25 em với đội tuyển HSG tồn em làm được, thời gian rút ngắn xuống 40 phút cho Trong kì thi HK năm học 2017-2018, toán dãy số giới hạn mức độ khó em lớp 10T1, 10T2 làm có đáp án Trong kì thi HSG khu vực duyên hải đồng Bắc Bộ, em làm được, có lời giải cho tốn giới hạn dãy số, kết khối 11 có giải nhất, giải KK; khối 10 có giải ba, giải KK Trong kì thi HSG quốc gia lớp 12 năm học 2017-2018, em đội tuyển giành giải ba Sáng kiến với hệ thống tập tài liệu để em tra cứu tự luyện Đối với học sinh tham gia thi ĐH thi HSG tỉnh giáo viên cần cho em nắm phương pháp , xem Bài tập từ đến tham khảo thêm Bài tập 16 đến 19 Đó phương pháp phù hợp với đối tượng Đối với em học sinh thi HSG quốc gia thi TST giáo viên nên cho em làm hết tất tập, xem kĩ từ đến 15 yêu cầu em làm từ 20 đến 30 Các tập giúp em biết vận dụng cao hơn, tư sâu hơn, phát triển kĩ giải Toán 14 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bồi dưỡng học sinh giỏi có ý nghĩa thiết thực nhiệm vụ trọng tâm Trường THPT chuyên Lam Sơn Các thầy cô giáo tổ Tốn ln cố gắng giảng dạy tự học để xứng đáng với truyền thống niềm tự hào Lam Sơn, mang cho trường, cho tỉnh nhiều giải cao, huy chương kì thi quốc gia, quốc tế mơn Tốn; đào tạo nhiều nhân tài cho đất nước Phần Dãy số- Giới hạn chương trình tốn học phổ thơng khơng phải q khó, kì thi HSG lại tốn mở thách thức Khi em học sinh vượt qua tạo đà tâm lí hưng phấn để làm Phần giúp cho em nhiều học cao lên chương trình Đại học Tác giả mong rằng, em học sinh học phần Dãy số- giới hạn ln nỗ lực tìm tòi lời giải hay, tranh luận giúp tiến Về phía người dạy bồi dưỡng HSG: ln củng cố khắc sâu kiến thức có liên quan; rèn luyện cho học sinh sau đọc đề cần phân tích chọn lời giải tối ưu nhất, biết linh hoạt việc lựa chọn cách giải phải để ý đến thời gian làm bài, là kiểm tra; biết phân tích tốn tìm cách giải khác nhau, từ nhằm phát huy tính sáng tạo khái qt hóa tốn; rèn luyện cách trình bày cách chặt chẽ, cẩn thận sáng sủa Trên số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần Dãy số- giới hạn Trường THPT chuyên Lam Sơn người viết Trong phạm vi đề tài này, tác giả đưa số phương pháp điển hình dạng tập nội dung Rất mong bạn đồng nghiệp, người đọc góp ý kiến, bổ sung để có cách dạy khai thác thể loại cách tốt hiệu cao 3.2 Kiến nghị Sở GD ĐT ủng hộ tạo điều kiện để giáo viên gặp gỡ, giao lưu, rút kinh nghiệm có thêm nhiều sáng kiến hay giảng dạy phần Dãy số-giới hạn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN thân, không chép nội dung người khác Bùi Văn Bình 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập đề thi VMO, Tủ sách Toán học tuổi trẻ Tuyển tập đề thi TST Việt Nam, nguồn internet Đại số Giải tích 11 – Nâng cao, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Nxb Giáo dục, Hà Nội 16 ... dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n → ∞ tính giới hạn Bài tập 20 Cho dãy số thực (an ) xác định : a1 = 1, an+1 = − an + , ∀n ≥ 2an Chứng minh dãy (an ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn √ Bài. .. đọc thử sức với Bài tập 27 phần Phương pháp Sử dụng giới hạn dãy Ý tưởng phương pháp : Nếu dãy dãy ban đầu có giới hạn dãy có số rời nhau, hợp số N dãy cho có giới hạn Chẳng hạn sau • lim x2n... VÀ GIỚI HẠN BÀI TOÁN Đối với dãy số (an ), người ta quan tâm đến tồn giới hạn (hội tụ) dãy có giới hạn lim an =? Trường hợp Dãy (an ) cho dạng công thức tổng qt n+1 Ví dụ an = (an ) có giới hạn